周世勛量子力學(xué)習(xí)題解答第三章

1、第三章習(xí)題解答3.1 維諧振子處在基態(tài)中(x) =(1)勢(shì)能的平均值u動(dòng)能的平均值t2 2xa2,求:2(3)動(dòng)量的幾率分布函數(shù)。菽解:(1) u =1 j 2x221，二 2-：e-2=ctvb 2 h-2-22口 產(chǎn)2 / x edx22ndxex22：2-ax(x) ?2- (x)dx2 ：-x(-22：dx2)e2、,2 瞰xdx(2n 1)一 (1-r2 2、x )e-：2x2dx-：2x2a.dx -二2-：2x edx2;.支/ 2履衣2 2近 2n 2a 4n肇=1方切4_ 1 t 1 t 1 *薄或 t = eu = - % 立通=一244蓬(3) c(p)=/ p(x)5

2、(x)dx1 2 2i1 嚴(yán) 22 臚修=j e 11 je 2 e dj21i ct 00 -(/x rpx1s 二百：產(chǎn) e dx舞一工區(qū)e1(x臣v1 1 - -tp2t2-產(chǎn) w(x勞=ek be , 工 .直=看(凈力=( 鬟蛔動(dòng)量幾率分布函數(shù)為21_pl片 叫p) c(p)e段蜩# y1贛3.2.氫jo處在基態(tài)中(力了)=-(= 如34p拄lx為dxip、2dx、e吊j0,求:(1)r的平均值;e2.(2)勢(shì)能一的平均值; r最可幾半徑;(4)動(dòng)能的平均值;(5)動(dòng)量的幾率分布函數(shù)。解:2r = r- (r,u, ) d .1 二 2 二二嬴 i i lre-2r/a0r2 sin

3、 drdf d :3a。二 3_2r/a。.r a drn _axn!0xe dx 二 a-u =( -r2e3 二 a。4e22e_ 3- a。2二二 1 ejr/ar2sin drdu d :二 2 二二 nr/ai i e 0rsin - drd - d3 a。4e2co0e_2r / a,0 r dr3a。a。(3)電子出現(xiàn)在r+dr球殼內(nèi)出現(xiàn)的幾率為(r)dr = (r, - , )2 r2 sin - drd - d = 43 e2比 r2dr00a。4 口/a。2(r) = 3 e ra0d (r)4dr(2- 2 r)re，/a0a。d (r)dr=0, 一 r1 = 0,r1

4、 =0, r2 二 a。=oe時(shí)，s(r) =0為幾率最小位置d2co(r)dr2d %(r)dr2r =a,4小 8_ f(2raoa0=a0是最可幾半徑。t?=2?2-2t =2膀二一3a0-22.22二2二二 11 12-0 003a02a022r/a0r )e、21 f 2 f1.= 2 (r )r2 h 汗3 e二 ao_r / a, e，/asin 二(sinr叭 2(e-c/a0)r2 sin i drd)d12 d r2 d (edr drr/a0)r2sin drd【d ：al (422a：a02 /2a0 (2vr0 (2r - )ev a-r/a0dr2a0-22%；(5

5、) c(p) = p(r”(r,u, )d膈 c( p)=(2 二)3/2-r/ ao2_r dr ecos u2 二sind l(2二)3/2二 a-2 - r/a, 3. 0 r e 0itdr e小r cosd (- cos -)（2二一嚴(yán)；元(2二 一)3/2產(chǎn) 2 _r/a0 ,亢4pr cos9r e 0dr 一 e h oo71ipr-e 一那）drn _axn!0xe dx1hr - .，二a3 ip/ 1 i 、2/ 1 i 、2(- .p) ( p) a0a014ipmh）2(a02p22)2(2a0)3/2-ba02p2 +於)24 - 4 a。腿動(dòng)量幾率分布函數(shù),28a

6、3在5腿皿p）=c（p）| 二f2 卉2、4二（ap ）肇#薄3.3證明氫原子中電子運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的電流密度在球極坐標(biāo)中的分量是螂jer = jeh =0je ：=e mrsin1,-；nm曹 證：電子的電流密度為- i 九.*黃je=-ej =飛氣促 nmu5n，mnm*nfm）2著在球極坐標(biāo)中為i - bsi 1 - bsi, -1 h&l羈 e = e + e 口 , e(dr 嚼日 ursine 濯9衿式中er、ea由為單位矢量je1 - ；1；- =多 j nm(ere . e2 r r .)一中；m(er +1e0；:rr一 . e ：pi-j：nmie-*-2nm；nm，f nm)

