橢圓的幾何性質(zhì)及綜合問(wèn)題講解

1、橢圓的幾何性質(zhì)、概念及性質(zhì)1. 橢圓的“范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、軸長(zhǎng)、焦距、離心率及范圍、a,b,c 的關(guān)系”；2. 橢圓的通經(jīng)：3. 橢圓的焦點(diǎn)三角形的概念及面積公式：4. 橢圓的焦半徑的概念及公式：主要用來(lái)求離心率的取值范圍，對(duì)于此問(wèn)題也可以用下列性質(zhì)求解：a c PF1 a c5. 直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系：6. 橢圓的中點(diǎn)弦問(wèn)題： 【注】：橢圓的幾何性質(zhì)是高考的熱點(diǎn)，高考中多以小題出現(xiàn)，試題難度一般較大，高 考對(duì)橢圓幾何性質(zhì)的考查主要有以下三個(gè)命題角度：(1) 根據(jù)橢圓的性質(zhì)求參數(shù)的值或范圍；(2) 由性質(zhì)寫(xiě)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(3) 求離心率的值或范圍題型一：根據(jù)橢圓的性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程、參數(shù)的值或

2、范圍、離心率的值或范圍【典例 1】求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：3(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn) P( 3,0), Q ( 0, 2) ；( 2)長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于 20，離心率等于 .5典例2】求橢圓 16x2 25y2 400 的長(zhǎng)軸和短軸長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo)典例且直線(xiàn)223】已知 A，P，Q 為橢圓 C： x2 y2 1(a b 0)上三點(diǎn)，若直線(xiàn) PQ 過(guò)原點(diǎn)， a2 b21，則橢圓 C 的離心率為( )21D.4AP， AQ的斜率之積為2C.42by21(ab0)的一個(gè)焦點(diǎn)是圓為 8，則橢圓的左頂點(diǎn)為 ( ) A(3，0)B( 4，0)C(10，0)x2 y24(2)橢圓 x y 1的離心率為 4

3、，則 k的值為 (9 4 k51919A21B21C 或 21D 或 21252522(3)設(shè)橢圓 C：xa2yb21(ab0)的左，右焦點(diǎn)為 F1，F(xiàn)2，過(guò) F2作 x 軸的垂線(xiàn)與 C相交于 A， B兩點(diǎn)， F1B 與 y軸相交于點(diǎn) D，若 ADF1B，則橢圓 C 的離心率等于 22【典例 4】已知 F1， F2為橢圓 xa2yb21(ab0)的左，右焦點(diǎn)， P 為橢圓上任意一點(diǎn)，且2A.2練習(xí)】1B.2(1)已知橢圓22 x a2x2y26x80 的圓心，且短軸長(zhǎng)D(5，0)PF1 5PF2 ，則該橢圓的離心率的取值范圍是22練習(xí)：如圖，把橢圓 x y 1的長(zhǎng)軸 AB 分成 8 等份，過(guò)每

4、個(gè)分點(diǎn)作 x 軸的垂線(xiàn)交橢圓25 16的上半部分與 P1,P2,P7七個(gè)點(diǎn)， F 是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則 PF1 PF2PF722【典例 5】若 “過(guò)橢圓 x2y21（ab 0）的左，右焦點(diǎn) F1 ，F(xiàn) 2的兩條互相垂直的直線(xiàn) l1， abl2 的交點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部” ，求離心率的取值范圍【典例 6】已知橢圓 C： 分別為 A， B，線(xiàn)段 MN22M 關(guān)于 C 的焦點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)x y 1，點(diǎn) M 與 C 的焦點(diǎn)不重合若94的中點(diǎn)在 C上，則 |AN|BN|【方法歸納】 ：1. 在利用橢圓的性質(zhì)求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)， 總體原則是“先定位，再定量” .2. 求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，其 原則是“數(shù)

5、形結(jié)合，定義優(yōu)先，幾何性質(zhì)簡(jiǎn) 化”，一定要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸等橢圓的基本量時(shí)，要理 清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系， 充分利用平面幾何的性質(zhì)及有關(guān)重要結(jié)論來(lái)探尋參數(shù)a,b,c之間的關(guān)系，以減少運(yùn)算量3. 在求解有關(guān)圓錐曲線(xiàn)焦點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，結(jié)合圖形，注意動(dòng)點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離的轉(zhuǎn)化4. 求橢圓的離心率或其范圍時(shí)， 一般是依據(jù)題設(shè)得出一個(gè)關(guān)于 a，b，c的等式 （或不等 式），利用 a2b2c2消去 b，即可求得離心率或離心率的范圍；有時(shí)也可利用正弦、余弦的 有界性求解離心率的范圍5. 在探尋 a, b,c 的關(guān)系時(shí)，若能充分考慮平面幾何的性質(zhì)，則可使問(wèn)題簡(jiǎn)化，如典例 5. 【本節(jié)練習(xí)】3

6、8，離心率是 422 2y21或x2y21 77 161已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是 8，離心率是 ，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 （ 22 xyA 1 A 16 72B1x6222C1x622y521）22Dx2y2116 252或2x52 y21 1622.設(shè) e是橢圓 x4k1的離心率，且e（12，1），則實(shí)數(shù) k 的取值范圍是 （A（0， 3）B（3，136） C（0，3）（136， ） D（0，2）B1，B2，焦點(diǎn)為 F1，F(xiàn)2，若四邊形 B1F1B2F2 是正方形，則這個(gè)橢圓的離心率e等于 （）A22B12 C 23D 3322234.如圖，x2焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓 x y2y2 1 的離心率3.

