民航案例講義2015[1]

1、數(shù)學(xué)模型與民航案例案例匯編目 錄案例1 飛機(jī)的最佳耗油量問題11案例2 飛行管理問題（1995年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題）3案例3 為什么航空公司要超訂機(jī)票211案例4 飛機(jī)排隊(duì)模型(1989年美國大學(xué)生數(shù)學(xué)模型競賽B題)324案例5 飛機(jī)地面除冰問題模型435案例6 波音公司飛機(jī)最佳定價(jià)策略541案例7 民航發(fā)動機(jī)狀態(tài)監(jiān)控參數(shù)EGT的時(shí)間序列模型44案例8 航空公司機(jī)型指派問題的多目標(biāo)規(guī)劃方法49案例9 基于參數(shù)估計(jì)方法的航空發(fā)動機(jī)性能可靠性預(yù)測53案例10 飛機(jī)排座問題56參考文獻(xiàn)7375案例1 飛機(jī)的最佳耗油量問題1 一架飛機(jī)從A地經(jīng)B、C、D、E飛往F，飛行員只可能在這些點(diǎn)上決定到下

2、一點(diǎn)時(shí)的飛行高度，任意連接兩點(diǎn)間的距離均為200km，按不同高度飛行時(shí)耗油不同。在適當(dāng)單位下，所需耗油如1-1表所列，表中第一列各行標(biāo)出的是飛機(jī)在前一點(diǎn)的高度，第一行各列為到達(dá)下一點(diǎn)的高度，行列交叉處為相應(yīng)的油耗，“”表示從0m到0m高度的飛行是不可能的。試根據(jù)表1-1的數(shù)據(jù)，決定一個(gè)飛行方案，使總油耗最低。表1-1 飛機(jī)耗油量表高度/m0100020003000400050000400048005520616067201000800160026004000472060802000320480800224031204640300001603205601600304040000080240480

3、160050000000160240 這是一個(gè)多階段決策問題，而在A及F兩點(diǎn)高度只能是零，將A、B、C、D、E五點(diǎn)上的決策視為五個(gè)階段，每個(gè)階段的輸入變量是到達(dá)該點(diǎn)的高度，輸出變量是到達(dá)下一點(diǎn)的高度。為了簡便，每點(diǎn)的決策變量也用到達(dá)下一點(diǎn)的高度表示，相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)則是兩點(diǎn)間的油耗。 下面用表格法來求解這個(gè)問題，從最后一階段，即在E點(diǎn)的決策開始考慮。在E點(diǎn)，飛機(jī)可以有除0m外的任何高度，但到達(dá)F時(shí)，高度必須降到0m，考慮所有可能的情況，將它們列于表1-2。表1-2 從E到F最佳決策表 1000020000300004000050000800320000 表1-2中，第一行表示E點(diǎn)的所有可能輸入及

4、對應(yīng)的最佳決策（此處只有一種決策可能，即到F時(shí)降到0），第二行是相應(yīng)的油耗。 現(xiàn)在考慮由D經(jīng)E到F的所有可能。只要D點(diǎn)的輸入取定，考慮所有可能的決策，再利用表1-2，不難得出相應(yīng)這一輸入的最佳決策及到達(dá)終點(diǎn)的最小油耗，例如，若D的高度是0m，即輸入為0時(shí)，若決定到E時(shí)爬升到1000m，這段飛行油耗是4000，從表9.2可知，到達(dá)終點(diǎn)還要消耗800，故這一決策的消耗合計(jì)為4800。類似地，對于固定的輸入高度0，可以對D的任何決策進(jìn)行計(jì)算，在考慮了所有可能之后，知道D點(diǎn)的輸入變量為0時(shí)，最佳策略是到E時(shí)升到1000m，最佳油耗量為4800 。對D點(diǎn)所有可能輸入加以考慮，將結(jié)果列入表1.3，第一行表

5、示輸入變量取值及與之相應(yīng)的從D到E的最佳決策，第二行表示相應(yīng)于這一決策到達(dá)終點(diǎn)的最佳油耗。表1-3 從D經(jīng)E到F最佳決策表 0100010001000200020003000300040003000500030004800240011205602400 類似地，得到表1-41-6，它們依次是對從狀態(tài)C、B、A開始的子系統(tǒng)的計(jì)算結(jié)果。由于在A處必須從地面起飛，所以表1-6的輸入?yún)?shù)只有一個(gè)，即0 m。表1-4 從C經(jīng)D、E到F最佳決策表 0200010002000200020003000300040004000500050005920372019201120720240表1-5 從B經(jīng)C、D、E

6、到F最佳決策表10002000200020003000300040004000500050004520272016801200480表1-6 從A經(jīng)B、C、D、E到F最佳決策表 030000500072007200從表1-6可知，對于所討論的問題，最小油耗是7200，達(dá)到這一油耗的飛行路線有兩條，它們可逆向由表1-6到1-2得到，其結(jié)果是：1，0m3000m 3000m3000m3000m0m；2，0m5000m5000m5000m5000m0m。案例2 飛行管理問題（1995年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題）1 問題的提出 在約10000m的高空的正方形區(qū)域內(nèi)，有若干架飛機(jī)做水平飛行。區(qū)域內(nèi)每架

