項目6控制網(wǎng)的數(shù)據(jù)處理

1、控制測量控制測量 控制測量化至橢球面邊長觀測邊長距離改化高斯平面邊長各種條件閉合差角超球面歸心改正歸心后方向值近似邊長化至橢球面方向值方向改化檢核觀測方向值已知數(shù)據(jù)近似坐標高斯平面方向值測角中誤差三角形閉合差控制測量一、一、 將地面觀測值歸算至橢球面將地面觀測值歸算至橢球面1.概述參考橢球面是測量計算的基準面。在野外的各種測量都是在地面上進行，觀測的基準線不是各點相應(yīng)的橢球面的法線，而是各點的垂線，各點的垂線與法線存在著垂線偏差。因此不能直接在地面上處理觀測成果，而應(yīng)將地面觀測元素（包括方向和距離等）歸算至橢球面。在歸算中有兩條基本要求：以橢球面的法線為基準；將地面觀測元素化為橢球面上大地線的

2、相應(yīng)元素?？刂茰y量2.將地面觀測的水平方向歸算至橢球面 1) 垂線偏差改正u地面上所有水平方向的觀測都是以垂線為根據(jù)的，而在橢球面上則要求以該點的法線為依據(jù)。把以垂線為依據(jù)的地面觀測的水平方向值歸算到以法線為依據(jù)的方向值而應(yīng)加的改正定義為垂線偏差改正，以表示。u如下圖所示，以測站為中心作出單位半徑的輔助球，是垂線偏差，它在子午圈和卯酉圈上的分量分別以表示，M是地面觀測目標m在球面上的投影。u,控制測量垂線偏差改正的計算公式是：1cot)cossin(ZAAmmu 1tan)cossin(mmAA 式中：為測站點上的垂線偏差在子午圈及卯酉圈上的分量，它們可在測區(qū)的垂線偏差分量圖中內(nèi)插取得；為測站

3、點至照準點的大地方位角；為照準點的天頂距；為照準點的垂直角。,mA1Z1垂線偏差改正的數(shù)值主要與測站點的垂線偏差和觀測方向的天頂距（或垂直角）有關(guān)?？刂茰y量2) 標高差改正h標高差改正又稱由照準點高度而引起的改正。不在同一子午面或同一平行圈上的兩點的法線是不共面的。當進行水平方向觀測時，如果照準點高出橢球面某一高度，則照準面就不能通過照準點的法線同橢球面的交點，由此引起的方向偏差的改正叫做標高差改正，以表示。h如右圖所示，A為測站點，如果測站點觀測值已加垂線偏差改正，則可認為垂線同法線一致。這時測站點在橢球面上或者高出橢球面某一高度，對水平方向是沒有影響的。這是因為測站點法線不變，則通過某一照

4、準點只能有一個法截面。控制測量設(shè)照準點高出橢球面的高程為和分別為A點及B點的法線，B點法線與橢球面的交點為b。因為通常和不在同一平面內(nèi)，所以在A點照準B點得出的法截線是而不是，因而產(chǎn)生了同方向的差異。按歸算的要求，地面各點都應(yīng)沿自己法線方向投影到橢球面上，即需要的是方向值而不是方向值，因此需加入標高差改數(shù)，以便將方向改到方向。aAnH ,2bBnaAnbBnbA AbAbbA AbbA hbA Ab控制測量標高差改正的計算公式是1222222sincos) 1 (2ABHeh 式中：為照準點大地緯度；為測站點至照準點的大地方位角；為照準點高出橢球面的高程，它由三部分組成：2B1A2HaHH常2

5、其中為照準點標石中心的正常高，為高程異常，為照準點的覘標高，是與照準點緯度，是相應(yīng)的子午圈曲率半徑。常Ha22/) 1 (M 2M2B標高差改正主要與照準點的高程有關(guān)。經(jīng)過此項改正后，便將地面觀測的水平方向值歸化為橢球面上相應(yīng)的法截弧方向?？刂茰y量3）截面差改正g在橢球面上，緯度不同的兩點由于其法線不共面，所以在對向觀測時相對法截弧不重合，應(yīng)當用兩點間的大地線代替相對法截弧。這樣將法截弧方向化為大地線方向應(yīng)加的改正叫截面差改正，用表示。g如圖所示，是A至B的法截弧，它在A點處的大地方位角為，是AB間的大地線，它在A點的大地方位角是，與之差就是截面差改正。AaB1AASB1A1Ag截面差改正的計

6、算公式為11221222sincos)2(12ABSeg 1A控制測量式中S為AB間大地線長度，為測站點緯度相對應(yīng)的卯酉圈曲率半徑?，F(xiàn)令在一般情況下，一等三角測量應(yīng)加三差改正，二等三角測量應(yīng)加垂線偏差改正和標高差改正，而不加截面差改正；三等和四等三角測量可不加三差改正。但當時或者H2000m時，則應(yīng)分別考慮加垂線偏差改正和標高差改正。在特殊情況下，應(yīng)該根據(jù)測區(qū)的實際情況作具體分析，然后再做出加還是不加改正的規(guī)定。如下表所示：11)2(N 1N1B01 三差改正主要關(guān)系量是否要加改正一等二等三、四等垂線偏差加加酌情標高差截面差不加,SH控制測量3.電磁波測距邊長歸算橢球面電磁波測距儀測得的長度是