7、已知橢圓短軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn)， P 是橢圓上任意一點(diǎn)，則e12， F， A 分別是PFPA的最大值為22xy5.已知橢圓 C： 2 2 1（a b 0）的左、右焦點(diǎn)為 F1,F2 ，離心率為 a2 b23 ，過(guò) F2的直3線(xiàn) l 交 C于A,B 兩點(diǎn)，若 AF1B的周長(zhǎng)為 4 3，則 C 的方程為（22xyA. 1322xB.32y2 122xyC. 112 82xD.122y246.已知 F1、F2 是橢圓21x0202y 1 的兩個(gè)焦點(diǎn)， P 是橢圓上一點(diǎn)，64PF1 PF2，則 F1PF2的面積為7.設(shè) F1,F2 是橢圓22E： x2 y2 1(a b 0) 的左

8、、右焦點(diǎn)， a2 b23aP 為直線(xiàn) x 3a 上一點(diǎn)2F 2 PF1是底角為 300的等腰三角形，則 E 的離心率為（ ）1 A.22 B.33 C.44 D.58.過(guò)橢圓22 x2 y2 a2 b21(ab 0） 的左焦點(diǎn)則橢圓的離心率為（F1PF2 600 ，F(xiàn)1作 x 軸的垂線(xiàn)交橢圓于點(diǎn) P，F(xiàn)2 為右焦點(diǎn)， 若53A. B.231 C.21 D.32x9.已知橢圓 2a2 b1（a b 0）的左焦點(diǎn)為 F，右頂點(diǎn)為 A，上頂點(diǎn)為 B，若 BF BA ，則稱(chēng)其為“優(yōu)美橢圓”，那么“優(yōu)美橢圓”的離心率為10.已知 F1 為橢圓的左焦點(diǎn)， A，B 分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)， P 為橢圓上

9、的點(diǎn)，當(dāng)PF1 F1A，POAB（O 為橢圓中心）時(shí)，橢圓的離心率為2211已知方程 x y 1 表示焦點(diǎn)在 y軸上的橢圓，則實(shí)數(shù) k的取值范圍是 （ ） 2k 2k 111A（2， 2） B（1， ） C（1，2） D（2， 1）12矩形 ABCD 中，|AB|4，|BC|3，則以 A，B為焦點(diǎn)，且過(guò) C，D 兩點(diǎn)的橢圓的短軸的 長(zhǎng)為 ( )F1，F(xiàn)2在 x軸上， P(2， )2 2 2y 1Cx y 11C8 41|PF1|，|F1F2|，22A 2 3B 2 6C4 2D4 3 13一個(gè)橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)A|PF 2|成等差數(shù)列，則橢圓方程為 ( x2y21B x28 6 16 614

10、. 如圖，已知拋物線(xiàn) y2 2px(p0)的焦點(diǎn)恰好是橢圓 x2y21(ab0)的 ab右焦點(diǎn) F ，且這兩條曲線(xiàn)交點(diǎn)的連線(xiàn)過(guò)點(diǎn)F ，則該橢圓的離心率為2 2 2xxy15. 已知拋物線(xiàn) y與橢圓 2 1(a 0)在第一象限相交于 A點(diǎn)，F(xiàn) 為拋物線(xiàn)的焦4a2 18點(diǎn)， ABy軸于 B點(diǎn)，當(dāng) BAF =300時(shí)， a=2216. 設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓 x y 1的左、右焦點(diǎn)， P為橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn) M的坐標(biāo)為(6，25 164)，則 |PM|PF1|的最大值為 2217橢圓3x6y91 上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) P、Q，E(3，0)，EPEQ，則EPQP的最小值為 ( )A 6B 3 3C9D 126

11、318橢圓對(duì)稱(chēng)軸在坐標(biāo)軸上， 短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形， 焦點(diǎn)到橢圓上 的點(diǎn)的最短距離是 3，則這個(gè)橢圓方程為 19若一個(gè)橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度，短軸的長(zhǎng)度和焦距依次成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是 20.已知圓錐曲線(xiàn) mx24y24m 的離心率 e 為方程 2x25x20 的根，則滿(mǎn)足條件的圓錐 曲線(xiàn)的個(gè)數(shù)為 ( )A 4B 3C2D 12214. 橢圓 :x2 y2 1a b 0 的左右焦點(diǎn)分別為 F1,F2 ,焦距為 2c，若直線(xiàn) aby 3 x c 與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)滿(mǎn)足MF1F2 2 MF2F1,則該橢圓的離心率等于 22設(shè) F1(c, 0), F2(c, 0)是橢圓 x2 y2

