微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史[1]課件

1、微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1聊聊天微積分的產(chǎn)生17、18、19世紀(jì)的微積分.很久很久以前, 在很遠(yuǎn)很遠(yuǎn)的一塊古老的土地上, 有一群智者開普勒、笛卡爾、卡瓦列里、費馬、帕斯卡、 格雷戈里、羅伯瓦爾、惠更斯、巴羅、瓦里斯、 牛頓、萊布尼茨、 .微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 任何研究工作的開端，幾乎都是極不完美的嘗試，且通常并不成功。每一條通向某個目的地的路都有許多未知的真理，唯有一一嘗試，方能覓得捷徑。也只有甘愿冒險，才能將正確的途徑示以他人?？梢赃@樣說，為了尋找真理，我們是注定要經(jīng)歷挫折

2、和失敗的。狄德羅微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 任何重要思想的起源都可以追溯到幾十年或幾百年以前，函數(shù)的概念也是如此。直到17世紀(jì)，人們對函數(shù)才有了明確的理解。函數(shù)概念的提出，與伽利略和格雷戈里有關(guān)。格雷戈里將函數(shù)定義為這樣一個量： 它是其他的量經(jīng)過一系列代數(shù)運算而得到的，或者經(jīng)過任何其他可以想象到的運算而得到的。微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 因為這個定義太窄，所以很快就被遺忘了，并被陸續(xù)出現(xiàn)的其它關(guān)于函數(shù)的定義替代。但即使是最簡單的函數(shù)也會涉及到實數(shù)。而無理數(shù)在17世紀(jì)時并不被人們充分了解，于是，人們在處理數(shù)值時就跳過邏輯，對函數(shù)也是如此。在1650年以前，

3、無理數(shù)就一直被人們隨心所欲地使用著。微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 緊接著函數(shù)概念的采用，產(chǎn)生了微積分，它是繼歐幾里德幾何之后，全部數(shù)學(xué)中的一個最偉大的創(chuàng)造。雖然在某種程度上，它是已被古希臘人處理過的那些問題的解答，但是，微積分的創(chuàng)立，首先還是為了處理十七世紀(jì)主要的科學(xué)問題的。微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1哪些主要的科學(xué)問題呢?有四種主要類型的問題.Archimedes微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 第一類問題 已知物體移動的距離表為時間的函數(shù)的公式，求物體在任意時刻的速度和加速度；反過來，已知物體的加速度表為時間的函數(shù)的公式，求速度和距離。微積

4、分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 困難在于：十七世紀(jì)所涉及的速度和加速度每時每刻都在變化。例如，計算瞬時速度，就不能象計算平均速度那樣，用運動的時間去除移動的距離，因為在給定的瞬刻，移動的距離和所用的時間都是 0，而 0 / 0 是無意義的。但根據(jù)物理學(xué)，每個運動的物體在它運動的每一時刻必有速度，是不容懷疑的。 第一類問題微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 求曲線的切線。 這個問題的重要性來源于好幾個方面：純幾何問題、光學(xué)中研究光線通過透鏡的通道問題、運動物體在它的軌跡上任意一點處的運動方向問題等。 第二類問題微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 第二類問題 困

5、難在于：曲線的“切線”的定義本身就是一個沒有解決的問題。 古希臘人把圓錐曲線的切線定義為“與曲線只接觸于一點而且位于曲線的一邊的直線”。這個定義對于十七世紀(jì)所用的較復(fù)雜的曲線已經(jīng)不適應(yīng)了。微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 第三類問題 求函數(shù)的最大最小值問題。 十七世紀(jì)初期，伽利略斷定，在真空中以 角發(fā)射炮彈時，射程最大。 研究行星運動也涉及最大最小值問題。45微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 困難在于：原有的初等計算方法已不適于解決研究中出現(xiàn)的問題。但新的方法尚無眉目。 第三類問題微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 第四類問題 求曲線的長度、曲線所圍成的

