高等數(shù)學(xué)多元微分第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度課件

1、高等數(shù)學(xué)多元微分第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度第八章第八章 多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué) 第七節(jié)上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 方向?qū)?shù)與梯度v 方向?qū)?shù)的定義與計算方向?qū)?shù)的定義與計算 v 梯度的概念與計算梯度的概念與計算 高等數(shù)學(xué)多元微分第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度 引例引例. . 設(shè)有一矩形金屬板，設(shè)有一矩形金屬板， 分析：分析：在在(3,2)(3,2)點處，沿不同方向溫度的變化率點處，沿不同方向溫度的變化率不同，不同，如何確定這個方向？如何確定這個方向？利用方向?qū)?shù)！利用方向?qū)?shù)！上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 涼快的地點？涼快的地點？在其上坐標(biāo)原點處有在其上坐標(biāo)原點處有一火源，一火源，

2、 它使金屬板發(fā)熱它使金屬板發(fā)熱 假定板上任意一點處的溫假定板上任意一點處的溫度與該點到原點的距離成反比度與該點到原點的距離成反比在點在點(3,2)處有一只處有一只問這只螞蟻沿什么方向爬行才能最快到達(dá)較問這只螞蟻沿什么方向爬行才能最快到達(dá)較螞蟻應(yīng)沿由熱變冷變化最快的方向（梯度方向）螞蟻應(yīng)沿由熱變冷變化最快的方向（梯度方向）爬行爬行螞蟻，螞蟻，高等數(shù)學(xué)多元微分第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度一、方向?qū)?shù)的定義與計算一、方向?qū)?shù)的定義與計算),(yxfz ),(yxfz ),(yxP (如圖如圖).上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 確定函數(shù)確定函數(shù)在點在點 P 處沿某一方向處沿某一方向的變化率的變化率引射

3、線引射線 l 內(nèi)有定義，內(nèi)有定義，的某一的某一鄰域鄰域在點在點設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(PU過過P,lx上的另一點且上的另一點且為為l 并設(shè)并設(shè)為為的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角軸正向到射線軸正向到射線設(shè)設(shè)j j),(yyxxP )(PUP jlP xyoyxP意義：意義：高等數(shù)學(xué)多元微分第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度 |PP,)()(22yx ),(),(yxfyyxxfz 且且當(dāng)當(dāng) 沿著沿著 趨于趨于 時，時，P Pl ),(),(lim0yxfyyxxf , z 考慮考慮就是就是 z = f (x, y)在點在點P 沿方向沿方向l 的變化率的變化率.上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 這個比值刻畫的是這個比值刻畫的是z

4、= f (x, y) 沿方向沿方向l 的平的平均變化率均變化率.極限極限高等數(shù)學(xué)多元微分第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度.),(),(lim0 yxfyyxxflf 記為記為上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 沿方向沿方向l 的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù)則稱此極限為函數(shù)在點則稱此極限為函數(shù)在點P如果極限如果極限定義定義 沿沿 x 軸負(fù)向、軸負(fù)向、 y 軸負(fù)向的方向?qū)?shù)分別是軸負(fù)向的方向?qū)?shù)分別是yxff ,.),(),(lim0 yxfyyxxf 存在，存在，lf, 即即z = =),(yxf在點在點P 沿沿 x 軸正向軸正向0 , 11 er的方向的方向?qū)?shù)是導(dǎo)數(shù)是xf ,沿沿y 軸正向軸正向1 , 02

5、ery .f的方向?qū)?shù)是的方向?qū)?shù)是高等數(shù)學(xué)多元微分第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度證證由于函數(shù)可微，由于函數(shù)可微，)(),(),( oyyfxxfyxfyyxxf 兩邊同除以兩邊同除以,得到得到上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 定理定理),(yxfz 在點在點),(yxP可微，可微，在該點沿任意方向在該點沿任意方向l 的方向?qū)?shù)都存在，的方向?qū)?shù)都存在， j jj jsincosyfxflf 其中其中j j為為x軸到方向軸到方向l 的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角如果函數(shù)如果函數(shù)且有且有則則),(yxfz jloyxP故增量故增量高等數(shù)學(xué)多元微分第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度jcosjsin )(),(),(oyyfxxfyx