12、 1(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)， P是以 | F1F2| 為直徑的圓與橢圓 a2 b2的一個(gè)交點(diǎn)，且PF1F2=5PF2F1，則該橢圓的離心率為4A) 1 6 ( B) 332C) 222D) 323x2 y2 若橢圓 2 2 1 的焦點(diǎn)在ab 直線(xiàn) AB 恰好經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，則橢圓方程是1（a b 0）的右焦點(diǎn)為 F 1，左焦點(diǎn)為切點(diǎn)為線(xiàn)段 PF1 的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為 （ ） 5D59x 軸上， 過(guò)點(diǎn)11，1 ）作圓222x2+y2=1的切線(xiàn)， 切點(diǎn)分別為 A,B，2221.已知橢圓 ax2 yb2段 PF1 相切于以橢圓的短軸為直徑的圓，C 2252A 3 B 322. 已知

13、A,P,Q 為橢圓2 x C: 2 a2y22b2AP, AQ的斜率之積為A 22BF2，若橢圓上存在一點(diǎn) P，滿(mǎn)足線(xiàn)1（a b 0） 上三點(diǎn)，若直線(xiàn) PQ 過(guò)原點(diǎn)，且直線(xiàn)則橢圓 C 的離心率等于 （C 24D題型二：直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系的判定典例 1】當(dāng) m 為何值時(shí)，直線(xiàn) l : y x m與橢圓 9x2 16y2 144 相切、 相交、 相離？22典例 2】已知橢圓x y 1，直線(xiàn) l :4x 5y 40 0 ，橢圓上是否存在一點(diǎn)，它到25 9直線(xiàn) l 的距離最小？最小距離是多少？22反饋：（2012 福建）如圖，橢圓 E： x2 y2 1（a b 0） 的左右焦點(diǎn)分別為 F1、F2，離

14、 a2 b21心率 e，過(guò) F1 的直線(xiàn)交橢圓于 A，B兩點(diǎn)，且 ABF2 的周長(zhǎng)為 8.2（1）求橢圓 E 的方程；（2）設(shè)動(dòng)直線(xiàn) l： y kx m 與橢圓 E 有且只有一個(gè)公共點(diǎn) P，且與直線(xiàn) x=4 交于 Q，試 探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)，是否存在定點(diǎn) M ，使得以 PQ 為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn) M，若存在，求出 點(diǎn) M 的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 .【方法歸納】 ： 直線(xiàn)與橢圓位置關(guān)系判斷的步驟： 聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程； 消元得出關(guān)于 x（或 y）的一元二次方程； 當(dāng) 0 時(shí)，直線(xiàn)與橢圓相交；當(dāng) 0 時(shí)，直線(xiàn)與橢圓相切；當(dāng) b0）經(jīng)過(guò)點(diǎn) （0， 3），離 1心率為 21，左，右焦點(diǎn)分別為

15、F1（c，0）， F2（c，0）（1）求橢圓的方程；1（2）若直線(xiàn) l：y2xm 與橢圓交于 A，B兩點(diǎn)，與以F1F2 為直徑的圓交于 C，D 兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足 |AB| 5 3，求直|CD| 4線(xiàn) l 的方程【典例 3】已知一直線(xiàn)與橢圓 4x2 9y2 36相交于 A,B兩點(diǎn)，弦 AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為 M（1,1）， 求直線(xiàn) AB 的方程 .1x2 y2變式： 過(guò)點(diǎn) M （1,1）作斜率為 1 的直線(xiàn)與橢圓 C ： x2 y2 1（a b 0） 相交于 A,B ，若2a2 b2M 是線(xiàn)段 AB 的中點(diǎn)，則橢圓 C 的離心率為2,點(diǎn)222C: ax2 by2 1 a b 0 的 離心率為2, 2 在

16、C 上.I）求 C 的方程；II）直線(xiàn) l 不經(jīng)過(guò)原點(diǎn) O，且不平行于坐標(biāo)軸， l 與 C 有兩個(gè)交點(diǎn) A，B，線(xiàn)段 AB 中點(diǎn)為M ，證明：直線(xiàn) OM 的斜率與直線(xiàn) l 的斜率的乘積為定值典例 5】已知點(diǎn) A （ 0，-2），橢圓 E ：22x2 y2 1(a b 0) 的離心率為 abF 是橢圓的焦點(diǎn)，直線(xiàn) AF 的斜率為 2 3 ， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)3）求 E 的方程；）設(shè)過(guò)點(diǎn) A的直線(xiàn) l 與 E相交于 P,Q兩點(diǎn)，當(dāng) OPQ 的面積最大時(shí)，求 l 的方程 .【典例 6】已知橢圓 C 的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)， 焦點(diǎn)在 x 軸上，橢圓 C 上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最 大值為 3，最小值為 1.（1）

17、 求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2） 若直線(xiàn) l：y kx m與橢圓 C相交于 A，B兩點(diǎn)（ A，B均不在左右頂點(diǎn)） ，且以 AB為 直徑的圓過(guò)橢圓 C 的右頂點(diǎn) . 求證：直線(xiàn) l 過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo) .【方法歸納】 ：（ 1）解決直線(xiàn)與橢圓相交問(wèn)題的原則有兩個(gè)：一是數(shù)形結(jié)合 ；二是一條主線(xiàn)： “斜率、方程組、判別式、根與系數(shù)的關(guān)系” . 利用根與系數(shù)的關(guān)系整體代換，以減少運(yùn)算量 .（2）如果題設(shè)中沒(méi)有對(duì)直線(xiàn)的斜率的限定，一定要討論斜率是否存在，以免漏解；這 里又有兩個(gè)問(wèn)題需要注意：若已知直線(xiàn)過(guò)y 軸上的定點(diǎn) P（0,b），可將直線(xiàn)設(shè)為斜截式，即縱截距式，即 y=kx+b，但要討論斜率是