7、飛機(jī)的位置和速度向量均由計(jì)算機(jī)記錄數(shù)據(jù)，以便進(jìn)行飛行管理。當(dāng)一架欲進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)到達(dá)區(qū)域邊緣時(shí)，記錄其數(shù)據(jù)后，要立即計(jì)算并判斷是否會與區(qū)域內(nèi)的飛機(jī)發(fā)生碰撞。如果會碰撞，則應(yīng)計(jì)算如何調(diào)整各架（包括新進(jìn)入的）飛機(jī)飛行的方向角，以避免碰撞。 假定條件：（1） 不碰撞的標(biāo)準(zhǔn)是任意兩架飛機(jī)的距離大于8 km。（2） 飛機(jī)飛行方向角調(diào)整幅度不應(yīng)超過，而要盡可能小。（3） 所有飛機(jī)的飛行速度為800km/h，不受其他因素影響。（4） 進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)在到達(dá)邊緣時(shí)，與該區(qū)域的飛機(jī)的距離在60km以上。（5） 不考慮飛機(jī)離開區(qū)域后的情況。（6） 建模時(shí)暫考慮六架飛機(jī)。 請你對這個(gè)避免碰撞的飛行管理問題建立數(shù)學(xué)

8、模型，列出計(jì)算步驟，對以下數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算（方向角誤差不超過0.01度），要求飛機(jī)的方向角調(diào)整的幅度盡量小。設(shè)該區(qū)域四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,0），（160,0），（160,160），（0，160），記錄數(shù)據(jù)如表13.1（其中方向角指飛行方向與 x軸正向夾角）所列。飛機(jī)編號橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)方向角度/()1150140243285852363150155220.54145501595130150230新進(jìn)入0052表 2-1 飛行位置及方向2 問題分析根據(jù)題目的條件，可將飛機(jī)飛行的空域視為二維平面xOy中的一個(gè)正方形，頂點(diǎn)在（0,0），（160，0），（160，160），（0，160）。各架飛機(jī)的飛行方向角

9、為飛行方向與x軸正向夾角（轉(zhuǎn)角）。根據(jù)兩飛機(jī)不碰撞的標(biāo)準(zhǔn)為二者距離大于8km，可將每架飛機(jī)視為一個(gè)以飛機(jī)為圓心、以4為半徑的圓狀物體（每架飛機(jī)在空域中的狀態(tài)由圓心的位置向量和飛行速度向量確定）。這樣兩架飛機(jī)是否碰撞就化為兩圓在運(yùn)動中是否相交的問題。兩圓是否相交只要討論它們的相對運(yùn)動即可。建模時(shí)補(bǔ)充假定條件：（1） 飛機(jī)在所定區(qū)域內(nèi)作直線飛行，不偏離航向。（2） 飛機(jī)管理系統(tǒng)內(nèi)不發(fā)生意外，如發(fā)動機(jī)失靈，或其他意外原因迫使飛機(jī)改變航向。（3） 飛機(jī)進(jìn)入?yún)^(qū)域邊緣時(shí)，立即進(jìn)行計(jì)算，每架飛機(jī)按照計(jì)算后的指示立即作方向角調(diào)整。（4） 飛機(jī)管理系統(tǒng)發(fā)出的指令應(yīng)被飛機(jī)立即執(zhí)行，即認(rèn)為轉(zhuǎn)向時(shí)瞬間完成的（忽略飛機(jī)

10、轉(zhuǎn)向的影響，即轉(zhuǎn)彎半徑和轉(zhuǎn)彎時(shí)間的影響）（5） 每架飛機(jī)在整個(gè)過程中至多改變一次航向。（6） 新飛機(jī)進(jìn)入?yún)^(qū)域時(shí)，已在區(qū)域內(nèi)部的飛機(jī)的飛行方向已調(diào)整合適，不會碰撞。（7） 對每架飛機(jī)方向角的相同調(diào)整量的滿意程度是一樣的。3 模型的建立 3.1.圓狀模型由前面的分析將飛機(jī)作為圓狀模型進(jìn)行研究。兩圓不相交，則表明不會發(fā)生碰撞事故；若兩圓相交，則表明會發(fā)生碰撞事故。為了研究兩飛機(jī)相碰撞問題，采用相對速度作為研究對象，因?yàn)轱w機(jī)是否碰撞的關(guān)鍵是相對速度。圖2-1給出了任意兩架飛機(jī)之間的關(guān)系。其中符號含義如下： 第 第 架飛機(jī)的圓心； 第 第 架飛機(jī)的碰撞角； 第 架飛機(jī)相對第 架飛機(jī)的相對飛行速度； 第

11、第 架飛機(jī)的圓心距； 第 架飛機(jī)相對第 架飛機(jī)的相對飛行速度與兩架飛機(jī)圓心連心的夾角（逆時(shí)針為正）；AB，CD兩圓的公切線，/ /AB，/CD。另外再引進(jìn)記號： 第 架飛機(jī)的飛行方向與x軸正向夾角（逆時(shí)針為正）；第 架飛機(jī)的位置向量；第 架飛機(jī)的速度向量。圖2-1 飛機(jī)間關(guān)系示意圖3.2 .由圓狀模型導(dǎo)出的方程組首先討論 的改變量與第 第 兩架飛機(jī)飛行方向角改變量 的關(guān)系。由題目條件可知，對第 架飛機(jī)速度大小=A=800，可用復(fù)數(shù)表示速度 =A 。設(shè)第 ，飛機(jī)飛行方向改變前的速度分別是 =A ， = A，改變后的速度分別是 ， 則飛行方向改變前后的相對速度分別是兩者之商的幅角就是。即交角之差為

