《數(shù)字濾波器》 (2)ppt課件

1、第第 3 章章 數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器3.1 數(shù)字濾波器概述數(shù)字濾波器概述3.2 數(shù)字濾波器分析數(shù)字濾波器分析3.3 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)3.1 數(shù)字濾波器概述數(shù)字濾波器概述 數(shù)字濾波器是數(shù)字信號(hào)處置的重要根底，在對(duì)信數(shù)字濾波器是數(shù)字信號(hào)處置的重要根底，在對(duì)信號(hào)過(guò)濾、檢測(cè)、參數(shù)估計(jì)等處置中，有著廣泛的運(yùn)用。號(hào)過(guò)濾、檢測(cè)、參數(shù)估計(jì)等處置中，有著廣泛的運(yùn)用。 數(shù)字濾波器是一個(gè)用有限精度算法實(shí)現(xiàn)的線(xiàn)性時(shí)數(shù)字濾波器是一個(gè)用有限精度算法實(shí)現(xiàn)的線(xiàn)性時(shí)不變離散系統(tǒng)，它本質(zhì)就是一個(gè)運(yùn)算過(guò)程，可以實(shí)現(xiàn)不變離散系統(tǒng)，它本質(zhì)就是一個(gè)運(yùn)算過(guò)程，可以實(shí)現(xiàn)各種變換和處置。它將輸入的數(shù)字信號(hào)各種變換和處置。它將輸入的

2、數(shù)字信號(hào) (序列序列) 經(jīng)過(guò)特經(jīng)過(guò)特定的運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵龅臄?shù)字序列，因此，任何一個(gè)線(xiàn)定的運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵龅臄?shù)字序列，因此，任何一個(gè)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)都可以看作是數(shù)字濾波器。性時(shí)不變系統(tǒng)都可以看作是數(shù)字濾波器。 傳統(tǒng)數(shù)字濾波器傳統(tǒng)數(shù)字濾波器 運(yùn)用：對(duì)模擬濾波器的功能進(jìn)展模擬。運(yùn)用：對(duì)模擬濾波器的功能進(jìn)展模擬。 功能：頻率選擇。功能：頻率選擇。 可用頻域特性表示：可用頻域特性表示： Y(ej)=H(ej)X(ej) 只需按照輸入信號(hào)頻譜的特點(diǎn)和處置信號(hào)的目的，只需按照輸入信號(hào)頻譜的特點(diǎn)和處置信號(hào)的目的，適中選擇適中選擇 H(ej)，使濾波后的結(jié)果，使濾波后的結(jié)果 H(ej)X(ej)符合符合人們的要求，即

3、到達(dá)了濾波的目的。這就是傳統(tǒng)數(shù)字人們的要求，即到達(dá)了濾波的目的。這就是傳統(tǒng)數(shù)字濾波器的根本濾波原理，又稱(chēng)傳統(tǒng)濾波思想。濾波器的根本濾波原理，又稱(chēng)傳統(tǒng)濾波思想。H ( e j)X(ej)Y(ej) 現(xiàn)代數(shù)字濾波器現(xiàn)代數(shù)字濾波器 數(shù)字濾波器越來(lái)越多地在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，促使數(shù)字濾波器越來(lái)越多地在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，促使數(shù)字濾波算法不斷推新利用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)數(shù)字濾波器數(shù)字濾波算法不斷推新利用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)數(shù)字濾波器時(shí)，既可以在頻域中進(jìn)展時(shí)，既可以在頻域中進(jìn)展 (如頻率選擇如頻率選擇) ，也可以在，也可以在時(shí)域中進(jìn)展。這使得許多非頻域?yàn)V波算法產(chǎn)生，將時(shí)域中進(jìn)展。這使得許多非頻域?yàn)V波算法產(chǎn)生，將濾波的概念從狹義的頻率選擇

4、與處置功能擴(kuò)展為任濾波的概念從狹義的頻率選擇與處置功能擴(kuò)展為任何可實(shí)現(xiàn)的變換與處置，也因此產(chǎn)生了現(xiàn)代數(shù)字濾何可實(shí)現(xiàn)的變換與處置，也因此產(chǎn)生了現(xiàn)代數(shù)字濾波器。波器。3.1.1 數(shù)字濾波器分類(lèi)數(shù)字濾波器分類(lèi) 1. 按頻率呼應(yīng)幅度特性分類(lèi)按頻率呼應(yīng)幅度特性分類(lèi) 按傳統(tǒng)的濾波概念，數(shù)字濾波器也像按傳統(tǒng)的濾波概念，數(shù)字濾波器也像模擬濾波器一樣，根據(jù)其頻率呼應(yīng)振幅的模擬濾波器一樣，根據(jù)其頻率呼應(yīng)振幅的通帶特性，分為低通、高通、帶通、帶阻通帶特性，分為低通、高通、帶通、帶阻4種類(lèi)型。種類(lèi)型。()()()jjjH eH ee圖圖 6.1.1 理想低通、高通、帶通、帶阻濾波器幅度特性理想低通、高通、帶通、帶阻濾

