二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)0形形如如yayby稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程, .,為已知常數(shù)為已知常數(shù)其中其中ba稱為二階線性微分方程稱為二階線性微分方程22dd2dd( )( )( )( )形形如如yyP xQ x yf xxx時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0)( xf稱為二階齊次線性微分方程即稱為二階齊次線性微分方程即時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0)( xf稱為二階非齊次線性微分方程稱為二階非齊次線性微分方程)1(0)()( yxQyxPy第1頁/共37頁1.1.二階齊次方程解的結(jié)構(gòu)二階齊次方程解的結(jié)構(gòu)定理定理 1 1 如果函數(shù)如果函數(shù))(1xy與與)(2xy是

2、方程是方程(1)(1)的兩個(gè)的兩個(gè)解解, ,那末那末2211yCyCy 也是也是(1)(1)的解的解. .（21, CC是任是任意常數(shù)）意常數(shù)） 問題問題: :一定是通解嗎？一定是通解嗎？2211yCyCy )1(0)()( yxQyxPy第2頁/共37頁注： 若在區(qū)間注： 若在區(qū)間 I 上有上有 常常數(shù)數(shù)， )()()(21xuxyxy 則函數(shù)則函數(shù))(1xy與與)(2xy在區(qū)間在區(qū)間 I 上上線性無關(guān)線性無關(guān). 定理定理 2 2： 如果： 如果)(1xy與與)(2xy是方程是方程(1)(1)的兩個(gè)線性的兩個(gè)線性無關(guān)的特解無關(guān)的特解, , 那么那么2211yCyCy 就是方程就是方程(1)(

3、1)的的通解通解. . （21, CC是任意常數(shù)）是任意常數(shù)） 例如例如, 0 yy,sin,cos21xyxy ,tan12常數(shù)常數(shù)且且 xyy.sincos21xCxCy 通通解解觀察有觀察有第3頁/共37頁2.2.二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu)二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu)定理定理 3 3 設(shè)設(shè)*y是二階非齊次線性方程是二階非齊次線性方程 )2()()()(xfyxQyxPy 的一個(gè)特解的一個(gè)特解, , Y是與是與(2)(2)對應(yīng)的齊次方程對應(yīng)的齊次方程(1)(1)的的 通解通解, , 那么那么*yYy 是二階非齊次線性微分是二階非齊次線性微分 方程方程(2)(2)的通解的通解. . 推論推

4、論 設(shè)設(shè) 21yy ，是非齊次方程是非齊次方程(2)(2)的解的解, ,那么那么21yy 就是非齊次方程就是非齊次方程(2)(2)所對應(yīng)的齊次方程所對應(yīng)的齊次方程( (1 1) )的解的解. . 第4頁/共37頁定理定理 4 4 設(shè)非齊次方程設(shè)非齊次方程(2)(2)的右端的右端)(xf是幾個(gè)函是幾個(gè)函 數(shù)之和數(shù)之和, , 如如)()()()(21xfxfyxQyxPy 而而*1y與與*2y分別是方程分別是方程, , )()()(1xfyxQyxPy )()()(2xfyxQyxPy 的特解的特解, , 那么那么*2*1yy 就是原方程的特解就是原方程的特解. . 解的疊加原理解的疊加原理第5頁

5、/共37頁定理定理 5 5 如果如果12yiy 分別分別是是方程方程 12( )( )( )( )yP x yQ x yf xifx 的的解解， 其中其中12( ),( ),( ),( )P x Q xf xfx為為實(shí)實(shí)值值函數(shù)函數(shù)， i 為為虛虛單位單位。則則12,yy分別分別為為方程方程 1( )( )( )yP x yQ x yf x 與與 )()()(2xfyxQyxPy 的的解解。 第6頁/共37頁321,yyy都是微分方程的解都是微分方程的解,23xeyy ,212xyy 是對應(yīng)齊次方程的解是對應(yīng)齊次方程的解,21223xeyyyyx 又又 常數(shù)常數(shù)所求通解為所求通解為.221xC

6、eCx 122231yyCyyCy 例例1 1 .1622223332223221次微分方程的通解次微分方程的通解的解，求其所對應(yīng)的齊的解，求其所對應(yīng)的齊都是微分方程都是微分方程，已知已知 xyxyxyxxexyxyyx第7頁/共37頁-特征方程法特征方程法,rxey 設(shè)設(shè)將其代入上述方程將其代入上述方程, 得得0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有故有02 qprr特征方程特征方程,2422,1qppr 特征根特征根0 qyypy第8頁/共37頁0 qyypy二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式)(xfqyypy 二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形二階常系數(shù)非齊