7、e，nmn m ) e !- (rsin 1r sin1b7nm中的r和日部分是實(shí)數(shù)。jeie2r sin)(-imnmt-imfjnm|2)eq)=rsin)可見(jiàn)，j er=je1-0r sin，二 nm荽3.4(1)求一圓周電流的磁矩。(2)證明氫原子磁矩為(si)(cgs)jc由上題可知，氫原子中的電流可以看作是由許多圓周電流組成的ow原子磁矩與角動(dòng)量之比為mzlze(si)2e e (cgs)2日c袂這個(gè)比值稱(chēng)為回轉(zhuǎn)磁比率。解：（1） 一圓周電流的磁矩為dm =ia = je ds a（i為圓周電流，a為圓周所圍面積）.22r sin-n m ds -二(rsin )eymbsin 叩

8、n,m|2dseym2 sin 邛 nm|2drdh(ds = rdrd )（2瓶原子的磁矩為is 嚴(yán) emm = dm =-一 二七金|2r2sin drd日同由vnm|2r2 sin drd ir 2sin /drd dsmjsi用在cgs單位制中 m = e m2%蒙原子磁矩與角動(dòng)量之比為m z m elz- = l二 一2工(si)mz _ el一 c(cgs) #腿3.5 剛性轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為i,它的能量的經(jīng)典表示式是h求與此對(duì)應(yīng)的量子體系在下列情況下的定態(tài)能量及波函數(shù)：（2）箍轉(zhuǎn)子繞一固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：（3）（4）節(jié)轉(zhuǎn)子繞一周定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)：l22i，l為角動(dòng)量,蝕解：（1）設(shè)該固定軸沿z軸方向

9、，則有l(wèi)222哈米頓算符 h? = 1 lz ： . d 22i 2i d 2其本征方程為（h與t無(wú)關(guān)，屬定態(tài)問(wèn)題）2 d22i d 2()=e ()d2 ( ) 2ied 2 : 一 2量 令m2 =不一,則d ,：)+m2oy) =0肄取其解為（p）= aei（m可正可負(fù)可為零）神由波函數(shù)的單值性，應(yīng)有瞧g+2$ =千片eim峰m =eim祎即ei2中=1螂 m= 0, 1, 2,未勺轉(zhuǎn)子的定態(tài)能量為em=m2i（m= 0, 1, 2,）鬟可見(jiàn)能量只能取一系列分立值，構(gòu)成分立譜。定態(tài)波函數(shù)為im 二, m = ae英a為歸一化常數(shù)，由歸一化條件d = a2 2 二1 =a =轉(zhuǎn)子的歸一化波

10、函數(shù)為im !e綜上所述，除m=0外，能級(jí)是二重簡(jiǎn)并的。蒂（2）取固定點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則轉(zhuǎn)子的哈米頓算符為腿h? = 1- l?2i菜h?與t無(wú)關(guān)，屬定態(tài)問(wèn)題，其本征方程為滕l|?y。中）=ey但嚴(yán)）2i膂（式中丫（日3）設(shè)為h?的本征函數(shù)，e為其本征值）芳？丫（日卅）=2iey （日，邛）祎令2ie =爐2 ,則有l(wèi)?y(u, ) =2y(u,)此即為角動(dòng)量l?2的本征方程，其本征值為 成 l2=九方2 =調(diào)+1)*( = 0,1,2，)吊其波函數(shù)為球諧函數(shù)ym（e/p） = n mp”（cos）eimg莆 轉(zhuǎn)子的定態(tài)能量為曲肛1戶(hù) 箍 e 號(hào)=2i成可見(jiàn)，能量是分立的，且是（2口:1）重簡(jiǎn)并