6、面積、曲面所圍成的體積、物體的重心、一個體積相當(dāng)大的物體作用于另一個物體上的引力。微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 困難在于：古希臘人用窮竭法求出了一些面積和體積，盡管他們只是對于比較簡單的面積和體積應(yīng)用了這個方法，但也必須添加許多技巧，因為這個方法缺乏一般性，而且經(jīng)常得不到數(shù)值的解答。 窮竭法先是被逐步修改，后來由微積分的創(chuàng)立而被根本修改了。 第四類問題微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 歐多克斯的窮竭法是一種有限且相當(dāng)復(fù)雜的幾何方法。它的思想雖然古老，但很重要，阿基米德用得相當(dāng)熟練，我們就用他的一個例子來說明一下這種方法。 看一下阿基米德在證明兩個圓的 面積比等于

7、其直徑平方比所作的 工作。Archimedes微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 阿基米德證明的主要精神是證明圓可以被圓內(nèi)接多邊形窮竭。 在圓里面內(nèi)接一個正方形，其面積大于圓面積的 1/2 （因為它大于圓外切正方形面積的 1/2，而外切正方形的面積大于圓的面積。）微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1ABEDC 設(shè) AB 是內(nèi)接正方形的一邊，平分弧 AB 于點C 處并連接 AC 與 CB 。作C 處的切線，并作 AD及 BE 垂直于切線。12|21321BC（。故 / ABDE一半的三角形ABC 的面積大于弓形ACB 面積的一半。 對正方形的每邊都這樣做，得到一個正八邊形。

8、3從而，ABED 是一個矩形，其面積大于弓形 ACB 的面積 。因此，等于矩形面積微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 8 邊形 所得到的八邊形不僅包含正方形且包含圓與正方形面積之差的一半以上。微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 在八邊形的每邊上也可按照在AB 上作三角形ABC 那樣地作一個三角形，從而得到一個正十六邊形。 16邊形微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 32邊形 64邊形 16邊形 這個正十六邊形不僅包含八邊形且包含圓與八邊形面積之差的一半以上。 這種做法你想做多少次就可以做多少次?？梢钥隙?，圓與某一邊數(shù)足夠多的正多邊形面積之差可以弄得比任何預(yù)先

9、給定的量還要小。微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 希臘數(shù)學(xué)的重大成就之一，是將許多數(shù)學(xué)命題和定理按邏輯上連貫的方式歸為為數(shù)不多的非常簡單的公設(shè)或公理。即熟知的幾何公理和算術(shù)法則，它們支配著如整數(shù)、幾何點這樣一些基本對象之間的關(guān)系。這些基本對象是作為客觀現(xiàn)實的抽象或理想化而產(chǎn)生的。微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 各項公理，或因從哲學(xué)觀點看可以認(rèn)為是“顯然”的，或僅僅因其非常有說服力，而被不加證明地予以接受。這可靠嗎？這可靠嗎？微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 已定型的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)就建立在這些公理的基礎(chǔ)之上。在后來的許多世紀(jì)中，公理化的歐幾里德數(shù)學(xué)曾被認(rèn)為是

10、數(shù)學(xué)體系的典范，甚至為其他學(xué)科所努力效仿。（例如，像笛卡爾、斯賓諾沙等哲學(xué)家，就曾試圖把他們的學(xué)說用公理方式，或者如他們所說，“更加幾何化”地提出來，以便使之更有說服力。）微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 經(jīng)過中世紀(jì)的停滯時期后，數(shù)學(xué)同自然科學(xué)一起，在新出現(xiàn)的微積分的基礎(chǔ)上開始了突飛猛進(jìn)的發(fā)展，這時公理化的方法才被人們遺棄了。微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 曾經(jīng)極其廣泛地開拓了數(shù)學(xué)領(lǐng)域的有創(chuàng)造才能的先驅(qū)們，并不因為要使這些新發(fā)現(xiàn)受制于協(xié)調(diào)的邏輯分析而束縛住自己，因此，在十七世紀(jì)，逐漸廣泛地采用直觀證據(jù)來代替演繹的證明。一些第一流的數(shù)學(xué)家在確實感到結(jié)論無誤地情況下，