7、次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式式第9頁/共37頁1)1)有兩個(gè)不相等的實(shí)根有兩個(gè)不相等的實(shí)根,2421qppr ,2422qppr ,11xrey ,22xrey 兩個(gè)線性無關(guān)的特解兩個(gè)線性無關(guān)的特解得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為;2121xrxreCeCy )0( 特征根為特征根為第10頁/共37頁2) 2) 有兩個(gè)相等的實(shí)根有兩個(gè)相等的實(shí)根,11xrey ,221prr )0( 一特解為一特解為得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為;)(121xrexCCy 代入原方程并化簡，代入原方程并化簡，將將222yyy , 0)()2(1211 uqprrupru, 0 u知知,)(xxu 取取,12x

8、rxey 則則,)(12xrexuy 設(shè)設(shè)另另一一特特解解為為特征根為特征根為第11頁/共37頁3)3)有一對共軛復(fù)根有一對共軛復(fù)根， ir 1， ir 2，xiey)(1 ，xiey)(2 )0( 重新組合重新組合)(21211yyy ,cos xex )(21212yyiy ,sin xex 得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為).sincos(21xCxCeyx 特征根為特征根為.)sincos:(xixeix 利用歐拉公式利用歐拉公式注注第12頁/共37頁定定義義由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為確定其通解的方法稱為特征方程法特征方

9、程法. .044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程為特征方程為,0442 rr解得解得,221 rr故所求通解為故所求通解為.)(221xexCCy 例例2 2第13頁/共37頁.052的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程為特征方程為,0522 rr解得解得,2121ir，故所求通解為故所求通解為).2sin2cos(21xCxCeyx 例例3 3第14頁/共37頁例例 4 4 求求微微分分方方程程 的的通通解解 082 yyy0)2)(4(822 rrrrxxececy2241 第15頁/共37頁)(xfqyypy 二階常系數(shù)非齊次線性方程二階常系數(shù)非齊次線性方程對應(yīng)齊次方

10、程對應(yīng)齊次方程, 0 qyypy通解結(jié)構(gòu)通解結(jié)構(gòu), yYy常見類型常見類型，)(xPm,)(xmexP ,cos)(xexPxm ,sin)(xexPxm 難點(diǎn)難點(diǎn)：如何求特解？如何求特解？方法方法：待定系數(shù)法待定系數(shù)法.第16頁/共37頁設(shè)非齊次方程特解為設(shè)非齊次方程特解為xexQy )( 代入原方代入原方程程)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm 不是特征方程的根不是特征方程的根若若 )1(, 02 qp ),()(xQxQm 可可設(shè)設(shè);)(xmexQy 整理得整理得)()(xPexfmx 1. 型型第17頁/共37頁是是特特征征方方程程的的重重根根若若 )3(, 02 qp

11、 , 02 p ),()(2xQxxQm 可可設(shè)設(shè)綜上討論綜上討論, )(xQexymxk 設(shè)設(shè) 是重根是重根是單根是單根不是根不是根2,10k.)(2xmexQxy 是特征方程的單根，是特征方程的單根，若若 )2(, 02 qp , 02 p ),()(xxQxQm 可設(shè)可設(shè);)(xmexxQy 第18頁/共37頁.232的通解的通解求方程求方程xxeyyy 解解對應(yīng)齊次方程通解對應(yīng)齊次方程通解特征方程特征方程, 0232 rr特征根特征根，2121 rr,221xxeCeCY 是是單單根根，2 ,)(2xeBAxxy 設(shè)設(shè)代入方程代入方程, 得得xABAx 22,121 BAxexxy2)

12、121( 于是于是原方程的通解為原方程的通解為.)121(2221xxxexxeCeCy 例例5 5第19頁/共37頁.322的通解的通解求方程求方程 xyy解解對應(yīng)齊次方程通解對應(yīng)齊次方程通解特征方程特征方程，012 r特征根特征根ir 21，xCxCYsincos21 不不是是特特征征方方程程的的根根，0 ，設(shè)設(shè)CBxAxy 2代入方程代入方程, 得得702 CBA，722 xy于是于是原方程的通解為原方程的通解為.72sincos221 xxCxCy例例6 6第20頁/共37頁型型、sin)(cos)()(2xxPxxPexfnlx sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymm

