橢圓的幾何性質(zhì)示范課

1、2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課11.橢圓的定義:到兩定點(diǎn)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和為常數(shù)（大于的距離之和為常數(shù)（大于|F1F2 |）的）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：3.橢圓中a,b,c的關(guān)系是:|)|2(2|2121FFaaPFPF當(dāng)焦點(diǎn)在當(dāng)焦點(diǎn)在X軸上時(shí)軸上時(shí)當(dāng)焦點(diǎn)在當(dāng)焦點(diǎn)在Y軸上時(shí)軸上時(shí))0( 12222babyax)0( 12222babxay222cab 橢圓的幾何性質(zhì)示范課橢圓的幾何性質(zhì)2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課3一、橢圓的范圍一、橢圓的范圍即即byax和由由22221xyab221xa221yb和 oxyx =-ax =ay

2、 = by = -b由-axa , -byb2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課4yxoF1F2x2y2= 1a22b二、橢圓的對稱性二、橢圓的對稱性2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課5yxoF1F2x2y2= 1a22b2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課6yxoF1F2x2y2= 1a22b2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課7yxoF1F2x2y2= 1a22b2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課8yxoF1F2x2y2= 1a22b2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課9yxoF1F2x2y2= 1a22b2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課10yxoF1F2x2y2=

3、1a22b2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課11yxoF1F2x2y2= 1a22b2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課12yxoF1F2x2y2= 1a22b2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課13yxoF1F2x2y2= 1a22b2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課14yxoF1F2x2y2= 1a22b2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課15yxoF1F2x2y2= 1a22b2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課16yxoF1F2x2y2= 1a22b2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課17yxoF1F2x2y2= 1a22b2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課18y

4、xoF1F2x2y2= 1a22b2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課19yxoF1F2x2y2= 1a22b2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課20yxoF1F2x2y2= 1a22b2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課21yxoF1F2x2y2= 1a22b2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課22yxoF1F2x2y2= 1a22b2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課23yxoF1F2x2y2= 1a22b2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課24yxoF1F2x2y2= 1a22b2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課25yxoF1F2x2y2= 1a22b2021/7/15橢

5、圓的幾何性質(zhì)示范課26yxoF1F2x2y2= 1a22b2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課27yxoF1F2x2y2= 1a22b2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課28yxoF1F2x2y2= 1a22b2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課29yxoF1F2x2y2= 1a22b2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課30yxoF1F2x2y2= 1a22b2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課31yxoF1F2x2y2= 1a22b2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課32yxoF1F2x2y2= 1a22b2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課33yxoF1F2x2y2= 1a2

6、2b2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課34yxoF1F2x2y2= 1a22b2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課35yxoF1F2x2y2= 1a22b2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課36yxoF1F2x2y2= 1a22b2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課37yxoF1F2x2y2= 1a22b2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課38yxoF1F2x2y2= 1a22b2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課39yxoF1F2x2y2= 1a22b2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課40yxoF1F2x2y2= 1a22b2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課41yxoF

7、1F2x2y2= 1a22b2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課42yxoF1F2x2y2= 1a22b2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課43yxoF1F2x2y2= 1a22b2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課44yxoF1F2x2y2= 1a22b2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課45yxoF1F2x2y2= 1a22b2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課46yxoF1F2x2y2= 1a22b2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課47yxoF1F2x2y2= 1a22b2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課48yxoF1F2x2y2= 1a22b2021/7/15橢圓的幾

8、何性質(zhì)示范課49yxoF1F2x2y2= 1a22b2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課50yxoF1F2x2y2= 1a22b2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課51yxoF1F2x2y2= 1a22b2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課52yxoF1F2x2y2= 1a22b2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課53yxoF1F2x2y2= 1a22b2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課54yxoF1F2x2y2= 1a22b2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課55yxoF1F2x2y2= 1a22b2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課56YXOP（x，y）P2（-x，y）P3

9、（-x，-y）P1（x，-y）22221(0)xya bab 關(guān)于關(guān)于x軸對稱軸對稱關(guān)于關(guān)于y軸對稱軸對稱關(guān)于原點(diǎn)對稱關(guān)于原點(diǎn)對稱2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課57從圖形上看：橢圓既是以x軸，y軸為對稱軸的軸對稱圖形，又是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形。橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心。 從方程上看：（1）把x換成-x，方程不變，圖象關(guān)于y軸對稱；（2）把y換成-y，方程不變，圖象關(guān)于x軸對稱；（3）把x換成-x，同時(shí)把y換成-y方程不變，圖象 關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱。2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課58三、橢圓的頂點(diǎn)與長短軸三、橢圓的頂點(diǎn)與長短軸)0(12222babyax oyB

10、2B1A1A2F1F2cab(0,b)(a，0)(0,-b)(-a，0)令令 x=0，得，得 y=？說明橢圓與？說明橢圓與 y軸的交點(diǎn)？軸的交點(diǎn)？令令 y=0，得，得 x=？說明橢圓與？說明橢圓與 x軸的交點(diǎn)？軸的交點(diǎn)？a2=b2+c22021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課59橢圓頂點(diǎn)坐標(biāo)為：橢圓與它的對稱軸的四個(gè)交點(diǎn)橢圓的頂點(diǎn).回顧：A1(a，0)，A2(a，0)，B1(0，b)，B2(0，b).焦點(diǎn)坐標(biāo)(c，0) oxyA2(a, 0)A1(-a, 0)B2(0,b)B1(0,-b)22221xy=ab （ab0）2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課60長軸：線段A1A2；長軸長 |A1

