第2章 軸向拉伸和壓縮

1、第二章第二章 軸向拉伸和壓縮軸向拉伸和壓縮湖南文理學(xué)院土木建筑工程系結(jié)構(gòu)教研室湖南文理學(xué)院土木建筑工程系結(jié)構(gòu)教研室2-1 2-1 軸向拉伸和壓縮的概念軸向拉伸和壓縮的概念此類受軸向外力作用的等截面直桿稱為此類受軸向外力作用的等截面直桿稱為拉桿拉桿或或壓壓桿桿。變形特點(diǎn)：桿件發(fā)生縱向伸長(zhǎng)或縮短。變形特點(diǎn)：桿件發(fā)生縱向伸長(zhǎng)或縮短。受力特點(diǎn)：直桿受到一對(duì)大小相等，作用線與受力特點(diǎn)：直桿受到一對(duì)大小相等，作用線與其軸線重合的外力其軸線重合的外力F作用。作用。F F F F 2-2 2-2 內(nèi)力內(nèi)力截面法截面法軸力及軸軸力及軸力圖力圖內(nèi)力內(nèi)力由于物體受外力作用而引起的其內(nèi)部由于物體受外力作用而引起的其內(nèi)

2、部各質(zhì)點(diǎn)間相互作用的力的改變量。各質(zhì)點(diǎn)間相互作用的力的改變量。、內(nèi)力內(nèi)力根據(jù)可變形固體的連續(xù)性假設(shè)可知，根據(jù)可變形固體的連續(xù)性假設(shè)可知，物體內(nèi)部物體內(nèi)部相鄰部分之間的作用力是一個(gè)連續(xù)分布的內(nèi)力相鄰部分之間的作用力是一個(gè)連續(xù)分布的內(nèi)力系，我們所說(shuō)的系，我們所說(shuō)的內(nèi)力內(nèi)力是該內(nèi)力系的合成（力或是該內(nèi)力系的合成（力或力偶）力偶） F F F F 、截面法、截面法軸力及軸力圖軸力及軸力圖求內(nèi)力的一般方法求內(nèi)力的一般方法截面法截面法（1）截開(kāi)；截開(kāi)；（2）代替；）代替；（3）平衡。）平衡。步驟：步驟：(c) (a) F F (b) mmF F mmFNmmFNx可看出：桿件任一橫截面上的內(nèi)力，其作用線均

3、與可看出：桿件任一橫截面上的內(nèi)力，其作用線均與桿件的軸線重合，因而稱之為桿件的軸線重合，因而稱之為軸力軸力，用記號(hào)，用記號(hào)FN表表示。示。 FFNmm(c) (a) F F (b) mmF F FNmmFNx引起伸長(zhǎng)變形的軸力為正引起伸長(zhǎng)變形的軸力為正拉力（背離截面）；拉力（背離截面）；引起壓縮變形的軸力為負(fù)引起壓縮變形的軸力為負(fù)壓力（指向截面）。壓力（指向截面）。軸力的符號(hào)規(guī)定軸力的符號(hào)規(guī)定:FFNF F mm(c) FN(a) F F mm(b) mmFNxFFNmm(c) FN(a) F F mm(b) mmFFN xF若用平行于桿軸線的坐標(biāo)表示橫截面的位置，用若用平行于桿軸線的坐標(biāo)表示

4、橫截面的位置，用垂直于桿軸線的坐標(biāo)表示橫截面上軸力的數(shù)值，垂直于桿軸線的坐標(biāo)表示橫截面上軸力的數(shù)值，所繪出的圖線可以表明軸力與截面位置的關(guān)系，所繪出的圖線可以表明軸力與截面位置的關(guān)系，稱為稱為軸力圖軸力圖。 F F FN圖FF F FN圖F 用截面法法求內(nèi)力的過(guò)程中，在截面取分離體用截面法法求內(nèi)力的過(guò)程中，在截面取分離體前，作用于物體上的外力（荷載）不能任意移動(dòng)或前，作用于物體上的外力（荷載）不能任意移動(dòng)或用靜力等效的相當(dāng)力系替代。用靜力等效的相當(dāng)力系替代。注意：注意：(a) F F F F (b)FN=F mmnn(a) F C BA mmF A (b) FN=FnnBF A (c) nnm

5、mFN=0 (e) mmA FN=FC B(d) F A nnB(f) A F例例 試作圖示桿的軸力圖。試作圖示桿的軸力圖。求支反力求支反力kN10RF解：解：A B C D E 20kN 40kN 55kN 25kN 6003005004001800 FR 22F4= 20kNF3=25kNF2=55kNF1=40kNA B C D E 331144注意假設(shè)軸力為拉力注意假設(shè)軸力為拉力拉）(kN101NF橫截面橫截面1-1：拉）(kN50N2F橫截面橫截面2-2：FR 22F4= 20kNF3=25kNF2=55kNF1=40kNA B C D E 331144FRFN1 11A FRF1

6、FN2A B 22此時(shí)取截面此時(shí)取截面3-3右邊為分離體方便，右邊為分離體方便，仍假設(shè)軸力為拉力。仍假設(shè)軸力為拉力。拉）(kN204NF橫截面橫截面3-3：壓）kN(53NF同理同理FR 22F4= 20kNF3=25kNF2=55kNF1=40kNA B C D E 331144F3 F4 FN3 33D E F4 FN4 33E 由軸力圖可看出由軸力圖可看出kN502Nmax,N FF20105FN圖圖(kN)FR 22F4= 20kNF3=25kNF2=55kNF1=40kNA B C D E 33114450例：例：FFFq=F/ll2llFR112233FFFqFFFFRF=2qlF