11、的。螃3.6設(shè)t=0時(shí)，粒子的狀態(tài)為,(x) = asin2 kx 2 coskx唐求此時(shí)粒子的平均動(dòng)量和平均動(dòng)能。肇解: (x) = asin 2 kx +1 coskx = a (1 一cos2kx) +gcoskxa1 - cos2kx coskx 2a 1 / i2kx-i2 kx1 ikx-ikx=11(e-e ) + 2(e +e )2a 2二;i0x 1 i2kx2一 e-2 e1-i2kx-2e1 ikxiikx2e2e_1_2 二瞧可見(jiàn),動(dòng)量pn的可能值為02動(dòng)能pn,的可能值為02 12k222k22k2-22k2-22a2方 對(duì)應(yīng)的幾率9n應(yīng)為（4a216a216a216

12、史）,2芯16(28) a21-16一 a22 二-k ：2二二0162 p = 2 n2pn:匚n2=0 2k2 -22一225k2 28*shangshuyihe*裊3.7 一維運(yùn)動(dòng)粒子的狀態(tài)是i . axe 一，當(dāng) x a 0(x)=業(yè)0, 當(dāng)x圖0(1)粒子動(dòng)量的幾率分布函數(shù);(2)粒子的平均動(dòng)量。解：(1)先求歸一化常數(shù)，由oo ,21 =(x)| dx =722”axedxa23/2 a 2(x) = 2 3/2xex(x -0)(x) = 0(x 0)c( p)=-12 二ekx (x)dx =(j/2 2 3/2 ； xe dk)x (x)dx e/ ik 二)xdx=(1/2

13、 x1/21(ik)2i pf i )21/2 xj 九書(shū)k)x i2 二ik 0動(dòng)量幾率分布函數(shù)為8(p)= c(p)23-32p2)22 - 2 22、2( p )(x) p (x)dx - i4 3 xedx(ex)dx-i%zq x(1 一九x)edx-i 九4小(x -，x2 )edx(.12) 4 2如果粒子的狀態(tài)由波函數(shù)芨3.8.在一維無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子，勢(shì)阱的寬度為(x) = ax(a - x)英描寫(xiě)，a為歸一化常數(shù)，求粒子的幾率分布和能量的平均值。輻 解：由波函數(shù)中(x)的形式可知一維無(wú)限深勢(shì)阱的分布如圖示。粒子能量的本 征函數(shù)和本征值為2 . n sin x, a a0

14、,enn2 2 22a2(n =1,2, 3,)動(dòng)量的幾率分布函數(shù)為(e) |cna n 二cn =(x) (x)dx sinx (x)dx二-0 a先把4( x)歸一化，由歸一化條件,2a1 = l/ (x) dx = a a2x2 (a 一 x)dx = a2(x2 (a2 一2- 2ax x )dx2 a=a 0(a2234.x - 2ax x )dx55= a2(a 2 a a-) = a2a- 53030n 二 ，、,x x(a - x)dx a2,15a 0xsinxdx - xsinxdx2 15. a2 n 二 a3. n二 a 2n二3xcos x 2sinx x cos x

15、a n 二 a n 二 a n 二 a232a n 二 2a n2-xsinx3 3cosn2 二2an3 二3 aax0.2皿e) = |cn|2401 -(-1)n296066， n 二0,n =1, 3, 5,n =2, 4, 6,e = _ (x)h? (x)dx =a?20 (x)： (x)dxa 30x(x -a) -2 d22 j dx2x(x - a)dx30 2%5a30 2 a3 a3、wli(i)n肅 解：在此能量中，氫原子能量有確定值22(n = 2)(=1)e；e；ss幾e2 =1存2 2 =_；tk22 n 8w角動(dòng)量平方有確定值為薄l2 1(! + 1)吊2 =

16、2 吊2 袂角動(dòng)量z分量的可能值為冗lz1=0lz2=-充羋其相應(yīng)的幾率分別為蟻其平均值為lz=1。-3 = 一3444蛆3.10一粒子在硬壁球形空腔中運(yùn)動(dòng)，勢(shì)能為r - a;r a蔓求粒子的能級(jí)和定態(tài)函數(shù)。蟆 解：據(jù)題意，在ra的區(qū)域，u(r)=8,所以粒子不可能運(yùn)動(dòng)到這一區(qū)域， 即在這區(qū)域粒子的波函數(shù)片中=0(r *a)蒙由于在r，a的區(qū)域內(nèi)，u(r)=0o只求角動(dòng)量為零的情況，即1= 0 ,這時(shí)在各 個(gè)方向發(fā)現(xiàn)粒子的幾率是相同的。即粒子的幾率分布與角度 日、無(wú)關(guān)，是各向同 性的，因此，粒子的波函數(shù)只與r有關(guān)，而與國(guó)邛無(wú)關(guān)。設(shè)為5(r),則粒子的能 量的本征方程為薄一一二二(r2j) =