5、波器幅度特性)(ejH)(ejH)(ejH)(ejH0低通0高通0帶通0帶阻22222222 顯然，數(shù)字濾波器的頻帶限于顯然，數(shù)字濾波器的頻帶限于|即即|f|1/(2T)的范圍，幅頻特性從通帶到止帶的范圍，幅頻特性從通帶到止帶(阻帶阻帶)的交界點(diǎn)是其重要的交界點(diǎn)是其重要參數(shù)。參數(shù)。 由于各種要素及誤差的存在，實(shí)踐的濾波器特性不由于各種要素及誤差的存在，實(shí)踐的濾波器特性不能夠到達(dá)理想化的要求，具有誤差容限。能夠到達(dá)理想化的要求，具有誤差容限。 通帶：通帶： 0p 阻帶：阻帶： s 過(guò)渡帶：過(guò)渡帶： p極點(diǎn)數(shù)目時(shí)，遞推極點(diǎn)數(shù)目時(shí)，遞推公式中必然出現(xiàn)輸入的超前時(shí)辰值，從而導(dǎo)致實(shí)時(shí)不公式中必然出現(xiàn)輸入

6、的超前時(shí)辰值，從而導(dǎo)致實(shí)時(shí)不可實(shí)現(xiàn)性。可實(shí)現(xiàn)性。(3) h(n)的求解可利用的求解可利用4種方法實(shí)現(xiàn)：種方法實(shí)現(xiàn)： a. 對(duì)對(duì)H(z)求求Z反變換得反變換得h(n)； b. 將將H(z)展開(kāi)成展開(kāi)成z-1多項(xiàng)式，利用多項(xiàng)式，利用Z變換定義，變換定義，(z-1)i項(xiàng)項(xiàng)系數(shù)即為系數(shù)即為h(i)； c. 利用沖激呼應(yīng)利用沖激呼應(yīng)h(n)的概念，即令的概念，即令x(n)=(n)，利用遞，利用遞推公式求出推公式求出y(n)，那么，那么h(n)=y(n)； d. 遞推公式與卷積遞推公式與卷積y(n)=h(n)*x(n)均是對(duì)濾波器輸入均是對(duì)濾波器輸入輸出關(guān)系的描畫(huà)，用非遞歸遞推公式與卷積表示式做輸出關(guān)系的

7、描畫(huà)，用非遞歸遞推公式與卷積表示式做比較確定出比較確定出h(n)。 假設(shè)求解出假設(shè)求解出h(n)，濾波器的輸出就可以用卷積實(shí)現(xiàn)，濾波器的輸出就可以用卷積實(shí)現(xiàn)(用用FFT實(shí)現(xiàn)快速卷積實(shí)現(xiàn)快速卷積)，這是濾波器實(shí)現(xiàn)的一種途徑。，這是濾波器實(shí)現(xiàn)的一種途徑。 y(n)=x(n+1)+x(n)=h(n)*x(n)=h(-1)x(n+1)+h(0)x(n) 由于由于h(n)中含有中含有n0的序列值，所以該系統(tǒng)的序列值，所以該系統(tǒng)(濾波器濾波器)是是非因果的，同樣也闡明其具有不可實(shí)現(xiàn)性。非因果的，同樣也闡明其具有不可實(shí)現(xiàn)性。 添加添加(零點(diǎn)數(shù)零點(diǎn)數(shù)-極點(diǎn)數(shù)極點(diǎn)數(shù))個(gè)原點(diǎn)上的極點(diǎn)，可將系統(tǒng)個(gè)原點(diǎn)上的極點(diǎn)，可將

8、系統(tǒng)的不可實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化為可實(shí)現(xiàn)，且堅(jiān)持系統(tǒng)的幅頻特性不的不可實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化為可實(shí)現(xiàn)，且堅(jiān)持系統(tǒng)的幅頻特性不變，即變，即 其它， 00 -1n 1)(nh) 1()()(11)(1nxnxnyzzzzH(4) 軟件可按遞推公式實(shí)現(xiàn)，硬件可按構(gòu)造圖實(shí)現(xiàn)。軟件可按遞推公式實(shí)現(xiàn)，硬件可按構(gòu)造圖實(shí)現(xiàn)。Z-1y(n)x(n-1)x(n)x(n)x(n-1)y(n)z-1例例2：將例：將例1系統(tǒng)函數(shù)改為系統(tǒng)函數(shù)改為解：解：(1)該濾波器為高通濾波器。該濾波器為高通濾波器。有有z=1處的零點(diǎn)，使高通性能得到改善處的零點(diǎn)，使高通性能得到改善(利用零、極點(diǎn)作用利用零、極點(diǎn)作用)。zzzH1)(略小于略小于1)圖圖2(a)

9、Z平面零、極點(diǎn)構(gòu)造圖平面零、極點(diǎn)構(gòu)造圖2)(jeH2/(1-)圖圖2(b) 幅頻特性曲線(xiàn)幅頻特性曲線(xiàn)(2) 為遞歸濾波器。遞歸實(shí)現(xiàn)有累計(jì)誤差。為遞歸濾波器。遞歸實(shí)現(xiàn)有累計(jì)誤差。(3) 將將H(z)展開(kāi)為展開(kāi)為z-1多項(xiàng)式，即多項(xiàng)式，即 為為IIR濾波器。濾波器。) 1()() 1()(1)()()(nxnxnynyzzzXzYzH0 01 )1 () 1(0 1)( )1 ()1 ()1 (1 )(1( 1) 1()nnnhzzzzzzzzzzzHnn 也可將該遞歸濾波器轉(zhuǎn)化為非遞歸方式，即也可將該遞歸濾波器轉(zhuǎn)化為非遞歸方式，即 用非遞歸構(gòu)造實(shí)現(xiàn)該濾波器時(shí)，必然出現(xiàn)截