7、連接地面兩點間的直線斜距，也應(yīng)將它歸算到參考橢球面上。如圖，大地點Q1和Q2的大地高分別為H1和H2。其間用電磁波測距儀測得的斜距為D，現(xiàn)要求大地點在橢球面上沿法線的投影點和間的大地線的長度S。1Q2Q在工程測量中邊長一般都是幾公里，最長也不過十幾公里，因此，所求的大地線的長度可以認為是半徑12122coscos1ABeNRA相應(yīng)的圓弧長。電磁波測距邊長歸算橢球面上的計算公式為：2322421AAmRDRHDDhDS)(2121HHHm式中控制測量電磁波測距邊長歸算的幾何意義幾何意義：（1）計算公式中右端第二項是由于控制點之高差引起的傾斜改正的主項，經(jīng)過此項改正，測線已變成平距；（2）第三項是

8、由平均測線高出參考橢球面而引起的投影改正，經(jīng)此項改正后，測線已變成弦線；（3）第四項則是由弦長改化為弧長的改正項。2322241AAmRDRHhDS顯然第一項即為經(jīng)高差改正后的平距。問題問題算例見下表，用上述兩個公式計算將電磁波測距邊長歸算至橢球面已知351B20352Bm8001Hm10002H30Am789.3456D電磁波測距邊長歸算至橢球面上的計算公式還可用下式表達：控制測量二、二、 橢球面上觀測成果歸化到高斯平面上計算橢球面上觀測成果歸化到高斯平面上計算1、概述由于高斯投影是正形投影，橢球面上大地線間的夾角與它們在高斯平面上的投影曲線之間的夾角相等。為了在平面上利用平面三角學公式進行

9、計算，須把大地線的投影曲線用其弦線來代替。控制網(wǎng)歸算到高斯平面上的內(nèi)容有：控制測量起算點大地坐標的歸算將起算點大地坐標歸算為高斯平面直角坐標。起算方向角的歸算。距離改化計算橢球面上已知的大地線邊長（或觀測的大地線邊長）歸算至平面上相應(yīng)的弦線長度。方向改計算橢球面上各大地線的方向值歸算為平面上相應(yīng)的弦線方向值。),(BL),(yx控制測量2、方向改化（1）概念如圖所示，若將橢球面上的大地線方向改化為平面上的弦線ab方向，其相差一個角值,即稱為方向改化值。ABab（2）方向改化的過程由于是把地球近似看成球，故和都是垂直于x軸的直線。在a,b點上的方向改化分別為和。當大地線長度不大于10km，y坐標

10、不大于l00km時，二者之差不大于0.05,因而可近似認為=abbaabba控制測量（3）計算公式球面角超公式為：2)()(2babayyyxR 適用于三、四等三角測量的方向改正的計算公式： )(2)(222bambabamabxxyRxxyR式中，為a、b兩點的y坐標的自然的平均值。)(21bamyyy控制測量（1）概念如右圖所示，設(shè)橢球體上有兩點及其大地線，在高斯投影面上的投影為及。是一條曲線，而連接兩點的直線為 D如前所述由S化至D所加的改正，即為距離改正。21,PPS21,PPs21PP S3、距離改化（2）長度比和長度變形長度比:指橢球面上某點的一微分元素，其投影面上的相應(yīng)微分元素，

11、則稱為該點的長度比。長度變形:由于長度比恒大于1，故稱為長度變形。mdSdsdSdsm m控制測量式中：表示按大地線始末兩端點的平均緯度計算的橢球的平均曲率半徑。為投影線兩端點的平均橫坐標值。mR)(21bamyyy（4）長度比和長度變形的特點當y=0(或l=0)時，m=1，即中央子午線投影后長度不變；當y0(或l0)時，即離開中央子午線時，長度設(shè)形（m-1）恒為正，離開中央子午線的邊長經(jīng)投影后變長。長度變形（）與（或）成比例地增大，對于在橢球面上等長的子午線來說，離開中央子午線愈遠的那條，其長度變形愈大。1m（3）長度比m的計算公式:2221mRym2y2l2y控制測量三、依控制網(wǎng)幾何條件檢

12、查觀測質(zhì)量三、依控制網(wǎng)幾何條件檢查觀測質(zhì)量 外業(yè)成果質(zhì)量檢查的內(nèi)容和步驟：外業(yè)成果質(zhì)量檢查的內(nèi)容和步驟： 計算角度條件閉合差并用限差值進行檢驗，接近限計算角度條件閉合差并用限差值進行檢驗，接近限差值的角度條件只能是個別的；差值的角度條件只能是個別的； 按菲列羅公式計算測角中誤差，并依本三角網(wǎng)相應(yīng)按菲列羅公式計算測角中誤差，并依本三角網(wǎng)相應(yīng)等級規(guī)定的測角中誤差進行檢驗；但參與計算測角中誤差等級規(guī)定的測角中誤差進行檢驗；但參與計算測角中誤差的三角形閉合差個數(shù)應(yīng)在的三角形閉合差個數(shù)應(yīng)在2020個以上，如果少于此數(shù)值，算個以上，如果少于此數(shù)值，算出的測角中誤差只作參考不作為檢核的依據(jù)；出的測角中誤差只