7、F =R解：解： 1、求支反力、求支反力FF=N1FF=3Nx1N2FFlFxF1N2lFxF1 2NF 0 xF2FFFq11233FF =RxFF =RFqFFF =RFFFF =RFx10-21RN2lFxFFF思考：思考：此題中此題中FNmax發(fā)生在何處？最危險(xiǎn)截面又在何發(fā)生在何處？最危險(xiǎn)截面又在何處？處？NFFFFFFFq=F/ll2ll2-3 2-3 應(yīng)力應(yīng)力拉（壓）桿內(nèi)的應(yīng)力拉（壓）桿內(nèi)的應(yīng)力、應(yīng)力的概念、應(yīng)力的概念拉壓桿的強(qiáng)度拉壓桿的強(qiáng)度軸力軸力橫截面尺寸橫截面尺寸材料的強(qiáng)度材料的強(qiáng)度即拉壓桿的強(qiáng)度是跟軸力在橫截面上的分布規(guī)律即拉壓桿的強(qiáng)度是跟軸力在橫截面上的分布規(guī)律直接相關(guān)的

8、。直接相關(guān)的。桿件截面上的分布內(nèi)力的集度，稱為桿件截面上的分布內(nèi)力的集度，稱為應(yīng)力應(yīng)力。M點(diǎn)平均應(yīng)力點(diǎn)平均應(yīng)力AFpmAFAFpAddlim0總應(yīng)力總應(yīng)力(a) M AFM (b) p總應(yīng)力總應(yīng)力 p法向分量法向分量, 引起長(zhǎng)度改變引起長(zhǎng)度改變正應(yīng)力正應(yīng)力 : 切向分量，引起角度改切向分量，引起角度改變變切應(yīng)力：對(duì)截面內(nèi)一點(diǎn)產(chǎn)生順時(shí)針力矩的切應(yīng)力為切應(yīng)力：對(duì)截面內(nèi)一點(diǎn)產(chǎn)生順時(shí)針力矩的切應(yīng)力為正，反之為負(fù)正，反之為負(fù)切應(yīng)力切應(yīng)力 :正應(yīng)力：拉為正，壓為負(fù)正應(yīng)力：拉為正，壓為負(fù)M (b) p(a) M FA內(nèi)力與應(yīng)力間的關(guān)系內(nèi)力與應(yīng)力間的關(guān)系A(chǔ)FpddAFddSAAFdSAFddNAAFdNM (

9、b) p(a) M AdFSdFNPa應(yīng)力單位應(yīng)力單位2N/m1Pa1Pa10MPa162N/mm1MPa1MPa應(yīng)力量綱應(yīng)力量綱21TMLM (b) p(a) M FAPa10GPa19GPa、拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力、拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力FAFAdN無(wú)法用來(lái)確定分布內(nèi)力在橫截面上的變化規(guī)律無(wú)法用來(lái)確定分布內(nèi)力在橫截面上的變化規(guī)律已知靜力學(xué)條件已知靜力學(xué)條件mmF F mmF FNmmF FN 但荷載不僅在桿但荷載不僅在桿內(nèi)引起應(yīng)力，還內(nèi)引起應(yīng)力，還要引起桿件的變要引起桿件的變形。形?？梢詮挠^察桿件可以從觀察桿件的表面變形出的表面變形出發(fā)，發(fā)，來(lái)分析內(nèi)力來(lái)分析內(nèi)力的分的分布規(guī)律。布規(guī)律。

10、F F acbdacbdmmF F mmF FNmmF FN 等直桿相鄰兩條橫向線在桿受拉等直桿相鄰兩條橫向線在桿受拉(壓壓)后仍后仍為為直線，仍相互平行，且仍垂直于桿的軸線。直線，仍相互平行，且仍垂直于桿的軸線。 原為平面的橫截面在桿變形后仍為平面，原為平面的橫截面在桿變形后仍為平面，對(duì)于拉（壓）桿且仍相互平行，仍垂直于軸線。對(duì)于拉（壓）桿且仍相互平行，仍垂直于軸線。現(xiàn)象現(xiàn)象平面假設(shè)平面假設(shè)F F acbdacbd亦即橫截面上各點(diǎn)處的正應(yīng)力亦即橫截面上各點(diǎn)處的正應(yīng)力 都相等。都相等。推論：推論：1、等直、等直拉（壓）桿受力時(shí)沒(méi)有發(fā)生剪切變形，拉（壓）桿受力時(shí)沒(méi)有發(fā)生剪切變形，因而橫截面上沒(méi)有

11、切應(yīng)力。因而橫截面上沒(méi)有切應(yīng)力。2、拉拉(壓壓)桿受力后任意兩個(gè)橫截面之間縱向線桿受力后任意兩個(gè)橫截面之間縱向線段的伸長(zhǎng)段的伸長(zhǎng)(縮短縮短)變形是均勻的。變形是均勻的。F F acbdacbd等截面拉等截面拉(壓壓)桿橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式桿橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式 AFN即即AAFAdNmmF F mmF FNmmF FN 適用條件：適用條件： 上述正應(yīng)力計(jì)算公式對(duì)拉（壓）桿的橫上述正應(yīng)力計(jì)算公式對(duì)拉（壓）桿的橫截截面形狀沒(méi)有限制；但對(duì)于拉伸（壓縮）時(shí)平截面形狀沒(méi)有限制；但對(duì)于拉伸（壓縮）時(shí)平截面面假設(shè)不成立的某些特定截面假設(shè)不成立的某些特定截面, 原則上不宜用上原則上不宜用上式式計(jì)算橫截

