幾何學(xué)期末試題及答案

1、幾何學(xué)概論試題（）1. 試確定仿射變換，使軸，軸的象分別為直線，且點(diǎn)（1，1）的象為原點(diǎn).()2. 利用仿射變換求橢圓的面積.()3. 寫出直線+-=0,軸,軸,無窮遠(yuǎn)直線的齊次線坐標(biāo).()4. 敘述笛沙格定理,并用代數(shù)法證之.()5. 已知(1,2,3),(5,-1,2),(11,0,7),(6,1,5),驗(yàn)證它們共線,并求()的值.()6. 設(shè)(1,1,1),(1,-1,1),(1,0,1)為共線三點(diǎn),且()=2,求的坐標(biāo).()7. 敘述并證明帕普斯(Pappus)定理.()8.一維射影對(duì)應(yīng)使直線上三點(diǎn)(-1),(0),(1)順次對(duì)應(yīng)直線上三點(diǎn)(0),(1),(3),求這個(gè)對(duì)應(yīng)的代數(shù)表達(dá)式

2、.()9.試比較射影幾何、仿射幾何、歐氏幾何的關(guān)系.()高等幾何試題（）1.求仿射變換的不變點(diǎn)和不變直線. ()2. 敘述笛沙格定理,并用代數(shù)法證之.()3.求證(1,2,-1) ,(-1,1,2),(3,0,-5)共線,并求的值,使 () 4.已知直線的方程分別為，且，求的方程.()5.試比較歐氏、羅氏、黎氏幾何的關(guān)系. ()6.試證兩個(gè)點(diǎn)列間的射影對(duì)應(yīng)是透視對(duì)應(yīng)的充要條件是它們底的交點(diǎn)自對(duì)應(yīng). ()7.求兩對(duì)對(duì)應(yīng)元素,其參數(shù)為1,02,所確定對(duì)合的參數(shù)方程. ()8.兩個(gè)重疊一維基本形成為對(duì)合的充要條件是對(duì)應(yīng)點(diǎn)的參數(shù)與滿足以下方程: () 高等幾何試題（）1. 求仿射變換的不變點(diǎn)和不變直線

3、. ()2. 求橢圓的面積.()3. 寫出直線+-=0,軸,軸,無窮遠(yuǎn)直線的齊次線坐標(biāo).()4. 敘述笛沙格定理,并用代數(shù)法證之.()5. 已知直線的方程分別為，且，求的方程.()6. 在一維射影變換中，若有一對(duì)對(duì)應(yīng)元素符合對(duì)合條件，則這個(gè)射影變換一定是對(duì)合. () 7. 試比較射影幾何、仿射幾何、歐氏幾何的關(guān)系, 試比較歐氏、羅氏、黎氏幾何的關(guān)系. ()20052006第二學(xué)期期末考試試題 高等幾何試題（A）一、 填空題（每題3分共15分）1、 是仿射不變量， 是射影不變量2、 直線上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)坐標(biāo)為 3、 過點(diǎn)（1,i,0）的實(shí)直線方程為 4、 二重元素參數(shù)為2與3的對(duì)合方程為 5、 二次

4、曲線過點(diǎn)的切線方程 二、 判斷題（每題2分共10分）1、兩全等三角形經(jīng)仿射對(duì)應(yīng)后得兩全等三角形 （ ）2、射影對(duì)應(yīng)保持交比不變，也保持單比不變 （ ）3、一個(gè)角的內(nèi)外角平分線調(diào)和分離角的兩邊 （ ）4、歐氏幾何是射影幾何的子幾何，所以對(duì)應(yīng)內(nèi)容是射影幾何對(duì)應(yīng)內(nèi)容的子集 （ ） 5、共線點(diǎn)的極線必共點(diǎn)，共點(diǎn)線的極點(diǎn)必共線 （ ）三、(7分)求一仿射變換，它使直線上的每個(gè)點(diǎn)都不變，且使點(diǎn)（1,-1）變?yōu)椋?1，2）四、（8分）求證:點(diǎn) 三點(diǎn)共線，并求使 五、(10分)設(shè)一直線上的點(diǎn)的射影變換是證明變換有兩個(gè)自對(duì)應(yīng)點(diǎn)，且這兩自對(duì)應(yīng)點(diǎn)與任一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的交比為常數(shù)。六、（10分）求證：兩直線所成角度是相似群