17、e52n r dr drc 2 pe一腿令 u(r) =re叫 k2 =-,得2d d2u 2 n箍2- + k u = 0dr節(jié)其通解為u(r) = acoskr + bsinkr蝕一、a . b 一i 3(r) = coskr +sinkr rr波函數(shù)的有限性條件知，w(0)=有限，則前a = 0羈 ,（）= sin kr r蜜由波函數(shù)的連續(xù)性條件，有量 (a)=0 = bsinka=0 a肄 bh0 ka = m (n=1,2，)enn2 二 22 =2%2祎其中b為歸一化，由歸一化條件得(r)b . n 二 sin r aa2 21 = m d6 = c d中=0,(r) r sine

18、 dr 螂a_2. 2n 二 ._2=4二 b sin rdr = 2二 ab0 a1 神b =vba夔歸一化的波函數(shù)n 二 sinr 1 a輯3.11.求第3.6題中粒子位置和動(dòng)量的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系(ax)2 ,sp)2 =?贛 解： p = 0= 2t =5k224： .22 .12 ,a xsin kx - cos kx dx = 0二 a2 2. 212 .ax sin kx -coskx dx =ccc2c2(x) ( p) =(x - x)=(p - p)=：；蔻3.12.粒子處于狀態(tài)-2(x)=(2二 21/2 ix)exp pox 4 2腿式中巴為常量。當(dāng)粒子的動(dòng)量平均值，并計(jì)算測(cè)不

19、準(zhǔn)關(guān)系 (ax)2 (ap)2 =?菜 解：先把5(x)歸一化，由歸一化條件，得=fa# 帝-j-h 幾-2- 2ex22 2 dx =71是歸一化的(x) = ex-(x2)2e 22d1、1/22)2 二pi pox -動(dòng)量平均值為.dp =* ( -i) dx =dx-ij-=ojix)eipoxdx-i-7x2dxpopo二x2dx i 二xedx(x)00(p)2 =?x dx =-7x2dx2二xe-rx2dx（奇被積函數(shù)）xe-7x2-=o-7x2dxdxdx =,2_e%ox-改22 i2dpo x - x-edxdx2po22)i2二 p0 xe - dx-二 x e- dx

20、jojo2p02-2)0 (-7h）2二=(二一2p2)蓬#數(shù)。(x)2=x2.x2= 122(p) = p_2km 卜 22(2 p0)一2p0，2222(x) ( p)11/10補(bǔ)充2-二一21 .試以基態(tài)氫原子為例證明:中方是t城口的本征函數(shù)，而是t?+i?的本征函解:,-100t?二l?=t? 10011 3/2l) 2ea。-r / ao1 (a-2s)2 1 r22 es二 2 -.(r2 .)2 1 r2 ;r.r(r2sin1(sinu:二，二 100.r21 , 1 .3/22-中（：產(chǎn)（學(xué)常數(shù)都。00七00不是向勺本征函數(shù)2 1(rer 二 r-r /a012 a)100

21、arut 1000 100可見(jiàn)，中100不是u!勺本征函數(shù)而(t? i?)100(1 )3/2( 12 - 2 )e，a0 -e，100a0a0a0r-22日a；100+甲a0r100-2甲a0r 1002 1 12 a0100薄可見(jiàn)，匕00是(t?*i?)的本征函數(shù)。噩2.證明：l =、軌 l = 士?jī)?nèi)的氫原子中的電子，在9 =45口和1350的方向上被發(fā)現(xiàn)的幾率最大。蒂解：wm(3邛)de =ymfg成：w，m(39) = ym|2荽l = $6 l = 士卉的電子，其 =2, m = 1 y21 (日，d)= -，15 sine cos6 eil 、8b勘“府口中丫2(日,1)= -si