13、作參考不作為檢核的依據(jù)； 計算正弦條件閉合差并用限差值進行檢驗，同樣接計算正弦條件閉合差并用限差值進行檢驗，同樣接近限差的正弦條件應(yīng)是個別的。近限差的正弦條件應(yīng)是個別的?？刂茰y量1高斯投影坐標正算公式（1）高斯投影正算）高斯投影正算：已知橢球面上某點的大地坐標，求該點在高斯投影平面上的直角坐標，即的坐標變換。（2）投影過程）投影過程在橢球面上有對稱于中央子午線的兩點和,它們的大地坐標分別為（）及（），式中為橢球面上點的經(jīng)度與中央子午線的經(jīng)度差：,點在中央子午線之東,為正，在西則為負，則投影后的平面坐標一定為和。BL,yx,),(,yxBL1P2PBL,Bl,lP)(0L0LLlPl),(1yx

14、P),(2yxP一、高斯投影坐標正反算控制測量（3）計算公式）計算公式 5425532234223422)185(cos120)1 (6cos)95(cossin2sin2lttBNltBNlBNyltBBNlBNXx當要求轉(zhuǎn)換精度精確至0.00lm時，用下式計算 52224255322336425644223422)5814185(cos720)1 (cos6cos)5861(cossin720)495(cossin24sin2ltttBNltBNlBNylttBBNltBBNlBNXx控制測量（1）高斯投影反算：已知某點的高斯投影平面上直角坐標，求該點在橢球面上的大地坐標，即的坐標變換。y

15、x,BL,),(,BLyx（2）投影過程根據(jù)計算縱坐標在橢球面上的投影的底點緯度，接著按計算（）及經(jīng)差,最后得到、。fBfBBBfl)(BBBBfflLL02高斯投影坐標反算公式控制測量（3）計算公式5222425322364254222332)8624285(cos1201)21(cos61cos1)459061(720)935(242ytttBNytBNyBNlyttNMtyttNMtyNMtBBfffffffffffffffffffffffffffff當要求轉(zhuǎn)換精度至時，可簡化為下式：10 . 0 542532234222232)24285(cos1201)21(cos61cos1)93

16、5(242yttBNytBNyBNlyttNMtyNMtBBfffffffffffffffffffff控制測量（1）產(chǎn)生換帶的原因在工程應(yīng)用中，往往要用到相鄰帶中的點坐標，有時工程測量中要求采用帶、帶或任意帶，而國家控制點通常只有帶坐標，這時就產(chǎn)生了帶同帶（或帶、任意帶）之間的相互坐標換算問題，如下圖所示：35 . 16635 . 1二、高斯投影相鄰帶的坐標換算控制測量把橢球面上的大地坐標作為過渡坐標。首先把某投影帶（比如帶）內(nèi)有關(guān)點的平面坐標，利用高斯投影反算公式換算成橢球面上的大地坐標，進而得到；然后再由大地坐標利用投影正算公式換算成相鄰帶的（第帶）的平面坐標。在這一步計算時，要根據(jù)第帶的

17、中央子午線來計算經(jīng)差，亦即此時I),(yx),( BllLLI0),(lBII),(yxII0LlII0LLl（2）應(yīng)用高斯投影正、反算公式間接進行換帶計算計算過程：控制測量把橢球面上的大地坐標作為過渡坐標。首先把某投影帶（比如帶）內(nèi)有關(guān)點的平面坐標，利用高斯投影反算公式換算成橢球面上的大地坐標，進而得到；然后再由大地坐標利用投影正算公式換算成相鄰帶的（第帶）的平面坐標。在這一步計算時，要根據(jù)第帶的中央子午線來計算經(jīng)差，亦即此時I),(yx),( BllLLI0),(lBII),(yxII0LlII0LLl（2）應(yīng)用高斯投影正、反算公式間接進行換帶計算計算過程：控制測量計算步驟：計算步驟： 根

18、據(jù),利用高斯反算公計算換算,，得到，。 采用已求得的,，并顧及到第帶的中央子午線，求得，利用高斯正算公式計算第帶的直角坐標,。 為了檢核計算的正確性，要求每步都應(yīng)進行往返計算1x1y1B1L4902.4383511 B2136.13201261 L1B1L129II0L486.46752 lIIxIIy算例算例在中央子午線的帶中，有某一點的平面直角坐標，現(xiàn)要求計算該點在中央子午線的第帶的平面直角坐標。123I0Lm726.57283741xm193.2101981y129II0L控制測量對于工程測量，其中包括城市測量，既有測繪大比例尺圖的任務(wù)，又有滿足各種工程建設(shè)和市政建設(shè)施工放樣工作的要求。