12、面上的正應(yīng)力。計(jì)算橫截面上的正應(yīng)力。 實(shí)驗(yàn)研究及數(shù)值計(jì)算表明，在載荷作用實(shí)驗(yàn)研究及數(shù)值計(jì)算表明，在載荷作用區(qū)區(qū)附近和截面發(fā)生劇烈變化的區(qū)域，橫截面上的附近和截面發(fā)生劇烈變化的區(qū)域，橫截面上的應(yīng)應(yīng)力情況復(fù)雜，上述公式不再正確。力情況復(fù)雜，上述公式不再正確。 力作用于桿端方式的不同，只會(huì)使與桿端距力作用于桿端方式的不同，只會(huì)使與桿端距離離不大于桿的橫向尺寸的范圍內(nèi)受到影響。不大于桿的橫向尺寸的范圍內(nèi)受到影響。圣維南原理圣維南原理FFFF影響區(qū)影響區(qū)影響區(qū)影響區(qū)2F2F2F2F例例 試求此正方形磚柱由于荷載引起的橫截面上的試求此正方形磚柱由于荷載引起的橫截面上的最大工作應(yīng)力。已知最大工作應(yīng)力。已知

13、F =50 kN。 解：解：段柱橫截面上的正應(yīng)力段柱橫截面上的正應(yīng)力 MPa87. 0)mm240()mm240(N1050311N1AF（壓）（壓） kN501NF150kN50kNF C BA F F 40003000370240段柱橫截面上的正應(yīng)力段柱橫截面上的正應(yīng)力1.1MPa)mm370)(mm370(N1015032N22AF（壓應(yīng)力）（壓應(yīng)力） kN1502NF最大工作應(yīng)力為最大工作應(yīng)力為 MPa1 . 12max150kN50kNF C BA F F 40003000370240例例 試求薄壁圓環(huán)在內(nèi)壓力作用下徑向橫截面上的拉試求薄壁圓環(huán)在內(nèi)壓力作用下徑向橫截面上的拉應(yīng)力。已知

14、：應(yīng)力。已知： 。MPa2 mm,5 mm,200pd 可認(rèn)為徑向截面上的拉應(yīng)力沿壁厚可認(rèn)為徑向截面上的拉應(yīng)力沿壁厚均均勻分布勻分布dbA解：解：dbp2RNFF 根據(jù)對(duì)稱性可得，徑截面上內(nèi)力處處相等根據(jù)對(duì)稱性可得，徑截面上內(nèi)力處處相等dyFN FN dppFR 0RsindFF40MPa2(5mm)MPa)(200mm2()d2(ddbpFpbddpb)sind2(02NpbdF AFN2)2(1pdpbdbddyFN FN pFR 、拉（壓）桿斜截面上的應(yīng)力、拉（壓）桿斜截面上的應(yīng)力FF 由靜力平衡得斜截面上的由靜力平衡得斜截面上的內(nèi)力：內(nèi)力： F F kkF F kkF F pkk?p變

15、形假設(shè)：兩平行的斜截面在桿件發(fā)生拉（壓）變形假設(shè)：兩平行的斜截面在桿件發(fā)生拉（壓）變形后仍相互平行。變形后仍相互平行。推論：兩平行的斜截面之間所有縱向線段伸長(zhǎng)推論：兩平行的斜截面之間所有縱向線段伸長(zhǎng)變形相同。變形相同。即斜截面上各點(diǎn)處總應(yīng)力相等。即斜截面上各點(diǎn)處總應(yīng)力相等。F F 0 為拉為拉(壓壓)桿橫截面上桿橫截面上( )的正應(yīng)力。的正應(yīng)力。 0AFp coscos/AFAFcos0F F pkkF F kkAA總應(yīng)力又可分解為斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力：總應(yīng)力又可分解為斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力： 20coscos psinp2sin20sincos0p20cos2sin20通過(guò)一點(diǎn)的所有不

16、同方位截面上應(yīng)力的全部情況，通過(guò)一點(diǎn)的所有不同方位截面上應(yīng)力的全部情況，成為該點(diǎn)處的成為該點(diǎn)處的應(yīng)力應(yīng)力狀態(tài)狀態(tài)。對(duì)于拉（壓）桿，一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)由其橫截面上對(duì)于拉（壓）桿，一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)由其橫截面上一點(diǎn)處正應(yīng)力即可完全確定，這樣的應(yīng)力狀態(tài)稱為一點(diǎn)處正應(yīng)力即可完全確定，這樣的應(yīng)力狀態(tài)稱為單向應(yīng)力狀態(tài)單向應(yīng)力狀態(tài)。 p2/0max20cos2sin20討論：討論：0（1）450max45900（2）2/0min00（橫截面）（橫截面）（縱截面）（縱截面）（縱截面）（縱截面）（橫截面）（橫截面）900p2-4 2-4 拉（壓）桿的變形拉（壓）桿的變形胡克定胡克定律律 拉拉(壓壓)桿的縱向變形桿的

17、縱向變形 絕對(duì)變形絕對(duì)變形 線應(yīng)變線應(yīng)變-每單位長(zhǎng)度每單位長(zhǎng)度的變形，無(wú)量綱的變形，無(wú)量綱lll-1ll相對(duì)變形相對(duì)變形 長(zhǎng)度量綱長(zhǎng)度量綱F F dll1d1當(dāng)桿件因荷載或截面尺寸變化的原因而發(fā)生不均勻變形時(shí)，不能用總長(zhǎng)度內(nèi)的平均線應(yīng)變代替各點(diǎn)處的縱向線應(yīng)變。FN(x) lBA qxBqqlxyzCAOBxABxxxx截面處沿x方向的縱向平均線應(yīng)變?yōu)?xxx截面處沿x方向的縱向線應(yīng)變?yōu)?xxxxxxddlim0 xyzCAOBxABxxx線應(yīng)變以伸長(zhǎng)時(shí)為正，縮短時(shí)為負(fù)。 桿沿x方向的總變形 lxlxxl00dd桿縱向的總伸長(zhǎng)量 lxlxxl00ddFN(x) FN(x) +d FN(x) lB

