創(chuàng)新設(shè)計】屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第4單元43平面向量的數(shù)量積及平面向量應(yīng)用理新人教B課件

1、(理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義/了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系/掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算/能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個向能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系/會用向量方法解決某些簡單的會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題平面幾何問題/會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題)4.3 4.3 平面向量的數(shù)量積及

2、平面向量的數(shù)量積及平面向量應(yīng)用平面向量應(yīng)用1兩個非零向量夾角的概念：兩個非零向量夾角的概念：已知非零向量已知非零向量a與與b，作，作OAa，OBb，則，則 AOB(0)叫叫a與與b的夾角的夾角,記作記作 ，注意：當(dāng)注意：當(dāng)0時時a 與與b同向；當(dāng)同向；當(dāng)時，時，a與與b反向；當(dāng)反向；當(dāng)時，時，a與與b垂直，記垂直，記ab；2平面向量數(shù)量積平面向量數(shù)量積(內(nèi)積內(nèi)積)的定義：的定義：已知兩個非零向量已知兩個非零向量a與與b，它們的夾角是，它們的夾角是， 則數(shù)量則數(shù)量|a|b|cos 叫叫a與與b的數(shù)量積，記作的數(shù)量積，記作ab，即有，即有ab|a|b|cos .3.向量在軸上的正射影向量在軸上的正

3、射影已知向量已知向量a和軸和軸l如圖所示，作如圖所示，作OA=a,過點(diǎn)過點(diǎn)O，A分別作軸分別作軸l的的垂線，垂足分別為垂線，垂足分別為O1,A1，則向量，則向量O1A1叫做向量叫做向量a在軸在軸l上的上的正射影（簡稱射影），該射影在軸正射影（簡稱射影），該射影在軸l上的坐標(biāo)，稱作上的坐標(biāo)，稱作a在軸在軸l上的數(shù)量或在軸上的數(shù)量或在軸l的方向上的數(shù)量的方向上的數(shù)量OA=a在軸在軸l上正射影的坐上正射影的坐標(biāo)記作標(biāo)記作al,向量向量a的方向與軸的方向與軸l的正向所成的角為的正向所成的角為，則由三角函數(shù)中的余弦定，則由三角函數(shù)中的余弦定義有義有al=|a|cos .4性質(zhì)：性質(zhì)：兩個非兩個非零向量零

4、向量a，b(1)abab0.(2)當(dāng)當(dāng)a與與b同向時，同向時，ab|a|b|；當(dāng)；當(dāng)a與與b反向時，反向時，ab|a|b|.特別的特別的aa|a|2或或|a| .(3)|ab|a|b|.5運(yùn)算律：運(yùn)算律：abba；(a)b(ab)；(ab)cacbc.1已知已知|a|2，|b|4，ab4，則，則a與與b的夾角為的夾角為()A30 B60 C150 D120解析：解析：答案：答案：D2若向量若向量a(1,2)，b(1，3)，則向量，則向量a與與b的夾角等于的夾角等于()A45 B60 C120 D135解析：解析：答案：答案：D3兩個非零向量兩個非零向量a、b互相垂直，給出下列各式：互相垂直，給

5、出下列各式：ab0；abab；|ab|ab|；|a|2|b|2(ab)2；(ab)(ab)0.其中正確的式子有其中正確的式子有()A2個個 B3個個 C4個個 D5個個解析：解析：ab0，正確，正確，ab與與ab方向不同，錯誤方向不同，錯誤|ab|2|a|2|b|22ab|a|2|b|2，|ab|2|a|2|b|22ab|a|2|b|2，|ab|ab|.正正確確(ab)2|a|2|b|22ab|a|2|b|2.正確正確當(dāng)當(dāng)|a|b|時時(ab)(ab)0不成立錯誤，故選不成立錯誤，故選B項(xiàng)項(xiàng)答案：答案：B4(2009江蘇卷江蘇卷)已知向量已知向量a和向量和向量b的夾角為的夾角為30，|a|2，

6、|b| ，則向量，則向量a和向量和向量b的數(shù)量積的數(shù)量積ab_.解析：解析：ab|a|b|cos 2 cos 303.答案：答案：3 向量的運(yùn)算是指向量的加法、減法、實(shí)數(shù)與向量的積和向量的數(shù)量積等，向量的向量的運(yùn)算是指向量的加法、減法、實(shí)數(shù)與向量的積和向量的數(shù)量積等，向量的運(yùn)算類似于實(shí)數(shù)的運(yùn)算，要注意二者之間的聯(lián)系和區(qū)別，有些問題從運(yùn)算律到運(yùn)運(yùn)算類似于實(shí)數(shù)的運(yùn)算，要注意二者之間的聯(lián)系和區(qū)別，有些問題從運(yùn)算律到運(yùn)算結(jié)果都非常類似，例如算結(jié)果都非常類似，例如a2b2(ab)(ab)等，同時要注意：等，同時要注意：數(shù)形結(jié)合思數(shù)形結(jié)合思想方法的運(yùn)用；想方法的運(yùn)用；向量加法、減法和數(shù)乘向量的結(jié)果是向量，

