人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊同步講解第6章《章末復(fù)習(xí)課》(含解析)

1、平面向量的線性運算【例1】如圖，梯形ABCD中，ABCD，點M，N分別是DA，BC的中點，且k，設(shè)e1，e2，以e1，e2為基底表示向量，.解e2，且k，kke2.0，De1(k1)e2.又0，且，e2.向量線性運算的基本原則和求解策略(1)基本原則：向量的加法、減法和數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算向量的線性運算的結(jié)果仍是一個向量因此，對它們的運算法則、運算律的理解和運用要注意向量的大小和方向兩個方面(2)求解策略：向量是一個有“形”的幾何量，因此在進行向量線性運算時，一定要結(jié)合圖形，這是研究平面向量的重要方法與技巧字符表示下的線性運算的常用技巧：首尾相接用加法的三角形法則，如；共起點兩個向量作

2、差用減法的幾何意義，如.1如圖所示，在ABC中，P是BN上的一點，若m，則實數(shù)m的值為 設(shè)，則m(m1).與共線，(m1)0，m.平面向量數(shù)量積的運算【例2】(1)已知點A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，則向量在方向上的投影為()A.B.C D(2)如圖，在梯形ABCD中，ABCD，AB4，AD3，CD2，2.若3，則 .(1)A(2)(1)(2,1)，(5,5)，向量(2,1)在(5,5)上的投影為|cos，|.(2)因為23，所以.向量數(shù)量積的求解策略(1)利用數(shù)量積的定義、運算律求解在數(shù)量積運算律中，有兩個形似實數(shù)的完全平方公式在解題中的應(yīng)用較為廣泛，即(ab)2a

3、22abb2，(ab)2a22abb2，上述兩公式以及(ab)(ab)a2b2這一類似于實數(shù)平方差的公式在解題過程中可以直接應(yīng)用(2)借助零向量即借助“圍成一個封閉圖形且首尾相接的向量的和為零向量”，再合理地進行向量的移項以及平方等變形，求解數(shù)量積(3)借助平行向量與垂直向量即借助向量的拆分，將待求的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為有垂直向量關(guān)系或平行向量關(guān)系的向量數(shù)量積，借助ab，則ab0等解決問題(4)建立坐標系，利用坐標運算求解數(shù)量積2(2018全國卷)已知向量a，b滿足|a|1，ab1，則a(2ab)()A4B3 C2D0Ba(2ab)2a2ab2(1)3，故選B.3已知正方形ABCD的面積為2，點P在邊

4、AB上，則的最大值為()A.B. C2D.C如圖建立平面直角坐標系，由題意得，D(，)，C(，0)，設(shè)P(0，t)(0t)，(，t)，(，t)，t2t2，當t0或時，()max2，故選C.平面向量的坐標運算【例3】(1)(2018北京高考)設(shè)向量a(1,0)，b(1，m)，若a(mab)，則m .(2)設(shè)a(2,0)，b(1，)若(ab)b，求的值；若mab，且|m|2，m，b，求，的值思路探究(1)用坐標表示出mab，再利用垂直關(guān)系列出方程求解(2)將向量坐標表示后列方程或方程組求解(1)1a(1,0)，b(1，m)，mab(m,0)(1，m)(m1，m)，由a(mab)得：a(mab)0，

5、m10，即m1.(2)解因為a(2,0)，b(1，)，所以ab(2，0)(1，)(21，)又(ab)b，所以(ab)b0，即(21，)(1，)0，所以2130.所以2.因為a(2,0)，b(1，)，mab(2,0)(1，)(2，)因為|m|2，m，b，所以即解得或所以1，1或1，2.向量的坐標運算若a(a1，a2)，b(b1，b2)，則ab(a1b1，a2b2)；ab(a1b1，a2b2)；a(a1，a2)；aba1b1a2b2；aba1b1，a2b2(R)，或(b10，b20)；aba1b1a2b20；|a|；若為a與b的夾角，則cos .4已知A(1，1)，B(sin ，cos )，C(2

6、,5)三點共線，且(kZ)求tan .解由題意得(sin 1，cos 1)，(3,6)因為A，B，C三點共線，所以與共線，所以3(cos 1)6(sin 1)0，即cos 2sin 1.兩邊平方得cos24sin cos 4sin2sin2cos2.即3sin24sin cos .因為，kZ，所以cos 0，所以tan .平面向量的平行與垂直問題【例4】(1)已知向量m(1,1)，n(2,2)，若(mn)(mn)，則()A4B3 C2D1(2)設(shè)A，B，C，D為平面內(nèi)的四點，且A(1,3)，B(2，2)，C(4,1)若，求D點的坐標設(shè)向量a，b，若kab與a3b平行，求實數(shù)k的值(1)B因為m