5、的不變量。七、（10分）（1）求點(diǎn)（5，1，7）關(guān)于二階曲線的極線（2）已知二階曲線外一點(diǎn)求作其極線。（寫出作法，并畫圖）八、（10分）敘述并證明德薩格定理的逆定理九、（10分）求通過兩直線交點(diǎn)且屬于二級(jí)曲線 的直線十、（10分）已知是共線不同點(diǎn)，如果 高等幾何試題（B）一、 填空題（每題3分共15分）1、 仿射變換的不變點(diǎn)為 2、 兩點(diǎn)決定一條直線的對(duì)偶命題為 3、 直線i ,2,1-i 上的實(shí)點(diǎn)為 4、 若交比 則 5、 二次曲線中的配極原則 二、判斷題（每題2分共10分）1、不變直線上的點(diǎn)都是不變點(diǎn) （ ）2、在一復(fù)直線上有唯一一個(gè)實(shí)點(diǎn) （ ）3、兩點(diǎn)列的底只要相交構(gòu)成的射影對(duì)應(yīng)就是透視

6、對(duì)應(yīng) （ ） 4、射影群仿射群正交群 （ ） 5、二階曲線上任一點(diǎn)向曲線上四定點(diǎn)作直線，四直線的交比為常數(shù) （ ） 三、(7分)經(jīng)過的直線與直線相交于，求 四、（8分）試證：歐氏平面上的所有平移變換的集合構(gòu)成一個(gè)變換群五、（10分）已知直線的方程分別為：求證四直線共點(diǎn)，并求六、(10分) 利用德薩格定理證明：任意四邊形各對(duì)對(duì)邊中點(diǎn)的連線與二對(duì)角線中點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)七、（10分）求（1）二階曲線的切線方程 （2）二級(jí)曲線在直線L1，4，1 上的切點(diǎn)方程八、（10分）敘述并證明德薩格定理定理（可用代數(shù)法）九、（10分）已知二階曲線（C）：（1） 求點(diǎn)關(guān)于曲線的極線（2） 求直線關(guān)于曲線的極點(diǎn)十、

7、（10分）試證：圓上任一點(diǎn)與圓內(nèi)接正方形各頂點(diǎn)連線構(gòu)成一個(gè)調(diào)和線束高等幾何試題（C）一、填空題（每題3分共15分）6、 直線在仿射變換下的像直線 7、 軸軸上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)坐標(biāo)分別為 8、 過點(diǎn)（1,-i ,2）的實(shí)直線方程為 9、 射影變換自對(duì)應(yīng)元素的參數(shù)為 10、 二級(jí)曲線在直線上1,4,1的切點(diǎn)方程 三、 判斷題（每題2分共10分）1、仿射變換保持平行性不變 （ ）2、射影對(duì)應(yīng)保持交比不變，也保持單比不變 （ ）3、線段中點(diǎn)與無窮遠(yuǎn)點(diǎn)調(diào)和分離兩端點(diǎn) （ ）4、 如果點(diǎn)的極線過點(diǎn)，則點(diǎn)的極線也過點(diǎn) （ ） 5、不共線五點(diǎn)可以確定一條二階曲線 （ ）三、(7分)已知軸上的射影變換，求坐標(biāo)原點(diǎn)，無

8、窮遠(yuǎn)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn) 四、（8分）已知直線的方程分別為 且求直線的方程。五、（10 分）已知同一直線上的三點(diǎn)求一射影變換使此三點(diǎn)順次變?yōu)椴⑴袛嘧儞Q的類型，六、（10分）求證：兩直線所成角度是相似群的不變量。七、（10分）求射影變換的不變點(diǎn)坐標(biāo)八、（10分）敘述并證明帕斯卡定理九、（10分）求通過兩直線交點(diǎn)且屬于二級(jí)曲線 的直線十、（10分）試證:雙曲型對(duì)合的任何一對(duì)對(duì)應(yīng)元素 ,與其兩個(gè)二重元素E,F調(diào)和共軛即()=-1 參考答案高等幾何標(biāo)準(zhǔn)答案（A）一、 填空題：（每空3分共15分） 1、單比，交比 2、（1,-3,0） 3、 4、 5、二、判斷題（每題2分共10分） 1、錯(cuò)，2、錯(cuò)，3、對(duì)，4、錯(cuò)

9、，5、對(duì)三、解：在直線上任取兩點(diǎn) 2分 由設(shè)仿射變換為 將點(diǎn)的坐標(biāo)代入可解得 7分四、證明：因?yàn)?所以三點(diǎn)共線 4分 由： 解得 所以 8分五、證明：令 解得 即有兩個(gè) 自對(duì)應(yīng)點(diǎn) 4分 設(shè)k與 對(duì)應(yīng)，有為常數(shù) 10分 注：結(jié)果 有也對(duì)，不過順序有別。六、證明：設(shè)兩直線為： 相似變換為： 將變換代入直線a的方程得： 5分 即 即兩直線的夾角是相似群的不變量 10分七、解：（1）設(shè)（5，1，7）為P點(diǎn)坐標(biāo)， 二階曲線矩陣為 A= 所以點(diǎn)P的極線為SP=0即 得 x2=0 5分 （2）略八（在后邊）九、解：通過直線的交點(diǎn)的直線的線坐標(biāo)為 2分若此直線屬于二階曲線則有 即 解得 10分十、解：設(shè) 由