19、如何根據(jù)這些目的和要求合適地選擇投影面和投影帶，經(jīng)濟合理地確立工程平面控制網(wǎng)的坐標系，在工程測量是一個重要的課題。1概述三、 工程測量投影面與投影帶選擇控制測量2、工程測量中選擇投影面和投影帶的原因（1）有關(guān)投影變形的基本概念平面控制測量投影面和投影帶的選擇，主要是解決長度變形問題。這種投影變形主要是由于以下兩種因素引起的：實測邊長歸算到參考橢球面上的變形影響，其值為：1sRsHsm1式中：為歸算邊高出參考橢球面的平均高程，為歸算邊的長度，為歸算邊方向參考橢球法截弧的曲率半徑。歸算邊長的相對變形：mHsRRHssm1值是負值，表明將地面實量長度歸算到參考橢球面上，總是縮短的；值與,成正比，隨增

20、大而增大。1s1smHmH控制測量將參考橢球面上的邊長歸算到高斯投影面上的變形影響，其值為：02221sRysmm2s式中：，即為投影歸算邊長，為歸算邊兩端點橫坐標平均值，為參考橢球面平均曲率半徑。投影邊長的相對投影變形為10sss0smymR20221mmRyss值總是正值，表明將橢球面上長度投影到高斯面上，總是增大的；值隨著平方成正比而增大，離中央子午線愈遠，其變形愈大。2s2smy控制測量（2）工程測量平面控制網(wǎng)的精度要求工程測量控制網(wǎng)不但應(yīng)作為測繪大比例尺圖的控制基礎(chǔ)，還應(yīng)作為城市建設(shè)和各種工程建設(shè)施工放樣測設(shè)數(shù)據(jù)的依據(jù)。為了便于施工放樣工作的順利進行，要求由控制點坐標直接反算的邊長與

21、實地量得的邊長，在長度上應(yīng)該相等，這就是說由上述兩項歸算投影改正而帶來的長度變形或者改正數(shù)，不得大于施工放樣的精度要求。一般來說，施工放樣的方格網(wǎng)和建筑軸線的測量精度為1/50001/20000。因此，由投影歸算引起的控制網(wǎng)長度變形應(yīng)小于施工放樣允許誤差的1/2，即相對誤差為1/100001/40000，也就是說，每公里的長度改正數(shù)不應(yīng)該大于102.5cm?？刂茰y量通過改變從而選擇合適的高程參考面，將抵償分帶投影變形，這種方法通常稱為抵償投影面的高斯正形投影；通過改變，從而對中央子午線作適當移動，來抵償由高程面的邊長歸算到參考橢球面上的投影變形，這就是通常所說的任意帶高斯正形投影；通過既改變（

22、選擇高程參考面），又改變（移動中央子午線），來共同抵償兩項歸算改正變形，這就是所謂的具有高程抵償面的任意帶高斯正形投影。mHmymHmy3、投影變形的處理方法控制測量4、工程測量中幾種可能采用的直角坐標系（1）國家30帶高斯正形投影平面直角坐標系當測區(qū)平均高程在l00m以下，且值不大于40km時，其投影變形值及均小于2.5cm，可以滿足大比例尺測圖和工程放樣的精度要求。，在偏離中央子午線不遠和地面平均高程不大的地區(qū)，不需考慮投影變形問題，直接采用國家統(tǒng)一的帶高斯正形投影平面直角坐標系作為工程測量的坐標系。my1s2s控制測量（2）抵償投影面的30帶高斯正形投影平面直角坐標系在這種坐標系中，依然

23、采用國家30帶高斯投影，但投影的高程面不是參考橢球面而是依據(jù)補償高斯投影長度變形而選擇的高程參考面。在這個高程參考面上，長度變形為零。021222sssRHRysmmm令當一定時，可求得：myRyHm22則投影面高為：HHHm投控制測量某測區(qū)海拔=2000（m），最邊緣中央子午線100（km），當=1000（m）時，則有mHs)m(313. 01sRHsmm)m(123. 0221222sRysmm而超過允許值（102.5cm）。這時為不改變中央子午線位置，而選擇一個合適的高程參考面，經(jīng)計算得高差：將地面實測距離歸算到：)m(19. 021ss)m(780H)m(12207802000算例：算

24、例：控制測量在這種坐標系中，仍把地面觀測結(jié)果歸算到參考橢球面上，但投影帶的中央子午線不按國家30帶的劃分方法，而是依據(jù)補償高程面歸算長度變形而選擇的某一條子午線作為中央子午線。保持不變，于是求得mHmmHRy2（3）任意帶高斯正形投影平面直角坐標系控制測量某測區(qū)相對參考橢球面的高程=500m，為抵償?shù)孛嬗^測值向參考橢球面上歸算的改正值，依上式算得mH)km(805 . 063702y即選擇與該測區(qū)相距80km處的子午線。此時在=80km處，兩項改正項得到完全補償。算例：算例：但在實際應(yīng)用這種坐標系時，往往是選取過測區(qū)邊緣，或測區(qū)中央，或測區(qū)內(nèi)某一點的子午線作為中央子午線，而不經(jīng)過上述的計算。m