11、運用了一些新的概念，有時甚至運用一些神秘的聯(lián)想。由于對微積分新方法的全面威力的信念，促使研究者們走得很遠(yuǎn)（如果束縛于嚴(yán)格的限制的框架上，這將是不可能的）。不過只有具備卓越才能的數(shù)學(xué)大師們才有可能能避免發(fā)生大錯。微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 微積分不僅使用了函數(shù)概念，還引入了兩個全新的且更為復(fù)雜的概念：微分和積分。這樣，除了用來處理數(shù)值所需要的基礎(chǔ)外，還需要邏輯方面的基礎(chǔ)。微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 微分與積分是分析中的兩種基本的極限過程。這兩種過程的一些特殊的情況，甚至在古代就已經(jīng)有人考慮過（在阿基米德工作中達(dá)到高峰），而在十六世紀(jì)和十七世紀(jì)，更是越來越受

12、到人們的重視。然而，微積分的系統(tǒng)發(fā)展是在十七世紀(jì)才開始的，通常認(rèn)為是牛頓和萊布尼茨兩位偉大的科學(xué)先驅(qū)的創(chuàng)造。這一系統(tǒng)發(fā)展的關(guān)鍵在于認(rèn)識到：過去一直分別研究的微分和積分這兩個過程，實際上是彼此互逆的聯(lián)系著。微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 公正的歷史評價，是不能把創(chuàng)建微積分歸功于一兩個人的偶然的或不可思議的靈感的。許多人，例如，費馬、伽利略、開普勒、巴羅等都曾為科學(xué)中的這些具有革命性的新思想所鼓舞，對微積分的奠基作出過貢獻(xiàn)。 事實上，牛頓的老師巴羅，就曾經(jīng)幾乎充分認(rèn)識到微分與積分之間的互逆關(guān)系。牛頓和萊布尼茨創(chuàng)建的系統(tǒng)的微積分就是基于這一基本思想。微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微

13、積分的歷史1 如果我們考慮用小球下落中時間間隔來代替時刻，用它在這一段時間間隔內(nèi)下降的距離除以所用時間，就得到這一間隔中小球的平均速度。我們可以計算從第四秒起，間隔為 1/2 秒，1/4 秒，1/8 秒，內(nèi)的平均速度。顯然，時間間隔越短，計算出來的平均速度就越接近第四秒時的速度。這就是說，我們有了一個方案：首先計算不同時間間隔內(nèi)的平均速度，然后研究當(dāng)時間間隔越來越小時，它們會趨近于哪一個數(shù)。這個數(shù)就是要求的小球在第四秒時第瞬時速度。 假設(shè)一個小球正向地面落去，我們想知道下落后第 4 秒時小球的速度（瞬時速度）。微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1小球下落的運動狀態(tài)可用下面的公式描述：

14、)( 162英尺td 費馬所在時代用的是英制單位 , 256416 4 2dt時，當(dāng)設(shè)任意一個時間增量是 h ，在第（4 + h）秒時，小球會下降 256 英尺加上距離增量 k : 16128256)4(1625622hhhk即 161282hhk微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1在 h 秒內(nèi)（時間間隔）的平均速度為 16128161282hhhhhk 幸好費馬作了這個現(xiàn)在看來并不合理的除法運算，令 h = 0 ，得到小球在第四秒時的下落速度 128d ) (是牛頓發(fā)明的記號d?微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 0 的運算。同除以時，才能對方程兩邊作只有當(dāng)hh 161

15、2816128 2hhhhhk即 0 時才正確。只有當(dāng)h這樣就不能令 h = 0 而得出結(jié)論。此外, 對于 162td 這樣簡單的函數(shù), 可以進(jìn)行上述化簡工作, 而對于更為復(fù)雜的函數(shù), 就不一定可以進(jìn)行這樣的化簡工作了, 一般只能導(dǎo)出如下的關(guān)系式：hhfhk)(, 這樣，當(dāng) h = 0時，k / h 就是 0 / 0 了，這是沒有意義的。微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 費馬一直沒能證明他所做的這些，也沒有把這項工作非常深入地進(jìn)行下去，但他堅信最終可以得到一個合理的幾何證明。盡管如此，事實上我們必須承認(rèn)他是微積分學(xué)的創(chuàng)始人之一。微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 這里

