北京市朝陽區(qū)06-07學年高三第一次統(tǒng)一考試(數(shù)學文)

1、2007.42006 2007學年度北京市朝陽區(qū)高三第一次統(tǒng)一考試數(shù)學試題（文科）（考試時間120分鐘，滿分150分）第I卷（選擇題，共40 分）1 .設集合U = R,集合MA. M 一 N 二 M2=x| x 0, N = x | x冰，則下列關系中正確的是B. M u N 9 MC. (GM)N 二：D. QN) - M N2. 在 ABC 中，sin 2A = sin 2B 是 A = B 的A .充分不必要條件B .必要不充分條件C.充分必要條件D .既不充分也不必要條件0、3. 已知a、b是兩條不重合的直線，a B是兩個不重合的平面，給出四個命題: a / b, b / a,貝U

2、a / a; a、 bua , a / B, b/ B,貝 U all 3；a成60 勺角; a與a成30。的角，a丄b，則b與 a丄a, bl a，貝U a丄b.其中正確命題的個數(shù)是C.4已知數(shù)列an的前n項為Si, S3 = 3 ,S6 = 27,C.貝毗等比數(shù)列的公比丄25.從4位男教師和3位女教師中選出3位教師，派往郊區(qū)3位教師中男、女教師都要有，則不同的選派方案共有A . 210 種B . 186 種C. 180 種q等于丄23所學校支教，每校人要求這（90種6.已知函數(shù)f (x) - - - 4x-2,0，則f（X）的反函數(shù)是A. f (x) - - 4 - x2X 0,2 B.f

3、 J( x) - - 4 -x2x _2,0C. f (x) = . 4 - x2 x0,2x _2,07.已知橢圓的焦點是 F1、F2, P是橢圓上的一個動點，過點 F2向/ F1PF2的外角平分線作 垂線，垂足為M ,則點M的軌跡是（）A .圓B .橢圓C.直線D .雙曲線的一支&已知計算機中的某些存儲器有如下特性：若存儲器中原有數(shù)據(jù)個數(shù)為m個，則從存儲器中取出n個數(shù)據(jù)后，此存儲器中的數(shù)據(jù)個數(shù)為m-n個；若存儲器中原有數(shù)據(jù)為 m個,則將n個數(shù)據(jù)存入存儲器后，此存儲器中的數(shù)據(jù)個數(shù)為m+ n個.現(xiàn)已知計算機中A、B、C三個存儲器中的數(shù)據(jù)個數(shù)均為0，計算機有如下操作：第一次運算：在每個存儲器中都

4、存入個數(shù)相同且個數(shù)不小于2的數(shù)據(jù)；第二次運算：從 A存儲器中取出2個數(shù)據(jù)，將這2個數(shù)據(jù)存入B存儲器中；第三次運算：從 C存儲器中取出1個數(shù)據(jù)，將這1個數(shù)據(jù)存入B存儲器中；第四次運算：從B存儲器中取出A存儲器中個數(shù)相同的數(shù)據(jù)，將取出的數(shù)據(jù)存入A存儲器，則這時存儲器中的數(shù)據(jù)個數(shù)是()A . 8B . 7C. 6D. 5第H卷(非選擇題，共110分)二、 填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分，將答案填在題中橫線上9.某市三所學校共有高中學生8000人，其中 A校2520人；B校3280人；C校2200人.現(xiàn)在采用分層抽樣方法從所有學生中抽取200人進行心理測試上述三所學校分別應該抽取人.10

5、若(1 ax)6的展開式中x4的系數(shù)是240，則實數(shù)a的值是.11. 圓x2 + y2 + 4x 2y + 4 = 0上的點到直線x y 1 = 0的最大距離與最小距離的差為 .12. 已知一個球與一個二面角的兩個半平面都相切，若球心到二面角的棱的距離是.5，切點到二面角棱的距離是1,則球的表面積是 ，球的體積是 .13. 已知向量 a =(2,3), |b|=2J3，且 a / b，則 |a| = , b 的坐標是.x+1| (xc1),14. 已知函數(shù) f(X)=且不等式f(X)K1的解集.j-x+3 (xK1),三、 解答題：本大題共6小題，共80分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟

6、15. (本小題滿分13分)已知向量 a = (cos x, sin x), b = (-cosx,cosx)，函數(shù) f (x) = 2a b 1.(I )求函數(shù)f(x)的最小正周期；(n )當x 0,2二時，求f(x)的單調(diào)減區(qū)間.16. (本小題滿分13分)甲、乙兩支籃球隊進行比賽，已知每一場甲隊獲勝的概率為0.6，乙隊獲得的概率為0.4,每場比賽均要分出勝負，比賽時采用三場兩勝制，即先取得兩場勝利的球隊勝出.(I)求甲隊以二比一獲勝的概率；(n)求乙隊獲勝的概率；17. (本小題滿分13分)如圖，棱長為1的正四面體 ABCD中，E、F分別是棱AD、CD的中點，0是點A 在平面BCD內(nèi)的射

7、影.(I )求直線EF與直線BC所成角的大小;(n)求點0到平面ACD的距離；(川)求二面角E BE F的大小.18. (本小題滿分13分)已知函數(shù)f (x)二x3 ax2 bx - c在x = 1處有極值，f (x)在x = 2處的切線I不JT屯F ?過第四象限且傾斜角為-，坐標原點到切線I的距離為二.42(I)求a、b、c的值;3(n)求函數(shù)-f(x)在區(qū)間-q上的最大值和最小值19. (本小題滿分14分)S111已知數(shù)列an的前n項為和Sn,點(n,)在直線y x上.數(shù)列bn滿足n22153.bn 2 -2bn 1 bn =0（n N*），且b3 -11，前 9 項和為(I )求數(shù)列an