11、A2|=2a.短軸：線段B1B2；短軸長 |B1B2|=2b.焦 距 |F1F2|=2c.a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長；焦點(diǎn)必在長軸上.a2=b2+c2， oxyB2(0,b)B1(0,-b)A2(a, 0)A1(-a, 0)bacF2F1|B2F2|=a；注意2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課61123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x根據(jù)前面所學(xué)有關(guān)知識(shí)畫出下列圖形根據(jù)前面所學(xué)有關(guān)知識(shí)畫出下列圖形1162522yx142522yx（1）（2）A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A

12、1 橢圓的簡單畫法：橢圓的簡單畫法：矩形矩形橢圓四個(gè)頂點(diǎn)橢圓四個(gè)頂點(diǎn)連線成圖連線成圖2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課62四、橢圓的離心率四、橢圓的離心率 oxyace 橢圓的焦距與長軸長的比：橢圓的焦距與長軸長的比：叫做橢圓的離心率。叫做橢圓的離心率。1離心率的取值范圍：離心率的取值范圍：2離心率對橢圓形狀的影響：離心率對橢圓形狀的影響：1）e 越接近越接近 1，c 就越接近就越接近 a，請問：此時(shí)橢圓的變化情況？，請問：此時(shí)橢圓的變化情況？ b就越小，此時(shí)橢圓就越扁。就越小，此時(shí)橢圓就越扁。 2）e 越接近越接近 0，c 就越接近就越接近 0，請問：此時(shí)橢圓又是如何變化的？，請問：此時(shí)

13、橢圓又是如何變化的？b就越大，此時(shí)橢圓就越趨近于圓。就越大，此時(shí)橢圓就越趨近于圓。如果a=b，則c=0，兩個(gè)焦點(diǎn)重合，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程就變?yōu)閳A的方程：222xya離心率反映橢圓的圓扁程度離心率：離心率：因?yàn)橐驗(yàn)?a c 0，所以，所以0 e c0， 所以0 e 1.2210,cecaabac當(dāng)當(dāng)橢橢圓圓扁扁2200,cecabaca當(dāng)當(dāng)橢橢圓圓圓圓離心率越大，橢圓越扁離心率越小，橢圓越圓Oxyabc2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課643e與與a,b的關(guān)系的關(guān)系:222221ababaace思考：當(dāng)思考：當(dāng)e0時(shí)，曲線是什么？當(dāng)時(shí)，曲線是什么？當(dāng)e1時(shí)曲時(shí)曲 線又是線又是 什么？什么？ e=

14、0，這時(shí)兩個(gè)焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A e=1,為線段。2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課6522222 1612:9362,yxxyC1問：對于橢圓C與橢圓：更接近于圓的是。2C2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課66標(biāo)準(zhǔn)方程圖 象范 圍對 稱 性頂點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)半 軸 長焦 距a,b,c關(guān)系離 心 率22221(0)xyabab|x| a,|y| b|x| b,|y| a關(guān)于x軸、y軸成軸對稱；關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱。（ a ,0 ）,(0, b)（ b ,0 ）,(0, a)(c,0)(0, c)長半軸長為a,短半軸長為b.焦距為2c;a2=b2+c2cea)0( 12222babxay22

15、2221ababaace2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課67例1已知橢圓方程為16x2+25y2=400, 它的長軸長是： 。短軸長是： 。焦距是 。 離心率等于： 。焦點(diǎn)坐標(biāo)是： 。頂點(diǎn)坐標(biāo)是： 外切矩形的面積等于： 。108635( 3,0)( 5,0)(0, 4)80分析：橢圓方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程為： 2222162540012516xyxya=5 b=4 c=3 oxy ox y2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課681.求下列各橢圓的長軸長和短軸長，離心率，焦點(diǎn)坐標(biāo)，頂點(diǎn)坐標(biāo)（）22x4y16.【解析】故可得長軸長為8，短軸長為4，離心率為焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)（4,0），(0

16、,2).(2)已知方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為 故可得長軸長為18，短軸長為6，離心率為焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)（0,9），（3,0）.為為標(biāo)標(biāo)為為2 22 2x xy y（1 1）已已知知方方程程化化準(zhǔn)準(zhǔn)方方程程+ += =1 1，1 16 64 432，2 3,0 （）0, 6 2 （）2 23，229xy81.（）221819yx ，強(qiáng)化訓(xùn)練2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課69例例2. 橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩端點(diǎn)構(gòu)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形，則該橢圓的離心率成一個(gè)正三角形，則該橢圓的離心率是是 .232021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課70) 0( 12222babyax

17、1AF ， ，1 2FF ， ，1FB 1 , 橢圓 的 左、右頂點(diǎn)分別是A,B,左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2.若成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為_.55強(qiáng)化訓(xùn)練2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課712.已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓 的離心率是 則. mymx552210e,5 32021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課72例例3、橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)頂點(diǎn)是（、橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)頂點(diǎn)是（0，2），），離心率離心率 ，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。23e解解:（1）當(dāng)（）當(dāng)（0，2）點(diǎn)是長軸端點(diǎn)時(shí)）點(diǎn)是長軸端點(diǎn)時(shí) 所以所以a=232cea又3 1cb1422 xy是是所所求求的的橢橢圓圓的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)方方程程 （2）當(dāng)（）當(dāng)（0，2）點(diǎn)是短軸端點(diǎn)時(shí)）點(diǎn)是短軸端點(diǎn)時(shí) 所以所以b=22232cabeaa又4a 所 以221164xy所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是141614,2222 yxxy或或橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是綜上所述綜上所述2021/7/15橢圓的幾何性質(zhì)示范課73強(qiáng)化訓(xùn)練已知：橢圓的長軸是短軸的3倍，且過點(diǎn)A（3，0），并且以坐標(biāo)軸為對稱軸，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。解法一：若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)方程為2223 239011ababab 解得2219xy)0( 12222babyax由題意得：橢圓的方程為若橢圓的