18、A qxBqqldxFN(x)dx橫向變形橫向變形dd絕對(duì)值絕對(duì)值ddd-1橫向線應(yīng)變橫向線應(yīng)變F F dll1d1AFll EAFll 荷載與變形量的關(guān)系荷載與變形量的關(guān)系胡克定律胡克定律當(dāng)桿內(nèi)應(yīng)力不超過(guò)材料的某一極限值（當(dāng)桿內(nèi)應(yīng)力不超過(guò)材料的某一極限值（“比例極限比例極限”）時(shí)時(shí)引進(jìn)比例常數(shù)引進(jìn)比例常數(shù)E EAlFNF F dll1d1E 彈性模量彈性模量，量綱與應(yīng)力相同，為，量綱與應(yīng)力相同，為 ，2- 1 - TMLEAlFlN拉（壓）桿的拉（壓）桿的胡克定律胡克定律EA 桿的桿的拉伸（壓縮）剛度拉伸（壓縮）剛度。單位為單位為 Pa；F F dll1d1AFEllN1E稱為單軸應(yīng)力狀態(tài)下

19、的稱為單軸應(yīng)力狀態(tài)下的胡克定律胡克定律 EAlFlN即即F F dll1d1橫向變形的計(jì)算橫向變形的計(jì)算 單軸應(yīng)力狀態(tài)下，當(dāng)應(yīng)力不超過(guò)材料的比例單軸應(yīng)力狀態(tài)下，當(dāng)應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限時(shí)，一點(diǎn)處的縱向線應(yīng)變極限時(shí)，一點(diǎn)處的縱向線應(yīng)變 與橫向線應(yīng)變與橫向線應(yīng)變的絕對(duì)值之比為一常數(shù)：的絕對(duì)值之比為一常數(shù)： 或或 -n - 橫向變形因素橫向變形因素或或泊松比泊松比F F dll1d1低碳鋼（低碳鋼（Q235）：）： 28. 024. 0GPa210200E例例 一階梯狀鋼桿受力如圖，已知一階梯狀鋼桿受力如圖，已知AB段的橫截面段的橫截面面積面積A1=400mm2， BC段的橫截面面積段的橫截面面積

20、A2=250mm2,材料的彈性模量材料的彈性模量E=210GPa。試求：。試求：AB、BC段的段的伸長(zhǎng)量和桿的總伸長(zhǎng)量；伸長(zhǎng)量和桿的總伸長(zhǎng)量；C截面相對(duì)截面相對(duì)B截面的位移截面的位移和和C截面的絕對(duì)位移。截面的絕對(duì)位移。F=40kN C BA BC解：解：由靜力平衡知，由靜力平衡知，AB、BC兩段的軸力均為兩段的軸力均為FF Nl1 =300l2=200故故11N1EAlFl mm143. 022N2EAlFl mm152. 0233mm400MPa10210mm300N1040233mm250MPa10210mm200N1040F=40kNC BA BCl1 =300l2=200AC桿的總伸

21、長(zhǎng)桿的總伸長(zhǎng)21lllmm295. 0152. 0143. 0C截面相對(duì)截面相對(duì)B截面的位移截面的位移)( mm153. 02lCBC截面的絕對(duì)位移截面的絕對(duì)位移)( mm295. 0lCF=40kNC BA BC思考：思考：1. 上題中哪些量是變形，哪些量是位移？二者上題中哪些量是變形，哪些量是位移？二者是否相等？是否相等？2. 若上題中若上題中B截面處也有一個(gè)軸向力作用如截面處也有一個(gè)軸向力作用如圖，圖，還有什么方法可以計(jì)算各截面處的位移？還有什么方法可以計(jì)算各截面處的位移？l1 =300l2=200F=40kNC BA BCF=40kN解：已得解：已得MPa40NbF此值小于鋼的比此值小

22、于鋼的比例極限例極限(Q235鋼鋼的比例極限約為的比例極限約為200MPa)。例例 求例題求例題2-3中所示薄壁圓環(huán)其直徑的改變量中所示薄壁圓環(huán)其直徑的改變量 。已知已知 dGPa210E。 MPa,2 mm,5 mm,200pd2NpbdF dbp不計(jì)內(nèi)壓力不計(jì)內(nèi)壓力p的影響，則薄的影響，則薄壁壁圓環(huán)的周向變形為圓環(huán)的周向變形為EAsFsddNEAdFd)2/(N20Nd)2/(dEAdFsss2)2/(NEAdF又又d EAdFdNmm038. 0200Pa10210Pa104096dEddyFN FN pFR ddds)(sss圓環(huán)的周向應(yīng)變圓環(huán)的周向應(yīng)變 與圓與圓環(huán)直徑的相對(duì)改變量環(huán)直

23、徑的相對(duì)改變量 有如下關(guān)系有如下關(guān)系：ds注意：注意：ddddddp例例 圖示桿系，荷載圖示桿系，荷載 F =100kN, 求結(jié)點(diǎn)求結(jié)點(diǎn)A的位移的位移A。已知兩桿均為長(zhǎng)度已知兩桿均為長(zhǎng)度l =2m，直徑直徑d =25mm的圓桿的圓桿， =30，桿材，桿材(鋼鋼)的彈性模量的彈性模量E = 210GPa。解：先求兩桿的軸力。解：先求兩桿的軸力。 cos22N1NFFF 0 xFFFcos21N2N1NFF 0yF得得xyFN2FN1 FABC12AF由胡克定律得兩桿的伸長(zhǎng)：由胡克定律得兩桿的伸長(zhǎng)：21llEAlFEAlF2N1Ncos2EAFlcosd22EFl 根據(jù)桿系結(jié)構(gòu)及受力情況的對(duì)稱性可

