自動(dòng)控制_03c高階系統(tǒng)的過(guò)渡過(guò)程

1、3-4 3-4 高階系統(tǒng)的過(guò)渡過(guò)程高階系統(tǒng)的過(guò)渡過(guò)程 研究?jī)?nèi)容研究?jī)?nèi)容 講述閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念以及怎樣將高階系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為二階系統(tǒng)。講述閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念以及怎樣將高階系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為二階系統(tǒng)。 一、三階系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下的過(guò)渡過(guò)程一、三階系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下的過(guò)渡過(guò)程設(shè)三階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)具有如下形式：設(shè)三階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)具有如下形式： )2)()()(222nnnssPsPsRsC在單位階躍函數(shù)作用下：在單位階躍函數(shù)作用下： sssPsPsCnnn1)2)()(222在欠阻尼（在欠阻尼（ ）狀況下：）狀況下：10PsasassassCnnnnnn322222221)1()(1)1()

2、()(1)(式中： 1)2()2(221a22221 1)2( 1)2(a， 1)2(123anP， 對(duì)上式取拉氏反變換得： Ptdtdeateateatcnn321sincos1)(0t與二階系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下的欠阻尼狀態(tài)相比：與二階系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下的欠阻尼狀態(tài)相比： )sin1(cos1)(2ttetcddtn)sincos1(11122tteddtn0t多一項(xiàng)指數(shù)項(xiàng) ，由于Ptea31)2(123a0)1 () 1(1222所以指數(shù)項(xiàng)的系數(shù)總是負(fù)數(shù)，它對(duì)過(guò)渡過(guò)程的影響是：使最大超調(diào)所以指數(shù)項(xiàng)的系數(shù)總是負(fù)數(shù)，它對(duì)過(guò)渡過(guò)程的影響是：使最大超調(diào)量減小，使過(guò)渡過(guò)程時(shí)間增加。量減小，

3、使過(guò)渡過(guò)程時(shí)間增加。 和和 有關(guān)。當(dāng)有關(guān)。當(dāng) =0.5不變時(shí)，繪出不變時(shí)，繪出 為不同值時(shí)為不同值時(shí) 的過(guò)渡曲線，如圖的過(guò)渡曲線，如圖3.4-1。)(tc)(tc圖圖3.4-1 三階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)三階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),n1、閉環(huán)極點(diǎn)對(duì)過(guò)渡過(guò)程的影響、閉環(huán)極點(diǎn)對(duì)過(guò)渡過(guò)程的影響 三階系統(tǒng)有三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)，即三階系統(tǒng)有三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)，即 ； 。三個(gè)極點(diǎn)的實(shí)部之比。三個(gè)極點(diǎn)的實(shí)部之比 反映了它們距反映了它們距 平面上虛軸的遠(yuǎn)近程度。見(jiàn)圖平面上虛軸的遠(yuǎn)近程度。見(jiàn)圖3.4-2。22, 11nnjsPsnPs圖3.4-2 三階系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)分布圖分三種情況：分三種情況：1） ；2） ，3）115圖3.4-3

4、 三階系統(tǒng)階躍響應(yīng)實(shí)驗(yàn)曲線2、閉環(huán)零點(diǎn)對(duì)過(guò)渡過(guò)程的影響、閉環(huán)零點(diǎn)對(duì)過(guò)渡過(guò)程的影響 為了說(shuō)明閉環(huán)零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程的影響，在三階系統(tǒng)中為了說(shuō)明閉環(huán)零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程的影響，在三階系統(tǒng)中加進(jìn)一個(gè)閉環(huán)零點(diǎn)，即：加進(jìn)一個(gè)閉環(huán)零點(diǎn)，即：)2)()()()(222nnnssPsZZsPsRsC在單位階躍函數(shù)作用下：在單位階躍函數(shù)作用下： )2)()()(222nnnssPssZZsPsC在欠阻尼（在欠阻尼（ ）狀況下：）狀況下： 102232)(nnssDBsPsasAsC式中：式中：A=1 )2)()(2223nnnPPPZZPPa對(duì)上式取拉氏反變換得：對(duì)上式取拉氏反變換得： Ptdtdeateatea

