線性代數(shù) 用正交變換法換二次型為標(biāo)準(zhǔn)型ppt課件

1、正交變換是一類特殊的線性變換，具有保向量長度正交變換是一類特殊的線性變換，具有保向量長度不變、幾何外形不變的性質(zhì)，在幾何空間中被廣泛運(yùn)用。不變、幾何外形不變的性質(zhì)，在幾何空間中被廣泛運(yùn)用。那么稱那么稱C C為正交矩陣。為正交矩陣。正交矩陣的性質(zhì)：正交矩陣的性質(zhì)：一、正交矩陣及性質(zhì)一、正交矩陣及性質(zhì),TTCCC CI 正交矩陣：設(shè)矩陣正交矩陣：設(shè)矩陣C C為為n n階方陣，假設(shè)滿足階方陣，假設(shè)滿足 假設(shè)矩陣C為n階正交矩陣，那么C*也是正交矩陣. 假設(shè)矩陣假設(shè)矩陣C為為n階正交矩陣，那么階正交矩陣，那么|C|=1； 假設(shè)矩陣假設(shè)矩陣C為為n階正交矩陣，階正交矩陣， 那么那么C可逆，其逆可逆，其逆

2、C-1= CT C是正交矩陣的充要條件是是正交矩陣的充要條件是C的列行向量組的列行向量組是規(guī)范正交向量組是規(guī)范正交向量組Page105, ch3-例例27 12,nC CCL也是正交矩陣；也是正交矩陣； 11221212,XCY XCYXXY Y 時(shí)， 假設(shè)假設(shè)A、B為正交矩陣，那么它們的乘積矩陣為正交矩陣，那么它們的乘積矩陣AB也是正交矩陣也是正交矩陣正交變換：設(shè)正交變換：設(shè)C為正交矩陣，為正交矩陣，X和和Y是歐氏空間是歐氏空間Rn中的中的n維向量，那么線性變換維向量，那么線性變換X=CY是是Rn上的正交變換上的正交變換等價(jià)：等價(jià)： 線性變換線性變換X=CY為正交變換；為正交變換；在線性變換

3、在線性變換X=CY下，向量的內(nèi)積不變，即：下，向量的內(nèi)積不變，即：線性變換線性變換X=CY把把Rn中的規(guī)范正交基變成規(guī)范正交基中的規(guī)范正交基變成規(guī)范正交基.(1)(2):(1,2),iiXCYi 12121212,TTTTXXXXCYCYYYC C 121212,TTYYY YEY Y (2)(3): 12,n L 12,nCCC L 1,0,ijijijCCij 12,nCCC L由前面的定理可知，任一二次型均能經(jīng)過一非退化的由前面的定理可知，任一二次型均能經(jīng)過一非退化的線性變換將其化為規(guī)范形。線性變換將其化為規(guī)范形。問題：任一二次型能否經(jīng)過正交變換將其化為規(guī)范形？問題：任一二次型能否經(jīng)過正

4、交變換將其化為規(guī)范形？(3)(1): 12,n L 12,nCCC L 1122,nnBCCACCC LL三、用正交變換法化二次型為規(guī)范形三、用正交變換法化二次型為規(guī)范形注：正交變換不改動向量的內(nèi)積，即不改動向量的長度，注：正交變換不改動向量的內(nèi)積，即不改動向量的長度，從而也不改動曲線或曲面的外形。從而也不改動曲線或曲面的外形。112TnC ACCAC O成成立立. .上述問題的等價(jià)描畫：對于一實(shí)上述問題的等價(jià)描畫：對于一實(shí)RnRn對稱矩陣對稱矩陣A,A,能否能否上式闡明用正交矩陣所得的矩陣合同即為矩陣的類似上式闡明用正交矩陣所得的矩陣合同即為矩陣的類似. .列向量應(yīng)該是列向量應(yīng)該是A的的n個(gè)

5、線性無關(guān)且規(guī)范正交的特征向量。個(gè)線性無關(guān)且規(guī)范正交的特征向量。實(shí)對稱矩陣的性質(zhì)：實(shí)對稱矩陣的性質(zhì)：定理：設(shè)定理：設(shè)A為為n階實(shí)對稱矩陣，那么有階實(shí)對稱矩陣，那么有(1) A的特征值全是實(shí)數(shù)；的特征值全是實(shí)數(shù)； 找到一正交矩陣找到一正交矩陣C,C,使得使得故規(guī)范形應(yīng)該由矩陣的特征值故規(guī)范形應(yīng)該由矩陣的特征值決議，且正交矩陣決議，且正交矩陣C的的i (2) A的對應(yīng)不同特征值的特征向量必正交的對應(yīng)不同特征值的特征向量必正交. AXX ABA B g(1)(1)設(shè)設(shè)向量，那向量，那么么兩邊右乘兩邊右乘X,X,即即又因又因上述兩式相減，上述兩式相減，對上述等式先取轉(zhuǎn)置，再取共軛，且有對上述等式先取轉(zhuǎn)置