24、知，結(jié)點(diǎn)根據(jù)桿系結(jié)構(gòu)及受力情況的對(duì)稱性可知，結(jié)點(diǎn)A只有豎向位移。只有豎向位移。FABC12此位置既應(yīng)該符合兩桿此位置既應(yīng)該符合兩桿間的約束條件，又滿足間的約束條件，又滿足兩桿的變形量要求。兩桿的變形量要求。關(guān)鍵步驟關(guān)鍵步驟如何確定桿系變形后結(jié)點(diǎn)如何確定桿系變形后結(jié)點(diǎn)A的位的位置？置？21A2A1AAABC12Acoscos21AAAAAA即即 coscos21llA由變形圖即確定結(jié)點(diǎn)由變形圖即確定結(jié)點(diǎn)A的位移。的位移。由幾何關(guān)系得由幾何關(guān)系得22cos2dEFl21A2A1AA)(mm293. 130cos)mm25()MPa10210()mm102)(N10100(222333A代入數(shù)值得代

25、入數(shù)值得 桿件幾何尺寸的桿件幾何尺寸的改變，標(biāo)量改變，標(biāo)量此例可以進(jìn)一步加深對(duì)變此例可以進(jìn)一步加深對(duì)變形和位移兩個(gè)概念的理解。形和位移兩個(gè)概念的理解。變形變形位移位移結(jié)點(diǎn)位置的移動(dòng)，結(jié)點(diǎn)位置的移動(dòng)，矢量矢量與各桿件間的約束有關(guān)，實(shí)與各桿件間的約束有關(guān)，實(shí)際是變形的幾何相容條件。際是變形的幾何相容條件。二者間的函數(shù)關(guān)系二者間的函數(shù)關(guān)系A(chǔ)BC12A2-5 2-5 拉拉( (壓壓) )桿內(nèi)的應(yīng)變能桿內(nèi)的應(yīng)變能 應(yīng)變能應(yīng)變能彈性體受力而變形時(shí)所積蓄的能量。彈性體受力而變形時(shí)所積蓄的能量。 單位：?jiǎn)挝唬篧V mN1J1應(yīng)變能的計(jì)算：應(yīng)變能的計(jì)算：能量守恒原理能量守恒原理焦耳焦耳J彈性體的彈性體的功能原理

26、功能原理F l1ll拉拉 (壓）桿在線彈性范圍內(nèi)的應(yīng)變能壓）桿在線彈性范圍內(nèi)的應(yīng)變能 外力功：外力功： lFW21)(EAFll WV 桿內(nèi)應(yīng)變能：桿內(nèi)應(yīng)變能：lF 21EAlF22EAlF22NF l1llFlFl)(EAFll WV lF 21llEA2)(2或F l1llFlFl應(yīng)變能密度VVv應(yīng)變能密度單位：應(yīng)變能密度單位：3m/Jv桿件單位體積內(nèi)的應(yīng)變能桿件單位體積內(nèi)的應(yīng)變能 兩端受軸向荷載的等直桿，由于其各橫截面上兩端受軸向荷載的等直桿，由于其各橫截面上所有點(diǎn)處的應(yīng)力均相等，故全桿內(nèi)的應(yīng)變能是均勻所有點(diǎn)處的應(yīng)力均相等，故全桿內(nèi)的應(yīng)變能是均勻分布的。分布的。AllF 2121E222

27、2E)(EF F ll1思考：思考：1、應(yīng)變能的計(jì)算不能使用力的疊加原理。想一、應(yīng)變能的計(jì)算不能使用力的疊加原理。想一想原因是什么？想原因是什么？2、如果桿件因?yàn)楹奢d或截面尺寸連續(xù)改變等原、如果桿件因?yàn)楹奢d或截面尺寸連續(xù)改變等原因而發(fā)生不均勻軸向變形，比如等直桿受自重因而發(fā)生不均勻軸向變形，比如等直桿受自重荷載作用時(shí)，如何計(jì)算桿件的應(yīng)變能？荷載作用時(shí)，如何計(jì)算桿件的應(yīng)變能？qxxF)(NEAxxFV2d)(d2NllEAxxFVV02N2d)(dFN(x) FN(x) +d FN(x) lBA qxBqqldxFN(x)J67.64mmN1067.64)mm25(4)MPa10210()mm1

28、02()30cos2N1010()cos2(22323323221NEAlFEAlFV解：解：例例 求圖示桿系的應(yīng)變能，并按彈性體的功能原理求求圖示桿系的應(yīng)變能，并按彈性體的功能原理求結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)A的位移的位移A 。已知。已知 P =10 kN, 桿長(zhǎng)桿長(zhǎng) l =2m，桿徑，桿徑 d =25mm, =30，材料的彈性模量，材料的彈性模量 E =210GPa。cos22N1NFFFFABC12)(mm293. 1N10100mmN1067.642233FVA21VFAJ67.64mmN1067.643V而而FABC122-62-6 材料在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能材料在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性能 力學(xué)性能力

29、學(xué)性能 材料受力時(shí)在強(qiáng)度和變形方面所表材料受力時(shí)在強(qiáng)度和變形方面所表現(xiàn)出來(lái)的性能?，F(xiàn)出來(lái)的性能。力學(xué)性能力學(xué)性能取決于取決于內(nèi)部結(jié)構(gòu)內(nèi)部結(jié)構(gòu)外部環(huán)境外部環(huán)境由試驗(yàn)方式獲得由試驗(yàn)方式獲得 本節(jié)討論的是常溫、靜載、軸向拉伸（或壓縮）本節(jié)討論的是常溫、靜載、軸向拉伸（或壓縮）變形條件下的力學(xué)性能。變形條件下的力學(xué)性能。 、材料的拉伸和壓縮試驗(yàn)、材料的拉伸和壓縮試驗(yàn) 拉伸試樣拉伸試樣 圓截面試樣：圓截面試樣： dl10或或dl5矩形截面試樣：矩形截面試樣： Al3 .11或或Al65. 5試驗(yàn)設(shè)備試驗(yàn)設(shè)備：1、萬(wàn)能試驗(yàn)機(jī)、萬(wàn)能試驗(yàn)機(jī)：用來(lái)用來(lái)強(qiáng)迫試樣變形強(qiáng)迫試樣變形并測(cè)定試樣的抗力并測(cè)定試樣的抗力 2