10、斷誤差，用非遞歸構(gòu)造實(shí)現(xiàn)該濾波器時(shí)，必然出現(xiàn)截?cái)嗾`差，且所需求的存儲(chǔ)量與計(jì)算量遠(yuǎn)大于遞歸型濾波器。且所需求的存儲(chǔ)量與計(jì)算量遠(yuǎn)大于遞歸型濾波器。 用用Z平面中非原點(diǎn)上的極點(diǎn)等效非遞歸構(gòu)造中的諸多平面中非原點(diǎn)上的極點(diǎn)等效非遞歸構(gòu)造中的諸多零點(diǎn)，使非遞歸濾波器可以轉(zhuǎn)化為遞歸方式。零點(diǎn)，使非遞歸濾波器可以轉(zhuǎn)化為遞歸方式。(4) 3()1 ()2()1 () 1()1 ()()(2nxnxnxnxny11111)(zzzzzHZ-1y(n)x(n-1)x(n)Z-1-1-x(n)y(n)z-1-1-例例3：寫(xiě)出有：寫(xiě)出有10個(gè)等沖激呼應(yīng)系數(shù)的滑動(dòng)平均濾波器的非遞個(gè)等沖激呼應(yīng)系數(shù)的滑動(dòng)平均濾波器的非遞歸與

11、遞歸遞推公式，并且歸與遞歸遞推公式，并且(1)畫(huà)出它的階躍呼應(yīng)，確定濾波器輸出的過(guò)渡過(guò)程時(shí)間畫(huà)出它的階躍呼應(yīng)，確定濾波器輸出的過(guò)渡過(guò)程時(shí)間(啟啟動(dòng)瞬變寬度動(dòng)瞬變寬度)；(2)畫(huà)出它在畫(huà)出它在 0f0)，那么階躍呼，那么階躍呼應(yīng)為應(yīng)為1)10()11(1)0()10(101)9()10(1) 1()9(101)8()9(103)8()2(101) 1 ()2(102)9() 1 (101)0() 1 (101)10()0(101) 1()0(yyxxyyxxyyxxyyxxyyxxyyx(n)n11 2 3 4y(n)n1/101 2 91(2) 平滑濾波器本質(zhì)為低通濾波器，屬于平滑濾波器本質(zhì)為

12、低通濾波器，屬于FIR，可以用遞，可以用遞歸型構(gòu)造實(shí)現(xiàn)，也可以用非遞歸濾波器實(shí)現(xiàn)。歸型構(gòu)造實(shí)現(xiàn)，也可以用非遞歸濾波器實(shí)現(xiàn)。 (a) 零、 極點(diǎn)分布圖 (b) 幅頻特性曲線(xiàn)ImzRez(a)0H(e j)050.30.4(b)2 /10 /2例例4：系統(tǒng)函數(shù)為：系統(tǒng)函數(shù)為 式中式中r=0.990，0=100(弧度弧度/s)，T是采樣間隔。是采樣間隔。 對(duì)頻率分布于對(duì)頻率分布于 -400400 (弧度弧度/s)范圍內(nèi)的信號(hào)以范圍內(nèi)的信號(hào)以500(樣本樣本/秒秒)采樣后，用該濾波器對(duì)信號(hào)進(jìn)展濾波，試求：采樣后，用該濾波器對(duì)信號(hào)進(jìn)展濾波，試求：(1)零、極點(diǎn)構(gòu)造圖及零、極點(diǎn)構(gòu)造圖

13、及0/T范圍內(nèi)的幅頻特性曲線(xiàn)；范圍內(nèi)的幅頻特性曲線(xiàn)；(2)濾波器作用；濾波器作用；(3)包含一個(gè)復(fù)共軛極點(diǎn)對(duì)有什么益處？包含一個(gè)復(fù)共軛極點(diǎn)對(duì)有什么益處？(4) 遞推公式。遞推公式。)()()(0000TjTjTjTjrezrezezezzHImzRez(a) /5解：解：(1) T=1/500(s)=2ms 0T=100/500=/5(弧度弧度) ()=0(2)該濾波器稱(chēng)為陷波器，它可以對(duì)某個(gè)特定頻率分量進(jìn)展該濾波器稱(chēng)為陷波器，它可以對(duì)某個(gè)特定頻率分量進(jìn)展濾除。本系統(tǒng)濾除的頻率分量為濾除。本系統(tǒng)濾除的頻率分量為50Hz為電源干擾為電源干擾(工頻干擾工頻干擾)，所以該濾波器可以濾除電源，所以該濾

