高考數(shù)學(xué)中利用空間向量解決立體幾何的向量方法五——在立體幾何中綜合應(yīng)用課件

1、高考數(shù)學(xué)中利用空間向量解決立體幾何的向量方法五在立體幾何中綜合應(yīng)用在立體幾何中的應(yīng)用在立體幾何中的應(yīng)用5 5高考數(shù)學(xué)中利用空間向量解決立體幾何的向量方法五在立體幾何中綜合應(yīng)用 前段時間我們研究了用空間向量求前段時間我們研究了用空間向量求角角(包括線線角、線面角和面面角包括線線角、線面角和面面角)、求距離求距離(包括線線距離、點面距離、線包括線線距離、點面距離、線面距離和面面距離面距離和面面距離) 今天我來研究如何利用空間向量來今天我來研究如何利用空間向量來解決立體幾何中的有關(guān)證明及計算問解決立體幾何中的有關(guān)證明及計算問題。題。高考數(shù)學(xué)中利用空間向量解決立體幾何的向量方法五在立體幾何中綜合應(yīng)用高

2、考數(shù)學(xué)中利用空間向量解決立體幾何的向量方法五在立體幾何中綜合應(yīng)用 一、一、 用空間向量處理用空間向量處理“平行平行”問問題題 高考數(shù)學(xué)中利用空間向量解決立體幾何的向量方法五在立體幾何中綜合應(yīng)用RDBCAA1QPNMD1C1B1例例1.在正方體在正方體ABCD-A1B1C1D1中，中，P、Q分別是分別是A1B1和和BC上的動點，且上的動點，且A1P=BQ，M是是AB1的中點，的中點，N是是PQ的的中點中點. 求證：求證： MN平面平面AC.（）（）M是中點，是中點，N是中點是中點 MNRQ MN平面平面AC高考數(shù)學(xué)中利用空間向量解決立體幾何的向量方法五在立體幾何中綜合應(yīng)用DBCAA1QPNMD1

3、C1B1法（）法（）作作PP1AB于于P1，作作MM1 AB于于M1，連結(jié)連結(jié)QP1， 作作NN1 QP1于于N1，連結(jié)連結(jié)M1N1N1M1P1NN1PP1 MM1AA1又又NN1、MM1均等于邊長的一半均等于邊長的一半故故MM1N1N是平行四邊形，故是平行四邊形，故MNM1N1MN平面平面AC高考數(shù)學(xué)中利用空間向量解決立體幾何的向量方法五在立體幾何中綜合應(yīng)用DBCAA1QPNMD1C1B1zyxo證明：建立如圖證明：建立如圖所示的空間直角所示的空間直角坐標(biāo)系坐標(biāo)系o-xyz設(shè)正方形邊長為設(shè)正方形邊長為2，又又A1P=BQ=2x則則P(2，2x，2)、Q(2-2x，2，0) 故故N(2-x,

4、1+x, 1),而而M(2, 1, 1)MN所以向量所以向量 (-x, x, 0)，又平面，又平面AC的法的法向量為向量為 (0, 0, 1)， n0nMN又又M不在平面不在平面AC 內(nèi)，所以內(nèi)，所以MN平面平面ACnMN高考數(shù)學(xué)中利用空間向量解決立體幾何的向量方法五在立體幾何中綜合應(yīng)用DCBAD1C1B1A1例例2.在正方體在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：中，求證： 平面平面A1BD平面平面CB1D1(1)平行四邊形平行四邊形A1BCD1 A1BD1C平行四邊形平行四邊形DBB1D1 B1D1BD于是平面于是平面A1BD平面平面CB1D1高考數(shù)學(xué)中利用空間向量解決立體幾何的向量方

5、法五在立體幾何中綜合應(yīng)用DCBAD1C1B1A1ozyx(2)證明：建立如圖所示證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系的空間直角坐標(biāo)系o-xyz設(shè)正方形邊長為設(shè)正方形邊長為1，則向量則向量)1 , 0 , 1 (1DA)0 , 1 , 1 (DB設(shè)平面設(shè)平面BDA1的法向量的法向量為為),(zyxn 則有則有x+z=0 x+y=0令令x=1,則得方程組的解為則得方程組的解為x=1 y=-1 z=-1故平面故平面BDA1的法向量為的法向量為) 1, 1, 1 (n高考數(shù)學(xué)中利用空間向量解決立體幾何的向量方法五在立體幾何中綜合應(yīng)用同理可得平面同理可得平面CB1D1的法向量為的法向量為) 1 , 1 ,

6、 1(m則顯然有則顯然有mn即得兩平面即得兩平面BDA1和和CB1D1的法向量平行的法向量平行所以所以 平面平面BDA1CB1D1DCBAD1C1B1A1ozyx高考數(shù)學(xué)中利用空間向量解決立體幾何的向量方法五在立體幾何中綜合應(yīng)用DCBAD1C1B1A1FGHE例例3.在正方體在正方體ABCD-A1B1C1D1中，中，E、F、G、H分別是分別是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的的中點中點. 求證：求證： 平面平面AEH平面平面BDGFADGF，AD=GF又又EHB1D1，GFB1D1 EHGF平行四邊形平行四邊形ADGE AEDG 故得平面故得平面AEH平面平面BDGF高考數(shù)學(xué)中利用空間向