30、、變形儀、變形儀：用來(lái)：用來(lái)將試樣的微小變形將試樣的微小變形放大到試驗(yàn)所需精放大到試驗(yàn)所需精度范圍內(nèi)度范圍內(nèi)拉伸圖拉伸圖 四個(gè)階段：四個(gè)階段：荷載荷載伸長(zhǎng)量伸長(zhǎng)量 彈性階段彈性階段屈服階屈服階段段強(qiáng)化階段強(qiáng)化階段局部變形階段局部變形階段、低碳鋼試樣的拉伸圖及低碳鋼的力學(xué)性能、低碳鋼試樣的拉伸圖及低碳鋼的力學(xué)性能 為了消除掉試件尺寸的影響，將試件拉伸圖轉(zhuǎn)變?yōu)闉榱讼粼嚰叽绲挠绊?，將試件拉伸圖轉(zhuǎn)變?yōu)椴牧系膽?yīng)力材料的應(yīng)力應(yīng)變曲線圖。應(yīng)變曲線圖。AFNll圖中：圖中：A 原始橫截面面積原始橫截面面積 名義應(yīng)力名義應(yīng)力l 原始標(biāo)距原始標(biāo)距 名義應(yīng)變名義應(yīng)變拉伸過(guò)程四個(gè)階段的變形特征及應(yīng)力特征點(diǎn)：拉伸

31、過(guò)程四個(gè)階段的變形特征及應(yīng)力特征點(diǎn)： 、彈性階段、彈性階段OB此階段試件變形完全是彈性此階段試件變形完全是彈性的，的，且且與與成線性關(guān)系成線性關(guān)系EE 線段線段OA的斜率的斜率比例極限比例極限p 對(duì)應(yīng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)A彈性極限彈性極限e 對(duì)應(yīng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)B、屈服階段、屈服階段此階段應(yīng)變顯著增加，但應(yīng)力基本此階段應(yīng)變顯著增加，但應(yīng)力基本不變不變屈服屈服現(xiàn)象。現(xiàn)象。產(chǎn)生的變形主要是塑性產(chǎn)生的變形主要是塑性的。的。拋光的試件表面上可見(jiàn)拋光的試件表面上可見(jiàn)大約與軸線成大約與軸線成45 的滑移的滑移線。線。屈服極限屈服極限 對(duì)應(yīng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)D（屈服低限）（屈服低限）s、強(qiáng)化階段、強(qiáng)化階段 此階段材料抵抗變形的能力有所增

32、強(qiáng)。此階段材料抵抗變形的能力有所增強(qiáng)。強(qiáng)度極限強(qiáng)度極限b 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)點(diǎn)點(diǎn)G (拉伸強(qiáng)度拉伸強(qiáng)度)，最大名義應(yīng)力最大名義應(yīng)力此階段如要增加應(yīng)此階段如要增加應(yīng)變，必須增大應(yīng)力變，必須增大應(yīng)力材料的強(qiáng)化材料的強(qiáng)化強(qiáng)化階段的卸載及再加載規(guī)律強(qiáng)化階段的卸載及再加載規(guī)律 pe若在強(qiáng)化階段卸若在強(qiáng)化階段卸載，載，則卸載過(guò)程則卸載過(guò)程 關(guān)關(guān)系為直線。系為直線。 立即再加載時(shí)，立即再加載時(shí)，關(guān)系起初基本上沿關(guān)系起初基本上沿卸載直線卸載直線(cb)上升直上升直至當(dāng)初卸載的荷至當(dāng)初卸載的荷載，載，然后沿卸載前然后沿卸載前的曲的曲線斷裂線斷裂冷作冷作硬化硬化現(xiàn)象?，F(xiàn)象。e_ 彈性應(yīng)變彈性應(yīng)變p 殘余應(yīng)變（塑性）殘余應(yīng)變

33、（塑性）冷作硬化對(duì)材料力學(xué)性能的影響冷作硬化對(duì)材料力學(xué)性能的影響pb不變不變p、局部變形階段、局部變形階段試件上出現(xiàn)急劇局部橫截面收試件上出現(xiàn)急劇局部橫截面收縮縮頸縮頸縮，直至試件斷裂。，直至試件斷裂。伸長(zhǎng)率伸長(zhǎng)率%1001lll斷面收縮率：斷面收縮率：%1001AAAA1 斷口處最斷口處最小橫截面面積。小橫截面面積。 （平均塑性伸長(zhǎng)率）（平均塑性伸長(zhǎng)率）MPa240sMPa390bQ235鋼的主要強(qiáng)度指鋼的主要強(qiáng)度指標(biāo)：標(biāo)： Q235鋼的塑性指標(biāo)：鋼的塑性指標(biāo)： %30%20%60Q235鋼的彈性指標(biāo)：鋼的彈性指標(biāo)： GPa210200E通常通常 的材料稱為的材料稱為塑性材料塑性材料；%5