14、波器可以濾除電源干擾。干擾。(3)極點(diǎn)作用：改善性能。極點(diǎn)作用：改善性能。(4)為遞歸構(gòu)造。為遞歸構(gòu)造。)(502100200Hzf) 2() 1()(cos2)() 2() 1()(cos2)()(cos21)(cos2)(02020202nxnxTnxnyrnyTrnyrzTrzzTzzH100/T)(TjeH無(wú)極點(diǎn)情況無(wú)極點(diǎn)情況3.3 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器設(shè)計(jì) 傳統(tǒng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)根據(jù)是頻率呼應(yīng)。從頻率域傳統(tǒng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)根據(jù)是頻率呼應(yīng)。從頻率域設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字濾波器的普通方法是：設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字濾波器的普通方法是： (1) 在在Z平面內(nèi)根據(jù)濾波器性能目的適當(dāng)?shù)剡x擇一平面內(nèi)根據(jù)濾波器性能目

15、的適當(dāng)?shù)剡x擇一組零、極點(diǎn)，構(gòu)成組零、極點(diǎn)，構(gòu)成H(z)； (2) 根據(jù)根據(jù)H(z)確定其頻率呼應(yīng)特性確定其頻率呼應(yīng)特性H(ej)，分析，分析H(ej)與設(shè)計(jì)目的與設(shè)計(jì)目的Hd(ej)的逼近程度；的逼近程度； (3) 假設(shè)假設(shè)H(ej)與與Hd(ej)的誤差在容限范圍內(nèi)，的誤差在容限范圍內(nèi)，那么那么H(z)即為所設(shè)計(jì)系統(tǒng)，否那么調(diào)整零、極點(diǎn)數(shù)目即為所設(shè)計(jì)系統(tǒng)，否那么調(diào)整零、極點(diǎn)數(shù)目及位置，反復(fù)上述操作。及位置，反復(fù)上述操作。 顯然，在此設(shè)計(jì)中有效地選擇一組零、極點(diǎn)非常顯然，在此設(shè)計(jì)中有效地選擇一組零、極點(diǎn)非常重要，它可以使我們盡快獲得所需濾波器。但這項(xiàng)任重要，它可以使我們盡快獲得所需濾波器。但這

16、項(xiàng)任務(wù)的完成卻較為困難，它需求許多先驗(yàn)知識(shí)或閱歷，務(wù)的完成卻較為困難，它需求許多先驗(yàn)知識(shí)或閱歷，才干使我們做到有的放矢。才干使我們做到有的放矢。 為了有效地設(shè)計(jì)濾波器，已研討出針對(duì)為了有效地設(shè)計(jì)濾波器，已研討出針對(duì)IIR或或FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法。濾波器的設(shè)計(jì)方法。3.3.1 IIR 濾波器設(shè)計(jì)濾波器設(shè)計(jì)3.3.2 FIR 濾波器設(shè)計(jì)濾波器設(shè)計(jì)3.3.3 最正確濾波器設(shè)計(jì)最正確濾波器設(shè)計(jì)3.3.1 IIR 濾波器設(shè)計(jì)濾波器設(shè)計(jì) 設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)IIR濾波器最常用的方法是將滿(mǎn)足設(shè)計(jì)目的要求濾波器最常用的方法是將滿(mǎn)足設(shè)計(jì)目的要求的模擬濾波器數(shù)字化。這樣做有以下緣由：的模擬濾波器數(shù)字化。這樣做有以下緣由：

17、(1) 模擬濾波器設(shè)計(jì)技巧成熟，有用的成果多，有些模擬濾波器設(shè)計(jì)技巧成熟，有用的成果多，有些方法有較簡(jiǎn)單的現(xiàn)成設(shè)計(jì)公式，因此，容易利用模擬濾方法有較簡(jiǎn)單的現(xiàn)成設(shè)計(jì)公式，因此，容易利用模擬濾波器研討出數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法，且容易獲得簡(jiǎn)單的波器研討出數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法，且容易獲得簡(jiǎn)單的實(shí)現(xiàn)方法；實(shí)現(xiàn)方法； (2) 許多運(yùn)用需求用數(shù)字濾波器模擬一個(gè)模擬濾波器。許多運(yùn)用需求用數(shù)字濾波器模擬一個(gè)模擬濾波器。 一些經(jīng)典的模擬濾波器有：巴特沃斯一些經(jīng)典的模擬濾波器有：巴特沃斯(Butterworth)濾波器、貝塞爾濾波器、貝塞爾(Bessel)濾波器、切比雪夫?yàn)V波器、切比雪夫(Chebyshev)濾濾波器

18、、考爾波器、考爾(Cauer)濾波器、橢圓濾波器、橢圓(Elliptic)濾波器等。濾波器等。 在模擬濾波器數(shù)字化過(guò)程中，從延續(xù)空間在模擬濾波器數(shù)字化過(guò)程中，從延續(xù)空間S平面映射平面映射到離散空間到離散空間Z平面，應(yīng)滿(mǎn)足平面，應(yīng)滿(mǎn)足2個(gè)性質(zhì)：個(gè)性質(zhì)： (1)因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的，即左半因果穩(wěn)定的，即左半S平面的點(diǎn)平面的點(diǎn)(Res0)應(yīng)映射到應(yīng)映射到Z平面平面單位圓內(nèi)單位圓內(nèi)(|z|1)。假設(shè)所設(shè)計(jì)濾波器要求。假設(shè)所設(shè)計(jì)濾波器要求是最小相位的，那么對(duì)于單位圓外的零點(diǎn)可以采用同是最小相位的，那么對(duì)于單位圓外的零點(diǎn)可以采用同樣