25、y控制測量（4）具有高程抵償面的任意帶高斯投影平面直角坐標系在這種坐標系中，往往是指投影的中央子午線選在測區(qū)的中央，地面觀測值歸算到測區(qū)平均高程面上，按高斯正形投影計算平面直角坐標。由此可見，這是綜合第二、三兩種坐標系長處的一種任意高斯直角坐標系。顯然，這種坐標系更能有效地實現(xiàn)兩種長度變形改正的補償。（5）假定平面直角坐標系當測區(qū)控制面積小于100km2時，可不進行方向和距離改正，直接把局部地球表面作為平面建立獨立的平面直角坐標系。這時，起算點坐標及起算方位角，最好能與國家網(wǎng)聯(lián)系，如果聯(lián)系有困難，可自行測定邊長和方位，而起始點坐標可假定。這種假定平面直角坐標系只限于某種工程建筑施工之用。控制測

26、量控制測量一、條件平差方法一、條件平差方法 設(shè)某一平差問題中有個 誤差獨立的觀測值， 個函數(shù)獨立的未知數(shù)（必要觀測數(shù)）， ，多余觀測數(shù)為nttn tnr記：觀測值 nnLLLL211相應(yīng)權(quán)陣nnnpppp00000021nnvvvV211平差值改正數(shù) nnnnvLvLvLLLLL2211211平差值 控制測量1 1、條件平差的數(shù)學模型和公式、條件平差的數(shù)學模型和公式 1）平差值方程（ ）tnr000221122112211rLrLrLrbLbLbLbaLaLaLannnnnn（1） 式中 、 、 （ =1、2、 ）為條件方程的系數(shù)； 、 、 為條件方程的常項數(shù)iaibirin0a0b0r2）

27、改正數(shù)條件方程以 （ =1、2、 ）代入(1)得純量形式為： iiivLLin 000221122112211rnnbnnannwvrvrvrwvbvbvbwvavava（2）控制測量式中 、 、 為條件方程的閉合差，或稱為條件方程的不符值，即 022110221102211rLrLrLrwbLbLbLbwaLaLaLawnnnnnbnnarbaAor1nnvvvV211令 nnnnrrrrbbbaaaA212121rbarwwwW1矩陣形式為： 011rrnrWVA（4） （3）awbwrw控制測量3）改正數(shù)方程 上改正數(shù)條件方程式中 的解不是唯一的解，根據(jù)最小二乘原理，在 的無窮多組解中，

28、取 = 最小的一組解是唯一的， 的這一組解，可用拉格朗日乘數(shù)法解出。為此，設(shè) ， 稱為聯(lián)系數(shù)向量，它的唯數(shù)與條件方程個數(shù)相等，按拉格朗日乘數(shù)法解條件極值問題時，要組成新的函數(shù)：VVPVVTVrbarTkkkK1K)(2WAVKPVVTT將對求一階導數(shù)，并令其為零得：VAKPVVTT22AKPVTTKAPVT111rTrnnnnKAPV （5） 控制測量上式稱為改正數(shù)方程，其純量形式為：)(1)(1)(12222211111rnbnannnrbiarbakrkbkapvkrkbkapvkrkbkapv（i=1,2,n） （6）控制測量4）法方程 將 代入 得 KAPVT10WAV01WKAAPT

29、矩陣形式為： rnTnnnrrrAPAN1011rrrrWKN（7） 上式稱為聯(lián)系數(shù)法方程，簡稱法方程。式中法方程系數(shù)距陣，為PrrPbrParPbrPbbPabParPabpaaN 因 故， 是 階的對稱方陣。NAAPAPAAAPNTTTTTTT111)()(Nr控制測量法方程的純量形式為 000rrbabrbaarbawkprrkpbrkparwkpbrkpbbkpabwkparkpabkpaa （8）從法方程解出聯(lián)系數(shù)K后，將值代入改正數(shù)方程，求出改正數(shù)值，再求平差值，這樣就完成了按條件平差求平差值的工作。KVVLL控制測量2 2、條件平差法求平差值的步驟、條件平差法求平差值的步驟根據(jù)平

30、差問題的具體情況，列出平差值條件方程式（1），并轉(zhuǎn)化為改正出數(shù)的條件方程（2），條件方程的個數(shù)等于為多余觀測的個數(shù)r；根據(jù)條件方程的系數(shù)，閉合差及觀測值的權(quán)組成法方程式（8）；法方程的個數(shù)等于多余觀測的；解法方程，求出聯(lián)系數(shù)K,并代入法方程檢驗；將K代入改正數(shù)方程（6），求改正數(shù) 值；將V代入平差值方程 求平差值；將平差值 代入平差值方程，檢驗是否滿足條件；精度評定。VLLLV控制測量2、精度評定1）單位權(quán)中誤差 tnPVVTrpvv從中誤差計算公式可知，為了計算，關(guān)鍵是計算。下面將討論的計算方法。PVVTpvvPVVTPVV由 直接計算 iV2222211nnvPvPvPpvv由聯(lián)系數(shù) 及常