5、tcnn321sincos1)(0t332211,aaaaaa分析得出：分析得出： (1)(1)閉環(huán)零點(diǎn)只影響過(guò)渡過(guò)程閉環(huán)零點(diǎn)只影響過(guò)渡過(guò)程 中暫態(tài)分量的系數(shù)中暫態(tài)分量的系數(shù) ，即影響暫態(tài)分量衰減的初始值，不影響暫態(tài)分量中即影響暫態(tài)分量衰減的初始值，不影響暫態(tài)分量中的的 ，及，及 和和 部分。部分。類(lèi)型取決于閉環(huán)極點(diǎn)，具體形狀由閉環(huán)極點(diǎn)和閉環(huán)零點(diǎn)共類(lèi)型取決于閉環(huán)極點(diǎn)，具體形狀由閉環(huán)極點(diǎn)和閉環(huán)零點(diǎn)共同決定。同決定。 )(tciatedncostedtnsinPte（2）由負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)）由負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn) 決定的暫態(tài)分量決定的暫態(tài)分量 的的初始值（對(duì)應(yīng)初始值（對(duì)應(yīng) ）就是系數(shù)）就是系數(shù) ， 的大小與閉的大

6、小與閉環(huán)極點(diǎn)環(huán)極點(diǎn) 及閉環(huán)零點(diǎn)及閉環(huán)零點(diǎn) 的相對(duì)位置有關(guān)。的相對(duì)位置有關(guān)。Ps3Ptea30t3a3aPs3Zs3二、閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)二、閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn) 1）閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念：假若距虛軸較遠(yuǎn)的閉環(huán)極點(diǎn)的）閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念：假若距虛軸較遠(yuǎn)的閉環(huán)極點(diǎn)的實(shí)部與實(shí)部與 距虛軸最近的閉環(huán)極點(diǎn)的實(shí)部的比值大于或等于距虛軸最近的閉環(huán)極點(diǎn)的實(shí)部的比值大于或等于5，且在距虛軸最近的閉環(huán)極點(diǎn)附近不存在閉環(huán)零點(diǎn)。這個(gè)距且在距虛軸最近的閉環(huán)極點(diǎn)附近不存在閉環(huán)零點(diǎn)。這個(gè)距虛軸最近的閉環(huán)極點(diǎn)將在系統(tǒng)的過(guò)渡過(guò)程中起主導(dǎo)作用，虛軸最近的閉環(huán)極點(diǎn)將在系統(tǒng)的過(guò)渡過(guò)程中起主導(dǎo)作用，稱(chēng)之為閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。它的一般出現(xiàn)形式：一對(duì)共軛復(fù)數(shù)稱(chēng)

7、之為閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。它的一般出現(xiàn)形式：一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)。極點(diǎn)。 將高階系統(tǒng)化為具有一對(duì)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的二階系統(tǒng)，將高階系統(tǒng)化為具有一對(duì)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的二階系統(tǒng)，是忽略非主導(dǎo)極點(diǎn)引起的過(guò)渡過(guò)程暫態(tài)分量，而不是忽略是忽略非主導(dǎo)極點(diǎn)引起的過(guò)渡過(guò)程暫態(tài)分量，而不是忽略非主導(dǎo)極點(diǎn)本身。非主導(dǎo)極點(diǎn)本身。 圖圖3.4-4 三階系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)分布三階系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)分布2）忽略由非主導(dǎo)極點(diǎn)決定的響應(yīng)分量對(duì)高階系統(tǒng)響應(yīng)）忽略由非主導(dǎo)極點(diǎn)決定的響應(yīng)分量對(duì)高階系統(tǒng)響應(yīng)特性的影響的條件特性的影響的條件另我們通過(guò)計(jì)算（另我們通過(guò)計(jì)算（ ）得上升時(shí)間）得上升時(shí)間 、峰值時(shí)間、峰值時(shí)間 與與過(guò)渡過(guò)程時(shí)間過(guò)渡過(guò)程時(shí)間 之比分別為：之比分