19、的方法重新確定零點(diǎn)位置。樣的方法重新確定零點(diǎn)位置。 用新確定的零、極點(diǎn)再按上述方法重新設(shè)計(jì)，最用新確定的零、極點(diǎn)再按上述方法重新設(shè)計(jì)，最終找出逼近設(shè)計(jì)目的的終找出逼近設(shè)計(jì)目的的H(z)。 圖圖 6.6.2 例例 6.6.2 圖圖(a)要求的幅度特性要求的幅度特性 (b) k=1,2時(shí)的幅度特性時(shí)的幅度特性例例6.6.2 設(shè)計(jì)低通數(shù)字濾波器，其幅度特性如圖設(shè)計(jì)低通數(shù)字濾波器，其幅度特性如圖6.6.2(a) 所所示，截止頻率示，截止頻率s=0.1rad。假設(shè)運(yùn)用的誤差函數(shù)為假設(shè)運(yùn)用的誤差函數(shù)為(6.6.12)那么稱(chēng)為最小那么稱(chēng)為最小p誤差準(zhǔn)那么。使誤差準(zhǔn)那么。使Ep最小，即可獲得所需最小，即可獲得

20、所需H(z)。 3. 幅值平方函數(shù)設(shè)計(jì)法幅值平方函數(shù)設(shè)計(jì)法 數(shù)字濾波器幅值平方函數(shù)表示為數(shù)字濾波器幅值平方函數(shù)表示為假設(shè)假設(shè)H(z)H(z-1)可以因式分解確定出零、極點(diǎn)，那么可以因式分解確定出零、極點(diǎn)，那么Z平平面單位圓內(nèi)的極點(diǎn)及對(duì)稱(chēng)零點(diǎn)的一半即構(gòu)成了面單位圓內(nèi)的極點(diǎn)及對(duì)稱(chēng)零點(diǎn)的一半即構(gòu)成了H(z)。 由于因式分解并非總是可行，因此這種方法遭到很大由于因式分解并非總是可行，因此這種方法遭到很大限制。限制。1()()()iiiNpjjjPdiEW eH eHe|)pjezjzHzHeH)()()(123.3.2 FIR 濾波器設(shè)計(jì)濾波器設(shè)計(jì) IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法可以較好地保管模擬濾數(shù)字濾波

21、器設(shè)計(jì)方法可以較好地保管模擬濾波器的優(yōu)良特性，因此得到廣泛運(yùn)用。但這一特性波器的優(yōu)良特性，因此得到廣泛運(yùn)用。但這一特性的獲得是以相位的非線(xiàn)性為代價(jià)的。的獲得是以相位的非線(xiàn)性為代價(jià)的。 在許多運(yùn)用中，如數(shù)據(jù)傳輸?shù)炔ㄐ蝹魉拖到y(tǒng)中在許多運(yùn)用中，如數(shù)據(jù)傳輸?shù)炔ㄐ蝹魉拖到y(tǒng)中所需的濾波器，既要求有稱(chēng)心的幅頻特性，又要具所需的濾波器，既要求有稱(chēng)心的幅頻特性，又要具有線(xiàn)性相位特性。有線(xiàn)性相位特性。FIR即具有此獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)，它在設(shè)即具有此獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)，它在設(shè)計(jì)出恣意幅頻特性的同時(shí)，可以保證準(zhǔn)確、嚴(yán)厲的計(jì)出恣意幅頻特性的同時(shí)，可以保證準(zhǔn)確、嚴(yán)厲的線(xiàn)性相位特性。線(xiàn)性相位特性。 FIR數(shù)字濾波器的線(xiàn)性相位

22、特性數(shù)字濾波器的線(xiàn)性相位特性 窗函數(shù)法窗函數(shù)法 頻率采樣法頻率采樣法 IIR和和FIR數(shù)字濾波器的比較數(shù)字濾波器的比較 FIR數(shù)字濾波器的線(xiàn)性相位特性數(shù)字濾波器的線(xiàn)性相位特性 1. 線(xiàn)性相位條件線(xiàn)性相位條件 FIR數(shù)字濾波器的單位沖激呼應(yīng)數(shù)字濾波器的單位沖激呼應(yīng)h(n)為實(shí)序列且有為實(shí)序列且有限長(zhǎng)限長(zhǎng)(0nN-1) ，其頻率呼應(yīng)為，其頻率呼應(yīng)為(7.1.1) (7.1.2) 10()()( )()( )Njj nnjjgH eh n eH eHe 假設(shè)假設(shè)h(n)滿(mǎn)足偶對(duì)稱(chēng)條件，即滿(mǎn)足偶對(duì)稱(chēng)條件，即 h(n) = h(N-n-1) 0nN