31、數(shù)項 計算KW)(rrbbaakWkWkWpvv直接在高斯杜力特表格中解算111111rWrprrrWWpbbWWpaaWWPVVrrbbaawT)()(0wwrWw控制測量2）平差值函數(shù)的權(quán)倒數(shù)設(shè)有平差值函數(shù)為 它的權(quán)函數(shù)式為：nLLLf,21nnLdLLdLLdLd)()()(2211nnLdfLdfLdf2211令則 nTffff,21TnLdLdLdLd,21LdfdT1111111rPrfrPrrrPrfPbfPbbPbfPafPaaPafPffPrPff這就是高斯約化表中 的計算公式，其規(guī)律與 計算規(guī)律完全相同。P1rWw控制測量9.3 9.3 附合導線按條件平差算例附合導線按條件

32、平差算例1.1.附合導線的條件平差方程式附合導線的條件平差方程式如圖1所示，符合在已知 ， 之間的單一符合導線有 條 與 是已知方位角。),(AAyxA),(CCyxCnABCD設(shè)觀測角為 、 、 、 ，測角中誤差為 ，觀測邊長為 、 、 、 ，測邊中誤差為 （ 1、2、 ）。121n1s2snssiin此導線共有 個觀測值，有 個未知數(shù)，故 則 。因此，應(yīng)列出三個條件方程，其中一個是坐標方位角條件，另兩個是縱、橫坐標條件。12 n1n) 1(2nt3) 1(2) 12(nnrBA( 1 )C( n + 1 )Ds1s2sn23n12345n + 1圖1控制測量 1 1）坐標方位角條件坐標方位

33、角條件 設(shè)觀測角 的改正數(shù)為 （ 1、2、 1），觀測邊 的改正數(shù)為 （ 1、2、 ）。由圖1知iivinissivin180) 1(11niniBACD011ainiv式中 方位角條件的不符值，按 a180) 1(11niniCDBAa若導線的A 點B與點重合，則形成一閉合導線，由此坐標方位角條件就成了多邊形的圖形閉合條件。控制測量 2 2）縱、橫坐標條件縱、橫坐標條件 設(shè)以 、 、 表示（圖1）中各導線邊的縱坐標增量之平差值； 、 、 表示（圖1）中各導線邊的橫坐標增量之平差值；由圖可寫出以坐標增量平差值表示的縱、橫坐標條件。1 x2 xnx 1 y2yny yininAinACxinin

34、AinACvyyyyyvxxxxx111111（1） 令 則 )()(11ACinyACinxyyyxxx0011yyinxxinvv（2） )()()(211nxinxdxdxdv控制測量將上式代入式（2）得縱坐標條件式，且同理已可得橫坐標的條件式即 0)(1sin0)(1cos1111yiiCnisiinixiiCnisiinivxxvvyyv（3）上式就是單一符合導線的縱、橫坐標條件方程、為條件式的不符值，按 CCCinAyCCCinAxyyyyyxxxxx11式中、是由觀測值計算的各導線點的近似坐標。 1231211)()()(cosvyyyyyyvvnCsiinxinnncnCvyy

35、vyyyyyy)()()()(23423控制測量 計算時一般 以秒為單位， 、 、 以cm為單位；若 、 以m為單位，則 ，從而使全式單位統(tǒng)一。若單一導線的 與 點重合形成閉合導線，則縱、橫坐標條件成為多邊形各邊的坐標增量閉合條件，以增量平差值表示為ivsivxyxy65.2062100206265 AC0011ininyx控制測量2.2.符合導線的精度評定符合導線的精度評定1）單位權(quán)中誤差單位權(quán)中誤差：單一符合導線計算單位權(quán)中誤差公式與邊角網(wǎng)相同，按rvvPvvPrpvvsss 2）平差值的權(quán)函數(shù)式平差值的權(quán)函數(shù)式：為了平定平差值函數(shù)的精度，必須要列出權(quán)函數(shù)式。一般有下列三種函數(shù)式。邊長平差

36、值權(quán)函數(shù)式 由導線邊 故其權(quán)函數(shù)式為 siiivsssiFsivv控制測量坐標平差值的權(quán)函數(shù)式 由（23頁圖1）得點坐標平差值的權(quán)函數(shù)式為iijjisiijiFyiiijjisiijiFxivyxvvvyyvv11111111sincos坐標方位角平差值權(quán)函數(shù)式由（23頁圖1）得單一符合導線的任一邊的坐標方位角的計算式為1801ninBAiniiFvv1控制測量3.3.附合導線按條件平差算例附合導線按條件平差算例在下圖2所示附合導線中A,B 為已知點，其坐標為 947.6556Ax735.4101Ay155.8748Bx647.6667Ay方位角，應(yīng)用紅外測距儀觀測導線的轉(zhuǎn)折角和邊長列入下表1