18、否存在；若已知直線(xiàn)過(guò)x 軸上的定點(diǎn) P（a,0），可以直接將直線(xiàn)方程設(shè)為橫截距式，即x=my+a，這樣可避免討論斜率是否存在，但此時(shí)求弦長(zhǎng)1時(shí)，需將下面弦長(zhǎng)公式中的 k 用 1 替換 .m（3）直線(xiàn)被橢圓截得的弦長(zhǎng)公式設(shè)直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)為 A（x1，y1）、B（x2，y2），則 |AB| （ 1k2）（ x1 x2） 2 4x1x2 （1k12）（y1y2）24y1y2（k 為直線(xiàn)斜率 ）【本節(jié)練習(xí)】21. （2014 高考安徽卷 ）設(shè) F1，F(xiàn)2 分別是橢圓 E：x2by21（0b1）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) F1的直 線(xiàn)交橢圓 E 于 A，B 兩點(diǎn)若 |AF1|3|F1B|，AF2x 軸，則橢圓

19、 E的方程為 222. （2015 豫西五校聯(lián)考 ）已知橢圓 x4yb21（0b b0)的離心率為 36，右焦點(diǎn)為 (2 2， 0)斜率為 1 的直線(xiàn) l 與橢圓 G交于 A， B兩點(diǎn)，以 AB 為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為 P( 3， 2)(1)求橢圓 G 的方程；(2)求 PAB 的面積15.已知橢圓 C 的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上，焦距為 2，離心率為 21(1)求橢圓 C 的方程；(2)設(shè)直線(xiàn) l經(jīng)過(guò)點(diǎn) M(0，1)，且與橢圓 C交于 A，B兩點(diǎn)，若 AM 2MB ，求直線(xiàn) l的方 程x2 y235.已知橢圓 x2 y2 1(a b 0)的離心率為 3 ，右焦點(diǎn)到直線(xiàn) x y 6 0

20、 的 a b2距離為 2 3.(1) 求橢圓的方程；7(2)過(guò)點(diǎn) M(0, 1)作直線(xiàn) l交橢圓于 A，B兩點(diǎn)，交x軸于 N點(diǎn)，滿(mǎn)足 NA7NB，5 求直線(xiàn) l 的方程 .x2 y236.已知橢圓 x2 y2 1(a b 0) 的離心率為 3 ，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 12，過(guò)點(diǎn) P(4,2) 的a2 b22直線(xiàn) l 與橢圓交于 A,B 兩點(diǎn) .(1) 求橢圓方程；(2)當(dāng)直線(xiàn) l 的斜率為 1時(shí)，求 AB 的值； (3) 當(dāng)點(diǎn) P恰好為線(xiàn)2段 AB的中點(diǎn)時(shí)，求直線(xiàn) l 的方程 .227. 平面直角坐標(biāo)系 xoy 中, 過(guò)橢圓 M： x2 y2 1(a b 0) 的右焦點(diǎn) F 作直線(xiàn) ab1x y 3 0

21、交M于A，B兩點(diǎn)， P為AB的中點(diǎn),且OP的斜率為 1.2()求 M 的方程;( ) C, D為M上的兩點(diǎn),若四邊形 ACBD的對(duì)角線(xiàn)CDAB,求四邊形 ACBD面積的最大值 .228. 設(shè)F1, F2分別是橢圓 E:x2 y2 1(a b 0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò) F1斜率為 1的直線(xiàn) l與 abE 相交于 A,B 兩點(diǎn)，且 AF2 , AB , BF2 成等差數(shù)列1)求 E 的離心率；2) 設(shè)點(diǎn) p(0, 1) 滿(mǎn)足 PA PB ，求 E 的方程 .229. 設(shè) F1 ， F2分別是橢圓 C： x2 y2 1( ab0)的左，右焦點(diǎn)， M 是 C 上一點(diǎn)且 MF2 a2 b2與 x 軸垂直，直

22、線(xiàn) MF1 與 C 的另一個(gè)交點(diǎn)為 N.3(I)若直線(xiàn) MN 的斜率為 ，求 C 的離心率；4(II)若直線(xiàn) MN 在 y軸上的截距為 2 且| MN|=5| F1N|，求 a，b.2210 如圖，點(diǎn) F1( c，0)，F(xiàn)2(c，0)分別是橢圓 C：xa2yb21(ab0)的左，右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) F1作 x軸的垂線(xiàn)交橢圓 C 的上半部分于點(diǎn) P， 2過(guò)點(diǎn) F2作直線(xiàn) PF2的垂線(xiàn)交直線(xiàn) xa于點(diǎn) Qc(1)如果點(diǎn) Q 的坐標(biāo)是 (4， 4)，求此時(shí)橢圓 C 的方程； (2)證明：直線(xiàn) PQ 與橢圓 C 只有一個(gè)交點(diǎn)2211.已知橢圓 C：x2 2y24（1）求橢圓 C 的離心率；（2）設(shè) O為原點(diǎn)