12、于是有如下定理：定理 對第, 第兩架飛機(jī)，其相對速度方向 的改變量等于兩飛機(jī)飛行角改變量之和的1/2，即3.3決策目標(biāo)題目要求飛機(jī)飛行方向角調(diào)整的幅度盡量小，這個(gè)盡量小是針對飛機(jī)而言的，同時(shí)也要求滿意程度（即對管理層而言，使每架飛機(jī)的幅度都盡量?。?。因此構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)時(shí)，可以認(rèn)為若對方向角調(diào)整量最大的飛機(jī)而言，其調(diào)整達(dá)到滿意程度，則由假設(shè)（7）對其余飛機(jī)調(diào)整量均可滿意。即要求每架飛機(jī)的調(diào)整量都小于某個(gè)數(shù) （0），故可取決策目標(biāo)為求其最小值min，其中=max|。另外，也可以六架飛機(jī)調(diào)整量的絕對值之和作為目標(biāo)函數(shù)，其決策目標(biāo)是 3.4.約束條件調(diào)整方向角時(shí)不能超過，即| | ，=1，2，3，6調(diào)整

13、飛行方向后飛機(jī)不能碰撞，應(yīng)有3.5.數(shù)學(xué)模型總結(jié)以上可得如下優(yōu)化模型：或式（2-1）和式（2-2）都是非線性規(guī)劃，求解困難。下面將式（2-2）轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃。 3.6.化為線性規(guī)劃模型由于可正可負(fù)，為使各變量均非負(fù)，引入新變量：式（2-2）化為4 模型求解4.1. 的計(jì)算可以用MATLAB計(jì)算，其程序?yàn)椋簒=150,85,150,145,130,0;y=140,85,155,50,150,0;k=length(x);alpha=zeros(k);for i=1:k for j=1:k if i=j alpha(i,j)=0; else alpha(i,j)=(180/3.14159265)*a

14、sin(8/sqrt(x(i)-x(j)2+(y(i)-y(j)2; end endendalpha計(jì)算結(jié)果為alpha = 0 5.3912 32.2310 5.0918 20.9634 2.2345 5.3912 0 4.8040 6.6135 5.8079 3.8159 32.2310 4.8040 0 4.3647 22.8337 2.1255 5.0918 6.6135 4.3647 0 4.5377 2.9898 20.9634 5.8079 22.8337 4.5377 0 2.3098 2.2345 3.8159 2.1255 2.9898 2.3098 0的計(jì)算用MATLAB

15、程序編寫為：a=150,85,150,145,130,0;b=140,85,155,50,150,0;x=a+b*i;c=243,236,220.5,159,230,52*pi/180;v=exp(i*c);k=length(a);for i=1:k for j=1:k beita(i,j)=(angle(v(i)-v(j)-angle(x(j)-x(i)*180/pi; endendbeita計(jì)算結(jié)果為beita = 0 -180 0 -180 0 -180 180 0 0 -180 0 -180 0 0 0 -180 0 -180 180 180 180 0 180 -180 0 0 0

16、-180 0 -180 180 180 180 180 180 04.2. 最優(yōu)解的計(jì)算用MATLAB求解式（2-1）編程如下。首先編寫函數(shù)M文件：function f,g=plane(x)alpha=0.000000,5.391190,32.230953,5.091816,20.963361,2.234507,5.391190,0.000000, 4.8040024,6.813460,5,807866,3.815925,32.230953,4.804024,0.000000,4.364672,22.833654,2.125539, 5.091816,6.613460,4.363673,0.0

17、00000,4.537692,2.989819,20.963361,5.807866,22.833654,4.537692,0.000000, 2.309841,2.234507,3.815925,2.125539,2.989819,2.309841,0.000000;beta=0.000000 109.263642 -128.250000 24.179830 173.065051 13.474934 109.263642 0.000000 -88.87096 0.000000 12.476311 -58.786243 0.310809 24.179830 -42.243563 12.4763

18、11 -58.786243 0.310809 24.179830 -42.243563 12.476311 0.000000 5.969234 -3.525606 174.065051 -92.304846 -58.786244 5.969234 0.000000 1.914383 14.474934 9.000000 0.310809 -3.525606 1.913383 0.000000;f=abs(x(1)+abs(x(2)+abs(x(3)+abs(x(4)+abs(x(5)+abs(x(6);g(1)=alpha(1,2)-abs(beta(1,2)+0.5*x(1)+0.5*x(2

19、);g(2)=alpha(1,3)-abs(beta(1,3)+0.5*x(1)+0.5*x(3);g(3)=alpha(1,4)-abs(beta(1,4)+0.5*x(1)+0.5*x(4);g(4)=alpha(1,5)-abs(beta(1,5)+0.5*x(1)+0.5*x(5);g(5)=alpha(1,6)-abs(beta(1,6)+0.5*x(1)+0.5*x(6);g(6)=alpha(2,3)-abs(beta(2,3)+0.5*x(2)+0.5*x(3);g(7)=alpha(2,4)-abs(beta(2,4)+0.5*x(2)+0.5*x(4);g(8)=alpha

