高等數(shù)學(xué)概率51大數(shù)定律課件

1、高等數(shù)學(xué)概率51大數(shù)定律第五章大數(shù)定律與中心極限定理第一節(jié) 大數(shù)定律的概念高等數(shù)學(xué)概率51大數(shù)定律NoImageNoImageNoImageNoImage 概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的學(xué)科律性的學(xué)科. 隨機現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同的條件下進隨機現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同的條件下進行大量重復(fù)試驗時才會呈現(xiàn)出來行大量重復(fù)試驗時才會呈現(xiàn)出來. 也就是說，要從隨機現(xiàn)象中去尋求必然的也就是說，要從隨機現(xiàn)象中去尋求必然的法則，應(yīng)該研究大量隨機現(xiàn)象法則，應(yīng)該研究大量隨機現(xiàn)象.高等數(shù)學(xué)概率51大數(shù)定律NoImageNoImageNoImage與與大數(shù)定律大數(shù)定律中心

2、極限定理中心極限定理下面我們先介紹大數(shù)定律下面我們先介紹大數(shù)定律 研究大量的隨機現(xiàn)象時，隨機試驗的次研究大量的隨機現(xiàn)象時，隨機試驗的次數(shù)數(shù) n 要足夠大，因此常常采用極限形式要足夠大，因此常常采用極限形式 ，由此導(dǎo)致對極限定理進行研究，由此導(dǎo)致對極限定理進行研究. 極限定理的內(nèi)容很廣泛，其中最重要的有極限定理的內(nèi)容很廣泛，其中最重要的有兩種兩種:n 高等數(shù)學(xué)概率51大數(shù)定律第五章第二節(jié) 大數(shù)定律高等數(shù)學(xué)概率51大數(shù)定律一、切貝謝夫不等式一、切貝謝夫不等式 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 有期望值有期望值 和方差和方差 ，則任給則任給 ，有，有ED02DPE21DPE 或或PE x Ef x dx 22x

3、 ExEf x dx 221xEf x dx2D證明：如果證明：如果 是連續(xù)型是連續(xù)型r.v.，其概率密度為，其概率密度為 ，則，則 f x高等數(shù)學(xué)概率51大數(shù)定律切貝謝夫不等式的意義：切貝謝夫不等式的意義：給出了給出了r.v.的分布未知時，事件的分布未知時，事件“ ”的概率的一個估計。的概率的一個估計。 E切貝謝夫不等式的適用范圍：切貝謝夫不等式的適用范圍：（1）期望）期望 和方差和方差 已知（或易求得）；已知（或易求得）；（2）估計）估計 落入落入 內(nèi)的概率。內(nèi)的概率。ED,EE高等數(shù)學(xué)概率51大數(shù)定律例例1、已知正常男性成人的血液中，每毫升已知正常男性成人的血液中，每毫升的白細胞數(shù)平均為

4、的白細胞數(shù)平均為7300，均方差為，均方差為700，試，試估計每毫升血液中白細胞數(shù)在估計每毫升血液中白細胞數(shù)在52009400之之間的概率。間的概率。解：解：設(shè)正常男性成人每毫升血液中白細胞設(shè)正常男性成人每毫升血液中白細胞數(shù)為數(shù)為 ，則，則52009400P210073002100P73002100P2270012100 89高等數(shù)學(xué)概率51大數(shù)定律NoImage 大量的隨機現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性大量的隨機現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性 大數(shù)定律的客觀背景大數(shù)定律的客觀背景大量拋擲硬幣大量拋擲硬幣 正面出現(xiàn)頻率正面出現(xiàn)頻率 字母使用頻率字母使用頻率 生產(chǎn)過程中的生產(chǎn)過程中的 廢品率廢品率 高等數(shù)學(xué)概率

5、51大數(shù)定律二、大數(shù)定律二、大數(shù)定律1、依概率收斂：、依概率收斂：若存在常數(shù)若存在常數(shù)a，使對于任何，使對于任何 ，有，有 則稱隨機變量序列則稱隨機變量序列 依概率收斂于依概率收斂于a。0lim1nnPa nPna 高等數(shù)學(xué)概率51大數(shù)定律切貝謝夫切貝謝夫 1111lim1nniiniinPEnn2、切貝謝夫定律：、切貝謝夫定律：設(shè)設(shè) 是相互是相互獨立的隨機變量序列，各有數(shù)學(xué)期獨立的隨機變量序列，各有數(shù)學(xué)期望望 及方差及方差 并且并且對于所有對于所有 i=1,2,都有都有 ，其中，其中 l 是與是與 i 無關(guān)的常數(shù)，則任給無關(guān)的常數(shù)，則任給 ，有有012, 12,EE12,DDiDl證明：證明