23、，若點(diǎn) A在直線(xiàn) y2上，點(diǎn) B在橢圓 C 上，且 OAOB， （文）求線(xiàn)段 AB 長(zhǎng)度的最小值（理）試判斷直線(xiàn) AB 與圓 x2 y2 2 的位置關(guān)系 .圓錐曲線(xiàn)在高考中的考查主要體現(xiàn) “一條主線(xiàn) ,五種題型” ,所謂一條主線(xiàn) :是指直線(xiàn)與圓 錐曲線(xiàn)的綜合 .五種題型是指“最值問(wèn)題；定點(diǎn)問(wèn)題；定值問(wèn)題；參數(shù)的取值范圍問(wèn)題；存 在性問(wèn)題” .一、最值問(wèn)題【規(guī)律方法】 ：（1）最值問(wèn)題有兩大類(lèi)：距離、面積的最值以及與之有關(guān)的一些問(wèn)題；求直線(xiàn)或圓錐曲線(xiàn) 中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時(shí)確定與之有關(guān)的一些問(wèn)題 .（2）兩種常見(jiàn)方法：幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮 利

24、用圖形性質(zhì)來(lái)解題； 代數(shù)法， 若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系， 則可先 建立起目標(biāo)函數(shù)， 再求這個(gè)函數(shù)的最值， 最值常用基本不等式法； 若是分式函數(shù)則可先分離 常數(shù)，再求最值；若是二次函數(shù)，可用配方法；若是更復(fù)雜的函數(shù)，還可用導(dǎo)數(shù)法 .（3）圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題要四重視：重視定義在解題中的作用； 重視平面幾何知識(shí)在解題中的作用； 重視根與系數(shù)的關(guān)系 在解題中的作用；重視曲線(xiàn)的幾何特征與方程的代數(shù)特征在解題中的作用.如定值中 2014江西文科考題，范圍中的題 6、 7.2 x21. 已知橢圓 C： 2 y2 1（ a0）的焦點(diǎn)在 x 軸上，右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)分別為 A、B.頂點(diǎn)在 a2原點(diǎn)

25、，分別以 A、B為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn) C1、C2交于點(diǎn) P（不同于 O點(diǎn)），且以 BP 為直徑的圓 經(jīng)過(guò)點(diǎn) A.（）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若與 OP 垂直的動(dòng)直線(xiàn) l 交橢圓 C 于 M、 N 不同兩點(diǎn)，求 OMN 面積的最大值和此 時(shí)直線(xiàn) l 的方程 .222.已知橢圓 C：x2 y2 1（a b 0） 的上頂點(diǎn)為（ 0，1），且離心率為 a2 b2）求橢圓 C 的方程；22）證明：過(guò)橢圓xy2 2 1(m n 0) 上 一 點(diǎn) Q(x0, y0 ) 的 切 線(xiàn) 方 程 為 mnx0 x y0y 1；2 2 1 mn）從圓x2 y2 16 上一點(diǎn)P 向橢圓 C 引兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A、B

26、，當(dāng)直線(xiàn) AB 分別與 x軸、 y軸交于 M、N 兩點(diǎn)時(shí)，求MN的最小值 .1023. 已知?jiǎng)狱c(diǎn) P到定點(diǎn) F（ 1，0）和到定直線(xiàn) x=2 的距離之比為 ，設(shè)動(dòng)點(diǎn) P的軌跡為曲線(xiàn)2E，過(guò)點(diǎn) F 作垂直于 x軸的直線(xiàn)與曲線(xiàn) E 相交于 A， B兩點(diǎn)，直線(xiàn) l： y mx n與曲線(xiàn) E 交于 C、D 兩點(diǎn)，與線(xiàn)段 AB 相交于一點(diǎn)（與 A、B 不重合） .（）求曲線(xiàn) E 的方程；22（）當(dāng)直線(xiàn) l 與圓 x2 y2 1 相切時(shí)，四邊形 ACBD 的面積是否有最大值 .若有，求出其 最大值及相應(yīng)的直線(xiàn) l 的方程；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由 .4. 已知點(diǎn) A （ 0，-2），橢圓 E ：22x2 y2

27、1(a b 0) 的離心率為 abF 是橢圓的右焦點(diǎn)，直線(xiàn) AF 的斜率為 2 3 ， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)3）求 E 的方程；）設(shè)過(guò)點(diǎn) A的動(dòng)直線(xiàn) l 與E相交于 P,Q兩點(diǎn)，當(dāng) OPQ的面積最大時(shí)，求 l的方程 .5.平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知橢圓22xyC : 2 2 1(a bab30） 的離心率為，且點(diǎn)2（ 3,12） 在橢圓 C上，（）求橢圓 C 的方程；22() 設(shè)橢圓 E : x 2 y 2 1，4a2 4b2P 為橢圓 C 上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P 的直線(xiàn) y kx m 交橢圓E于A, B兩點(diǎn)，射線(xiàn) PO交橢圓 E于點(diǎn)Q.）求 OQ 的值； OP）求 ABQ 面積的最大值。二、定