20、(2,5)-abs(beta(2,5)+0.5*x(2)+0.5*x(5);g(9)=alpha(2,6)-abs(beta(2,6)+0.5*x(2)+0.5*x(6);g(10)=alpha(3,4)-abs(beta(3,4)+0.5*x(3)+0.5*x(4);g(11)=alpha(3,5)-abs(beta(3,5)+0.5*x(3)+0.5*x(5);g(12)=alpha(3,6)-abs(beta(3,6)+0.5*x(3)+0.5*x(6);g(13)=alpha(4,5)-abs(beta(4,5)+0.5*x(4)+0.5*x(5);g(14)=alpha(4,6)-a

21、bs(beta(4,6)+0.5*x(4)+0.5*x(6);g(15)=alpha(5,6)-abs(beta(5,6)+0.5*x(5)+0.5*x(6);執(zhí)行命令：x0=0,0,0,0,0,0;v1=-30*ones(1,6);v2=30*ones(1,6);opt=; x=constr(plane,x0,opt,v1,v2)計(jì)算結(jié)果： x=-0.00000576637983-0.000005766379832.58794980234726-0.000012434879850.000036204730951.04151019765274 最優(yōu)解為：5 模型檢驗(yàn)各飛行方向按此方案調(diào)整后，系

22、統(tǒng)各架飛機(jī)均滿足，結(jié)果是正確的。 模型的評價(jià)與推廣：（1） 此模型采用圓柱模型分析碰撞問題是合理的，同時(shí)采用相對速度作為判別標(biāo)準(zhǔn)，既體現(xiàn)了碰撞的本質(zhì)（相對運(yùn)動），又簡化了模型的計(jì)算。（2） 建模中用了適當(dāng)?shù)暮喕?，將一個(gè)復(fù)雜的非線性規(guī)劃問題簡化為線性規(guī)劃問題，既求到合理的解，又提高了運(yùn)算速度，這對解決高速飛行的飛機(jī)碰撞問題是十分重要的。此模型對題目所提供的例子計(jì)算得出的結(jié)果是令人滿意的。（3） 由對稱性知模型中的約束個(gè)數(shù)是 （是飛機(jī)數(shù)），所有約束條件數(shù)是增大時(shí)，約束條件數(shù)是的二次函數(shù)，計(jì)算量增加不大。案例3 為什么航空公司要超訂機(jī)票21 問題介紹我們有時(shí)會在一些刊物上看到旅客們抱怨，他們本已訂上

23、了某天某次班機(jī)的機(jī)票，但當(dāng)?shù)竭_(dá)機(jī)場而在接待室接受檢查時(shí)，卻聽到可怕的消息：“對不起先生，您的航班現(xiàn)已滿員，我們將不得不讓您乘坐下次班機(jī)了?！币苍S哪位的朋友遇到過這種事，而作者卻有一次個(gè)人的親生經(jīng)歷。在一個(gè)大家熟知的英國航班途中，他被迫將自己第一天的假期花費(fèi)在了希臘gatwick機(jī)場跑道盡頭的一個(gè)旅館中。這種事情常會旅客諸多不便甚至怨恨，在計(jì)算機(jī)輔助訂票的當(dāng)今時(shí)代，應(yīng)該可能設(shè)計(jì)一個(gè)系統(tǒng)以降低這種錯(cuò)誤率。本文的目的在于介紹并讓大家理解為什么為了盈利，航空公司定給旅客某次班機(jī)的票數(shù)要多于那次航班所能容納的乘客數(shù)。進(jìn)一步的某型將為我們揭示航空公司這種做法的強(qiáng)制效果。在任何強(qiáng)制服務(wù)及航班數(shù)據(jù)均缺乏的情況

24、下，我們不可能對某次飛行給出定論，但模型中各個(gè)參數(shù)變化的結(jié)果將會定性的給出航空公司決策的道理。2 符號說明顯然，在建立數(shù)學(xué)模型前，有必要先定義變量，并解釋所用符號。一個(gè)人在開始建立適當(dāng)復(fù)雜的模型時(shí)，不可能在他一開始就用到所用變量。我覺得必要的是應(yīng)編輯好記號便于自己用，而且這也有助于其他人讀或用所得模型。到一頁結(jié)束時(shí)，我總是將我所用符號記在另一頁上，建議鼓勵(lì)學(xué)生養(yǎng)成這種習(xí)慣。而你，作為指導(dǎo)教師，將會發(fā)現(xiàn)這對于理解他們所做的工作很有益處。：某次班機(jī)的飛行費(fèi)用：飛行中飛機(jī)所載旅客數(shù)：每個(gè)旅客所償付旅行費(fèi) ：飛行飛機(jī)的容量：對每一次飛行來說“未到”旅客的人數(shù)：人未到的概率：某次班機(jī)訂票的人數(shù)：飛行所產(chǎn)

25、生的結(jié)余（利潤）：留下（例如擠掉）一名已訂票旅客的耗費(fèi)：一個(gè)訂票旅客到達(dá)的概率：一個(gè)旅客“未到”的概率（即）：一次班機(jī)售出的低費(fèi)票數(shù)目：低費(fèi)票相對于全費(fèi)票的低費(fèi)率3 模型建立建模時(shí)，我發(fā)現(xiàn)通過階段性建模與查證對理解問題很自然，也很有益。而在每一階段，模型特性均是與我對所構(gòu)模真實(shí)系統(tǒng)的直覺相一致，以這種直覺，我們下面開始著手建立一個(gè)航空公司希望來源于不足訂票的效益模型。3.1 首次嘗試 與某次飛行有關(guān)的費(fèi)用不依賴于飛行所帶乘客人數(shù)。不管飛機(jī)是否滿員，航空公司都必須付錢給飛行員、導(dǎo)航員、工程師及客艙工作人員。一架滿員的飛機(jī)相對于一架半滿的飛機(jī)所耗掉的燃料差作為總載油量的百分比是非常小的。飛機(jī)起飛時(shí)