7、n(23,3)，mn(1，1)，且(mn)(mn)，所以(mn)(mn)2330，解得3.(2)解設(shè)D(x，y)因為，所以(2，2)(1,3)(x，y)(4,1)，化為(1，5)(x4，y1)，所以解得所以D(5，4)因為a(2，2)(1,3)(1，5)，b(4,1)(2，2)(2,3)，所以kabk(1，5)(2,3)(k2，5k3)，a3b(1，5)3(2,3)(7,4)因為kab與a3b平行，所以7(5k3)4(k2)0，解得k.1將本例(2)中的“”改為“”，“平行”改為“垂直”，求實數(shù)k的值解因為a(1，5)，b(3，2)，所以kab(k3，5k2)，a3b(10，11)，因為(ka

8、b)(a3b)，所以(kab)(a3b)10(k3)11(5k2)65k520，解得k.2在本例(2)中若A，B，D三點共線，且ACCD，求點D的坐標解設(shè)點D的坐標為(x，y)，則(1，5)，(x1，y3)，(3，2)，(x4，y1)，由題意得，所以整理得解得x2，y2，所以點D的坐標為(2，2)1證明共線問題常用的方法(1)向量a，b(a0)共線存在唯一實數(shù)，使ba.(2)向量a(x1，y1)，b(x2，y2)共線x1y2x2y10.(3)向量a與b共線|ab|a|b|.(4)向量a與b共線存在不全為零的實數(shù)1，2，使1a2b0.2證明平面向量垂直問題的常用方法abab0x1x2y1y20，

9、其中a(x1，y1)，b(x2，y2)平面向量的模、夾角問題【例5】已知向量e1，e2，且|e1|e2|1，e1與e2的夾角為.me1e2，n3e12e2.(1)求證：(2e1e2)e2；(2)若|m|n|，求的值；(3)若mn，求的值；(4)若m與n的夾角為，求的值思路探究利用兩向量垂直則數(shù)量積為零，關(guān)于向量模的問題，先對其平方，以及合理使用夾角公式解(1)證明：因為|e1|e2|1，e1與e2的夾角為，所以(2e1e2)e22e1e2e2|e1|e2|cos|e2|2211120，所以(2e1e2)e2.(2)由|m|n|得(e1e2)2(3e12e2)2，即(29)e(212)e1e23

10、e0.因為|e1|e2|1，e1，e2，所以ee1，e1e211cos，所以(29)1(212)310，即260.所以2或3.(3)由mn知mn0，即(e1e2)(3e12e2)0，即3e(32)e1e22e0.因為|e1|e2|1，e1，e2，所以ee1，e1e211cos，所以3(32)20.所以.(4)由前面解答知ee1，e1e2，|n|.而|m|2(e1e2)22e2e1e2e21，所以|m|.mn(e1e2)(3e12e2)3e(32)e1e22e3(32)22.因為m，n，由mn|m|n|cosm，n得2，化簡得32520，所以2或.經(jīng)檢驗知不成立，故2.1解決向量模的問題常用的策

11、略(1)應(yīng)用公式：|a|(其中a(x，y)(2)應(yīng)用三角形或平行四邊形法則(3)應(yīng)用向量不等式|a|b|ab|a|b|.(4)研究模的平方|ab|2(ab)2.2求向量的夾角設(shè)非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，兩向量夾角(0)的余弦cos .5已知cmanb，c(2，2)，ac，b與c的夾角為，bc4，|a|2，求實數(shù)m，n的值及a與b的夾角.解c(2，2)，|c|4.ac，ac0.bc|b|c|cos|b|44，|b|2.cmanb，c2macnbc，16n(4)，n4.在cmanb兩邊同乘以a，得08m4ab.在cmanb兩邊同乘以b，得mab12.由，得m，ab2，cos ，或

12、.利用正、余弦定理解三角形【例6】在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知bc2acos B.(1)證明：A2B；(2)若ABC的面積S，求角A的大小解(1)證明：由正弦定理得sin Bsin C2sin Acos B，故2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B，于是sin Bsin(AB)又A，B(0，)，故0AB，所以B(AB)或BAB，因此A(舍去)或A2B，所以A2B.(2)由S，得absin C，故有sin Bsin Csin 2Bsin Bcos B，因為sin B0，所以sin Ccos B，又B，C(0，)，所以CB.當BC時，A；當CB時，A.綜上，A或A.解三角形的一般方法(1)已知兩角和一邊，如已知A，B和c，由ABC求C，由正弦定理求a，b.(2)已知兩邊和這兩邊的夾角，如已知a，b和C，應(yīng)先用余弦定理求c，再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用ABC，求另一角(3)已知兩邊和其中一邊的對角，如已知a，b和A，應(yīng)先用正弦定理求B，由ABC求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多種情況(4)已知三邊a，b，c，可應(yīng)用余弦定理求A，