7、而向量數(shù)量積的運(yùn)向量加法、減法和數(shù)乘向量的結(jié)果是向量，而向量數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)果是實(shí)數(shù)算結(jié)果是實(shí)數(shù)【例【例1】(1)證明證明：(ab)2a22abb2；(2)設(shè)設(shè)a、b是夾角為是夾角為60的單位向量，求的單位向量，求|2ab|、|3a2b|；2ab,3a2b解答：解答：(1)證明證明：(ab)2(ab)(ab)(ab)a(ab)ba2ba(abb2)a22abb2.(2)|2ab|2(2ab)24a24abb244|a|b|cos6017， |2ab| .同理可求同理可求|3a2b| .cos2ab,3a2b又又02ab,3a2b180，2ab,3a2b60.2由于兩個非零向量由于兩個非零向量a(

8、x1，y1)，b(x2，y2)，a，b的夾角為的夾角為滿足滿足0180，所以用，所以用 1. 利用數(shù)量積求解利用數(shù)量積求解長度問題是數(shù)量積的重要應(yīng)用，要掌握此類問題的處理方法：長度問題是數(shù)量積的重要應(yīng)用，要掌握此類問題的處理方法：【例【例2】已知已知a、b滿足滿足|ab|ab|，|a|b|1，求，求|3a2b|.解答：解答：由由|ab| |ab|得，得，|ab|23|ab|2，即，即(ab)23(ab)2，a22abb23(a22abb2)，8ab2a22b22|a|22|b|24，即，即ab ，|3a2b| 變式變式2.已知三個向量已知三個向量a、b、c兩兩所夾的角都為兩兩所夾的角都為120

9、，|a|1，|b|2，|c|3，求向量，求向量abc與向量與向量a的夾角的夾角解答：解答：由已知得由已知得(abc)aa2abac12cos 1203cos 120 ，|abc| 設(shè)向量設(shè)向量abc與向量與向量a的夾角為的夾角為，則，則cos即即150 ，故向量故向量abc與向量與向量a的夾角為的夾角為150 . 向量與其它知識結(jié)合，題目新穎而精巧，既符合考查知識的向量與其它知識結(jié)合，題目新穎而精巧，既符合考查知識的“ “交匯處交匯處” ”的命題要求，的命題要求，又加強(qiáng)了對雙基覆蓋面的考查，特別是通過向量坐標(biāo)表示的運(yùn)算，利用解決平行、又加強(qiáng)了對雙基覆蓋面的考查，特別是通過向量坐標(biāo)表示的運(yùn)算，利

10、用解決平行、垂直、成角和距離等問題的同時，把問題轉(zhuǎn)化為新的函數(shù)、三角或幾何問題垂直、成角和距離等問題的同時，把問題轉(zhuǎn)化為新的函數(shù)、三角或幾何問題【例【例3】已知向量已知向量m(cos ，sin )和和n( sin，cos)，(,2)，且，且|mn| ，求，求cos 的值的值變式變式3.已知向量已知向量OAa(cos ，sin )，OBb(2cos ，2sin )，OCc(0，d)(d0)，其中其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，且0 0，1有了向量的幾何表示和代數(shù)表示，就為研究和解決幾何問題提供兩種新的方有了向量的幾何表示和代數(shù)表示，就為研究和解決幾何問題提供兩種新的方法法向量法和坐標(biāo)法向量法和坐

11、標(biāo)法2向量的線性運(yùn)算、平面向量的數(shù)量積，向量的平行與垂直，都有它的幾何表示向量的線性運(yùn)算、平面向量的數(shù)量積，向量的平行與垂直，都有它的幾何表示和坐標(biāo)表示，它們的形式雖然不同，但實(shí)質(zhì)完全一樣，在解決具體問題時要靈和坐標(biāo)表示，它們的形式雖然不同，但實(shí)質(zhì)完全一樣，在解決具體問題時要靈活選擇活選擇3向量的坐標(biāo)表示使向量運(yùn)算完全數(shù)量化，致使一些證明題的過程表現(xiàn)在計算上，向量的坐標(biāo)表示使向量運(yùn)算完全數(shù)量化，致使一些證明題的過程表現(xiàn)在計算上，這是坐標(biāo)法的獨(dú)到之處這是坐標(biāo)法的獨(dú)到之處【方法規(guī)律方法規(guī)律】4用坐標(biāo)表示向量解決幾何問題的大致過程為：用坐標(biāo)表示向量解決幾何問題的大致過程為：(1)適當(dāng)建立直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)；適當(dāng)建立直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)；(2)用點(diǎn)的坐標(biāo)表示所需向量坐標(biāo)；用點(diǎn)的坐標(biāo)表示所需向量坐標(biāo)；(3)利用向量的坐標(biāo)表示進(jìn)行計算或證明利用向量的坐標(biāo)表示進(jìn)行計算或證明. (2009全國全國)(本題滿分本題滿分5分分)設(shè)設(shè)a、b、c是單位向量是單位向量，且，且ab0，則，則(ac)(bc)的的最小值為最小值為()解析解析：解法解法一一：由：由ab0如圖建立直角坐標(biāo)系如圖建立直角坐標(biāo)系xOy，則，則a(1,0)，b(0,1)設(shè)設(shè)c(cos ，sin )(ac)(bc)(1cos ，sin )(cos ，1sin )cos2cos sin2sin 1sin