23、-1 (7.1.5) 那么它具有嚴(yán)厲線(xiàn)性相位特性那么它具有嚴(yán)厲線(xiàn)性相位特性(稱(chēng)為第一類(lèi)線(xiàn)性相位濾稱(chēng)為第一類(lèi)線(xiàn)性相位濾波器波器)，其相位特性為，其相位特性為 () = -, 為常數(shù)為常數(shù) (7.1.3) = (N-1)/2 此時(shí)有此時(shí)有p=q=常數(shù)，其中常數(shù)，其中 相延遲相延遲 群延遲群延遲 群延遲是濾波器平均時(shí)延的度量，為頻率函數(shù)。群延遲是濾波器平均時(shí)延的度量，為頻率函數(shù)。ddqp)()( 假設(shè)假設(shè)h(n)滿(mǎn)足奇對(duì)稱(chēng)條件，即滿(mǎn)足奇對(duì)稱(chēng)條件，即 h(n) = -h(N-n-1) (7.1.6) 那么它具有線(xiàn)性相位特性那么它具有線(xiàn)性相位特性(稱(chēng)為第二類(lèi)線(xiàn)性相位濾波器稱(chēng)為第二類(lèi)線(xiàn)性相位濾波器)，其相

24、位特性為其相位特性為 () =0 -, 0是初始相位是初始相位 (7.1.4) 0 = /2 = (N-1)/2 此時(shí)相位為分段線(xiàn)性函數(shù)，濾波器具有恒定群延遲。此時(shí)相位為分段線(xiàn)性函數(shù)，濾波器具有恒定群延遲。闡明信號(hào)經(jīng)過(guò)該濾波器不僅有闡明信號(hào)經(jīng)過(guò)該濾波器不僅有(N-1)/2個(gè)采樣周期的群個(gè)采樣周期的群延遲，而且有延遲，而且有/2的相移。的相移。證明：證明：(1) 第一類(lèi)線(xiàn)性相位條件第一類(lèi)線(xiàn)性相位條件1010( )( )( )(1)NnnNnnH zh n zH zh Nnz將將(7.1.5)式代入上式得式代入上式得令令m=N-n-1，那么有，那么有11(1)(1)00(1)1( )( )( )(

25、 )()NNN mNmmmNH zh m zzh m zH zzH z(7.1.7) 按照上式可以將按照上式可以將H(z)表示為表示為1(1)1(1)01111()222011( )( )()( )221( ) 2NNnNnnNNNNnnnH zH zzH zh n zzzzh nzz 將將z=e j代入上式，得到：代入上式，得到： 11()20101()( )cos() 21( )( )cos() 21( )(1)2NNjjnNgnNH eeh nnNHh nnN 按照按照(7.1.2)式，幅度函數(shù)式，幅度函數(shù)Hg()和相位函數(shù)分別為和相位函數(shù)分別為(7.1.8) (7.1.9) (2) 第

26、二類(lèi)線(xiàn)性相位條件第二類(lèi)線(xiàn)性相位條件110011(1)(1)00(1)1( )( )(1)( )( )( )( )()NNnnnnNNN mNmnnNH zh n zh NnzH zh m zzh m zH zzH z (7.1.10) 令令m=N-n-1,那么那么有有 同樣可以表示為同樣可以表示為1(1)1(1)01111222011( )( )()( )221( )2NNnNnnNNNNnnnH zH zzH zh n zzzzh nzz n - 1120112201()( )( )sin ()21( )sin ()2jNNjjz enNNjjnNH eH zjeh nnNeh nn 因此，

27、幅度函數(shù)和相位函數(shù)分別為因此，幅度函數(shù)和相位函數(shù)分別為101()( )sin()21()()22NgnNHh nnNQ (7.1.11) (7.1.12) 2. 線(xiàn)性相位線(xiàn)性相位FIR濾波器幅度特性濾波器幅度特性Hg()的特點(diǎn)的特點(diǎn) 1) h(n) = h(N-n-1)，N=奇數(shù)奇數(shù) 101( )( )cos() 2NgnNHh nnHg()以以(N-1)/2為中心，且偶對(duì)稱(chēng)，故幅度函數(shù)表示為為中心，且偶對(duì)稱(chēng)，故幅度函數(shù)表示為令令m=(N-1)/2-n,那么有那么有(7.1.13) 1(0)()211( )2 (),1,2,3,22NahNNa nhn n(7.1.14) 式中式中 由于由于(

28、7.1.13)式中式中cos(n)項(xiàng)對(duì)項(xiàng)對(duì)=0,2皆為偶對(duì)稱(chēng)，因此皆為偶對(duì)稱(chēng)，因此幅度特性的特點(diǎn)是對(duì)幅度特性的特點(diǎn)是對(duì)=0,2偶對(duì)稱(chēng)。偶對(duì)稱(chēng)。(3)/20(1)/20(1)/2011( )()2 ( )cos() 2211( )()2 ()cos22( )( )cosNgnNgnNgnNNHhh nnNNHhhmnHa nnmm=12) h(n) = h(N-n-1),N=偶數(shù)偶數(shù) Hg()中相等的項(xiàng)合并成中相等的項(xiàng)合并成N/2項(xiàng)，即項(xiàng)，即 101201()( )cos()212 ( )cos()2NgnNnNHh nnNh nn令令m=N/2-n,那么有那么有(7.1.15) (7.1.16