37、。試按條件平差法，求各觀測值及平差后邊的邊長相對中誤差。4 .130349 ABsA(1)B(5)s1s2s423123453s3圖2控制測量表1 近似坐標計算控制測量解：（1）確定觀測值的權(quán)。 測角中誤差 0 . 3 m邊長中誤差按儀器給定公式為26222)105()5 . 0()(iicssppmsmmi（cm）式中is以cm為單位。由上式算得 82. 02sm96. 01sm79. 03sm92. 04smcmcmcmcm以角度觀測的權(quán)為單位權(quán)，即0 . 3 m控制測量表2 條件方程及權(quán)函數(shù)式系數(shù)表控制測量續(xù)表控制測量則邊長的權(quán)為76. 92211smsmmp38.132sp42.143

38、sp63.104sp邊長權(quán)倒數(shù)為101. 011sp074. 012sp070. 013sp091. 014sp控制測量（2）計算條件方程式不符值。由表1得0 . 54 .1303494 .080349 ABABaw9 . 4155.8746204.8748BBxxxw9 . 2647.6667676.6667BByyyw（3）計算條件方程式系數(shù)及權(quán)函數(shù)式系數(shù)，列于上表2中。（4）組成法方程式并解算。根據(jù)上表2中系數(shù)組成法方程系數(shù)，然后填于下表3中相應(yīng)行內(nèi)。法方程式的解算在下表3中進行。 cmcm控制測量表3 法方程式解算表控制測量（5）計算改正數(shù)和平差值。由法方程解算表解得的聯(lián)系數(shù)k 和觀測

39、邊加相應(yīng)改正數(shù)，即得角度和邊長平差值。計算見下表4。表4 觀測值之平差值計算控制測量（6）計算邊的精度。1）單位權(quán)中誤差，按 59 . 23080.26 rpvv計算邊的中誤差3s2）cm75. 0064. 095. 2133sspm3s邊長相對中誤差164000112294275. 033sms返回本章首頁控制測量二、參數(shù)平差數(shù)學模型和公式1. 1. 參數(shù)平差數(shù)學模型（1）平差值方程 設(shè)平差問題中，有 個不等精度的獨立觀測 ，相應(yīng)權(quán)為 （ 1，2, , ），并設(shè)需 個必要觀測，用 表示選定的未知數(shù)，按題列出 個平差值方程為nn1nLipit1tXnntnnnnnnttdxtxbxavlLdx

40、txbxavLLdxtxbxavLL21222212222112111111式1控制測量(2)誤差方程令則1式為iiixxx0ntnnnnttlxtxbxavlxtxbxavlxtxbxav2122221221121111其中（1，2，,）iiiiiiiLdxtxbxal00201innnvvvV211ttxxxx211nnllll211nnntntbatbatbaB222111nnnpppP00000021則2式的矩陣形式為lxBV若設(shè)式2式3控制測量（3）法方程式中有 個待定的改正數(shù)和 個未知數(shù)，共 個待定量，而方程只有 個，所以有無窮多組解。為了尋求一組唯一的解，根據(jù)最小二乘原理按 的準

41、則求，按數(shù)學上求函數(shù)自由極值的理論，即nnttnminPVVT022PBVxVPVxPVVTTT轉(zhuǎn)置后得 110tnnnntTVPB代3式代入4式得法方程0 ）（lxBPBT0PlBxPBBTT式4式5控制測量令 PBBNTttPlBUTt15式可表示為0 UxNPlBPBBUNxTT11）（其純量形式為000212121ptlxpttxpbtxpatpblxpbtxpbbxpabpalxpatxpabxpaattt將上式算得的 代入式2求出改正數(shù)向量V，進而求出觀測平差值。x式6式7控制測量2 2、按間接平差法求平差值的計算步驟根據(jù)平差問題的性質(zhì)，選擇 個獨立量作為未知數(shù)；將每一個觀測量的平

42、差值分別表達成所選參數(shù)的函數(shù)。若函數(shù)為非線性要將其線性化，列出誤差方程；由誤差方程系數(shù) 和自由項 組成法方程，法方程個數(shù)等于未知數(shù)個數(shù) ；解算法方程，求出未知數(shù)改正數(shù) ，計算未知數(shù)；由誤差方程計算V，求出觀測量平差 。 tBltxVLL控制測量3、精度評定（1）單位權(quán)中誤差和的計算同條件平差一樣，間接平差單位權(quán)中誤差公式為PVVTtnPVVTrpvvpvvPVVT的計算方法為或由iv直接計算2222211nnvpvpvppvv由未知數(shù)改正數(shù) 及法方程常數(shù)項 及計算 xpll txptlxpblxpalpllpvv21在高斯杜力特表中解算111111tptltptttptlpblpbbpblpa