22、nh cos* e袁 w2+(3) = ym =心sin2 日 cos2 日=sin2 21| 8 雪30前當(dāng)e =45刑135白時(shí)15菱 w2a=4-為最大值。即在4 =45口，日135”方向發(fā)現(xiàn)電子的幾率最大。3皿蔻在其它方向發(fā)現(xiàn)電子的幾率密度均在 01期w10（a0） = -e，為最大值，所以處于 a0-之間。32 二蒲賺3.試證明：處于1s, 2p和3d態(tài)的氫原子的電子在離原子核的距離分別為a0、4a0和9a0的球殼內(nèi)被發(fā)現(xiàn)的幾率最大（a0為第一玻爾軌道半徑）。期證：對(duì)1s態(tài)，n =1,國(guó)=0,“(a：)3/w10”r2r：0(r)c)3w101 ,322 2r/a0=()4(2r r

23、 )ea0a0芍令嗎_ = 0=r1 =0,r2 =, 口 = a輯易見(jiàn)，當(dāng)=口 =0,2 =q時(shí)，w10 =0不是最大值。1s態(tài)的電子在r = a0處被發(fā)現(xiàn)的幾率最黃對(duì)2p態(tài)的電子n=2,圈=1, r21=(2a。)3/23a0er/2a0w21(r) = r2w211.r24a52a0)3匚 3a02人w21汽研令=0:rr1 = 0,24a3 rr / a0r (4 )ea0=門(mén)=0, r2 -,門(mén)=4a000時(shí)，w21 =0為最小值。5r2(12-8r ra0 a02屋沏83 e，。3a。1245 16a2(12-32 16)e-24a0r = 4a0為幾率最大位置，即在r = 4a0

24、的球殼內(nèi)發(fā)現(xiàn)球態(tài)的電子的幾率最大。祎對(duì)于 3d態(tài)的電子 n = 3, b=2,r32 =()3/2l()2e/3aa08115 aw32g =r2|r32a7 812 156-r/3a0r ew32；r85“ 2r、812 15a7 r3aoe：2w32- 2r16 -f(15r812 15a7:2w32r =9a1812 15a72436a02 81a0 .6(9a0) (152一)ea09a0=r1 =0,2 =,易見(jiàn)，當(dāng)=ri = 0, r2 =時(shí)，w32 = 0為幾率最小位置。564r 2r、幺/3徹c 2)ea09a016 a63 e05a3,r = 9a0為幾率最大位置，即在r =

25、 9a0的球殼內(nèi)發(fā)現(xiàn)球態(tài)的電子的幾率最大。成張p.74 21當(dāng)無(wú)磁場(chǎng)時(shí)，在金屬中的電子的勢(shì)能可近似視為q x 一2蜩4.證明：處于1s、2p和3d態(tài)的氫原子中的電子，當(dāng)它處于距原子核的距離 分別為a0、4a0、9a0的球殼處的幾率最（a0為第一玻爾軌道半徑）。2腿 證：is： co(r)10dr= r10 r2dr1 1、3.-2r / ao 2 1艘=()4e r dra。,、，1、3.2 -2r/ao黃8io(r) =(一) 4r eaodco io1 32 2腿- = 4()3 (2r- -r2)edraoaoc, 1、31、 -2r/ao吊=8() (1 r )reaoao薄令 j =

26、 o,則得dr蟻門(mén)1=0 門(mén)1 = ao二/ 二現(xiàn)1)3 (1-2r)- ：r(1- r)e“r/ao draoaoaa=8(工)3 (1 一史 2j22)er/ao aaa0rn =o為幾率最小處國(guó)0 m =ao為幾率最大處。2p：21(r)dr = rr2dr常令3a2r/a。2e 0 r dr1 、1 21(r) - ()2a0d 21d2%dr2a0,2 21-2 e 3a02_r/a024a；24a5(1則得r22 =4a00 9re 4a0 時(shí),2 103d :32(r)二r321(4 r )ra03_r /a0ea0 a0r22 = 4a02)2_r/a0r e3 =4a0為最大

27、幾率位置。r = 0為幾率最小位置。2rdr 98415a：98415a76 3a0 r e2r(5 一2r3a5)r e-3a031= 0,同理可知31 = 0為幾率最小處。32 =9a0為幾率最大處。5.求一維諧振子處在第一激發(fā)態(tài)時(shí)幾率最大的位置。解：1( x) = 22 xe 2 *i(x) = i i(x)2 32x2x - x )e22一 x )xex2322：2-2x2x2e- xdx2d2 1口=0,得dx=_ 1. = _匚0-=xi =0dx2xi=0為幾率最小處。d2 idx2x1 030,x2x -4-x2t20為幾率最大處。6.設(shè)氫原子處在（r3,）二 a3r ao的態(tài)