26、，須帶有供它到達(dá)目的地的燃料，這部分燃料占其起飛重量的百分比是很大的，而這一般只要求能使飛機(jī)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)所剩油量恰如其分為好。起飛、降落或由機(jī)場索要的管理費(fèi)也不與飛機(jī)所載乘客數(shù)有關(guān)。因此，一定精度下，我們可以忽略飛行的各種費(fèi)用差別，而假定進(jìn)行一次飛行的費(fèi)用為定數(shù)，各個(gè)乘客付費(fèi)的總額與飛行耗費(fèi)之差為結(jié)余，或從某種意義上講，就是利潤。當(dāng)然，包括其它費(fèi)用（例如：飛機(jī)保養(yǎng)）。 另外，首先盡量地使模型簡單些，而反過來又要包括已有基本公式化模型的更多特征，以此訓(xùn)練學(xué)生較好，當(dāng)然，還應(yīng)常提醒他們不要受細(xì)節(jié)滲雜的干擾而去完善那基本模型，一旦他們對模型有了基本的了解，他們就會回過頭來去包括更多的影響因素。我發(fā)現(xiàn)，

27、決定了他們的策略后，學(xué)生建模時(shí)最常見的困難就是決定應(yīng)包括的因素，大的與小的，怎樣正好？ 若一次飛行載有個(gè)旅客，則產(chǎn)生的結(jié)余應(yīng)為，這里，是每一個(gè)旅客所付的費(fèi)用，十分明顯，這個(gè)簡單的模型有我們所期望它的那種特性，當(dāng)所載旅客數(shù)增加時(shí)，利潤相應(yīng)增加，能夠取得的最大利潤是，這里，N是飛機(jī)的旅客容量。這里有一個(gè)奇點(diǎn)，在奇點(diǎn)處，正好由所載旅客所支付費(fèi)用抵消了飛行費(fèi)用，此時(shí)，比此更少的載客飛機(jī)將賠錢。所有這些都是所期望的。 觀察這個(gè)簡單模型有：為了取得盡量多的利潤，航空公司應(yīng)把目光盯在填滿每次飛行上。一旦接受訂票為，飛機(jī)視為滿載，不能再接受更多的訂票。但問題又出來了：某些旅客也許會在飛機(jī)起飛時(shí)為到達(dá)現(xiàn)場，對于

28、客機(jī)來講，標(biāo)準(zhǔn)條件下，對于全費(fèi)旅客的這種行為可以不受懲罰，他們可以遲到，并且其機(jī)票對另一次飛行來說仍有效，而對于某些其它客艙的旅客來講，卻沒有這種優(yōu)惠，下面我們將這點(diǎn)考慮在內(nèi)。不能到達(dá)的每一旅客在某種程度上都有潛在的經(jīng)濟(jì)損失。這種旅客在生意上被稱為“未到”。3.2 一個(gè)較好模型讓我們以下列方式來改進(jìn)上述提出的簡單模型，假定人“未到”的概率為，而表示某次航班訂票的旅客數(shù)，且允許超過，當(dāng)有人未到時(shí)，航空公司將從飛行中得到的利潤為： （3-1）對于此次飛行來講，未定的旅客人數(shù)為一種偶然事件，因此，所獲利潤的適當(dāng)表達(dá)式為概率期望利潤，我們用表示，則有：= 載有-個(gè)旅客時(shí)的結(jié)余= （3-2）未定的旅客數(shù)

29、也許由于需要缺乏而很小，在這種情況下，航空公司不需要確定多少旅客訂票或超訂多少，而我們所要考慮的問題是超過供應(yīng)情況下航空公司的表現(xiàn)行為。先假定為這種情況，且無論航空公司設(shè)置多高的訂票水平，都可以完成預(yù)定。這相當(dāng)于白天航行的情形?，F(xiàn)在我們能將（3-2）改寫為：由的定義，可得：因此，我們可以看到，因?yàn)閹в泻褪降哪遣糠秩珵檎〉媒咏谄谕麧櫟淖畲笾?，唯一方法是減少一切而使之盡可能接近于零。如果訂票水平超過，將可實(shí)現(xiàn)這一情況，實(shí)際上，當(dāng)訂票旅客數(shù)增加時(shí)，“未到”任何大數(shù)的概率減小。這個(gè)模型告訴我們，要訂票旅客數(shù)不肯定出現(xiàn)而事實(shí)上出現(xiàn)的情況下，航空公司實(shí)際上將會超訂，以便于取得接近于滿載飛行時(shí)的理

30、論極大期望利潤值。在這個(gè)模型中未考慮因飛機(jī)客容量而多次超訂帶來的后果，實(shí)際上，這種策略會導(dǎo)致大量的旅客被所有的飛機(jī)拋下，且隨著訂票水平的增加而加劇。因此，我們得到，為什么航空公司為盡可能多獲得利潤，而故意超訂，但超訂并不現(xiàn)實(shí)，模型需要進(jìn)一步的提煉。3.3 一個(gè)更進(jìn)一步的提煉在航空公司超訂飛行的情況下，會在機(jī)場有越來越多的旅客因飛機(jī)客容量而不能飛走，這些超員則須移往別處，或者在后續(xù)飛機(jī)上提供座位，此時(shí)，航空公司也許會靠付某種費(fèi)用給旅客以消民憤；或者，旅客決定坐另一家航空公司的飛機(jī)，此時(shí)需退票，航空公司要付管理費(fèi)而造成經(jīng)濟(jì)損失，還有，隨著名聲的敗壞使航空公司的公開形象遭受損失。我們假定，對于訂票到