28、值問(wèn)題 解析幾何中的定值問(wèn)題是指某些幾何量 （線(xiàn)段的長(zhǎng)度、 圖形的面積、 角的度數(shù)、 直線(xiàn)的斜率、 某些代數(shù)表達(dá)式的值等） 的大小與題目中的參數(shù)無(wú)關(guān)， 不依參數(shù)的變化而變化， 而始終是一 個(gè)確定的值 .解決圓錐曲線(xiàn)中的定值問(wèn)題的基本思路是：定值問(wèn)題必然是在變化中所表現(xiàn)出數(shù)量積、 比例關(guān)系等，這些直來(lái)的不變量，那么就可以用變化的量表示問(wèn)題中的直線(xiàn)方程、11線(xiàn)方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等不受變化的量所影響的一個(gè)值即為定值 . 求定值的基本方法：1.直接推理計(jì)算，通過(guò)消參得到定值：直接推理計(jì)算，通過(guò)消參得到定值的關(guān)鍵在于引 進(jìn)參數(shù)表示直線(xiàn)方程、數(shù)量積、 比例關(guān)系等， 根據(jù)等式恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參

29、數(shù)影 響的量（如 2015 高考文科）2. 從特殊入手，求出定值，再證明，即從特殊到一般法：從動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)直線(xiàn)的特殊位置入 手，計(jì)算出定值或定點(diǎn)，然后驗(yàn)證一般情形，即證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān) . 【注】：無(wú)論哪種方法，其求解過(guò)程仍始終貫穿一條主線(xiàn) .1.已知橢圓 C： x2 y2 1（a b 0） 的離心率為 2 ，點(diǎn) （2, 2） 在 C 上.a2 b22（1）求 C 的方程；（2）直線(xiàn) l 不過(guò)原點(diǎn) O 且不平行于坐標(biāo)軸， l 與 C 有兩個(gè)交點(diǎn) A，B，線(xiàn)段 AB 的中點(diǎn)為 M.證明：直線(xiàn) OM 的斜率與直線(xiàn) l 的斜率的乘積為定值2 2 22.已知橢圓 C：9x2 y2 m2（m 0），直線(xiàn)

30、l不過(guò)原點(diǎn) O且不平行于坐標(biāo)軸， l與 C有兩 個(gè)交點(diǎn) A， B，線(xiàn)段 AB 的中點(diǎn)為 M.（）證明：直線(xiàn) OM 的斜率與 l 的斜率的乘積為定值；（）若 l 過(guò)點(diǎn) m,m ，延長(zhǎng)線(xiàn)段 OM 與 C 交于點(diǎn) P，四邊形 OAPB 能否為平行四邊形？ 3若能，求此時(shí) l 的斜率；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由 .223. 已知?jiǎng)又本€(xiàn) l與橢圓 C： x3 y2 1交于 P x1,y1 ,Q x2,y2 兩不同點(diǎn)，且 OPQ 的32面積 S OPQ ，其中 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)（）證明：2 2 2 2x12 x22 和 y12 y22 均為定值；）設(shè)線(xiàn)段 PQ的中點(diǎn)為 M ，求 OM PQ 的最大值；） 橢圓 C

31、上是否存在三點(diǎn)D,E,G ，使得 S ODE S ODG？若存在，斷 DEG 的形狀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由安排此題的目的有兩個(gè)：是在處理 （1）時(shí)，所建立的等式 S OPQ中含有兩個(gè)變量，12且這兩個(gè)變量間再無(wú)直接關(guān)系， 此時(shí)可通過(guò)觀察等式的結(jié)構(gòu)， 通過(guò)換元， 再借助此等式，探索原來(lái)兩個(gè)變量間的關(guān)系，以達(dá)到消元的目的；二是在處理 （ 2）時(shí)，可通過(guò)觀察 OM2和 PQ 2 的結(jié)構(gòu)，通過(guò)變形，使之滿(mǎn)足均值不等式求最值的三個(gè)條件）4.如題（ 20）圖，橢圓的中心為原點(diǎn) O ，離心率 e ，一條準(zhǔn)線(xiàn)的方程為 x ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；）設(shè)動(dòng)點(diǎn) P滿(mǎn)足： OP OM 2ON ，其中 M ,N是橢圓上的

32、點(diǎn)， 直線(xiàn)OM 與ON的斜率之積為 ，問(wèn)：是否存在兩個(gè)定點(diǎn) F若存在，求 F,F 的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由x2 y224.已知橢圓 E： 2 2 1（a b 0） 其焦點(diǎn)為 F1，F(xiàn)2，離心率為，直線(xiàn) l：x+2y-2=0a2 b22與 x 軸， y 軸分別交于點(diǎn) A， B.（1）若點(diǎn) A 是橢圓 E的一個(gè)頂點(diǎn)，求橢圓的方程；2）若線(xiàn)段 AB 上存在點(diǎn) P滿(mǎn)足 PF1 PF2 2a，求 a 的取值范圍x2 y215. 已知橢圓：x2 y2 1(a b 0) 的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 4，且過(guò)點(diǎn) ( 3,1). a2 b221）求橢圓的方程；342）設(shè) A，B，M是橢圓上的三點(diǎn) .若OMOA OB，點(diǎn) N為