6、fyyxxf 因此，方向?qū)?shù)因此，方向?qū)?shù) ),(),(lim0yxfyyxxf .sincosj jj jyfxf lf上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高等數(shù)學(xué)多元微分第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度),(zyxPl推廣推廣: :則函數(shù)在該點沿任意方向則函數(shù)在該點沿任意方向 l 的方向?qū)?shù)存在的方向?qū)?shù)存在 ,coscoscoszfyfxflf且且xflf特別地，特別地， 當(dāng)當(dāng) l 與與 x 軸同向軸同向,2,0時時 當(dāng)當(dāng) l 與與 x 軸反向軸反向,2,時時 xflf可微可微,若三元函數(shù)若三元函數(shù) u =在點在點x,(),zyP, , y)(zxf的方向角的方向角.為為l,其中其中上頁上頁 下

7、頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高等數(shù)學(xué)多元微分第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度解解; 1)0, 1(2)0, 1( yexz, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz)4sin(2)4cos( lz.22 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例1.1.求函數(shù)求函數(shù)yxez2 在點在點)0 , 1(P處沿從點處沿從點)0 , 1(P 到點到點)1, 2( Q方向的方向?qū)?shù)方向的方向?qū)?shù). . x 軸到方向軸到方向lr的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角4 j j 這里的方向這里的方向l 是是1, 1 PQ所求方向?qū)?shù)所求方向?qū)?shù)高等數(shù)學(xué)多元微分第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度例例2.2. 求函數(shù)求函數(shù) 在點在點 P(1, 1, 1)

8、沿向量沿向量zyxu2)3 , 1,2(lr的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù) .,142cosPlu) 1, 1, 1 (146,141cos143cos1422zyx1412zx1432yx解解 向量向量 l 的方向余弦為的方向余弦為上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高等數(shù)學(xué)多元微分第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度例例3.3. 求函數(shù)求函數(shù) 在點在點P(2, 3)沿曲線沿曲線223yyxz12 xy朝朝 x 增大方向的方向?qū)?shù)增大方向的方向?qū)?shù). .解解 將已知曲線用參數(shù)方程表示為將已知曲線用參數(shù)方程表示為2)2, 1 (xxPlz它在點它在點 P 的切向量為的切向量為,171cos1760 xoy2P1 2

9、xyxx1716xy174)23(2yx)3,2()4, 1 (174cos1上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高等數(shù)學(xué)多元微分第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度例例4.4. 設(shè)設(shè)是曲面是曲面n在點在點 P(1, 1, 1 )處處指向外側(cè)的法向量指向外側(cè)的法向量,解解 方向余弦為方向余弦為,142cos,143cos141cos而而Pxu,148Pyu14PzuPnu同理得同理得) 1,3,2(2632222zyx方向方向的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù).Pzyx)2,6,4(1467111143826141Pyxzx22866zyxu2286在點在點P 處沿處沿求函數(shù)求函數(shù)nn上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束

10、結(jié)束 高等數(shù)學(xué)多元微分第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度二、梯度的概念與計算二、梯度的概念與計算jyxfiyxfyxrr),(),(上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 最快？最快？沿哪一方向增加的速度沿哪一方向增加的速度函數(shù)值在點函數(shù)值在點問題：問題：P定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在平面區(qū)域在平面區(qū)域 D內(nèi)具有內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，DyxP ),(, ,稱向量稱向量jyfixfrr ),(yxfz 在點在點),(yxP的的梯度梯度， ),(yxgradfjyfixfrr 則對每一點則對每一點為函數(shù)為函數(shù)記為記為=.,yfxf高等數(shù)學(xué)多元微分第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度j jj jsin

11、cosyfxflf sin,cos,j jj j yfxfeyxgradfr ),(,cos| ),(| yxgradf 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 設(shè)設(shè)是方向是方向上的單位向量上的單位向量, , ljierrrjjsincos由方向?qū)?shù)公式由方向?qū)?shù)公式, ,得得其中其中l(wèi)f 有最大值有最大值. .),(,eyxgradfr 當(dāng)當(dāng)1),(cos( eyxgradfr時，時， 為梯度向量與方向為梯度向量與方向l 的夾角的夾角.高等數(shù)學(xué)多元微分第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度結(jié)論結(jié)論gradfgradf P上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 函數(shù)在某點的梯度是這樣一個向量：函數(shù)在某點的梯度是