10、由 所以 10分八、德薩格定理的逆定理：如果兩個(gè)三點(diǎn)形的對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)共線，則對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線共點(diǎn)。 4分 證明; 如圖三點(diǎn)形ABC與A1B1C1的三對(duì)應(yīng)邊交點(diǎn)L,M,N共線，證明對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線共點(diǎn),考慮三點(diǎn)形BLB1與CMC1則有對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線共點(diǎn)N ，故對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)A,A1,0共線OABCLMNB1A1C1高等幾何標(biāo)準(zhǔn)答案（B）一、 填空題：（每題3分共15分） 1、, 2、兩條直線確定一個(gè)交點(diǎn)，3、(2,-1,2) 4、 5、如果點(diǎn)的極線過點(diǎn)則點(diǎn)的極線也過點(diǎn)。二、 判斷題：（每題2分共10分） 1、錯(cuò)，2，對(duì)， 3、錯(cuò)， 4、對(duì) ， 5、對(duì)三、解：過的直線方程為： 2分 直線與的交點(diǎn)為 4分 所

11、以 7分四、 證明：設(shè)平移變換的表達(dá)式為 T: 設(shè)任意兩個(gè)平移變換為： 仍為一個(gè)平移變換 4分 又對(duì)任意變換T: 也是一個(gè)平移變換 所以平移變換的集合關(guān)于變換的乘法構(gòu)成群。 8分五、 解：方程轉(zhuǎn)化為齊次坐標(biāo)形式： 2分 所以四直線共點(diǎn)。 6分 因?yàn)椋?所以： 10分六、 證明：如圖ABCDPHEGRM考慮三點(diǎn)形與則平行，也平行所以與相交于無窮遠(yuǎn)處。同理與與相交于無窮遠(yuǎn)處。故共線。有的薩格定理，三點(diǎn)形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線共點(diǎn)。即相交于一點(diǎn)。 10分七、（1）因?yàn)辄c(diǎn)在二階曲線上，所以切線方程為： SP= 5分 （2） 因?yàn)橹本€1，4，1 在二級(jí)曲線上所以切點(diǎn)方程為 TL=(1,4,1) 10分八、證明：（

12、1）如果兩個(gè)三點(diǎn)形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)線的交點(diǎn)在一條線上。 3分 OABCLMNB1A1C1（2）如圖 因?yàn)楣簿€，所以 同理 故有 即 同理 三式相加得 所以三點(diǎn)共線。 10分九、解： (1)點(diǎn)的極線為：SP=(1,2,1)9x1+2x2+4x3=0 5分 （2）設(shè)直線的極點(diǎn)為則有 解方程組可得極點(diǎn) 10分十、證明：如圖ABCDPE 為圓內(nèi)接正方形，為圓上任意點(diǎn)。因?yàn)樗詾榻堑钠椒志€。 同理可證明是角平分線。即是角的內(nèi)外角平分線。 所以直線構(gòu)成調(diào)和線束。 10分 高等幾何標(biāo)準(zhǔn)答案（C）一、 填空題：(每題3分共15分) 1、 2、（1，0，0），（0，1，0） 3、 4、-1，3 5

13、、二、判斷題：（每題2分共10分）1、 對(duì) ， 2、錯(cuò)， 3、對(duì)， 4、對(duì)， 5、錯(cuò)三、解：變換化為齊次坐標(biāo)形式： 3分 將坐標(biāo)原點(diǎn)（0，1），無窮遠(yuǎn)點(diǎn)（1，0）代入得對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為： （-1，3）和（2，1） 7分四、解：由題意得 設(shè) 則 3分 而 所以 整理得： 8分五、解：在直線上建立適當(dāng)坐標(biāo)系使的坐標(biāo)分別為 3分 則有 設(shè)變換為 將坐標(biāo)代入可求得 7分 非齊次形式為： 因方程 無實(shí)數(shù)解 所以變換是橢圓形。 10分六、證明：設(shè)兩直線為： 相似變換為： 將變換代入直線a的方程得： 5分 即 即兩直線的夾角是相似群的不變量 10分七、解：由特征方程： 4分 將 得 ,故上的點(diǎn)都是不變點(diǎn)時(shí)不變點(diǎn)列。 10分八、對(duì)任意一個(gè)內(nèi)接于非退化二階曲線的簡(jiǎn)單六點(diǎn)形，它的三對(duì)對(duì)邊的交點(diǎn)在一條直線上。 證明： 如圖A1A2A3A