機(jī)械的振動復(fù)習(xí)資料

1、實用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔一、簡諧運(yùn)動的基本概念1.定義物體在跟偏離平衡位置的位移大小成正比，并且總指向平衡位置的回復(fù)力的作用下的振動，叫簡諧運(yùn)動。表達(dá)式為：F回=-kx （判斷一個振動是否是簡諧運(yùn)動的方法）振動的位移必須是指偏離平衡位置的位移（實質(zhì)與位置對應(yīng)）。也就是說，在研究簡諧運(yùn)動時所說的位移的起點都必須在平衡位置處。簡諧運(yùn)動的位移隨時間變化的規(guī)律是正弦函數(shù)（判斷一個振動是否是簡諧運(yùn)動的方法）?；貜?fù)力是一種效果力。是振動物體在沿振動方向上所受的合力?！捌胶馕恢谩辈坏扔凇捌胶鉅顟B(tài)”。平衡位置是指回復(fù)力為零的位置，物體在該位置所受的合外力不一定為零。（如單擺擺到最低點時，沿振動方向的合力為零，但在

2、指向懸點方向上的合力卻不等于零，所以并不處于平衡狀態(tài)）F=-kx是判斷一個振動是不是簡諧運(yùn)動的充分必要條件。凡是簡諧運(yùn)動沿振動方向的合力必須滿足該條件；反之，只要沿振動方向的合力滿足該條件，那么該振動一定是簡諧運(yùn)動。例1.簡諧運(yùn)動的判斷方法。兩根質(zhì)量均可不計的彈簧，勁度系數(shù)分別為Ki、K2，它們與一個質(zhì)量為 m的小球組成的彈簧振子，如圖1所示。試證明彈簧振子做的運(yùn)動是簡諧運(yùn)動。證明：以平衡位置 0為原點建立坐標(biāo)軸，當(dāng)振子離開平衡位置0時，因兩彈簧發(fā)生形變而使振子受到指向平衡位置的合力。設(shè)振子沿X正方向發(fā)生位移x，則物體受到的合力為F=F i+F2=-k ix-k 2X=-（k i+k 2）x=

3、-kx.所以，彈簧振子做的運(yùn)動是簡諧運(yùn)動。要判定一個物體的運(yùn)動是簡諧運(yùn)動，首先要判定這個物體的運(yùn)動是機(jī)械振動，即看這個物體是不是做的往復(fù)運(yùn)動；看這個物體在運(yùn)動過程中有沒有平衡位置；看當(dāng)物體離開平衡位置時，會不會受到指向平衡位置的回復(fù)力作用，物體在運(yùn)動中受到的阻力是不是足夠小。然后再找出平衡位置并以平衡位置為原點建立坐標(biāo)系，再讓物體沿著x軸的正方向偏離平衡位置，求出物體所受回復(fù)力的大小，若回復(fù)力為F=-kx,則該物體的運(yùn)動是簡諧運(yùn)動。2 .簡諧運(yùn)動的規(guī)律：（1）在平衡位置：速度最大、動能最大、動量最大；位移最小、回復(fù)力最小、加速度最小。（2）在離開平衡位置最遠(yuǎn)時：速度最小、動能最小、動量最?。晃?/p>

4、移最大、回復(fù)力最大、加速度最大。（3）振動中的位移x都是以平衡位置為起點的，方向從平衡位置指向末位置，大小為這兩位置間的直線距離。加速度與 回復(fù)力、位移的變化一致，在兩個“端點”最大，在平衡位置為零，方向總是指向平衡位置。（4）幾個重要的物理量間的關(guān)系簡諧運(yùn)動涉及到的物理量較多，但都與簡諧運(yùn)動物體相對平衡位置的位移x存在直接或間接關(guān)系：如果弄清了上述關(guān)系，就很容易判斷各物理量的變化情況。位移K *_冋負(fù)力-L* 加遼度爼 dm怛移Z 一做簡諧運(yùn)動的物體在某一時刻（或某一位置）的位移X、回復(fù)力F、加速度a、速度v這四個矢量的相互關(guān)系。由定義知：Fx，方向相反。由牛頓第二定律知：Fxa,方向相同。