12、這樣一個向量：方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致, ,梯度的模為梯度的模為方向?qū)?shù)的最大值方向?qū)?shù)的最大值 它的它的梯度的模為梯度的模為22| ),(| yfxfyxgradf該方向是函數(shù)值增加最快的方向；該方向是函數(shù)值增加最快的方向；高等數(shù)學(xué)多元微分第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度),(yxfz 在幾何上在幾何上 表示一個曲面表示一個曲面,曲面被平面曲面被平面 所截得曲線所截得曲線cz czyxfz),(在在xOy面上投影如圖面上投影如圖oyx2),(cyxf1),(cyxfcyxf),(等值線等值線),(yxgradf梯度為等值線上的法向量梯度為等值線上的法向量P上頁上頁

13、 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高等數(shù)學(xué)多元微分第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度例如例如,上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 圖形及其等值線圖形圖形及其等值線圖形函數(shù)函數(shù)xyzsin 高等數(shù)學(xué)多元微分第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度梯度與等值線（等高線）的關(guān)系：梯度與等值線（等高線）的關(guān)系：上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 方向上的方向?qū)?shù)方向上的方向?qū)?shù). .等值線指向數(shù)等值線指向數(shù)值較高的等值線，值較高的等值線，且從數(shù)且從數(shù)值較低的值較低的個方向相同，個方向相同，在該點的法在該點的法線的一線的一處等處等值線值線的梯度的方向的梯度的方向與點與點P cyxf),(在點在點函數(shù)函數(shù)yxP),(yxfz ),(

14、而梯度的模等于函數(shù)在該法線而梯度的模等于函數(shù)在該法線oyx2),(cyxf1),(cyxfcyxf),(),(yxgradf三元函數(shù)的梯度有類似的解釋三元函數(shù)的梯度有類似的解釋.高等數(shù)學(xué)多元微分第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度解解 由梯度計算公式得由梯度計算公式得kzujyuixuzyxurrr),(grad,6)24()32(kzjyixrrr 故故.1225)2 , 1 , 1 (gradkjiurrr上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例5.5. 求函數(shù)求函數(shù) yxzyxu2332222 在點在點 )2 , 1 , 1 (處的梯度，并問在處的梯度，并問在 哪些點處梯度為零？哪些點處梯度為零？在

15、在)0 ,21,23(0 P處梯度為處梯度為0.0.高等數(shù)學(xué)多元微分第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 1. 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù) 三元函數(shù)三元函數(shù) ),(zyxf在點在點),(zyxP沿方向沿方向 l (方向角方向角),為的方向?qū)?shù)為的方向?qū)?shù)為coscoscoszfyfxflf 二元函數(shù)二元函數(shù) ),(yxf在點在點),(yxP),的方向?qū)?shù)為的方向?qū)?shù)為coscosyfxflf沿方向沿方向 l (方向角為方向角為yfxfcossin上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高等數(shù)學(xué)多元微分第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度2. 2. 梯度梯度 三元函數(shù)三元函數(shù) ),(zyxf在點在點),(zyxP處的

16、梯度為處的梯度為zfyfxff,grad 二元函數(shù)二元函數(shù) ),(yxf在點在點),(yxP處的梯度為處的梯度為),(, ),(gradyxfyxffyx3. 3. 關(guān)系關(guān)系方向?qū)?shù)存在方向?qū)?shù)存在 可微可微lflfgrad梯度在方向梯度在方向 l 上的投影上的投影.上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在高等數(shù)學(xué)多元微分第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度思考題思考題xfxfxzx )0 , 0()0 ,(lim0)0,0(.|lim0 xxx 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 討論函數(shù)討論函數(shù)22),(yxyxfz 在在)0 , 0(處的偏導(dǎo)數(shù)是否存在？方向?qū)?shù)是否存在？處的偏導(dǎo)數(shù)是否存在？方向?qū)?shù)是否存在？ 同理，同理，)0, 0(yz yyy |lim0可見，該函數(shù)的兩個