34、的材料稱為的材料稱為脆性材料脆性材料。%5低碳鋼拉伸破壞斷面低碳鋼拉伸破壞斷面思考：思考： 2、低碳鋼的同一圓截面試樣上，若同時(shí)畫(huà)有兩種低碳鋼的同一圓截面試樣上，若同時(shí)畫(huà)有兩種標(biāo)距，試問(wèn)所得伸長(zhǎng)率標(biāo)距，試問(wèn)所得伸長(zhǎng)率 10 和和 5 哪一個(gè)大？哪一個(gè)大？ 1、強(qiáng)度極限、強(qiáng)度極限 b是否材料在拉伸過(guò)程中所承受的是否材料在拉伸過(guò)程中所承受的最大應(yīng)力？最大應(yīng)力？、其他金屬材料在拉伸時(shí)的力學(xué)性能、其他金屬材料在拉伸時(shí)的力學(xué)性能 錳鋼沒(méi)有屈服和局部變形階錳鋼沒(méi)有屈服和局部變形階段段強(qiáng)鋁、退火球墨鑄鐵沒(méi)有明強(qiáng)鋁、退火球墨鑄鐵沒(méi)有明顯屈服階段顯屈服階段共同點(diǎn)：共同點(diǎn)： 5%5%，屬塑性材料，屬塑性材料無(wú)屈服

35、階段的塑性材料，以無(wú)屈服階段的塑性材料，以p0.2作為其名義屈服極限，稱作為其名義屈服極限，稱為規(guī)定為規(guī)定非比例伸長(zhǎng)應(yīng)力非比例伸長(zhǎng)應(yīng)力或或屈服屈服強(qiáng)度強(qiáng)度。 p0.2對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于p=0.2%時(shí)時(shí)的應(yīng)力值的應(yīng)力值灰口鑄鐵在拉伸時(shí)的灰口鑄鐵在拉伸時(shí)的 曲線曲線特點(diǎn)：特點(diǎn)：1、 曲線從很低應(yīng)力曲線從很低應(yīng)力水平開(kāi)始就是曲線；采用割水平開(kāi)始就是曲線；采用割線彈性模量線彈性模量2、沒(méi)有屈服、強(qiáng)化、局部、沒(méi)有屈服、強(qiáng)化、局部變形階段，只有唯一拉伸強(qiáng)變形階段，只有唯一拉伸強(qiáng)度指標(biāo)度指標(biāo)b3、伸長(zhǎng)率非常小，拉伸強(qiáng)、伸長(zhǎng)率非常小，拉伸強(qiáng)度度b基本上就是試件拉斷時(shí)基本上就是試件拉斷時(shí)橫截面上的真實(shí)應(yīng)力橫截面上的真

36、實(shí)應(yīng)力。 典型的脆性材料典型的脆性材料鑄鐵試件在軸向拉伸時(shí)的破壞斷面：鑄鐵試件在軸向拉伸時(shí)的破壞斷面：壓縮試樣壓縮試樣 圓截面短柱體圓截面短柱體31dl正方形截面短柱體正方形截面短柱體31bl、金屬材料在壓縮時(shí)的力學(xué)性能、金屬材料在壓縮時(shí)的力學(xué)性能 壓縮壓縮拉伸拉伸低碳鋼壓縮時(shí)低碳鋼壓縮時(shí) 的曲線的曲線 特點(diǎn)：特點(diǎn)：1、低碳鋼拉、壓時(shí)的、低碳鋼拉、壓時(shí)的s以以及彈性模量及彈性模量E基本相同?；鞠嗤?。 2、材料延展性很好，不、材料延展性很好，不會(huì)被壓壞。會(huì)被壓壞。特點(diǎn)：特點(diǎn)： 1、壓縮時(shí)的、壓縮時(shí)的b和和 均比拉伸時(shí)大得多，宜做受壓構(gòu)件；均比拉伸時(shí)大得多，宜做受壓構(gòu)件；2、即使在較低應(yīng)力下其、

37、即使在較低應(yīng)力下其 也只近似符合胡克定律也只近似符合胡克定律;3、試件最終沿著與橫截面大致成、試件最終沿著與橫截面大致成 50 55 的斜截面發(fā)生的斜截面發(fā)生錯(cuò)動(dòng)而破壞。錯(cuò)動(dòng)而破壞?；铱阼T鐵壓縮時(shí)的灰口鑄鐵壓縮時(shí)的 曲線曲線端面潤(rùn)滑時(shí)端面潤(rùn)滑時(shí)端面未潤(rùn)滑時(shí)端面未潤(rùn)滑時(shí)、幾種非金屬材料的力學(xué)性能、幾種非金屬材料的力學(xué)性能 1、混凝土：拉伸強(qiáng)度很小，結(jié)構(gòu)計(jì)算時(shí)一般不加以、混凝土：拉伸強(qiáng)度很小，結(jié)構(gòu)計(jì)算時(shí)一般不加以考慮考慮;使用標(biāo)準(zhǔn)立方體試塊測(cè)定其壓縮時(shí)的力學(xué)性能。使用標(biāo)準(zhǔn)立方體試塊測(cè)定其壓縮時(shí)的力學(xué)性能。 特點(diǎn)特點(diǎn):1、直線段很短，在變形不大、直線段很短，在變形不大時(shí)突然斷裂；時(shí)突然斷裂；2、壓縮

38、強(qiáng)度壓縮強(qiáng)度b及破壞形式與及破壞形式與端面潤(rùn)滑情況有關(guān)；端面潤(rùn)滑情況有關(guān)；3、以、以 曲線上曲線上 =0.4b的的點(diǎn)與原點(diǎn)的連線確定點(diǎn)與原點(diǎn)的連線確定“割線彈割線彈性模量性模量”。2、木材、木材木材屬木材屬各向異性材料各向異性材料其力學(xué)性能具有方向性其力學(xué)性能具有方向性亦可認(rèn)為是亦可認(rèn)為是正交各正交各向異性材料向異性材料其力學(xué)性能具有三個(gè)其力學(xué)性能具有三個(gè)相互垂直的對(duì)稱軸相互垂直的對(duì)稱軸特點(diǎn)：特點(diǎn)：1、順紋拉伸強(qiáng)度很高，但、順紋拉伸強(qiáng)度很高，但受木節(jié)等缺陷的影響波動(dòng)；受木節(jié)等缺陷的影響波動(dòng)；2、順紋壓縮強(qiáng)度稍低于順、順紋壓縮強(qiáng)度稍低于順紋拉伸強(qiáng)度，但受木節(jié)等缺紋拉伸強(qiáng)度，但受木節(jié)等缺陷的影響小