8、別為：假設(shè)假設(shè) nss5Re5Re13取取 ，在單位階躍函數(shù)作用下，在單位階躍函數(shù)作用下 %21）一階系統(tǒng)由極點(diǎn)）一階系統(tǒng)由極點(diǎn) 單獨(dú)引起的過(guò)渡過(guò)程暫態(tài)分量的衰單獨(dú)引起的過(guò)渡過(guò)程暫態(tài)分量的衰減時(shí)間為：減時(shí)間為： Ps3nst5432）對(duì)于二階系統(tǒng)，由）對(duì)于二階系統(tǒng)，由 引起的過(guò)渡過(guò)程暫態(tài)分量的衰減時(shí)間為：引起的過(guò)渡過(guò)程暫態(tài)分量的衰減時(shí)間為： 21,ssnst41由此我們可以看出：由此我們可以看出： 132 . 0sstt4 . 0rtpt1st216. 014141122221arctgarctgttnnsr34. 01441221nnsptt所以所以 111334. 0216. 02 . 0

9、spsrsstttttt 當(dāng)取當(dāng)取 時(shí)，非主導(dǎo)極點(diǎn)時(shí)，非主導(dǎo)極點(diǎn) 對(duì)應(yīng)的過(guò)渡過(guò)對(duì)應(yīng)的過(guò)渡過(guò)程早在主導(dǎo)極點(diǎn)程早在主導(dǎo)極點(diǎn) 對(duì)應(yīng)的過(guò)渡過(guò)程分量的上升對(duì)應(yīng)的過(guò)渡過(guò)程分量的上升時(shí)間時(shí)間 之前，已衰減完畢。推而廣之，若滿足條之前，已衰減完畢。推而廣之，若滿足條件，高階系統(tǒng)可近似為二階系統(tǒng)，因此，非主導(dǎo)件，高階系統(tǒng)可近似為二階系統(tǒng)，因此，非主導(dǎo)極點(diǎn)只影響極點(diǎn)只影響0 一段的過(guò)渡過(guò)程形狀。若不滿足一段的過(guò)渡過(guò)程形狀。若不滿足假設(shè)條件，高階系統(tǒng)便不能近似為二階系統(tǒng)。假設(shè)條件，高階系統(tǒng)便不能近似為二階系統(tǒng)。4 . 03s21,ssrtrt三、高階系統(tǒng)性能指標(biāo)的近似計(jì)算公式三、高階系統(tǒng)性能指標(biāo)的近似計(jì)算公式 高階

10、系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程式的一般形式為：高階系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程式的一般形式為：)()(012211tcapapapapannnnnn)()(0111trbpbpbpbmmmm對(duì)上式取拉氏變換，設(shè)初始條件為零，得：對(duì)上式取拉氏變換，設(shè)初始條件為零，得： )()(012211sCasasasasannnnnn)()(0111sRbsbsbsbmmmm由上式求得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：由上式求得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為： )()()()(01110111sDsNasasasabsbsbsbsRsCnnnnmmmm)()(11iniimisszsk 為為 之根，稱(chēng)為系統(tǒng)的閉環(huán)零點(diǎn)；之根，稱(chēng)為系統(tǒng)的閉環(huán)零點(diǎn)； iz0)(s