13、xk 設(shè)設(shè)次多項(xiàng)式，次多項(xiàng)式，是是其中其中mxRxRmm)(),(:)2()1( ，nlm,max .10 是單根是單根不是根不是根 iik時(shí)時(shí)或或當(dāng)當(dāng)xBexAexfxx sincos)( sincos21xDxDexyxk 設(shè)設(shè)特別特別地地第21頁/共37頁.sin22的的通通解解求求方方程程xyyy 解解對應(yīng)齊次方程通解對應(yīng)齊次方程通解,221xxeCeCY 不不是是特特征征根根，ii ，故故設(shè)設(shè)xBxAysincos* 代入原方程求得代入原方程求得5351 BA，xxysin53cos51* 原方程通解原方程通解為為 .sin3cos51221xxeCeCyxx 例例7 7第22頁/共

14、37頁.2cos的通解的通解求方程求方程xxyy 解解對應(yīng)齊次方程通解對應(yīng)齊次方程通解,sincos21xCxCY ,2 不是特征方程的根不是特征方程的根ii 代入原方程求得代入原方程求得例例8 8 ，設(shè)設(shè)xDCxxBAxy2sin2cos ，xxxy2sin942cos31 原方程通解為原方程通解為.2sin942cos31sincos21xxxxCxCy 第23頁/共37頁1.線性方程解的結(jié)構(gòu)；線性方程解的結(jié)構(gòu)；2.二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應(yīng)的特征方程）寫出相應(yīng)的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同

15、情況）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解得到相應(yīng)的通解. 第24頁/共37頁02 qprr0 qyypy 特特征征根根的的情情況況 通通解解的的表表達(dá)達(dá)式式 實(shí)實(shí)根根21rr 實(shí)實(shí)根根21rr 復(fù)復(fù)根根 ir 2, 1 xrxreCeCy2121 xrexCCy1)(21 )sincos(21xCxCeyx 第25頁/共37頁可以是復(fù)數(shù)）可以是復(fù)數(shù)） (),()()1(xPexfmx );(xQexymxk ,sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx ;sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk ( 待定系數(shù)法求特解待定系數(shù)法求特解 )第26頁/共37頁思考思考

16、題題1.求微分方程求微分方程 的通解的通解. yyyyyln22 2.寫出微分方程寫出微分方程xexyyy228644 的待定特解的形式的待定特解的形式. 3.寫出微分方程寫出微分方程 xyy2cos242 的待定特解的形式的待定特解的形式. 第27頁/共37頁思考題解答思考題解答, 0. 1 y ,ln22yyyyy ,ln yyy ,lnyyyx ,lnlnyy 令令yzln 則則, 0 zz特征根特征根1 通解通解xxeCeCz 21.ln21xxeCeCy 第28頁/共37頁思考題解答思考題解答2.設(shè)設(shè) 的特解為的特解為2644xyyy *1yxeyyy2844 設(shè)設(shè) 的特解為的特解為

17、*2y*2y *1*yy 則所求特解為則所求特解為0442 rr特征根特征根22, 1 rCBxAxy 2*1xeDxy22*2 （重根）（重根）*2y *1*yy CBxAx 2.22xeDx 第29頁/共37頁思考題解答思考題解答*2y *1*yy 則所求特解為則所求特解為042 rr特征根特征根4021， rrAxy *1xCxBy4sin4cos*2 設(shè)設(shè) 的特解為的特解為*1y14 yy3.原方程可化為原方程可化為xyy4cos14 設(shè)設(shè) 的特解為的特解為*2yxyy4cos4 *2y *1*yy AxxCxB4sin4cos 第30頁/共37頁一、一、 驗(yàn)證驗(yàn)證21xey 及及22

18、xxey 都是方程都是方程0)24(42 yxyxy的解的解, ,并寫出該方程的通并寫出該方程的通解解 . .二、二、 證明下列函數(shù)是相應(yīng)的微分方程的通解證明下列函數(shù)是相應(yīng)的微分方程的通解: :1 1、),(ln212221是任意常數(shù)是任意常數(shù)ccxxcxcy 是方程是方程 0432 yyxyx的通解；的通解；2 2、),(2)(12121是任意常數(shù)是任意常數(shù)cceececxyxxx 是是 方程方程xexyyyx 2的通解的通解 . .練練 習(xí)習(xí) 題題 第31頁/共37頁三三、已已知知xexy )(1是是齊齊次次線線性性方方程程02)12()12( yyxyx的的一一個(gè)個(gè)解解, ,求求此此方方程程的的通通解解 . .四四、已已知知齊齊次次線線性性方方程程02 yyxyx的的通通解解為為xxc