16、的問題是，當(dāng)把非均勻變化的問題看成均勻變化時，能表示為兩個量的商的形式，則此時處理非均勻變化問題，可以采用 ？微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 2軸與坐標(biāo)軸計算拋物線xxy Oxy12xy S 10 間所圍成的面積。在 x微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1Oxy2x2xy hh2y1xhyhyS21*1y微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1Oxy3x2xy h3yhh1x2xhyhyhyS321*1y2y微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1Oxynx2xy hnyhyhyhyhySnn121*ixiy 如何求此面積的精確值？微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)0

17、0第0講微積分的歷史1 17世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們解決這個問題的方法是讓 n 變成無窮大。然而，無窮大的含義本身就不清楚。它是一個數(shù)嗎？如果是，怎么對它進(jìn)行計算呢？如果它不是一個數(shù)，那它又是什么呢？微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 費馬在推導(dǎo)求面積的公式時，發(fā)現(xiàn)當(dāng) n 為無窮大時，包含的 1/n 和 1/n2 項可以忽略不計?？ㄍ吡欣飳⑸厦嬗懻摰拿娣e看成無限多個他稱之為不可分量（牛頓稱之為終結(jié)不可分量）的總和。這個終結(jié)不可分量到底是什么？當(dāng)時沒有人能將它說清楚。牛頓后來甚至重申他已經(jīng)放棄了終結(jié)不可分量，而卡瓦列里只是說，把一塊面積分割為越來越小的小矩形時，最終就會得到終結(jié)不可分量，面積就

18、是由這些終結(jié)不可分量組成的。微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 這里的問題是，當(dāng)把非均勻變化的問題看成均勻變化時，能表示為兩個量的積的形式，則此時處理非均勻變化問題，可以采用 ？微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 實際上在牛頓與萊布尼茨作出他們的沖刺之前，微積分的大量知識已經(jīng)積累起來了。甚至在巴羅的一本書里就能看到求切線的方法、兩個函數(shù)的積和商的微分定理、x 的冪的微分、求曲線的長度、定積分中的變量代換、隱函數(shù)的微分定理等等。 微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 于是人們驚問，在主要的新結(jié)果方面，還有什么有待于發(fā)現(xiàn)呢？問題的回答是，方法的較大普遍性以及從特殊

19、問題里已建立起來的東西中認(rèn)識其普遍性。 微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 數(shù)學(xué)的真正劃分不是分為幾何和算術(shù)，而是分成普遍的和特殊的。這普遍的東西是由兩個包羅萬象的思想家，牛頓和萊布尼茨提供的。微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 數(shù)學(xué)和科學(xué)中的巨大進(jìn)展，幾乎總是建立在幾百年中作出一點一滴貢獻(xiàn)的許多人的工作之上的。需要有一個人來走那最高和最后的一步，這個人要能足夠敏銳地從紛亂的猜測和說明中清理出前人的有價值的想法，有足夠想象力地把這些碎片重新組織起來，并且能足夠大膽地制定一個宏偉的計劃。在微積分中，這個人就是牛頓。微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 牛頓（16

20、421727年），英國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家、自然哲學(xué)家。生于英格蘭林肯郡伍爾索普的一個小村莊里。他的母親在那里管理著丈夫遺留下來的農(nóng)莊，他父親是在他出生前兩個月去世的。微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 少年時期，牛頓在一個低標(biāo)準(zhǔn)的地方學(xué)校接受教育，而且是一個除了對機(jī)械有興趣以外，沒有特殊才華的青年人。 微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 1661年他進(jìn)入了劍橋大學(xué)的三一學(xué)院，安靜而沒有阻力地學(xué)習(xí)著自然哲學(xué)。1665年牛頓剛結(jié)束他的大學(xué)課程，學(xué)校就因為倫敦地區(qū)鼠疫流行而關(guān)閉。他離開劍橋，回到家鄉(xiāng)，在那里開始了他在機(jī)械、數(shù)學(xué)和光學(xué)上的偉大工作，于1665-1666年