43、lpaapalpllpvv llplltpll控制測量（2）未知數(shù)函數(shù)的權(quán)倒數(shù)和中誤差設(shè)某平差問題的未知數(shù)的函數(shù)為txxxf,21它的權(quán)函數(shù)式為 ttttxfxfxfxxfxxfxxf22112211tTffff21Ttxxxx21則上式的矩陣形式為xfT控制測量根據(jù)權(quán)逆陣的傳播律，得未知數(shù)的權(quán)倒數(shù) 111111012211tftptttffpbbffpaafPtt111111012211tptttftfpbbffpaaffPtt fft00則的中誤差為：Pm1控制測量（3）未知數(shù)的權(quán)逆陣和中誤差 由法方程 0UxN得UNx1011011)()(PLBNPLBNlLPBNPlBNTTTT由權(quán)逆

44、陣的傳播律得 TTLTXXPBNQPBNQ)()(111111111NNNNPBNBNPBNPQBNTLT控制測量即法方程系數(shù)距陣的逆陣就是知數(shù)向量的權(quán)逆陣 ，令 ttttttxxxxxxxxxxxxxxxxxxXXQQQQQQQQQNQ2122212121111因為法方程系數(shù)陣是一個對稱方陣，故它的逆陣也為對稱方陣未知數(shù)的權(quán)逆陣，通常又稱為權(quán)系數(shù)陣，其對角線上的元素 為未知數(shù)的權(quán)倒數(shù)，非對角線上的元素 稱為未知數(shù) 關(guān)于 的相關(guān)權(quán)倒數(shù)，而所有的元素又稱為權(quán)系數(shù)。 權(quán)系數(shù)的計算除了用矩陣求逆的方法以外，還可以用高斯約化法求權(quán)系數(shù)的方法。則任一未知數(shù) 的中誤差為：iiQijQixjxixiixiQ

45、m控制測量三角網(wǎng)參數(shù)平差及算例三角網(wǎng)參數(shù)平差及算例 1. 1. 未知數(shù)的選定未知數(shù)的選定 平面控制網(wǎng)參數(shù)平差總是選擇未知點x,y的坐標為平差參數(shù)。2、測角網(wǎng)坐標平差誤差方程列立、測角網(wǎng)坐標平差誤差方程列立這里討論測角網(wǎng)中選擇待定點坐標為未知數(shù)時，誤差方程列立及線性化問題。如下圖1為某一測角網(wǎng)的任一角 為三個待定點，它們的近似坐標為 改正數(shù)為 ，則平差值分別為hkjLi,000000,;,;,hhkkjjyxyxyxhhkkjjyxyxyx,;,;,jjjjjjyyyxxx00kkkkkkyyyxxx00hhhhhhyyyxxx00由圖1可得的平差值方程為iLjhjkiL控制測量令 jkjkjk

46、0jhjhjh0誤差方程為 ijhjkijhjkjhjkilLv)(00ijkiLl0式中：kjkjkkjkjkjjkjkjjkjkjkysxxsyysxxsy200200200200)()()()( hjhjhhjhjhjjhjhjjhjhjhysxxsyysxxsy200200200200)()()()( iL),(hhyxh),(kkyxk),(jjyxj圖1控制測量或?qū)憺椋?kjkjkkjkjkjjkjkjjkjkjkysxsysxs00000000cossincossin hjhjhhjhjhjjhjhjjhjhjhysxsysxs00000000cossincossin 討論討論：

47、（1）若測站點 為已知點時，則 = =0 有，得jjxjykjkjkkjkjkjkysxxsy200200)()( 若照準點 為已知點，則有 = =0 ，得kkxkyjjkjkjjkjkjkysxxsy200200)()( 控制測量（3）若某邊的兩個端點均為已知點，則jxjykxky0 jk=0，（4）同一邊的正反坐標方位角的改正數(shù)相等，它們與坐標改正數(shù)的關(guān)系也一樣。 即 kjjk 因為kjkjkkjkjkjjkjkjjkjkjkysxxsyysxxsy200200200200)()()()( jkjkjjkjkjkkjkjkkjkjkjysxxsyysxxsy200200200200)()(

48、)()( 顧及 0000kjjkkjjkyyxx控制測量綜上所述，對于角度觀測的角網(wǎng)，采用間接平差，選擇待定點的坐標為未知數(shù)時，列誤差方程的步驟為：計算各待定點的近似坐標；由待定點的近似坐標和已知點坐標計算各邊的近似坐標方位角和近似邊長；計算各邊的坐標方位角改正數(shù)，并計算其系數(shù)列出誤差方程。據(jù)此，實際計算時，只要對每條待定邊計算一個方向的坐標方位角改正數(shù)方程即可?？刂茰y量3、測邊網(wǎng)坐標平差誤差方程列立如下圖2為某一測邊網(wǎng)中的任意一條邊， ， 為兩個待定點，它們的近似坐標為 ，改正數(shù)為 則 ， 的坐標平差值為 jk0000,;,kkjjyxyxkkjjyxyx,;,jkjjjjjjyyyxxx00kkkkkkyyyxxx00kisj由右圖2可寫出的平差值方程為is 22)()(jkjkiiiyyxxvss圖2控制測量 按臺勞公式展開， 得kjikjijkijkijkjkiiyysxxsyysxxsyyxxvs0000200200)()(ikjkjkkjkjkjjkjkjjkjkilysyxsxysyxsxv00000000