28、（a。為第一玻爾軌道半徑），求2 lu12 lu2r的平均值;勢(shì)能e_的平均值。解:二 a。1-3 3 2 1 (3ao3 2a03a。一2 dr sin d d00a0|m4 二 re2ra0dr2 es3a。a。7.粒子在勢(shì)能為u1,當(dāng)唱0u2,當(dāng)x 士a節(jié)的場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)。證明對(duì)于能量e同5同u2的狀態(tài)，其能量由下式?jīng)Q定:神ka = n,-sin（其中k =2 le21t)證：方程2 d2 i2 1 dx2ui i = e1- ii(x 0)筮令支螞則得d2,- 2ii0 ii2 i dx2-2 d2- m2 dx2 u2-iiid2 idx2dj- k2 ii =0 dx，。dx蔗其通解為二

29、xx=cie dieii=asin(kx 二 )一川_ c xx二 c?ed 2ee- ii= e- iii2e一2(ui-e)2, k(0x a)(x -0)2 l(u2 -e)-2,腿利用標(biāo)準(zhǔn)條件，由有限性知s s量 x s, w 0,d1 =0裂 x = +g,中川=0,c2 =0用；k =cie” v ii = asin(kx + 6)*“川=d 2e 先由連續(xù)性知腿 匕(0) =wi(0)= c1 = asin$羈匕(0)=;(0)= ac1 =kacos6肇 “ ii (a)=中 iii (a)= asin(kx + 8) = d2e平蛔 中 ii (a) = iii (a) =

30、kacos(kx * 5) =pd2e平蒙由、，得蜜 tg& =a膈由、，得肆 tg(ka + $)= /羈而 tg(ka+$)= tgka史1 - tgka tg$覆把、代入，得tgka g 一, 1 - tgka tg5 日*一羋整理，得 -tgka =k 工1 - p-tg5藏k丁磔童tg（周一 ka）=d k- 1 - 3tg戴令k tg =k x -lg6芨tg（卓一 ka） =k= tg（1 + ）1 一百tg&妨nm ka =丘 + b黃ka = nsf-bs 一 d人 hzftgx/ 日衿田sinx = 1,行#+tg2x#肆第三章力學(xué)量的算符表示暮莆3.設(shè)波函數(shù)中(x)=si

31、nx,求(_d_)x紳x_d = ?dxdx瞭 解：原式=()x(3)x卅x9x_dw dx dxdx dx童=()xsin x + xcosxk -x axcosxdxdx薄=(sin x + xx) + x(cosx + cosx - x) - x(x - x)盾=sinx + 2xcosx黃 4.說(shuō)明：如果算符 國(guó)和8都是厄米的，那么英(a + e?)也是厄米的節(jié)證： 卜 1*( + e?/ 2dw =卜；加 2dt +卜；g 2dt=卜2(61)*+拓曲1)* db=卜 21(犬 + 卅 i * db輻 a + e?也是厄米的。蝕贛5.問(wèn)下列算符是否是厄米算符： 1 蒞 ？?x一(？?

32、x * ?x ?)2蒂 解：卜；(艱盧2d卜卜；？(？出2沖4科 1)* ?xkd1=(?xi)d輯 因?yàn)?？x ? h /?x萊x?x不是厄米算符。-* 11*1*蜩?，（福+ ?x?）卅2d萬(wàn)事i（?x嚴(yán)2d萬(wàn)i（px?以dt1-1_*神=2|（?x?g1）”+（弧5 1）5 2dw1 _ _ *一一蠅=n-（?x + ?x?）m1i jdt.21 一 一 一 *二肌不（？x? + x?x）v 1 v 2d| 2瞧： x?x + ?x?）是厄米算符。#2藏6 （略）#7.如果算符度伊滿(mǎn)足關(guān)系式？枷=1 ,求證蛔m2 儀2改=2區(qū)節(jié)第3_?3=3學(xué)聿 證： ?2 _?2滔=（1，?2聞？2島黃=酢+?一叫？嵋=?2 + ?（1+炳?2w螞=2 ?腿造3 _ ?3（? = （2 r，r2%一仗3必放e2?2 +?造-？3闔裊=2（?2 +（?2（1 + 均一腎由肅=3區(qū)2腿