D求導(dǎo)法則同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1D求導(dǎo)法則同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)求導(dǎo)法則同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)定理定理1.具有導(dǎo)數(shù)都在及函數(shù)xxvvxuu)()()()(xvxu及的和、差、積、商 (除分母為 0的點(diǎn)外) 都在點(diǎn) x 可導(dǎo),且)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu下面分三部分加以證明,并同時(shí)給出相應(yīng)的推論和例題 .)0)(xv機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第1頁(yè)/共26頁(yè)此法則可推廣到任意有限項(xiàng)的情形.設(shè), 則vuvu )() 1 ()()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hx

2、vxuhxvhxuh )()( )()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(xvxu故結(jié)論成立.wvuwvu)( ,例如機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例如,第2頁(yè)/共26頁(yè)vuvuvu )(證證: 設(shè), )()()(xvxuxf則有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故結(jié)論成立.)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)( )(xu)(hxv推論推論: )() 1uC )()2wvuuC wvuwvuwvu )log()3xaaxlnlnaxln1機(jī)動(dòng) 目錄

3、上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ( C為常數(shù) )第3頁(yè)/共26頁(yè)解解:xsin41(21)1sin, )1sincos4(3xxxy.1xyy 及求 y)(xx)1sincos4(213xxx23( xx)1xy1cos4)1sin43( 1cos21sin2727)1sincos4(3xx)1sincos4(3xx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第4頁(yè)/共26頁(yè))()( lim0 xvhxvh)()()()()()(xvhxvhxvxuxvhxuh)()(xvxu2vvuvuvu證證: 設(shè))(xf則有hxfhxfxfh)()(lim)(0hh lim0,)()(xvxu)()(hxvhxu)()

4、(xvxuhhxu )( )(xu)(xvhhxv )( )(xu)(xv故結(jié)論成立.)()()()()(2xvxvxuxvxu推論推論:2vvCvC機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ( C為常數(shù) )第5頁(yè)/共26頁(yè) )(csc xxsin1x2sin)(sinxx2sin,sec)(tan2xx證證: .cotcsc)(cscxxxxxxcossin)(tan x2cosxx cos)(sin)(cossinxx x2cosx2cosx2sinx2secxcosxxcotcsc類似可證:,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第6頁(yè)/共26

5、頁(yè) )( xf定理定理2. y 的某鄰域內(nèi)單調(diào)可導(dǎo), 證證:在 x 處給增量由反函數(shù)的單調(diào)性知且由反函數(shù)的連續(xù)性知 因此,)()(1的反函數(shù)為設(shè)yfxxfy在)(1yf0 )(1yf且 ddxy或,0 x)()(xfxxfy,0 xyyx,00yx時(shí)必有xyxfx0lim)( lim0yyxyxdd 1 )(1yf11 )(1yf11機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第7頁(yè)/共26頁(yè)1解解: 1) 設(shè),arcsin xy 則,sin yx , )2,2(y)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x類似可求得?)(arccosx,11)(arctan2xx211)arcco

6、t(xx211xxxarcsin2arccos利用0cosy, 則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第8頁(yè)/共26頁(yè), )1,0(aaayx則),0(,logyyxa)(xa)(log1ya 1ayln1aylnaaxlnxxe)e( )arcsin(x211x )arccos(x211x )arctan(x211x )cotarc(x211xaaaxxln)(xxe)e(特別當(dāng)ea時(shí),小結(jié)小結(jié):機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第9頁(yè)/共26頁(yè)在點(diǎn) x 可導(dǎo), lim0 xxuxuuf)(xyxyx0limdd定理定理3.)(xgu )(ufy 在點(diǎn))(xgu 可導(dǎo)復(fù)合函數(shù) fy )(x

7、g且)()(ddxgufxy在點(diǎn) x 可導(dǎo),證證:)(ufy 在點(diǎn) u 可導(dǎo),故)(lim0ufuyuuuufy)(（當(dāng) 時(shí) )0u0故有)()(xgufuy)(uf)0()(xxuxuufxy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第10頁(yè)/共26頁(yè)例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd關(guān)鍵: 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu), 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第11頁(yè)/共26頁(yè). )(sh)3(;)()2(;)() 1 (xxxx解解: (1)()(lnxexxeln)ln(xxx1x)()(lnxxxexxxeln)ln(x