5、由以上兩條可知：a*x，方向相反。v和x、F、a之間的關(guān)系最復(fù)雜：當(dāng) v、a同向（即v、F同向，也就是v、x反向）時v 一定增大；當(dāng)v、a反向（即 v、F反向，也就是 v、x同向）時，v 一定減小。例2、彈簧振子在光滑的水平面上做簡諧運(yùn)動，在振子向平衡位置運(yùn)動的過程中（）A 振子所受的回復(fù)力逐漸增大B 振子的位移逐漸增大C.振子的速度逐漸減小D 振子的加速度逐漸減小。分析與解：在振子向平衡位置運(yùn)動的過程中，易知x減小，根據(jù)上述關(guān)系很容易判斷，回復(fù)力F、加速度a減?。凰贆C(jī)械振動全章復(fù)習(xí)資料實用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔度V增大。即D選項正確。實用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔3 從總體上描述振動的物理量振動的最大特點是

6、往復(fù)性或者說是周期性。因此振動物體在空間的運(yùn)動有一定的范圍，用振幅A來描述；在時間上則用周期T來描述完成一次全振動所須的時間。振幅A:振動物體離開平衡位置的最大距離稱為振幅。它是描述振動強(qiáng)弱的物理量。（一定要將振幅跟位移相區(qū)別，在簡諧運(yùn)動的振動過程中，振幅是不變的而位移是時刻在改變的）周期T和頻率f:振動物體完成一次全振動所需的時間稱為周期T,它是標(biāo)量，單位是秒；單位時間內(nèi)完成的全振動的次數(shù)稱為振動頻率，單位是赫茲（Hz ）。周期和頻率都是描述振動快慢的物理量，它們的關(guān)系是：T=1/ f.周期由振動系統(tǒng)本身的因素決定，叫固有周期。任何簡諧振動都有共同的周期公式：T 2 m （其中m是振動物體的

7、質(zhì)量，k是回復(fù)力系數(shù)，即簡諧運(yùn)動的判 k定式F= -kx中的比例系數(shù)，對于彈簧振子 k就是彈簧的勁度，對其它簡諧運(yùn)動它就不再是彈簧的勁度了）。4.簡諧運(yùn)動的圖象：（1）圖像C定義：振動物體離開平衡位置的位移 X隨時間t變化的函數(shù)圖象。 不是運(yùn)動軌跡，它只是反映質(zhì)點的位移隨時間的變化 規(guī)律。2作法：以橫軸表示時間，縱軸表示位移，根據(jù)實際數(shù)據(jù)取單位，定標(biāo)度，描點，用平滑線連接各點便得圖線。圖象特點：用演示實驗證明簡諧運(yùn)動的圖象是一條正弦（或余弦）曲線。（2）簡諧運(yùn)動圖象的應(yīng)用：0可求出任一時刻振動質(zhì)點的位移。2可求振幅A :位移的正負(fù)最大值。0可求周期T:兩相鄰的位移和速度完全相同的狀態(tài)的時間間隔

8、。0可確定任一時刻加速度的方向。0可求任一時刻速度的方向。0可判斷某段時間內(nèi)位移、回復(fù)力、加速度、速度、動能、勢能的變化情況。例3彈簧振子沿x軸振動，振幅為4cm。振子的平衡位置位于 x軸上的O點，圖中的a、b、c、d為四個不同的振動狀態(tài)：黑點表示振子的位置，黑點上的箭頭表示運(yùn)動的方向。圖中給出的四條振動圖線，可用于表示振子啟思（1）回復(fù)力和加速度的大小和方向，可以借助該時刻的振動位移來確定。（2）速度方向，利用該時刻圖線的切線斜率判定，斜率大于零說明運(yùn)動方向為正，斜率小于零，說明運(yùn)動方向為負(fù)。二、典型的簡諧運(yùn)動1.彈簧振子周期T 2 m，與振幅無關(guān)，只由振子質(zhì)量和彈簧的勁度決定。A、若規(guī)定狀

9、態(tài)a時，t=0，則圖象為B、若規(guī)定狀態(tài)b時，t=0，則圖象為C、若規(guī)定狀態(tài)c時，t=0，則圖象為D、若規(guī)定狀態(tài)d時，t=0，則圖象為解析選A、Do若規(guī)定狀態(tài)a時,t=0。則此時質(zhì)點位移 x=3cm若規(guī)定狀態(tài)b時，t=0，則此時質(zhì)點位移若規(guī)定狀態(tài)c時，t=0，則此時質(zhì)點位移若規(guī)定狀態(tài)d時，t=0，則此時質(zhì)點位移x=2cm，速度v0，沒有與此相應(yīng)的圖象。 x=-2cm，速度v0 ,即為圖象。實用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔可以證明，豎直放置的彈簧振子的振動也是簡諧運(yùn)動，周期公式也是T 2 ；。這個結(jié)論可以直接使用。在水平方向上振動的彈簧振子的回復(fù)力是彈簧的彈力；在豎直方向上振動的彈簧振子的回復(fù)力是彈簧彈力和重