11、N 為為 之根，稱(chēng)為系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)之根，稱(chēng)為系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)。is0)(sD 閉環(huán)極點(diǎn)與零點(diǎn)可以是實(shí)數(shù)也可以是共軛復(fù)數(shù)。閉環(huán)極點(diǎn)與零點(diǎn)可以是實(shí)數(shù)也可以是共軛復(fù)數(shù)。如果系統(tǒng)的所有閉環(huán)極點(diǎn)各不相同，且都分布在如果系統(tǒng)的所有閉環(huán)極點(diǎn)各不相同，且都分布在s平平面的左半部，則系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的拉氏變換具有面的左半部，則系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的拉氏變換具有下列一般形式下列一般形式ssssszsksCkkrkiqiimi1)2()()()(22111式中式中 nrq 2下面我們直接給出高階系統(tǒng)性能指標(biāo)的近似計(jì)算公式，下面我們直接給出高階系統(tǒng)性能指標(biāo)的近似計(jì)算公式，進(jìn)一步討論閉環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)對(duì)過(guò)渡過(guò)程的影響。進(jìn)一步討論

12、閉環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)對(duì)過(guò)渡過(guò)程的影響。圖3.4-5 高階系統(tǒng)閉環(huán)零極點(diǎn)分布圖1、峰值時(shí)間、峰值時(shí)間 的計(jì)算的計(jì)算 pt)(131nismjzdpijt式中式中 見(jiàn)下圖。見(jiàn)下圖。 )();(11isjzsszsij（1）閉環(huán)零點(diǎn)對(duì)由閉環(huán)主極點(diǎn)所確定的近似過(guò)渡過(guò)程的峰值時(shí)）閉環(huán)零點(diǎn)對(duì)由閉環(huán)主極點(diǎn)所確定的近似過(guò)渡過(guò)程的峰值時(shí)間的影響。使間的影響。使 值減少，提高了系統(tǒng)的反應(yīng)速度。且零點(diǎn)越靠近值減少，提高了系統(tǒng)的反應(yīng)速度。且零點(diǎn)越靠近虛軸，上述作用越大。虛軸，上述作用越大。（2）閉環(huán)主極點(diǎn)以外的其它極點(diǎn)對(duì)上述過(guò)渡過(guò)程的影響，在于）閉環(huán)主極點(diǎn)以外的其它極點(diǎn)對(duì)上述過(guò)渡過(guò)程的影響，在于使峰值時(shí)間拖長(zhǎng)，從而使系統(tǒng)的

13、反應(yīng)速度降低，而且這些極點(diǎn)越使峰值時(shí)間拖長(zhǎng)，從而使系統(tǒng)的反應(yīng)速度降低，而且這些極點(diǎn)越靠近虛軸，反應(yīng)速度的降低越顯著。靠近虛軸，反應(yīng)速度的降低越顯著。（3）當(dāng)閉環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)彼此靠得很近時(shí)，它們對(duì)系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程）當(dāng)閉環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)彼此靠得很近時(shí)，它們對(duì)系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程的影響將相互抵消。的影響將相互抵消。（4）如果系統(tǒng)除閉環(huán)主極點(diǎn)外，沒(méi)有其它的附加零點(diǎn)、極點(diǎn)，）如果系統(tǒng)除閉環(huán)主極點(diǎn)外，沒(méi)有其它的附加零點(diǎn)、極點(diǎn)，則由峰值時(shí)間的計(jì)算公式求得的峰值時(shí)間，與曾經(jīng)求得的二階系則由峰值時(shí)間的計(jì)算公式求得的峰值時(shí)間，與曾經(jīng)求得的二階系統(tǒng)的峰值時(shí)間完全相同。統(tǒng)的峰值時(shí)間完全相同。pt圖3.4-5 高階系統(tǒng)閉環(huán)零極點(diǎn)分布圖)(1543ssszdpjt例例 由上圖所示高階系統(tǒng)閉環(huán)零極點(diǎn)分布，根據(jù)公式可求由上圖所示高階系統(tǒng)閉環(huán)零極點(diǎn)分布，根據(jù)公式可求得系統(tǒng)的峰值時(shí)間為：得系統(tǒng)的峰值時(shí)間為：2、最大超調(diào)量、最大超調(diào)量 的計(jì)算的計(jì)算