21、間做出流數(shù)術(shù)、萬有引力和光的分析三大發(fā)明，年僅23歲。微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 1667年牛頓回到劍橋，獲得碩士學(xué)位，成為三一學(xué)院的研究員。1669年牛頓接替他的數(shù)學(xué)老師巴羅的職位，擔(dān)任盧卡斯數(shù)學(xué)教授。他不是一個成功的教師，聽他課的學(xué)生很少。微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 他提出的創(chuàng)造性的材料也沒有受到同事們的注意，只有巴羅及天文學(xué)家哈雷認(rèn)識到他的偉大，并給他以鼓勵。牛頓涉獵的學(xué)科很多，知識面很廣。他從事過光學(xué)、天體力學(xué)、數(shù)學(xué)、化學(xué)、流體靜力學(xué)、流體動力學(xué)、物理學(xué)方面的研究工作，還自己動手制作實驗裝置，甚至自己制作了兩臺反射望遠(yuǎn)鏡（制作出做架子用的合金、澆

22、鑄框架、做底座、磨光鏡頭等。）微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 他在數(shù)學(xué)上以創(chuàng)建微積分而著稱，其流數(shù)法（即物質(zhì)的變化率）始于1665年，系統(tǒng)敘述于流數(shù)法和無窮級數(shù)（1671年完成，1736年出版），首先發(fā)表在自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理 （1687）中。其中借助運動學(xué)中描述的連續(xù)量及其變化率闡述他的流數(shù)理論，并創(chuàng)用字母上加一點的符號表示流動變化率（即導(dǎo)數(shù)符號）。微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1討論的基本問題是：已知流量間的關(guān)系，求它們的流數(shù)的關(guān)系以及逆運算，確立了微分與積分這兩類運算的互逆關(guān)系，即微積分基本定理。他用級數(shù)處理微分和積分，已對級數(shù)的收斂和發(fā)散有所認(rèn)識。他也研究微

23、分方程、隱函數(shù)微分、曲線切線、曲線曲率、曲線的拐點和曲線長度等。 微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 此外他還論述了有理指數(shù)的二項定理（1664年）以及數(shù)論、解析幾何、曲線分類、變分法等中的有關(guān)問題。 微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 他在物理學(xué)上發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律（1666-1684年），并據(jù)此指出行星運行成橢圓軌道的原因。1666年用三棱鏡實驗光的色散現(xiàn)象，1668年發(fā)明并親手制作了第一架反射望遠(yuǎn)鏡。 微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 他在哲學(xué)上深信物質(zhì)、運動、空間和時間的客觀存在性，堅持用觀察和實驗方法發(fā)現(xiàn)自然界的規(guī)律，力求用數(shù)學(xué)定量方法表述的定律

24、說明自然現(xiàn)象，其科學(xué)研究方法支配后世近300年的物理學(xué)研究。 微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 晚年的牛頓變得消沉，精神幾乎崩潰。他放棄研究工作，于1695年接受任命，擔(dān)任大英造幣廠監(jiān)察。1705年，封為爵士，享年85歲。牛頓對于他一生的成就，一直是十分謙虛的。 微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 萊布尼茨（16461716年）是在建立微積分中唯一可以與牛頓并列的科學(xué)家。他研究法律，在答辯了關(guān)于邏輯的論文后，得到哲學(xué)學(xué)士學(xué)位。1666年以論文論組合的藝術(shù)獲得阿爾特道夫大學(xué)哲學(xué)博士學(xué)位，同時獲得該校的教授席位。微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 1671年，