33、線(xiàn)段 AB 的中點(diǎn)，55C(626,0)，6D( 26 ,0)，求證：NC ND 2 2 .132（2014 江西文）如圖，已知拋物線(xiàn) C :x 4y ，過(guò)點(diǎn) M （0,2） 任作一直線(xiàn)與 C 相交于 A,B 兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) B作 y軸的平行線(xiàn)與直線(xiàn) AO相交于點(diǎn) D （ O為坐標(biāo)原點(diǎn)） .（ 1）證明：動(dòng)點(diǎn) D 在定直線(xiàn)上；（2）作 C 的任意一條切線(xiàn) l （不含 x軸）與直線(xiàn) y 2相交于點(diǎn) N1，與（ 1）中的定直線(xiàn) 相交于點(diǎn) N2 ，證明： |MN2 |2 | MN1 |2為定值，并求此定值 .三、定點(diǎn)問(wèn)題（同定值問(wèn)題）1. 已知橢圓 C 的中心在為坐標(biāo)原點(diǎn)， 焦點(diǎn)在 x 軸上，橢圓 C

34、上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值 為 3，最小值為 1.（）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若直線(xiàn) l：y kx m與橢圓 C相交于 A，B兩點(diǎn)（ A，B均不在左、右頂點(diǎn)） ，且以AB 為直徑的圓過(guò)橢圓 C 的右頂點(diǎn) .求證：直線(xiàn) l 過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo) .2.（2013 陜西）已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn) A（4,0）, 且在 y 軸上截得的弦 MN 的長(zhǎng)為 8.（） 求動(dòng)圓圓心的軌跡 C 的方程 ;（） 已知點(diǎn) B（1,0）, 設(shè)不垂直于 x 軸的直線(xiàn) l 與軌跡 C 交于不同的兩點(diǎn) P, Q, 若 x 軸是PBQ 的角平分線(xiàn) , 證明直線(xiàn) l 過(guò)定點(diǎn) .142x2. ( 2014 課標(biāo) 1)在直角坐標(biāo)系

35、 xOy 中，曲線(xiàn) C: y 與直線(xiàn) l : y kx a(a 0) 交與 4M,N 兩點(diǎn)，()當(dāng) k 0時(shí)，分別求 C在點(diǎn) M和 N處的切線(xiàn)方程；() y軸上是否存在點(diǎn) P，使得當(dāng) k 變動(dòng)時(shí)，總有 OPM=OPN？說(shuō)明理由 .3. 設(shè)動(dòng)直線(xiàn) l 與拋物線(xiàn) E： x2 4y相切于點(diǎn) P，與直線(xiàn) y1相交于點(diǎn) Q，證明：以 PQ為直徑的圓恒過(guò) y 軸上某定點(diǎn) .224. 已知結(jié)論：若點(diǎn)P(x0, y0) 為橢圓 x2 y2 1上一點(diǎn)，則直線(xiàn) l: x02x y02y 1 與橢圓相a2 b2a2b2x 9 5 于點(diǎn) A ，試判斷以線(xiàn)522切，現(xiàn)過(guò)橢圓 C: x y1上一點(diǎn) P 作橢圓的切線(xiàn)交直線(xiàn)

36、94段 AP 為直徑的圓是否恒過(guò)定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由22xy5.已知橢圓 2 2 1的兩個(gè)焦點(diǎn)為 F1( c,0),F2(c,0) ，其中 a,b,c都是正數(shù)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 4， a2 b2原點(diǎn)到過(guò)點(diǎn) A(0,-b)和 B(a,0)兩點(diǎn)的直線(xiàn)的距離為.7(1) 求橢圓的方程；(2) 若點(diǎn) M,N是定直線(xiàn) x=4上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)， F1M F2N 0 ，證明：以 MN為直徑的圓過(guò)定 點(diǎn)，并求定點(diǎn)坐標(biāo) .5.(2015 廣東汕頭二模 )如圖， 在平面直角坐標(biāo)系xoy 中，橢圓 C：22x2 y2b21(a b 0) 的6.2離心率為 2 ，左頂點(diǎn) A 與上頂點(diǎn) B 的距離為21)求

37、橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；2)過(guò)原點(diǎn) O 的動(dòng)直線(xiàn)(與坐標(biāo)軸不重合)與橢圓 C交于 P，Q 兩點(diǎn)，直線(xiàn) PA、QA 分別15與 y 軸交于 M 、 N 兩點(diǎn)，問(wèn)：以 MN 為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論x2 y226. 如圖，橢圓 E: 2 2 1（a b 0）的離心率是，過(guò)點(diǎn) P（0，1）的動(dòng)直線(xiàn) l 與橢圓a2 b22交于 A、B兩點(diǎn)當(dāng)直線(xiàn) l平行于 x軸時(shí)，直線(xiàn) l被橢圓 E 截的線(xiàn)段長(zhǎng)為 2 2（）求橢圓 E 的方程QA PA（）在平面直角坐標(biāo)系中是否存在與點(diǎn) P 不同的定點(diǎn) Q,使得恒成立，若存在，QB PB求出 Q 點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由 .7.已知橢圓2xC: 2a2