31、達(dá)而不能上機(jī)的旅客（在商業(yè)上稱之為“被擠掉者”），不管是以什么形式，航空公司要支付賠償費(fèi)。這樣就需要建立對于超定帶有一定懲罰性的更復(fù)雜模型，以便取得較高的平均收入總額。 若到達(dá)機(jī)場要檢票上機(jī)的旅客數(shù)為，由這次飛機(jī)獲取利潤為： （3-3）那么，航空公司由一次飛行獲取的平均或期望利潤為一個(gè)和式，它是所有可能未到人數(shù)對應(yīng)情況下的利潤乘以相應(yīng)概率的和。因此，我們有：而且是“未到”的數(shù)學(xué)期望值，用來表示之，則 （3-4） 現(xiàn)在，我們得到了一個(gè)相對復(fù)雜些的直接結(jié)果，要驗(yàn)證其正確性，檢查結(jié)果的有效性，并尋找錯(cuò)誤，我常以一兩種特殊情況來檢驗(yàn)其是否像我期望的那樣，與此同時(shí)，也檢查這階段的計(jì)算錯(cuò)誤，教會學(xué)生不斷挑

32、自己工作的不足很重要。例如我們在（3-4）中令，（對于一切）來檢查一下結(jié)果，這相當(dāng)于旅客不能到達(dá)的偶然性為零，即所有訂票上機(jī)的旅客都到達(dá)了。此時(shí)，（3-4）退化為：這表明，若飛機(jī)客容量為個(gè)旅客訂了機(jī)票，且他們?nèi)剑麧檶⑹菑臐M員飛行利潤中去掉被擠掉留下的那部分旅客。在這種情況下，當(dāng)時(shí)，可得到最大平均利潤，這與第一個(gè)簡單模型一致。目前，我們對的形式?jīng)]做任何假定。為從已提煉的模型獲取更多的東西，對這些概率作出似乎合理的假定是有益的，也許，最簡單的假定莫過于其任一旅客出現(xiàn)的概率為，為未到的概率為。進(jìn)一步假定旅客的到達(dá)是相互獨(dú)立的，這將會有二項(xiàng)分布的： （3-5）當(dāng)然，這種“未到”為相互獨(dú)立的假定并不

33、完全有效。事實(shí)上，部分旅客會成雙或成群到達(dá)（或未到）。然而，讓我們暫不考慮這種附帶的困難，這樣有，而（3-4）式變成： （3-6）現(xiàn)在所要做的是如何是平均飛行利潤最大。（3-6）式中，平均利潤的表達(dá)式依賴于支付與賠償費(fèi)不受航空公司短期控制的影響（這些費(fèi)用是由IATA來規(guī)定的），為外部限制，而只有訂票水平為航空公司的可控參數(shù)。要求出（3-6）式中部分和，最好由數(shù)值方法求解。不過很明顯，最優(yōu)訂票水平應(yīng)至少為飛機(jī)客容量。因?yàn)橛桑?a）式可知，時(shí)，期望利潤退化為：（3-7）它是的一個(gè)增函數(shù)。由（3-5）式知，隨著訂票水平的變化而取不同的值，這些變化可手工計(jì)算。若有條件用計(jì)算機(jī)的話，應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生編一個(gè)程序

34、來計(jì)算任何組合下的期望利潤。接著，在的某個(gè)固定情況下，用它來決定最優(yōu)的訂票水平，若用手（或用一個(gè)非程序化計(jì)算器）來計(jì)算，我將首先同他們探討所有簡化后的可能情況，例如，若充分大（對于 客機(jī)，對于波音747有，用泊松分布來代替這里的二項(xiàng)分布不會有太大差別。另一方面，（3-6）式部分和中的項(xiàng)數(shù)為，且為找到最優(yōu)訂票水平，部分和的項(xiàng)數(shù)必定隨的增大而增多。從而工作量將會因一個(gè)小飛機(jī)（比如說80個(gè)座位的feederliner）而減小。小型飛機(jī)超定10%時(shí)只有8項(xiàng)，相反，450個(gè)座位的噴氣式飛機(jī)10%超定時(shí)的部分和卻要加45項(xiàng)。（3-6）式中部分和是的函數(shù)，可寫一個(gè)計(jì)算機(jī)程序來計(jì)算給定值下的部分和，由于期望利

35、潤是的函數(shù)，航空公司要求以近似于60%的一個(gè)奇異載重因子來計(jì)算，也就是假定0.6，則：（3-8） 對于客容量為300的一個(gè)飛機(jī)假定，編程并用計(jì)算機(jī)計(jì)算期望利潤，結(jié)果見表3-1。顯然，最大期望利潤時(shí)的超訂水平為確定的。且我們還可以計(jì)算個(gè)或更多個(gè)旅客被擠掉的概率為：或更多旅客被擠掉）=表3-1中包括了至少一個(gè)和至少5個(gè)旅客被擠掉的概率。 表3-1 300個(gè)座位的飛機(jī)，當(dāng)時(shí)的期望利潤和被擠掉的概率3000.583330.0000.0003010.588610.0000.0003020.593890.0000.0003030.599160.0000.0003040.604440.0000.000305