6、：因為因為 相互獨立，所以相互獨立，所以12, 11niiEn11niiEn高等數(shù)學(xué)概率51大數(shù)定律由夾逼定理即得由夾逼定理即得11niiDn211niiDn21nlnln根據(jù)切貝謝夫不等式，對于任意根據(jù)切貝謝夫不等式，對于任意 ，有，有012111111ninniiiiiDnPEnn 21ln 即即2111111nniiiilPEnnn1111lim1nniiniiPEnn高等數(shù)學(xué)概率51大數(shù)定律NoImageNoImageNoImage切比雪夫大數(shù)定律給出了切比雪夫大數(shù)定律給出了 平均值穩(wěn)定性的科學(xué)描述平均值穩(wěn)定性的科學(xué)描述 切比雪夫大數(shù)定律表明，獨立隨機變量切比雪夫大數(shù)定律表明，獨立隨機

7、變量序列序列 ，如果，如果方差有共同的上界方差有共同的上界，則，則n與其數(shù)學(xué)期望與其數(shù)學(xué)期望 偏差很小的偏差很小的 概率接近于概率接近于1. 11niin11niiEn隨機的了，取值接近于其數(shù)學(xué)期望的概率接隨機的了，取值接近于其數(shù)學(xué)期望的概率接近于近于1.即當(dāng)即當(dāng)n充分大時，充分大時，差不多不再是差不多不再是11niin高等數(shù)學(xué)概率51大數(shù)定律NoImageNoImageNoImageNoImage貝努里貝努里 引入引入i=1,2,n 作為切比雪夫大數(shù)定律的特殊情況，作為切比雪夫大數(shù)定律的特殊情況，有下面的定理有下面的定理. 設(shè)設(shè) 是是n重貝努里試驗中事件重貝努里試驗中事件A發(fā)發(fā)生的次數(shù)，生的

8、次數(shù)，p是事件是事件A發(fā)生的概率，發(fā)生的概率，1,0iiA如果第 次試驗 發(fā)生，否則則則 1nii是事件是事件A發(fā)生的頻率發(fā)生的頻率11niinn高等數(shù)學(xué)概率51大數(shù)定律NoImageNoImageNoImageNoImage 于是有下面的定理：于是有下面的定理：3、貝努里大數(shù)定律、貝努里大數(shù)定律或或貝努里貝努里 設(shè)設(shè) 是是n重貝努里試驗中事件重貝努里試驗中事件A發(fā)生的發(fā)生的 次數(shù)，次數(shù)，p是事件是事件A發(fā)生的概率，則對任給的發(fā)生的概率，則對任給的 0，lim1nPpnlim0nPpn高等數(shù)學(xué)概率51大數(shù)定律NoImageNoImageNoImageNoImage 貝努里大數(shù)定律提供了通過試驗

9、來確定貝努里大數(shù)定律提供了通過試驗來確定事件概率的方法事件概率的方法.任給任給0，lim0nPpn 貝努里大數(shù)定律表明，貝努里大數(shù)定律表明，當(dāng)重復(fù)試驗次數(shù)當(dāng)重復(fù)試驗次數(shù)n充分大時，事件充分大時，事件A發(fā)生的頻率發(fā)生的頻率 與事件與事件A的概率的概率p有較大偏差的概率很小有較大偏差的概率很小./n高等數(shù)學(xué)概率51大數(shù)定律NoImage下面給出的下面給出的獨立同分布下獨立同分布下的大數(shù)定的大數(shù)定律，律，不要求隨機變量的方差存在不要求隨機變量的方差存在.4、辛欽大數(shù)定律、辛欽大數(shù)定律辛欽辛欽 設(shè)隨機變量序列設(shè)隨機變量序列 獨立同分獨立同分布，具有有限的數(shù)學(xué)期望布，具有有限的數(shù)學(xué)期望 , i=1,2,

10、， 則對任給則對任給 0 ，12, iEa11lim1niniPan 辛欽辛欽大數(shù)定律使算術(shù)平均值的法則有了大數(shù)定律使算術(shù)平均值的法則有了理論根據(jù)理論根據(jù).高等數(shù)學(xué)概率51大數(shù)定律NoImageNoImageNoImageNoImage 例如要估計某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量，要收例如要估計某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量，要收割某些有代表性的地塊，例如割某些有代表性的地塊，例如n 塊塊. 計算計算其平均畝產(chǎn)量，則當(dāng)其平均畝產(chǎn)量，則當(dāng)n 較大時，可用它作較大時，可用它作為整個地區(qū)平均畝產(chǎn)量的一個估計為整個地區(qū)平均畝產(chǎn)量的一個估計.高等數(shù)學(xué)概率51大數(shù)定律NoImageNoImageNoImageNoImage這一講我們介紹