38、y2 b221（a b 1） 的離心率 e ，右焦點(diǎn)到直線(xiàn)22ax by 2 0的距離為 23）求橢圓 C 的方程；）已知直線(xiàn) x y m 0 與橢圓 C 交于不同的兩點(diǎn) M 、 N，且線(xiàn)段 MN 的中點(diǎn)不在圓22x2 y2 1內(nèi)，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍；）過(guò)點(diǎn)Q，使得以 AB 為直徑的P（0, 1）的直線(xiàn) l交橢圓 C 于A、B兩點(diǎn)，是否存在點(diǎn)3圓恒過(guò)這個(gè)定點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)Q 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由222 22 28.已知圓 F1:（x1）2y2r2與圓F2:（x 1）2y2（4 r ） 2 （0r0 的直線(xiàn)交 E 于 A，M 兩點(diǎn)，點(diǎn) N 在 E 上， MA NA .(I )當(dāng) A

39、MAN 時(shí)，求 AMN 的面積(II) 當(dāng) 2 AM AN 時(shí)，證明： 3 k 2.22引例 2 已知橢圓 E: x y 1的焦點(diǎn)在 x軸上， A是 E 的左頂點(diǎn)，斜率為 k(k0)的 t3直線(xiàn)交 E于A,M 兩點(diǎn)，點(diǎn) N在E上，MANA.I)當(dāng) t=4， AMAN 時(shí)，求 AMN 的面積；II)當(dāng) 2AM AN 時(shí)，求 k 的取值范圍221.若過(guò)點(diǎn) A(4,0) 的直線(xiàn) l 與曲線(xiàn) (x 2)2 y2 1有公共點(diǎn)，則直線(xiàn) l 的斜率的取值范圍為()A 3, 3B( 3, 3) C 33, 33D( 33, 33332.已知P為拋物線(xiàn) y 1 x2上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) P在x軸上的射影為 M，點(diǎn)A的坐

40、標(biāo)是 (6,()求橢圓 C 的方程； ()點(diǎn) P 是橢圓 C 上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接 PF 1、PF 2,設(shè) F1PF2的角平分線(xiàn) ) ，22則 PA PM 的最小值是( )A. 8B. 19C. 10D.2123.橢圓 C：22 xy122 abab0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F 2,離心率為3 ，過(guò) F1且垂2直于 x軸的直線(xiàn)被橢圓 C 截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為 l.PM 交 C 的長(zhǎng)軸于點(diǎn) M（m，0），求 m 的取值范圍；（）在（）的條件下，過(guò)點(diǎn) P作斜率為 k的直線(xiàn) l，使得 l 與橢圓 C有且只有一個(gè) 11公共點(diǎn)， 設(shè)直線(xiàn) PF1,PF2 的斜率分別為 k1，k2，若 k0，試證明為定

41、值，并求出kk1 kk2這個(gè)定值 .3. 已知橢圓x22 1y2 1上兩個(gè)不同的點(diǎn) A,B 關(guān)于直線(xiàn) y=mx+ 對(duì)稱(chēng)22（1）求實(shí)數(shù)m 的取值范圍；2）求 AOB 面積的最大值（ O 為坐標(biāo)原點(diǎn)）24.已知橢圓y2 1的左焦點(diǎn)為 F，O為坐標(biāo)原點(diǎn) .設(shè)過(guò)點(diǎn) F 且不與坐標(biāo)軸垂直的直線(xiàn)交2橢圓于 A，B 兩點(diǎn)，線(xiàn)段 AB 的的垂直平分線(xiàn)與 x 軸交于點(diǎn) G，求點(diǎn) G 橫坐標(biāo)的取值范圍5.在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，已知橢圓 C 的中心在原點(diǎn) O，焦點(diǎn)在 x 軸上，短軸長(zhǎng)為 2，離心率為（I ）求橢圓 C 的方程；（II ）A,B 為橢圓 C 上滿(mǎn)足6AOB 的面積為 的任意兩點(diǎn)，4E 為線(xiàn)段

42、AB 的中點(diǎn)，射線(xiàn)OE交橢圓 C與點(diǎn) P，設(shè) OP tOE ，求實(shí)數(shù) t的值.6.已知橢圓 E：x2 y2 1（a b 0） 的離心率為 2 ，過(guò)其右焦點(diǎn)a2 b2 2F2 作與 x 軸垂直的直線(xiàn) l與該橢圓交于 A、B兩點(diǎn)，與拋物線(xiàn) y2 4x交于 C、 D兩點(diǎn)，且 AB CD .2（1）求橢圓 E 的方程；（2）若過(guò)點(diǎn) M （2,0）的直線(xiàn)與橢圓 E 相交于 G、H 兩點(diǎn)，設(shè) P 為橢圓 E 上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足18OG OH tOP（t 0,O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)OG OH 8 311時(shí)，求實(shí)數(shù) t的取值范圍22xy7. 如圖、橢圓 2 2 1（ ab0）的一個(gè)焦點(diǎn)是 F（ 1，0），O 為坐標(biāo)原點(diǎn)個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形，求橢圓的方程；）設(shè)過(guò)點(diǎn) F 的直線(xiàn) l 交橢圓于 A、 B 兩點(diǎn) .