10、力的 合力。（注意水平和豎直彈簧振子振動過程中能量轉(zhuǎn)化的區(qū)別）例4.簡諧運(yùn)動運(yùn)動過程。一彈簧振子作簡諧運(yùn)動，周期為 T ,則下列說法中正確的是（）A、 若t時刻和（t+ ）時刻振子運(yùn)動位移的大小相等、方向相同，則t一定等于T的整數(shù)倍；B、 若t時刻和（t+ ）時刻振子運(yùn)動速度的大小相等、方向相反，則t一定等于T/2的整數(shù)倍；C、 若 t=T，則在t時刻和（t+ ）時刻振子運(yùn)動的加速度一定相等；D、 若 t=T/2 ，則在t時刻和（t+ ）時刻彈簧的長度一定相等。分析與解：若t時刻和（t+ ）時刻振子運(yùn)動位移的大小相等、方向相同，表明兩時刻振子只是在同一位置，其速度 方向還可能相反，則 t不一定

11、是T的整數(shù)倍，故 A選項錯誤。若t時刻和（t+ ）時刻振子運(yùn)動速度的大小相等、方向相反，這時振子可能處于平衡位置兩側(cè)的兩個對稱的位置上,也可能是兩次處于同一位置上，這都不能保證厶t 一定是T/2的整數(shù)倍。故選項 B錯誤。振子每經(jīng)過一個周期，必然回到原來的位置，其對應(yīng)的加速度一定相等。故選項C正確。經(jīng)過半個周期，彈簧的長度變化大小相等、方向相反，即一個對應(yīng)彈簧被壓縮，另一個對應(yīng)彈簧被拉伸，這兩種 情況下彈簧的長度不相等，可見選項D錯誤。綜上所述，本題正確答案為C。例5.簡諧運(yùn)動的對稱性 如圖2所示。彈簧振子在振動過程中，振子經(jīng) a、b兩點的速度相同，若它從a到b歷時0.2s,從b再回到a的最短時

12、間為0.4s,則該振子的振動頻率為（）二1電-v-* -* - -*A、1Hz; B、1.25Hz; C、2Hz; D、2.5Hz.abc分析與解：振子經(jīng)a、b兩點速度相同，根據(jù)彈簧振子的運(yùn)動特點，不難判斷a、b兩點對平衡位置（O點）一定是對稱的，振子由b經(jīng)o到a所用的時間也是0.2s,由于“從b再回到a的最短時間是0.4s ”，說明振子運(yùn)動到 b后是 第一次回到a點，且ob不是振子的最大位移。設(shè)圖中的c、d為最大位移處，則振子從b經(jīng)c到b歷時0.2s，同理，振子從a經(jīng)d到a,也歷時0.2s,故該振子的周期 T=0.8S,根據(jù)周期和頻率互為倒數(shù)的關(guān)系，不難確定該振子的振動頻率 為1.25Hz.

13、故本題答 B.簡諧運(yùn)動的對稱性是指振子經(jīng)過關(guān)于平衡位置對稱的兩位置時，振子的位移、回復(fù)力、加速度、動能、勢能、速度、 動量等均是等大的（位移、回復(fù)力、加速度的方向相反，速度動量的方向不確定）。運(yùn)動時間也具有對稱性，即在平衡位置對稱兩段位移間運(yùn)動的時間相等。理解好對稱性這一點對解決有關(guān)問題很有幫助。例6。豎直彈簧振子.如圖所示，一輕質(zhì)彈簧豎直放置，下端固定在水平面上，上端處于a位置，當(dāng)一重球放在彈簧上端靜止時，彈簧上端被壓縮到b位置?，F(xiàn)將重球（視為質(zhì)點）從高于位置的c位置沿彈 -.簧中軸線自由下落，彈簧被重球壓縮到最低位置d.以下關(guān)于重球運(yùn)動過程的正確說法應(yīng)是（ ）A、 重球下落壓縮彈簧由 a至