6、，再取共軛，且有，故結(jié)論成立，故結(jié)論成立為實(shí)對稱陣為實(shí)對稱陣A A的特征值，的特征值，X X為對應(yīng)為對應(yīng) 的特征的特征故：故：,TTTTTX AXX AX ,TTX AXX X ,TTTX AXXXX X 0TX X 12, (2)(2)設(shè)設(shè)為實(shí)對稱陣為實(shí)對稱陣A A的兩個(gè)不同特征值，的兩個(gè)不同特征值，X1X1，X2X2為為對應(yīng)對應(yīng)12, 的特征向量，那的特征向量，那么么 ,1,2iiiAXXi 又因又因 112121212122,TXXAXXXAXXAXXX 121212,0,0XXXX 故結(jié)論成立故結(jié)論成立. .定理：對定理：對n n階實(shí)對稱矩陣階實(shí)對稱矩陣A A，必存在正交矩陣，必存在正

7、交矩陣C C，使，使112TnC ACCAC O成成立立. .證明：利用數(shù)學(xué)歸納法證明：利用數(shù)學(xué)歸納法+ +規(guī)范正交向量組的性質(zhì)規(guī)范正交向量組的性質(zhì)詳見課本詳見課本179-180179-180證明過程。證明過程。注：實(shí)對稱陣一定有注：實(shí)對稱陣一定有n n個(gè)規(guī)范正交的特征向量。個(gè)規(guī)范正交的特征向量。上述定理的等價(jià)描畫：上述定理的等價(jià)描畫：定理主軸定理：實(shí)二次型定理主軸定理：實(shí)二次型TfX AX 必可由正交必可由正交變換變換XCY 化為規(guī)范形，即化為規(guī)范形，即2221122TnnfX AXyyy L12,n L其中，其中，為為A的特征值的特征值.基于上述結(jié)果，可歸納正交變換法化二次型為規(guī)范形基于上

8、述結(jié)果，可歸納正交變換法化二次型為規(guī)范形的過程如下：的過程如下：用正交變換化二次型為規(guī)范形的詳細(xì)步驟用正交變換化二次型為規(guī)范形的詳細(xì)步驟;,. 1AAxxfT求求出出將將二二次次型型表表成成矩矩陣陣形形式式 ;,. 221nA 的的所所有有特特征征值值求求出出 ;,. 321n 征征向向量量求求出出對對應(yīng)應(yīng)于于特特征征值值的的特特 ;,. 4212121nnnC 記記得得單單位位化化正正交交化化將將特特征征向向量量 .,. 52211nnyyffCyx 的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形則則得得作作正正交交變變換換 解解 1 1二次型的矩陣為二次型的矩陣為121314232434222222為標(biāo) fx xx x

9、x xx xx xx x 化化準(zhǔn)準(zhǔn)形形. .例例1 1、求一個(gè)正交變換、求一個(gè)正交變換X=PYX=PY，把二次型，把二次型0111101111011110A 1111111(1)111111 111111111111AE,的特征值：的特征值：求求由A2)EA0 0) 1)(3()1 () 32()1 (222 11110122102120001-+ 21111012021 得得A的特征值的特征值12,3,43,1 3當(dāng)當(dāng)時(shí)，特征向量為時(shí)，特征向量為3 11, 1, 1,1T 對其單位化對其單位化 111, 1, 1,12T 當(dāng)當(dāng)時(shí)，特征向量為時(shí)，特征向量為1 2341,1,0,0,1,0,1,

10、0,1,0,0,1TTT 4利用利用Schmidt正交化過程對上述向量正交化、單位化正交化過程對上述向量正交化、單位化 2341111,1,0,0,0,0,1,1,1, 1,1, 1222TTT 故正交矩陣故正交矩陣 1234,TC 且滿足且滿足13111TC ACCAC 5作正交變換作正交變換X=CY,原二次型化為規(guī)范形原二次型化為規(guī)范形 222212341234,3fx xxxyyyy 例例2、假設(shè)二次型、假設(shè)二次型22123322fxx xax 可經(jīng)過正交變換可經(jīng)過正交變換X=CY化二次型為規(guī)范形化二次型為規(guī)范形2221232fybyy ,a b求參數(shù)求參數(shù)及所作的正交變換及所作的正交變換.2 0 00 0 10 1Aa 解：二次型的矩陣解：二次型的矩陣又因規(guī)范形為又因規(guī)范形為2221232,fybyy 故故A的特征值為的特征值為2, , 1b 利用性質(zhì)：利用性質(zhì)：2( 1)( )22( 1)2btr AabA g g1,0ba 所以所以A的特征值為的特征值為2,1, 1 123, 兩兩相互正交，單位化得兩兩相互正交，單位化得令正交矩陣令正