25、他制造了他的計算機(jī)。1672年3月作為梅因茲的選帝侯大使，政治出差導(dǎo)巴黎。這次訪問使他同數(shù)學(xué)家和科學(xué)家有了接觸，激起了他對數(shù)學(xué)的興趣?？梢哉f，在此之前（1672年前）萊布尼茨基本上不懂?dāng)?shù)學(xué)。微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 1673年他到倫敦，遇到另一些數(shù)學(xué)家和科學(xué)家，促使他更加深入地鉆研數(shù)學(xué)。雖然萊布尼茨靠做外交官生活，卷入各種政治活動，但他的科學(xué)研究工作領(lǐng)域是廣泛的，他的業(yè)余生活的活動范圍是龐大的。 微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 除了是外交官外，萊布尼茨還是哲學(xué)家、法學(xué)家、歷史學(xué)家、語言學(xué)家和先驅(qū)的地質(zhì)學(xué)家，他在邏輯學(xué)、力學(xué)、數(shù)學(xué)、流體靜力學(xué)、氣體學(xué)、航海學(xué)

26、和計算機(jī)方面做了重要工作。雖然他的教授席位是法學(xué)的，但他在數(shù)學(xué)和哲學(xué)方面的著作被列于世界上曾產(chǎn)生過的最優(yōu)秀的著作中。他用通信保持和人們的接觸，最遠(yuǎn)的到錫蘭（Ceylon）和中國。微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 他于1669年提議建立德國科學(xué)院，從事對人類有益的力學(xué)中的發(fā)明和化學(xué)、生理學(xué)方面的發(fā)現(xiàn)（1700年柏林科學(xué)院成立）。微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 萊布尼茨從1684年開始發(fā)表論文，但他的許多成果以及他的思想的發(fā)展，實際上都包含在他從1673年起寫的，但從未發(fā)表過的成百的筆記本中。從這些筆記本中人們可以看到，他從一個課題跳到另一個課題，并隨著他的思想的發(fā)展

27、而改變他所用的記號。有些是它在研究格雷戈里、費馬、帕斯卡、巴羅的書和文章時，或是試圖將他們的思想納入自己處理微積分的方式時所出現(xiàn)的簡單思想。微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 1714年萊布尼茨寫了微分學(xué)的歷史和起源，在這本書中，他給出了一些關(guān)于自己思想發(fā)展的記載，由于他出書的目的是為了澄清當(dāng)時加于他的剽竊罪名，所以他可能不自覺地歪曲了關(guān)于他的思想來源的記載。不管他的筆記本多么混亂，都揭示了一個最偉大的才智，怎樣為了達(dá)到理解和創(chuàng)造而奮斗。微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 特別值得一提的是：萊布尼茨很早就意識到，微分與積分（看作是和）必定是相反的過程；1676年6月23

28、日的手稿中，他意識到求切線的最好方法是求 dy/dx ，其中dy，dx 是變量的差，dy/dx 是差的商。萊布尼茨的工作，雖然富于啟發(fā)性而且意義深遠(yuǎn)，但它是十分零亂不全的，以致幾乎不能理解。幸好貝努利兄弟將他的文章大大加工，并做了大量的發(fā)展工作。1716年，他無聲無息地死去。微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 微積分是能應(yīng)用于許多類函數(shù)的一種新的 普遍的方法，這一發(fā)現(xiàn)必須歸功于牛頓和萊布尼茨倆人。經(jīng)過他們的工作，微積分不再是古希臘幾何的附庸和延展，而是一門獨立的科學(xué)，用來處理較以前更為廣泛的問題。微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 任何一件新事物出現(xiàn)時，一般不可能是十分

29、完美的。如果牛頓和萊布尼茨想到過連續(xù)函數(shù)不一定有導(dǎo)數(shù)而這卻是一般情形那么微分學(xué)就決不會被創(chuàng)造出來。 畢卡微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 創(chuàng)建微積分優(yōu)先權(quán)的爭論 牛頓從1665年到1687年把結(jié)果通知了他的朋友，特別是把他的短文分析學(xué)送給了巴羅，但他于1687年以前，并沒有正式公開發(fā)表過微積分方面的任何工作。微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 創(chuàng)建微積分優(yōu)先權(quán)的爭論 雖然萊布尼茨于1672年訪問巴黎，1673年訪問倫敦時，和一些知道牛頓工作的人通信。然而，他直到1684年才正式公開發(fā)表微積分的著作。于是就發(fā)生了萊布尼茨是否知道牛頓工作詳情的問題。萊布尼茨被指責(zé)為剽竊者