14、d的過程中，重球做減速運(yùn)動。B、 重球下落至b處獲得最大速度。C、 重球下落至d處獲得最大加速度。D、 由a至d過程中重球克服彈簧彈力做的功等于小球由c下落至d處時重力勢能減少量。分析與解：重球由c至a的運(yùn)動過程中，只受重力作用，做勻加速運(yùn)動；由 a至b的運(yùn)動過程中，受重力和彈力 作用，但重力大于彈力，做加速度減小的加速運(yùn)動；由 b至d的運(yùn)動過程中，受重力和彈力作用，但重力小于彈力， 做加速度增大的減速運(yùn)動。所以重球下落至b處獲得最大速度，由 a至d過程中重球克服彈簧彈力做的功等于小球由c下落至d處時重力勢能減少量，即可判定B、D正確。C選項很難確定是否正確，但利用彈簧振子的特點就可非常容易解

15、決這一難題。重球接觸彈簧以后，以b點為平實用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔衡位置做簡諧運(yùn)動，在 b點下方取一點a使ab=a b,根據(jù)簡諧運(yùn)動的對稱性，可知，重球在a、a，的加速度大小相等，方向相反，如圖4所示。而在d點的加速度大于在 a，點的加速度，所以重球下落至d處獲得最大加速度，C選項正確。 例7.如圖所示，質(zhì)量為m的小球放在勁度為 k的輕彈簧上，使小球上下振動而又始終未脫離彈簧。最大振幅A是多大？在這個振幅下彈簧對小球的最大彈力Fm是多大？解：該振動的回復(fù)力是彈簧彈力和重力的合力。在平衡位置彈力和重力等大反向，合力為零；在平衡位置 以下，彈力大于重力，F(xiàn)- mg = ma，越往下彈力越大；在平衡位置以

16、上，彈力小于重力，mg-F=ma，越往上彈力越小。平衡位置和振動的振幅大小無關(guān)。因此振幅越大，在最高點處小球所受的彈力越小。極端 情況是在最高點處小球剛好未離開彈簧，彈力為零，合力就是重力。這時彈簧恰好為原長。最大振幅應(yīng)滿足 kA=mg , A罟小球在最高點和最低點所受回復(fù)力大小相同，所以有：Fm-mg=mg ，F(xiàn)m =2 mg2.單擺(1)單擺的概念：在細(xì)線的一端拴一個小球，另一端固定在懸點上，線的伸縮和質(zhì)量可忽略，線長遠(yuǎn)大于球的直徑，這 樣的裝置叫單擺。(2)單擺的特點：單擺是實際擺的理想化，是一個理想模型；單擺的等時性，在振幅很小的情況下，單擺的振動周期與振幅、擺球的質(zhì)量等無關(guān)；單擺的回

17、復(fù)力由重力沿圓弧切線方向的分力提供，不能說成是重力和拉力的合力。在平衡位置振子所受回復(fù)力是零，但合力是向心力，指向懸點，不為零。當(dāng)單擺的擺角很小時(小于5)時，單擺的周期T 2 J，與擺球質(zhì)量 m、振幅A都無關(guān)。其中I為擺長，表示從懸點到擺球質(zhì)心的距離，要區(qū)分?jǐn)[長和擺線長。(4)變形擺，等效擺長和等效重力加速度等效擺長=運(yùn)動的圓軌跡的半徑，等效重力加速度大小=擺球穩(wěn)定在平衡位置時的細(xì)線拉力與擺球質(zhì)量的比值(5)單擺的應(yīng)用：計時器；擺鐘問題。單擺的一個重要應(yīng)用就是利用單擺振動的等時性制成擺鐘。在計算擺鐘類的問題時，利用以下方法比較簡單：在一定時間內(nèi)，擺鐘走過的格子數(shù)n與頻率f成正比(n可以是分鐘

18、數(shù)，也可以是秒數(shù)、小時數(shù))例8.變形擺(1)小球在光滑圓弧上的往復(fù)滾動，和單擺完全等同。只要擺角足夠小，這個振動就是簡諧運(yùn)動。這時周 期公式中的I應(yīng)該是圓弧半徑 R和小球半徑r的差。(2)已知單擺擺長為L,懸點正下方3L/4處有一個釘子。讓擺球做小角度擺動, 解：該擺在通過懸點的豎直線兩邊的運(yùn)動都可以看作簡諧運(yùn)動，周期分別為 期為：T L匸3一 L222 g(3)固定圓弧軌道弧 AB所含度數(shù)小于5。，末端切線水平。兩個相同的小球 的頂端和正中由靜止開始下滑，比較它們到達(dá)軌道底端所用的時間和動能：2Eb。解：兩小球的運(yùn)動都可看作簡諧運(yùn)動的一部分，時間都等于四分之一周期，而周期與振幅無關(guān)，所以ta