7、量解決立體幾何的向量方法五在立體幾何中綜合應(yīng)用DCBAD1C1B1A1HGFEozyx略證：建立如圖所示的略證：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系o-xyz則求得平面則求得平面AEF的法向的法向量為量為) 1 , 2 , 2(n求得平面求得平面BDGH的法向的法向量為量為) 1 , 2 , 2(m顯然有顯然有nm故故 平面平面AEH平面平面BDGF高考數(shù)學(xué)中利用空間向量解決立體幾何的向量方法五在立體幾何中綜合應(yīng)用 二、二、 用空間向量處理用空間向量處理“垂直垂直”問問題題 高考數(shù)學(xué)中利用空間向量解決立體幾何的向量方法五在立體幾何中綜合應(yīng)用 二、二、 用空間向量處理用空間向量處理“垂直垂

8、直”問問題題 0mnnmnmnm高考數(shù)學(xué)中利用空間向量解決立體幾何的向量方法五在立體幾何中綜合應(yīng)用: ,.ABCD A B C DCC BDA FBDE例5 在正方體中.E,F分別是的中點.求證：平面FEXYZ,DA DC DDxyzA 證明:如圖取分別為軸, 軸, 軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長為2.A(2,0,0),B(2,2,0), (2,0,2)E(0,2,1),F(1,1,0)( 1,1, 2),(2,2,0),(0,2,1)( 1,1, 2) (2,2,0)0( 1,1, 2) (0,2,1)0, ,.A FDBDEA F DBA F DEA FDB A FDEDBDEDA

9、FBDE 又平面例4高考數(shù)學(xué)中利用空間向量解決立體幾何的向量方法五在立體幾何中綜合應(yīng)用ADBPCMN練習(xí)1高考數(shù)學(xué)中利用空間向量解決立體幾何的向量方法五在立體幾何中綜合應(yīng)用ADBPCMN證明證明: 分別以分別以 為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系 , ,i j k Axyzxyz,1PAADABPAAC ADABDAi ABj APk PA 且且平平面面可可設(shè)設(shè)(0,0,0),(0,1,0),( 1,1,0),( 1,0,0),ABCD(0,0,1)P11 1 1(0,0),(, )22 2 2MN 11(,0,)22MN ( 1,0, 1)PD (0,1,0)DC 11

10、(,0,) ( 1,0, 1)022MNPDMNPD 11(,0,) (0,1,0)022MNDCMNDC PDDCDMNPDC 又又平平面面高考數(shù)學(xué)中利用空間向量解決立體幾何的向量方法五在立體幾何中綜合應(yīng)用例例6 6：如圖，在正三棱柱：如圖，在正三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中，中，AB=AAAB=AA1 1/3=a/3=a，E E、F F分別是分別是BBBB1 1、CCCC1 1上上的點，且的點，且BE=aBE=a，CF=2a CF=2a 。 求證求證: : 面面AEFAEF 面面ACFACF。AFEC1B1A1CBxzy高考數(shù)學(xué)中利用空間向量解決立體幾何的向量方

11、法五在立體幾何中綜合應(yīng)用不防設(shè)不防設(shè) a =2a =2，則，則A A（0 0，0 0，0 0），），B B（ 3 3 ，1 1，0 0）C C（0 0，2 2，0 0），），E E（ 3 3，1 1，2 2） F F（0 0，2 2，4 4），），AE=AE=（ 3 3，1 1，2 2）AF=AF=（0 0，2 2，4 4），因為，），因為，x x軸軸 面面ACF ACF 所以所以 可可取面取面ACFACF的法向量為的法向量為m=m=（1 1，0 0，0 0），設(shè)），設(shè)n=n=（x,y,z)x,y,z)是面是面AEFAEF的法的法向量，則向量，則AFEC1B1A1CBzyxnAE=nAE= 3

12、x+y+2z=03x+y+2z=0nAF=2y+4z=0nAF=2y+4z=0 x=0 x=0y= -2zy= -2z令令z=1z=1得得, , n=n=（0 0，-2 -2，1 1）顯然有顯然有m n=0m n=0，即，即，m m n n面面AEFAEF 面面ACFACF證明：如圖，建立空間直角證明：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz A-xyz ，高考數(shù)學(xué)中利用空間向量解決立體幾何的向量方法五在立體幾何中綜合應(yīng)用ADCB求證：平面求證：平面MNC平面平面PBC；已知已知ABCD是矩形，是矩形，PD平面平面ABCD，PDDCa，AD ，M、N分分別是別是AD、PB的中點。的中點。a2P

13、MN練習(xí)練習(xí)2高考數(shù)學(xué)中利用空間向量解決立體幾何的向量方法五在立體幾何中綜合應(yīng)用小結(jié)：小結(jié)： 利用向量的有關(guān)知識解決一些立體幾何的問題，是利用向量的有關(guān)知識解決一些立體幾何的問題，是近年來很近年來很“熱熱”的話題，其原因是它把有關(guān)的的話題，其原因是它把有關(guān)的“證明證明”轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為“程序化的計算程序化的計算” 。本課時講的內(nèi)容是立體幾。本課時講的內(nèi)容是立體幾何中的證明何中的證明“線面平行、垂直線面平行、垂直”的一些例子，結(jié)合我們的一些例子，結(jié)合我們以前講述立體幾何的其他問題以前講述立體幾何的其他問題(如：求角、求距離等如：求角、求距離等)，大家從中可以進一步看出基中一些解題的大家從中可以進一步看出基中一些解題的“套路套路”。 利用向量解題利用