30、。微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 在這兩個人死了很久以后，調(diào)查證明：雖然牛頓的大部分工作是在萊布尼茨之前做的，但是萊布尼茨是微積分思想的獨立發(fā)明者。兩個人都受到巴羅的很多啟發(fā)。 創(chuàng)建微積分優(yōu)先權(quán)的爭論微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 這件事的結(jié)果是，英國的和大陸的數(shù)學(xué)家停止了思想交換。因為牛頓在微積分方面的主要工作是以幾何為工具的，所以在他死后近一百年中，英國人繼續(xù)以幾何為主要工具研究微積分。而大陸的數(shù)學(xué)家繼續(xù)使用萊布尼茨的分析方法，使它發(fā)展并不斷進(jìn)行改善。這件事的影響非常巨大，它不僅使英國的數(shù)學(xué)家落在后面，而且使數(shù)學(xué)學(xué)科損失了一批最有才能的人所應(yīng)作出的貢獻(xiàn)。 創(chuàng)

31、建微積分優(yōu)先權(quán)的爭論微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 因此，看來現(xiàn)代的數(shù)學(xué)家們象從事科學(xué)的人們那樣，在應(yīng)用他們的原理方面費的心血比在了解這些原理方面多得多。 貝克萊 主教微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 十七世紀(jì)最偉大的成就就是微積分。由此起源產(chǎn)生了數(shù)學(xué)的一些主要的新分支，如微分方程，無窮級數(shù)，微分幾何，變分法，復(fù)變函數(shù)等等。其中某些工作的萌芽確實在牛頓和萊布尼茨的工作中就已經(jīng)出現(xiàn)了。十八世紀(jì)，人們大量地致力于這些分析分支的發(fā)展。但是在這一發(fā)展完成之前，首先必須擴(kuò)展微積分本身。微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 牛頓和萊布尼茨創(chuàng)造了基本方法，但也留下了許

32、多要做的事情：必須清楚地認(rèn)識或造出許多新的一元函數(shù)和多元函數(shù)；微分和積分的技巧必須推廣到某些已經(jīng)存在或別的有待引入的函數(shù)；此外還缺少微積分的邏輯基礎(chǔ)。當(dāng)然，第一目標(biāo)是擴(kuò)展微積分的主要內(nèi)容。微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 十八世紀(jì)，人們的確擴(kuò)展了微積分，并創(chuàng)立了一些新的分析分支。數(shù)學(xué)家們對微積分以及隨后產(chǎn)生的分析分支做了純形式的處理。在這個經(jīng)受了挫折、錯誤、不完全和混亂的處理過程中，雖然他們的技巧是很高超的，但卻不是由明確的數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)的，而是由直觀和物理見解指引的。這些形式的努力經(jīng)受了后來的批判性檢查的考驗，并產(chǎn)生了偉大的思想線索。人們深深感受到，數(shù)學(xué)新領(lǐng)域的征服有時超過軍事上

33、的征服。它大膽地闖入敵人的領(lǐng)土，攻占要塞，然后，就必須由更廣闊，更徹底，更謹(jǐn)慎的行動來擴(kuò)大和支持這些入侵，以保衛(wèi)那些僅僅暫時地、不牢固地控制了的東西。微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)家和思想家們，沒有意識到需要極限的概念。又因為他們沒有看出使用無窮級數(shù)而產(chǎn)生的問題，所以他們天真地認(rèn)為微積分只是代數(shù)的推廣。對于即使稍微復(fù)雜一點的代數(shù)函數(shù)，基本的積分法還是把函數(shù)表示成級數(shù)形式（沿用牛頓的方法），再逐項積分。數(shù)學(xué)家們只是將積分技巧從一種有限形式發(fā)展到另一種有限形式，僅把積分當(dāng)作導(dǎo)數(shù)或微分的的逆運算。他們從來就不問一個積分的存在性。好在十八世紀(jì)出現(xiàn)的大部分應(yīng)用問題中，積分