29、)/ 21/ 211()2 ()cos()221()( )cos()2( )2 (),1,2,)22NgmNgnNHhmmHb nnNNb nhnn 幅度特性的特點(diǎn)是對(duì)幅度特性的特點(diǎn)是對(duì)=奇對(duì)稱(chēng)，且奇對(duì)稱(chēng)，且=處零點(diǎn)使處零點(diǎn)使Hg()=0 。3) h(n) = -h(N-n-1)，N=奇數(shù)奇數(shù) 101( )( )sin ()2NgnNHh nn 令令m=(N-1)/2-n，那么有，那么有(1)/21( )( )sin11( )2 (),1,2,22NgnHc nnNNc nhn n(7.1.17) (7.1.18) 幅度特性幅度特性Hg()在在=0,2處為零，即處為零，即z=1處是零點(diǎn)，處是零

30、點(diǎn)，且且Hg() 對(duì)對(duì)= 0,2呈奇對(duì)稱(chēng)。呈奇對(duì)稱(chēng)。4) h(n) = -h(N-n-1)，N=偶數(shù)偶數(shù) 令令m=N/2-n,那么有那么有/21/211( )2 ()sin ()221( )( )sin ()2( )2 (),1,2,3 ,22NgmNgnNHhmmHd nnNNd nhn n(7.1.19) (7.1.20)1120011( )( )sin ()2 ( )sin)22NNgnnNNHh nnh nn( 幅度特性幅度特性Hg()在在=0, 2處為零，即處為零，即z=1處是零點(diǎn)，且處是零點(diǎn)，且Hg() 對(duì)對(duì)= 0, 2呈奇對(duì)稱(chēng)，對(duì)呈奇對(duì)稱(chēng)，對(duì)=呈偶對(duì)稱(chēng)。呈偶對(duì)稱(chēng)。奇對(duì)稱(chēng)奇對(duì)稱(chēng) h

31、(n)=-h(N-n-1) 3. 線(xiàn)性相位線(xiàn)性相位FIR濾波器零點(diǎn)分布特點(diǎn)濾波器零點(diǎn)分布特點(diǎn) 第一類(lèi)和第二類(lèi)線(xiàn)性相位的系統(tǒng)函數(shù)分別滿(mǎn)足第一類(lèi)和第二類(lèi)線(xiàn)性相位的系統(tǒng)函數(shù)分別滿(mǎn)足(7.1.7)式和式和(7.1.10)式，綜合起來(lái)表示為：式，綜合起來(lái)表示為：(1)1( )()NH zzH z (7.1.21) 圖圖7.1.1 線(xiàn)性相位線(xiàn)性相位FIR濾波器零點(diǎn)分布濾波器零點(diǎn)分布 零點(diǎn)必需是互零點(diǎn)必需是互為倒數(shù)的共軛對(duì)，為倒數(shù)的共軛對(duì)，確定其一，另外確定其一，另外3(或或1)個(gè)隨之確定。個(gè)隨之確定。4. 線(xiàn)性相位線(xiàn)性相位FIR濾波器網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造濾波器網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造 設(shè)設(shè)N為偶數(shù)，那么有為偶數(shù)，那么有1112002

32、1122(1)00( )( )( )( )( )( )(1)( )(1)NNNnnnNnmnNNnNmnmH zh n zh n zh n zH zh n zh Nmzh nh Nn 令令m=N-n-1,那么有那么有(7.1.22)假設(shè)假設(shè)N為奇數(shù)，那么將中間項(xiàng)為奇數(shù)，那么將中間項(xiàng)h(N-1)/2單獨(dú)列出，單獨(dú)列出， (7.1.23) 12(1)0(1) 121(1)20( )( )( )( )(1)2NnNnnNNnNnnH zh nzzNH zh nzzhz 21N21N21N圖圖7.1.2 第一類(lèi)線(xiàn)性相位網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造第一類(lèi)線(xiàn)性相位網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1z1h(0)h

33、(1)h(2)h(N/21)x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N1)/2)N 偶數(shù)N 奇數(shù)圖圖7.1.3 第二類(lèi)線(xiàn)性相位網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造第二類(lèi)線(xiàn)性相位網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N/21)x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N1)/2)N 偶數(shù)N 奇數(shù)111111111 結(jié)論：結(jié)論： FIR線(xiàn)性相位特性闡明，只需將線(xiàn)性相位特性闡明，只需將h(n)設(shè)計(jì)成有限長(zhǎng)設(shè)計(jì)成有限長(zhǎng)對(duì)稱(chēng)構(gòu)造，那么由對(duì)稱(chēng)構(gòu)造，那么由h(n)確定的濾波器必然具有線(xiàn)性相確定的濾波器必然具有線(xiàn)性相位特性。位特性。 從設(shè)計(jì)角