39、。陷的影響小。3、橫紋壓縮時(shí)可以比例極、橫紋壓縮時(shí)可以比例極限作為其強(qiáng)度指標(biāo)。限作為其強(qiáng)度指標(biāo)。4、橫紋拉伸強(qiáng)度很低，工、橫紋拉伸強(qiáng)度很低，工程中應(yīng)避免木材橫紋受拉。程中應(yīng)避免木材橫紋受拉。松木順紋拉伸、壓縮和橫紋壓縮時(shí)的松木順紋拉伸、壓縮和橫紋壓縮時(shí)的 曲線曲線許用應(yīng)力許用應(yīng)力 和彈性和彈性模量模量 E 均應(yīng)隨應(yīng)力方均應(yīng)隨應(yīng)力方向與木紋方向傾角不向與木紋方向傾角不同而取不同數(shù)值。同而取不同數(shù)值。3、玻璃鋼、玻璃鋼玻璃纖維的不同排列方式玻璃纖維的不同排列方式玻璃纖維與熱固性樹(shù)脂粘合而成的玻璃纖維與熱固性樹(shù)脂粘合而成的復(fù)合材料復(fù)合材料力學(xué)性能力學(xué)性能玻璃纖維和樹(shù)脂的性能玻璃纖維和樹(shù)脂的性能玻璃纖

40、維和樹(shù)脂的相對(duì)玻璃纖維和樹(shù)脂的相對(duì)量量材料結(jié)合的方式材料結(jié)合的方式纖維單向排列的玻璃鋼沿纖維方向拉伸時(shí)的纖維單向排列的玻璃鋼沿纖維方向拉伸時(shí)的 曲線曲線特點(diǎn)：特點(diǎn)：1、直至斷裂前、直至斷裂前 基基本是線彈性的；本是線彈性的；2 2、由于纖維的方向、由于纖維的方向性，性，玻璃鋼的力學(xué)性能玻璃鋼的力學(xué)性能是各是各向異性的。向異性的。2-7 強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件安全系數(shù)安全系數(shù)許用應(yīng)力許用應(yīng)力、材料的許用應(yīng)力、材料的許用應(yīng)力塑性材料塑性材料:脆性材脆性材料料:對(duì)應(yīng)于拉、壓強(qiáng)度的安全因數(shù)對(duì)應(yīng)于拉、壓強(qiáng)度的安全因數(shù)極限應(yīng)力極限應(yīng)力us 或或p0.2b許用應(yīng)力許用應(yīng)力nun 1ns一般取一般取 1.25 2.

41、5，塑性材料塑性材料:脆性材脆性材料料:ssnsp0.2n或bbcb)(nnb一般取一般取 2.5 3.0，甚至 4 14。、關(guān)于安全、關(guān)于安全因數(shù)因數(shù)的考慮的考慮（1）極限應(yīng)力的差異；極限應(yīng)力的差異； （2）構(gòu)件橫截面尺寸的變異；）構(gòu)件橫截面尺寸的變異； （3）荷載的變異；）荷載的變異； （4）計(jì)算簡(jiǎn)圖與實(shí)際結(jié)構(gòu)的差異；）計(jì)算簡(jiǎn)圖與實(shí)際結(jié)構(gòu)的差異； （5）考慮強(qiáng)度儲(chǔ)備。）考慮強(qiáng)度儲(chǔ)備。、拉（壓）桿的強(qiáng)度條件、拉（壓）桿的強(qiáng)度條件保證拉（壓）桿不保證拉（壓）桿不因強(qiáng)度不足發(fā)生破因強(qiáng)度不足發(fā)生破壞的條件壞的條件max等直桿等直桿maxN,AF強(qiáng)度計(jì)算的三種類型：強(qiáng)度計(jì)算的三種類型：（1）強(qiáng)度校核

42、強(qiáng)度校核（2）截面選擇）截面選擇（3）計(jì)算許可荷載）計(jì)算許可荷載max,NmaxAFmax,NFAmaxN,AF例例 圖示三鉸屋架中，均布荷載的集度圖示三鉸屋架中，均布荷載的集度 q =4.2kN/m，鋼拉桿直徑鋼拉桿直徑 d =16mm，許用應(yīng)力，許用應(yīng)力 = 170MPa 。試校核拉桿的強(qiáng)度。試校核拉桿的強(qiáng)度。ACB1.42m8.5m9.3m0.4m q0AxF 0 xFkN5 .192m3 . 9kN/m2 . 42qlFFByAy解：解：1、求支反力、求支反力考慮結(jié)構(gòu)的整體平衡并利用其對(duì)稱性考慮結(jié)構(gòu)的整體平衡并利用其對(duì)稱性FBy FAx FAy ACB1.42m8.5m9.3m0.4m q取分離體如圖并考慮其平衡取分離體如圖并考慮其平衡 0CM2、求鋼拉桿的軸力。、求鋼拉桿的軸力。0)25 . 8()23 . 9(242. 12NAyFqFm42. 1)m65. 4(kN/m1 . 2)m25. 4(kN5 .192kN3 .26m42. 1)m23 . 9(2)m25 . 8(2NqFFAyFAy qCA1.42m4.65m4.25mFN FCy FCx 3、求鋼拉桿的應(yīng)力并校核強(qiáng)度。、求鋼拉桿的應(yīng)力并校核強(qiáng)度。kN3 .26NF4/mm)16(N103 .2623MPa131MPa170故鋼拉桿的強(qiáng)度是滿