8、xxx)1ln(x(2)(3)2)(shxxeex2 xexexch說(shuō)明說(shuō)明: 類似可得;sh)(chxxaxxealn)(thx)(xaxxxchshth2shxxeex;ch12x.lnaax機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第12頁(yè)/共26頁(yè),)cos(lnxey 求.ddxy解解:xydd)cos(1xe)sin(xexe)tan(xxee思考思考: 若)(uf 存在 , 如何求)cos(lnxef的導(dǎo)數(shù)?xfdd)cos(ln(xef ) )cos(lnxe)cos(ln)(xeuuf這兩個(gè)記號(hào)含義不同練習(xí)練習(xí): 設(shè),)(xfffy .,)(yxf求可導(dǎo)其中機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè)

9、返回 結(jié)束 第13頁(yè)/共26頁(yè), )1(ln2xxy.y求解解: y112xx11212xx2112x記, )1(lnarsh2xxx則 )(arsh x112x(反雙曲正弦)其它反雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù)見(jiàn) P94例例16. 2shxxeex的反函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第14頁(yè)/共26頁(yè)1. 常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (P94) )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cos xxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(sec xxxtansec )(csc xxxcotcsc )(xaaaxln )(xexe )(log xaaxln1 )(ln x

10、x1 )(arcsin x211x )(arccos x211x )(arctan x211x )cot(arcx211x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第15頁(yè)/共26頁(yè) )(vuvu )( uCuC )( vuvuvuvu2vvuvu( C為常數(shù) )0( v3. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則)(, )(xuufyxydd)()(xuf4. 初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo), )(C0 )(sin xxcos )(ln xx1由定義證 ,說(shuō)明說(shuō)明: 最基本的公式uyddxudd其它公式用求導(dǎo)法則推出.且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第16頁(yè)/共

11、26頁(yè)求解解:,1111xxxxy.y21222xxy12xx1 y1212x)2( x112xx例例8.設(shè)),0( aaaxyxaaaxa解解:1aaaxayaaaxln1axaaaxaln求.yaaxln機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第17頁(yè)/共26頁(yè)求解解:,1arctan2sin2xeyx.y1arctan) (2xy) (2sin xe2sin xe2cos xx221x1212xx2x21arctan2x2sin xe2cosx2sin xe112xx關(guān)鍵關(guān)鍵: 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu) 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第18頁(yè)/共26頁(yè)求,1111ln411ar

12、ctan21222xxxy.y解解: y22)1(1121x21xx) 11ln() 11ln(22xx111412x21xx1112x21xx2121xx221x21x231)2(1xxx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第19頁(yè)/共26頁(yè)求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則 (見(jiàn) P94)注意注意: 1),)(vuuvvuvu2) 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu) , 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo) .41143x1.xx1431x思考與練習(xí)思考與練習(xí)對(duì)嗎?2114341xx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第20頁(yè)/共26頁(yè), )()()(xaxxf其中)(x在ax 因)()()()(xaxxxf故)()(aafaxafxfafa

13、x)()(lim)(axxaxax)()(lim)(limxax)(a閱讀 L.P 51 例1 正確解法:)(af 時(shí), 下列做法是否正確?在求處連續(xù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第21頁(yè)/共26頁(yè)解解: (1)1bxaby2xa1bbxba(2) y)(x.)2(,) 1 (xbbayxayxbabalnxabbaln或xabyababxln機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第22頁(yè)/共26頁(yè)),99()2)(1()(xxxxxf).0(f 求解解: 方法方法1 利用導(dǎo)數(shù)定義.0)0()(lim)0(0 xfxffx)99()2)(1(lim0 xxxx!99方法方法2 利用求導(dǎo)公式.)(xf)(xx )99()2)(1(xxx)99()2)(1(xxx!99)0(f機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第23頁(yè)/共26頁(yè)P(yáng) 96 2(2) , (8) , (10) ; 3 (2) , (3) ; 4 ; 6 (6) ,(8) ; 7 (3) , (7) , (10) ;8 (4) , (5) , (8) , (1