隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)性遍歷性正交性不相關(guān)性和獨(dú)立性

1、隨機(jī)過(guò)程1234平穩(wěn)性平穩(wěn)性遍歷性遍歷性正交性、不相關(guān)性與獨(dú)立性正交性、不相關(guān)性與獨(dú)立性正正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的主要性質(zhì)態(tài)隨機(jī)過(guò)程的主要性質(zhì)隨機(jī)過(guò)程的平穩(wěn)性判斷判斷方法方法：平穩(wěn)性：若一個(gè)函數(shù) ，當(dāng) ，的特性不變，就稱 關(guān)于 函數(shù)是平穩(wěn)的。),(tzyxfxxx),(tzyxf),(tzyxfx實(shí)際意義實(shí)際意義： 具有平穩(wěn)性的隨機(jī)信號(hào)能夠保持一個(gè)規(guī)律的狀態(tài)，具體到信號(hào)處理這就便 于我們檢測(cè)系統(tǒng)是否混入干擾。平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，它的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而變化。方法一： 若X(t)為嚴(yán)平穩(wěn)，k為任意正整數(shù)，則 與時(shí)間t 無(wú)關(guān)。 方法二：若X(t)為嚴(yán)平穩(wěn)，則對(duì)于任一時(shí)刻t0 ， X(t0)具有相同的統(tǒng)計(jì)特性。

2、)(tXEk隨機(jī)過(guò)程的平穩(wěn)性 平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程分為嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程（Strictly Stationary）和弱平穩(wěn)過(guò)程（weakly Stationary）。 嚴(yán)嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程 也稱為狹義平穩(wěn)過(guò)程，是在固定時(shí)間和位置的概率分布與所有時(shí)間和位置的概率分布相同的隨機(jī)過(guò)程，隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性不隨事件的推移而變化。寬寬平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程 數(shù)學(xué)期望和方差不隨時(shí)間和位置變化的隨機(jī)過(guò)程，即弱平穩(wěn)過(guò)程的條件是：（1）均值函數(shù)在所有時(shí)間上恒為常數(shù)；（2）對(duì)于所有時(shí)間t和和時(shí)滯k，自協(xié)方差相同。嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)的關(guān)系： 嚴(yán)格平穩(wěn)嚴(yán)格平穩(wěn) 廣義平穩(wěn)廣義平穩(wěn)一定一定不一定不一定當(dāng)隨機(jī)過(guò)程滿足高斯分布時(shí)，嚴(yán)平穩(wěn)和寬平穩(wěn)是等

3、價(jià)的。隨機(jī)過(guò)程的遍歷性實(shí)際意義實(shí)際意義：隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征（均值、相關(guān)函數(shù)）是對(duì)隨機(jī)過(guò)程的所有樣本函數(shù)的統(tǒng)計(jì)平均，但在實(shí)際過(guò)程中很難測(cè)得大量的樣本。因此，我們想在滿足一定條件下，從一次試驗(yàn)中得到來(lái)決定平穩(wěn)過(guò)程的數(shù)字特征，這就是各態(tài)歷經(jīng)性，又稱遍歷性。定義定義：假設(shè)是平穩(wěn)過(guò)程的任意一次實(shí)現(xiàn)（樣本），由于它是時(shí)間的確定函數(shù)，可以求得它的。其時(shí)間平均值和分別定義為221( )lim( )TTTax tx t dtT221( )( ) ()lim( ) ()TTTRx t x tx t x tdtT隨機(jī)過(guò)程的遍歷性221( )lim( )TTTax tx t dtT221( )( ) ()lim( )

4、 ()TTTRx t x tx t x tdtT如果平穩(wěn)過(guò)程使下式成立( )( )aaRR也就是說(shuō)，平穩(wěn)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)平均值等于它的任意一次樣本實(shí)現(xiàn)的時(shí)間平均值，則稱該平穩(wěn)過(guò)程具有各態(tài)歷經(jīng)性。注意：具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機(jī)過(guò)程一定是平穩(wěn)過(guò)程，反之不一定成立。正交性、不相關(guān)性與獨(dú)立性 1. 正正交交性性：定義 為相關(guān)函數(shù)，若 則稱XY正交 eg:sinx與cosx 注意：相關(guān)函數(shù)為0，不是不相關(guān)，而是正交。 2.不相關(guān)不相關(guān)性性：定義 協(xié)方差函數(shù) 若 ，即相關(guān)系數(shù)為0，則稱之為不相關(guān)； 注意：不相關(guān)只是說(shuō)二者沒(méi)有線形關(guān)系，但并不代表沒(méi)有任何關(guān)系。 3.獨(dú)立性獨(dú)立性：就用他們的概率分布函數(shù)或密度來(lái)表達(dá)，聯(lián)

5、合分布等于他們各自分布的乘積，獨(dú)立的定義是 ，就稱獨(dú)立。0R 0XC( , )( ) ( )F x yF x F y正交性、不相關(guān)性與獨(dú)立性三者之間的關(guān)系（1）X與與Y獨(dú)立獨(dú)立,則則X與與Y一定不相關(guān)一定不相關(guān)。例如：如果 ，則 即X,Y不相關(guān)。相反，如果如果X與與Y不相關(guān)，則不相關(guān)，則X與與Y不一定獨(dú)立不一定獨(dú)立。不相關(guān)和相互獨(dú)立一般不等價(jià)，只有當(dāng)過(guò)程為高斯過(guò)程時(shí)才成立高斯過(guò)程時(shí)才成立。相關(guān)性描述的是兩個(gè)隨機(jī)變量之間是否存在線性關(guān)系，而獨(dú)立性考察的則是兩個(gè)隨機(jī)變量間是否存在某種關(guān)系，因此獨(dú)立的條件要比不相關(guān)嚴(yán)格。( , )( )( )F x yF x F y ( ) ( )( )( )E X

6、 t Y tE X tEY t（2）若這兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程正交正交，則 =0，兩個(gè)正交的隨機(jī)過(guò)程并非一定能推得不相關(guān)或獨(dú)立不相關(guān)或獨(dú)立的結(jié)論。僅當(dāng)數(shù)學(xué)期望Ex(t)或Ey(t)等于零的時(shí)候，這兩個(gè)正交的隨機(jī)過(guò)程才會(huì)不相關(guān)。正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的主要性質(zhì)正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的主要性質(zhì)性質(zhì)：性質(zhì)：1.正態(tài)過(guò)程是二階矩二階矩過(guò)程。2.一個(gè)高斯過(guò)程完全由它的均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)決定，只要均值函數(shù)m(x)和協(xié)方差函數(shù)Bx(s,t)(或相關(guān)函數(shù)Rx(s,t)確定了，這個(gè)高斯過(guò)程也就完全確定了。3.高斯過(guò)程有很多與高斯變量類似的統(tǒng)計(jì)特征統(tǒng)計(jì)特征，如：高斯過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)或高斯過(guò)程的線性組合仍為高斯型。如果高斯過(guò)程是廣義平穩(wěn)的，則等價(jià)于平穩(wěn)。如果高斯過(guò)程的時(shí)間進(jìn)程中兩個(gè)不同