34、都能被明確地求出來，因而也就不會發(fā)生積分存在與否的問題。微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 在十八世紀(jì)初期，就已經(jīng)出現(xiàn)了兩個和三個變量的函數(shù)的微積分（多元函數(shù)的微積分）。通常的導(dǎo)數(shù)與偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別在一開始并未被人們明確地認(rèn)識，因而對兩者使用相同的記號。而物理意義又要求人們在多個自變量的函數(shù)中，考慮只有一個自變量變化的導(dǎo)數(shù)。 兩個或多個變量的函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)研究的主要動力來自偏微分方程方面的工作。偏導(dǎo)數(shù)的演算是由歐拉研究流體力學(xué)問題的一系列文章提供的。達(dá)朗貝爾在1744年前后，推廣了偏導(dǎo)數(shù)的演算。微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 在十八世紀(jì)，雖然數(shù)學(xué)家們致力于在微積分中注入嚴(yán)

35、密性，但由于時代的局限性，這項工作顯得十分混亂。其中比較有代表性的思想是達(dá)朗貝爾的工作。他在一篇論文中說道：“極限，極限論是微積分的真正抽象，它決不是微分學(xué)中的無窮小量的一個問題：它獨特地是有限量的極限問題。這樣，無窮大量和無窮小量相互間較大，較小的空談，對微分學(xué)來說是全然無用的?！睙o窮小量僅僅是一種說法，用以避免冗長的極限術(shù)語的描述。事實上，達(dá)朗貝爾給出了極限正確定義的一個極好的近似：一個變量趨近一個固定量，趨近的程度小于任何給定量。可惜他沒有能結(jié)合并利用他的基本準(zhǔn)正確思想作出微積分形式的闡述。微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1告誡學(xué)習(xí)微積分的學(xué)生們：堅持堅持, , 你就會有信心

36、你就會有信心. .達(dá)朗貝爾微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 盡管幾乎十八世紀(jì)的每位數(shù)學(xué)家都在微積分的邏輯上做了努力，或至少表示了他們的看法，其中也有一、兩個走對了路的，但他們所有的努力都是沒有多大用處的。任何棘手的問題都被有意避開或是漠然視之，人們很難區(qū)別很大的數(shù)與無窮數(shù)，數(shù)學(xué)家們在有限與無限之間隨意通行。微積分被稱為“計算與度量一個其存在性是不可思議的事物的藝術(shù)”。尤其是歐拉、拉格朗日這樣的大師對微積分微積分嚴(yán)格化的努力的最終結(jié)果，是誤導(dǎo)了他們的同代人以及后來者，并且搞亂了他們的思想?？偟膩碚f，他們那么明目張膽地犯錯誤，以致于人們對數(shù)學(xué)家能否能清楚他們涉及到的邏輯感到絕望。微積

37、分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 十八世紀(jì)的思想家們所采取的論據(jù)的一個奇怪地特點是他們求助于“形而上學(xué)”，用它來暗示數(shù)學(xué)領(lǐng)域之外還存在一個真理體系，雖然這個真理體系究竟是什么還不清楚，但如果需要的話，可以用它來檢驗人們所做的工作。萊布尼茨、歐拉等數(shù)學(xué)家都曾借助于形而上學(xué)得出過錯誤的結(jié)論。例如，萊布尼茨曾證明過級數(shù) 的和為1/2, 實際上，該級數(shù)無和。1111微積分學(xué)P.P.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史1 一般說來，當(dāng)十七、十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們不能為一個觀點提供更好的證明時，他們就慣于說這其中的理由是形而上學(xué)的。因此，在十八世紀(jì)結(jié)束之際，微積分和建立在微積分基礎(chǔ)上的分析的其它分支的邏輯處于一種完全混亂的狀態(tài)之中?？梢哉f，1800年微積分基礎(chǔ)方