19、= tb ；從圖中可以看出 b小球的下落高度小于 a小球下落高度的一半，所以Ea2 Eb。例9.如圖所示，光滑的弧形槽的半徑為 R ( R遠(yuǎn)大于弧長 MN ), A為弧形槽的最低點。小球 B放 在A點正上方離A點的高度為h，小球C放在M點。同時釋放兩球，使兩球正好在 A點相碰，則再由頻率公式可以得到：測定重力加速度g, 94 2LT2(實驗：用單擺測重力加速度，原理、操作、數(shù)據(jù)處理，周期測量、圖線處理與討論)i實用標(biāo)準(zhǔn)文案h應(yīng)為多大?分析糾錯：上述答案并沒有完全錯，分析過程中有一點沒有考慮，釋放后可以做往復(fù)的周期性運(yùn)動，除了經(jīng)過TC/4時間可能與A相碰外，經(jīng)過t=Tc/4+Nt與A相碰。正確答

20、案是：1h 8 2(2n 1)2R (n=1,2,3,4 )例10.單擺測山高(單擺與萬有引力)有人利用安裝在氣球載人艙內(nèi)的單擺來確定氣球的高度。已知該單擺在海平面處的周期是測得該單擺周期為求該氣球此時離海平面的高度 h。把地球看作質(zhì)量均勻分布的半徑為 分析與解：設(shè)單擺擺長為g GM g G Mg GK G_h)2平衡時兩擺球剛好接觸，現(xiàn)將擺球A在兩擺線所在平面內(nèi)向左拉開一小角度后釋放,m A、m B分別表示擺球A、B的質(zhì)量，則()下一次碰撞將發(fā)生在平衡位置右側(cè)；C、無論兩擺球的質(zhì)量之比是多少，下一次碰撞不可能在平衡位置右側(cè)；D、無論兩擺球的質(zhì)量之比是多少，下一次碰撞不可能在平衡位置左側(cè)分析與

21、解：由于碰撞后兩擺球分開各自做簡諧運(yùn)動的周期相同，任作出B球的振動圖象如圖6所示，而A球碰撞后可能向右運(yùn)動，也可能向左運(yùn)動，無論兩擺球的質(zhì)量之比是多少，從此次碰撞到下一次碰撞之間經(jīng)歷的時間是都是半個周期，只能發(fā)生在平衡位置。即 CD選項正確。三、受迫振動與共振1.阻尼振動：振幅不斷減小的振動若阻尼振動具有周期性2.受迫振動 物體在驅(qū)動力(既周期性外力)作用下的振動叫受迫振動。物體做受迫振動的頻率等于驅(qū)動力的頻率，與物體的固有頻率無關(guān)。物體做受迫振動的振幅由驅(qū)動力頻率和物體的固有頻率共同決定：兩者越接近，受迫振動的振幅越大，兩者相差越 大受迫振動的振幅越小。受迫振動是等幅振動，振動物體因克服摩擦

22、或其它阻力做功而消耗振動能量剛好由周期性的 驅(qū)動力做功給予補(bǔ)充，維持其做等幅振動。B,下一次碰撞將發(fā)生在平衡位置左側(cè)；錯解：對B球，可視為單擺，延用單擺周期公式可求C球到達(dá)0點的時間：tLCTC4對B球，它做自由落體運(yùn)動，自h高度下落至0點t要求兩球相碰，則應(yīng)有tB=t C,即2hg2即是振動的周期性，因為C球在圓形軌道上自 C點C(N=0,1,2)的時間都可以T0。當(dāng)氣球停在某一高度時, R的球體。L,地球的質(zhì)量為M，則據(jù)萬有引力定律可得地面的重力加速度和高山上的重力加速度分別為據(jù)單擺的周期公式可知T0 2 .A 2冷,由以上各式可求得Th (- 1)RI 0例11.單擺與碰撞如圖中兩單擺擺長相同， 碰撞后，兩擺球分開各自做簡諧運(yùn)動，以A、 如果 mAm B ,B、如果m Am，解得：h2h g實用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔3.共振實用