36、0.609720.0010.0003060614980.0020.0003070.620220.0050.0003080.625420.0150.0003090.630520.0270.0003100.635470.0510.0023110.640180.0270.0053120.644540.0510.0113130.648460.0880.0243140.651850.1420.0463150.654650.2110.0813160.656830.2940.1313170.658390.3870.1963180.659390.4850.2773190.659880.5810.3673200

37、.659960.6710.4643210.659700.7510.5613220.659190.8180.6523230.658490.8710.7343240.657660.9120.8033250.656750.9420.8603260.655780.9630.9033000.500000.0000.0003010.505000.0000.0003020.510000.0000.0003030.515000.0000.0003040.520000.0000.0003050.525000.0000.0003060.530000.0000.0003070.535000.0000.0003080

38、.540000.0000.0003090.545000.0000.0003100.550000.0000.0003110.560000.0000.0003120.565000.0000.0003130.570000.0000.0003140.575000.0000.0003150.579990.0000.0003160.584990.0010.0003170.589970.0010.0003180.594950.0020.0003190.599910.0040.0003200.604830.0070.0003210.609710.0120.0013220.614530.0190.0023230

39、.619250.0300.0033240.623850.0450.0063250.628280.0650.0103260.632510.0910.0163270.636500.1250.0253280.640190.1650.0393290.643570.2120.0573300.646590.2650.0803310.649220.3240.1113320.651470.3860.1483330.653330.4510.1923340.654800.5170.2423350.655900.5810.2983360.656650.6430.3593370.657100.7010.4233380

40、.657270.7530.4883390.657200.8000.5533400.656930.8400.6153410.656490.8750.6753420.655920.9030.7293430.9270.7783440.655230.9450.8213450.654470.9600.859在這兩種情況下，可以看到，當(dāng)分別超定20和39張票時(shí)，最大期望利潤提高。擠掉5個(gè)或更多旅客的概率實(shí)際為46%和55%。每一擠掉旅客的賠償率影響情況見表中的結(jié)果。其結(jié)果與直覺期望相一致。當(dāng)與每一個(gè)擠掉者聯(lián)系的罰值增加時(shí)，最大期望利潤時(shí)的超定水平相應(yīng)減小。擠掉任何給定數(shù)旅客的相應(yīng)概率（作為一例，這里給出了

41、擠掉至少5個(gè)的概率值）減少。表3-2 300個(gè)座位的飛機(jī)，時(shí)，期望利潤相對于飛行固定耗費(fèi)最大時(shí)的訂票水平最大時(shí)的訂票水平.1321663.56.2320660.46.3319658.37.4318656.28.5317655.20(a)最大時(shí)的訂票水平.1342661.73.2339657.55.3338654.49.4337652.42.5336650.36(b)最大時(shí)的訂票水平.1364660.77.2361655.64.3359652.55.4357649.44.5356646.40(c)在此有一個(gè)好的練習(xí)供與學(xué)生一起討論，那就是如何估計(jì)航空公司要達(dá)到的b值，它可能由非常確定的直接費(fèi)用和

42、一些相對不明確的間接費(fèi)用（像信譽(yù)與未來顧客減少所帶來的損失）組成。由此將會引導(dǎo)出對敏感性的討論，要取得問題的充分理解并估計(jì)模型預(yù)測中可能的錯(cuò)誤，就要改變涉及的參量并觀察輸出相對于這些變化的敏感性。還有要考慮的另一個(gè)有趣事情也許就是改變選擇超訂水平的準(zhǔn)則。一個(gè)航空公司訂票的準(zhǔn)則應(yīng)該是確定的?？杉俣ㄆ溆休^低的一定擠掉任何旅客的概率。并啟用廣告以強(qiáng)調(diào)其相對于所有競爭對手有最低的擠掉率。那么，要求學(xué)生給出這種經(jīng)濟(jì)表現(xiàn)的測量模型以估價(jià)這種策略。并比較這種設(shè)置超定水平策略下的期望利潤與前述超定策略下可獲得的最大期望利潤。這自然地引導(dǎo)向多種準(zhǔn)則決定的整體范圍和無共同計(jì)量單位準(zhǔn)則間的二分概率問題。表3-2中數(shù)

43、字表明擠掉5個(gè)或更多個(gè)旅客的概率對b 作為g的百分比值的變化是極為敏感的，另一方面，期望利潤對于這種變化來說是相對不敏感的，實(shí)踐中，這往往使航空公司決策者錯(cuò)誤地超估b值。要精確估計(jì)b值十分困難，對于超估來說，較低的平均利潤下，懲罰很小，而在降低擠掉可觀數(shù)目旅客的概率方面，益處卻很大。3.4再進(jìn)一步的提煉假若某次班機(jī)只是擠掉一兩個(gè)旅客，可能可以保持平靜，但一小組的不滿意旅客會使航空公司當(dāng)眾出丑，而航空公司祝愿這種冒險(xiǎn)越小越好，也許在公式化訂票策略時(shí)，航空公司會采取一種策略，即取低于極大期望利潤但又可以使大數(shù)目旅客被擠掉的概率減少到可接受的程度的最優(yōu)值。一種變通的辦法是努力想辦法去增加實(shí)際出現(xiàn)旅客

