高等數(shù)學同濟版下第五節(jié)隱函數(shù)的求導公式課件

1、高等數(shù)學同濟版下第五節(jié)隱函數(shù)的求導公式第五節(jié)一、一個方程所確定的隱函數(shù)一、一個方程所確定的隱函數(shù) 及其導數(shù)及其導數(shù) 二、方程組所確定的隱函數(shù)組二、方程組所確定的隱函數(shù)組 及其導數(shù)及其導數(shù)隱函數(shù)的求導方法 高等數(shù)學同濟版下第五節(jié)隱函數(shù)的求導公式本節(jié)討論 :1) 方程在什么條件下才能確定隱函數(shù) .例如, 方程02Cyx當 C 0 時, 不能確定隱函數(shù);2) 在方程能確定隱函數(shù)時, 研究其連續(xù)性、可微性 及求導方法問題 .高等數(shù)學同濟版下第五節(jié)隱函數(shù)的求導公式一、一個方程所確定的隱函數(shù)及其導數(shù)一、一個方程所確定的隱函數(shù)及其導數(shù)定理定理1.1. 設函數(shù)),(00yxP),(yxF;0),(00yxF則

2、方程00),(xyxF在點單值連續(xù)函數(shù) y = f (x) , )(00 xfy 并有連續(xù)yxFFxydd(隱函數(shù)求導公式) 具有連續(xù)的偏導數(shù);的某鄰域內某鄰域內可唯一確定一個在點的某一鄰域內滿足0),(00yxFy滿足條件導數(shù)高等數(shù)學同濟版下第五節(jié)隱函數(shù)的求導公式若F( x , y ) 的二階偏導數(shù)也都連續(xù),22ddxyyxFF)(yxFFy二階導數(shù) :)(yxFFxxyxxydd則還有例例1. 驗證方程01sinyxeyx在點(0,0)某鄰域可確定一個單值可導隱函數(shù), )(xfy 0dd,0dd22xxyxxy并求30dd,10dd22xxyxxy高等數(shù)學同濟版下第五節(jié)隱函數(shù)的求導公式定理

3、定理2 . 若函數(shù) ),(000zyxP),(zyxFzyzxFFyzFFxz,的某鄰域內具有連續(xù)偏導數(shù)連續(xù)偏導數(shù) ,則方程0),(zyxF在點),(00yx并有連續(xù)偏導數(shù), ),(000yxfz 定一個單值連續(xù)函數(shù) z = f (x , y) , 滿足0),(000zyxF0),(000zyxFz 在點滿足:某一鄰域內可唯一確高等數(shù)學同濟版下第五節(jié)隱函數(shù)的求導公式例例2. 設,04222zzyx322)2()2(zxz.22xz求例例3. 設F( x , y)具有連續(xù)偏導數(shù), 0),(zyzxF.dz求yyzxxzzddd已知方程)dd(2121yFxFFyFxz高等數(shù)學同濟版下第五節(jié)隱函數(shù)

4、的求導公式二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導數(shù)二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導數(shù)隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形.0),(0),(vuyxGvuyxF),(),(yxvvyxuu由 F、G 的偏導數(shù)組成的行列式vuvuGGFFvuGFJ),(),(稱為F、G 的雅可比雅可比( Jacobi )行列式.以兩個方程確定兩個隱函數(shù)的情況為例 , 即高等數(shù)學同濟版下第五節(jié)隱函數(shù)的求導公式定理定理3.3.,0),(0000vuyxF的某一鄰域內具有連續(xù)偏導數(shù)；設函數(shù)),(0000vuyxP),(, ),(vuyxGvuyxF則方程組0),(,0),(vuyxGvuyxF的單值連續(xù)函數(shù)單值連續(xù)函數(shù)),

5、(, ),(yxvvyxuu且有偏導數(shù)公式 : 在點的某一鄰域內可唯一唯一確定一組滿足條件滿足:0),(),(PvuGFPJ;0),(0000vuyxG, ),(000yxuu ),(000yxvv 在點P高等數(shù)學同濟版下第五節(jié)隱函數(shù)的求導公式),(),(1vxGFJxu),(),(1vyGFJyu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyvvvvuvuGFGGFF1vvvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1xxGFyyGFxxGFyyGF高等數(shù)學同濟版下第五節(jié)隱函數(shù)的求導公式例例4. 設, 1,0vxuyvyux.,yvxvyuxuJxu1求x

6、vyu22yxvyuxvyuxJxv122yxuyvx高等數(shù)學同濟版下第五節(jié)隱函數(shù)的求導公式例例5.5.設函數(shù)在點(u,v) 的某一),(, ),(vuyyvuxx0),(),(vuyx1) 證明函數(shù)組),(),(vuyyvuxx鄰域內. ),(, ),(yxvvyxuu2) 求),(, ),(yxvvyxuu對 x , y 的偏導數(shù).在點 (x, y, u, v) 的某一鄰域內有連續(xù)的偏導數(shù),且 唯一確定一組單值、連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的反函數(shù)高等數(shù)學同濟版下第五節(jié)隱函數(shù)的求導公式內容小結內容小結1. 隱函數(shù)( 組) 存在定理2. 隱函數(shù) ( 組) 求導方法方法2. 利用復合函數(shù)求導法則直接計

7、算 ;方法1. 代公式作業(yè)作業(yè) P89 3 6 10 (1) (3) 11高等數(shù)學同濟版下第五節(jié)隱函數(shù)的求導公式zx xz21fzyf211fyxf211fyxf21fzyfyx 21fzxf21fzyf思考與練習思考與練習設, ),(zyxzyxfz求.,yxzxxz高等數(shù)學同濟版下第五節(jié)隱函數(shù)的求導公式雅可比雅可比(1804 1851)德國數(shù)學家. 他在數(shù)學方面最主要的成就是和挪威數(shù)學家阿貝兒相互獨地奠定了橢圓函數(shù)論的基礎. 他對行列式理論也作了奠基性的工作. 在偏微分方程的研究中引進了“雅可比行列式”, 并應用在微積分中. 他的工作還包括代數(shù)學, 變分法, 復變函數(shù)和微分方程, 在分析力學, 動力學及數(shù)學物理方面也有貢獻 . 他在柯尼