8、、bn的通項公式;（n）設 Cn -（2an 11）（2bn -1），數(shù)列Cn的前n和為kTn,求使不等式Tn對一57切n N都成立的最大正整數(shù) k的值.20. (本小題滿分14分)已知雙曲線的中心在原點 O,右焦點為F (c, 0) , P是雙曲線右支上一點,的面積為2(I )若點P的坐標為(2,、3)，求此雙曲線的離心率；. 6 2 (n )若OF FP =(1)c2，當|OP |取得最小值時，求此雙曲線的方程I )因為 f (x) =2a b 1參考答案、選擇題1.D 2.B 3.D4.A 5. C 6.B7. A8.、填空題32 :9.63, 82,5510.211 . 2 12.16

9、n313.3,(-4,-6)或(4, 6)14.：,-2 L.0,2三、解答題15.解：(D= 2(cosx,sin x) (-cosx,cosx) 12=2(-cos x sin xcosx) 12=1 - 2 cos x 2sin xcosx =sin 2xcos2x= 2 sin(2x)4所以f(x)的最小正周期是 T = :.二二3 二(n )依條件得2k2x2k(k三Z). 9分2 423 応7 jt解得 kx _ k(k Z). 分8 83 -7二 11二15二又 x 0,2 二,所以 x ,x.888 83 - 7 i11 - 15即當x0,2二時，f(x)的單調(diào)減區(qū)間是一，,.

10、 13分888816解：(I )甲隊以二比一獲勝，即前兩場中甲勝1場，第三場甲獲勝，其概率為P1 =C0.0.：0.6=0.2 8j86 分(n)乙隊以2： 0獲勝的概率為 P2、0.4 0.4 = 0.16；乙隊以2: 1獲勝的概率為P2“ = C；0.4 0.6 0.4 =0.1922 1乙隊獲勝的概率為P2 -0.4C2 0.4 0.6 0.4 = 0.16 0.192=0.352 8分(川)若三場兩勝，則甲獲勝的概率巳=0.62 +C；況0.6x0.4x0.6=0.36+0.288 = 0.648或 P3 =1 -P2 =1 -0.352 = 0.648;若五場三勝，則甲獲勝的概率P/

11、=0.63 C； 0.62 0.4 0.6 C40.62 0.42 0.6= 0.2160.25920.20736 =0.68256. P3 F3 ,采用五場三勝制，甲獲勝的概率將增大 分317.方法一：(I )因為E、F分別是棱 AD、CD的中點， 所以 EF / AC.所以/ BCA是EF與BC所成角2分正四面體 ABCD , ABC為正三角形，所以 / BCA = 60 .3分即EF與BC所成角的大小是60(n )解法1:如圖，連結(jié)AO , AF, 因為F是CD的中點，且厶ACD , BCD均為正三角形，所以BF丄CD , AF丄CD.因為 BFn AF = F ,所以CD丄面AFB.

12、4分因為CD二在ACD ,所以面AFB丄面ACD. 5分因為ABCD是正四面體，且 0是點A在面BCD內(nèi)的射影,所以點0必在正三角形 BCD的中線BF上，在面ABF中，過 0做0G丄AF，垂足為 G,所以0G丄在ACD.即0G的長為點0到面ACD的距離.因為正四面體ABCD的棱長為1,在厶ABF中，容易求出 AF = BF=0F , A0 =6因為 A0F 0GF ,故由相似比易求出0G =.69所以點0到平面ACD的距離是邑9 解法2:如圖，連結(jié)A0 , C0,所以點0到平面ACD的距離就是三棱錐0 ACD底面ACD上的咼h.D0 ,J3與解法1同理容易求出 0F=, A0 =6所以VA C

13、0D =丄空J332仝1H 636因為V 0 ACD = Va C0D ,所以2 = V。ACD = 1 h (- 1).636322分（川）連結(jié)0D，設0D的中點為 K，連EK , 貝U EK / A0.因為A0丄面BCD, 所以EK丄面BCD. 在平在BCD內(nèi)過點K作KN / CD,KN 交BF 于M,交BC于N,因為 所以 連結(jié) 所以BF 丄 CD, KN 丄 BF. EM,EM 丄 BF.D所以/ NME是所求二面角的平面角10分因為EK =1CH =21 11MK = ED = AD =-2 44所以 tan. EMK =-FK =2-6 .MK 3所以 tan. NME =tan(

14、二 -.EMK) - - - .3所以所求二面角的大小為丄2恵二-arcta n 3方法二：如圖，以點 A在面BCD的射影0為坐標原點,有向直線 OA為z軸，有向直線 BF為y軸，x軸為過點O與DC平行的有向直線. 因為正四面體ABCD的棱長為1, 所以可以求出各點的坐標依次為：(0,0,0), a（0,0，二），B（0,-,0）3丄仝。）2 61罷J6E(,，-4 126F( 0,0)C(I)因為EF1 57,得 kw 所以 K181420.解：(I )設所求的雙曲線的方程為2x2a2與=1(a - 0,b 0),b2由 1|OF |. 3 - ,2 1分2 22222八.b c - a 2 -a . 2分由點P(2, ,3)在雙曲線上，.:一 3 2 =1,解得a2 ,5分a 2 a 離心率e2. 6分a2 2(n )設所求的雙曲線的方程為xy2 -2 =1(a0,b 0), P(xi, yi)，ab則 FP =(Xi -c, yi). 分 7 OFP 的面積為- |OF |y