44、訂到機(jī)票的可能性，這可以通過有APEX ，ABC和其他特殊費(fèi)方案來實(shí)現(xiàn)。用這種方案，旅客能以較低的票價(jià)得到僅對某次班機(jī)有效的機(jī)票，若旅客未到，機(jī)票失效，旅客會損失掉這部分錢。顯然，一些旅客（主要是度假者）將接受這種限制以減少耗費(fèi)，這部分旅客將不會輕率地錯(cuò)過班機(jī)。因此，我們可以假定他們“未到”的概率為零。則這部分旅客形成了一個(gè)固定的旅客基數(shù)，他們是可靠的上機(jī)者。假定個(gè)旅客以票價(jià)訂了低價(jià)機(jī)票，那么，由個(gè)低費(fèi)旅客和個(gè)全費(fèi)旅客產(chǎn)生的利潤為： （3-9）而人未到的概率現(xiàn)在為個(gè)全費(fèi)旅客中未到人的概率，例如飛行期望利潤為： （3-10）這個(gè)式子能編程計(jì)算而用來解釋變化的影響，像前邊一樣，如果我們對飛行耗費(fèi)比

45、全比率費(fèi)用的關(guān)系作出一個(gè)近乎實(shí)際的假設(shè)，這里的計(jì)算困難也可以減小，假定奇點(diǎn)載重時(shí)以適當(dāng)比例混合的全費(fèi)與低費(fèi)旅客占了座位的60%，從而，當(dāng)?shù)唾M(fèi)旅客比例增加時(shí)，因償付全費(fèi)的旅客比例減少了，全費(fèi)用基數(shù)應(yīng)相應(yīng)增加，相應(yīng)奇異條件就是：即因此，由（3-10）式與此方程結(jié)合有等價(jià)于（3-7）的式子：（3-11）修改以前的程序即可用來計(jì)算這種情況下的。現(xiàn)在，模型已被提煉成為這里的一個(gè)有充分多變量及參量的式子，并且表達(dá)方式實(shí)用而清楚，就建模本身而言，教導(dǎo)學(xué)生做到這一點(diǎn)很有益，在工業(yè)及商業(yè)環(huán)境中的數(shù)學(xué)家所需要有的技能之一就是以清楚而且通俗的方式為非數(shù)學(xué)家提供并表述他們的發(fā)現(xiàn)。表3-3給出了用模型（3-11）算出的

46、一些典型結(jié)果。其中的及是針對闡述目的而選擇的。要改變關(guān)于的影響是可能的，只要改變各種不同的訂票水平以及即可。從表3-3我們可以看出，當(dāng)增加時(shí)，極大化的訂票水平降低，而擠掉旅客的概率也相應(yīng)減小。這正是我們所期望的。表3-3 低價(jià)票的不同預(yù)訂水平下，300個(gè)座位的飛機(jī)，時(shí)，期望利潤及被擠掉概率的變化情況。3000.583330.0000.0003010.588610.0000.0003020.593890.0000.0003030.599160.0000.0003040.604440.0000.0003050.609720.0010.0003060614980.0020.000 307 0.620

47、22 0.005 0.000 308 0.62541 0.013 0.000 309 0.63050 0.027 0.000 310 0.63542 0.051 0.002 311 0.64008 0.008 0.005 312 0.64436 0.142 0.011 313 0.64817 0.211 0.0243140.651400.2940.0463150.654000.3870.0813160.655910.4850.1313170.657170.5810.1963180.657810.6710.2773190.657900.7510.3673200.657750.8180.464(a

48、) 3000.579710.0000.0003010.585220.0000.0003020.590720.0000.0003030.596230.0000.0003040.601730.0010.0003050.607210.0040.0003060612630.0110.0003070.617950.0250.0003080.623070.0530.0013090.627880.0960.0033100.632220.1590.0093110.635970.2410.0233120.639030.3380.0473130.641320.4430.0873140.643150.6510.22

49、43160.643820.7410.3183170.643470.8150.421(b) 3000.575760.0000.0003010.581510.0000.0003020.587270.0000.0003030.593010.0020.0003040.598710.0080.0003050.604290.0220.0003060.609650.0520.0003070.614610.1040.0023080.618990.1790.0073090.622630.2780.0203100.625410.3930.0463110.627280.5130.0933120.628290.628

50、0.1643130.628540.7300.2583140.628170.8130.369(c) 3000.571430.0000.0003010.577460.0000.0003020.583460.0040.0003030.589360.0160.0003040.595000.0480.0003050.600160.1090.0003060.604560.2030.0033070.607980.3280.0143080.613020.4640.0473090.611590.6000.0973100.611930.7200.1843110.611520.8160.301(d) 本文建立了模型卻沒有給出任何確定的結(jié)論，這只因?yàn)閷υS多外部參量沒有做進(jìn)一步的研究而不能確定出其確定值，然而，本文著重說明了成功提煉而建立模型的過程，以及用模型來獲取定量結(jié)果（如：趨勢的與直覺的）并組織觀察多變量函數(shù)參量變化的方法。4 進(jìn)一步建模工作的建議本章所考慮的正是大量相似問題之一。同樣，一個(gè)資料擁有者可以公開出借、雇傭或出售，但其必須考察可以實(shí)現(xiàn)或不可以實(shí)現(xiàn)的顧客預(yù)訂問題。下面列出