34、度來(lái)看，線(xiàn)性相位特性的最大益處就是從設(shè)計(jì)角度來(lái)看，線(xiàn)性相位特性的最大益處就是可以簡(jiǎn)化可以簡(jiǎn)化FIR濾波器的設(shè)計(jì)。由于此時(shí)濾波器對(duì)輸入濾波器的設(shè)計(jì)。由于此時(shí)濾波器對(duì)輸入信號(hào)的一切頻率分量呈現(xiàn)一樣的純時(shí)間延遲信號(hào)的一切頻率分量呈現(xiàn)一樣的純時(shí)間延遲(該延遲等該延遲等于相頻特性的斜率，即時(shí)常數(shù)于相頻特性的斜率，即時(shí)常數(shù))，所以設(shè)計(jì)該類(lèi)濾波器，所以設(shè)計(jì)該類(lèi)濾波器時(shí)只需逼近期望的幅頻特性即可。時(shí)只需逼近期望的幅頻特性即可。 5. FIR濾波器特點(diǎn)濾波器特點(diǎn) 由于由于h(n)有限，有限，F(xiàn)IR濾波器系統(tǒng)函數(shù)和遞推公式表示為濾波器系統(tǒng)函數(shù)和遞推公式表示為 系統(tǒng)函數(shù)由系統(tǒng)函數(shù)由(N-1)個(gè)零點(diǎn)及個(gè)零點(diǎn)及(N-1

35、)個(gè)原點(diǎn)上的極點(diǎn)構(gòu)成，故濾個(gè)原點(diǎn)上的極點(diǎn)構(gòu)成，故濾波器特性完全由零點(diǎn)確定。濾波器輸出只取決于輸入，故波器特性完全由零點(diǎn)確定。濾波器輸出只取決于輸入，故構(gòu)造為橫向、非遞歸構(gòu)造?？衫脴?gòu)造為橫向、非遞歸構(gòu)造?？衫肍FT經(jīng)過(guò)快速卷積確定濾經(jīng)過(guò)快速卷積確定濾波器輸出，有時(shí)也可用遞歸構(gòu)造實(shí)現(xiàn)波器輸出，有時(shí)也可用遞歸構(gòu)造實(shí)現(xiàn)FIR濾波器濾波器(更經(jīng)濟(jì)更經(jīng)濟(jì))。 由于零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性沒(méi)有影響，所以由于零點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性沒(méi)有影響，所以FIR濾波器總是濾波器總是穩(wěn)定的；又由于穩(wěn)定的；又由于h(n)全部定義在正時(shí)間軸上，所以全部定義在正時(shí)間軸上，所以FIR濾波濾波器也總是因果的。器也總是因果的。10010)()(

36、)()()()()(NiNnnnnNnninxihnyznhznhznhzH 窗函數(shù)法窗函數(shù)法 1. 設(shè)計(jì)思想設(shè)計(jì)思想 設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)FIR濾波器最直接最簡(jiǎn)單的方法就是將無(wú)限時(shí)寬沖濾波器最直接最簡(jiǎn)單的方法就是將無(wú)限時(shí)寬沖激呼應(yīng)截短得到有限長(zhǎng)度沖激呼應(yīng)。激呼應(yīng)截短得到有限長(zhǎng)度沖激呼應(yīng)。 窗函數(shù)法的設(shè)計(jì)根據(jù)是濾波器的理想頻率呼應(yīng)窗函數(shù)法的設(shè)計(jì)根據(jù)是濾波器的理想頻率呼應(yīng)Hd(ej)，由此可確定出與其對(duì)應(yīng)的單位脈沖呼應(yīng)由此可確定出與其對(duì)應(yīng)的單位脈沖呼應(yīng)hd(n)，即，即 由于由于Hd(ej)普通為分段恒定，且在通帶與阻帶邊境上普通為分段恒定，且在通帶與阻帶邊境上有突跳點(diǎn)，故有突跳點(diǎn)，故hd(n

37、)普通具有無(wú)限時(shí)寬。普通具有無(wú)限時(shí)寬。 ()( )1( )()2jjddnjjnddHehn ehnHeedn 為了構(gòu)造長(zhǎng)度為為了構(gòu)造長(zhǎng)度為N的線(xiàn)性相位濾波器，用的線(xiàn)性相位濾波器，用RN(n)(矩形窗序列矩形窗序列)截取截取hd(n) ，得，得 h ( n ) = h d ( n ) R N ( n ) (7.2.3) 再使再使h(n)對(duì)對(duì)(N-1)/2對(duì)稱(chēng)，這樣即獲得了數(shù)字濾波器，對(duì)稱(chēng)，這樣即獲得了數(shù)字濾波器，其系統(tǒng)函數(shù)為其系統(tǒng)函數(shù)為H(z) 這就是用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)這就是用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器的根本思想。濾波器的根本思想。10( )( )NnnH zh n z圖圖7.2.1 理想低通的單位

38、脈沖呼應(yīng)及矩形窗理想低通的單位脈沖呼應(yīng)及矩形窗2. 窗函數(shù)的影響窗函數(shù)的影響研討結(jié)果闡明，這種加窗處置方法會(huì)產(chǎn)生研討結(jié)果闡明，這種加窗處置方法會(huì)產(chǎn)生Gibbs景景象象(振蕩振蕩)。對(duì)對(duì)(7.2.3)式進(jìn)展傅里葉變換，根據(jù)復(fù)卷積定理，得式進(jìn)展傅里葉變換，根據(jù)復(fù)卷積定理，得式中式中Hd(ej)和和RN(ej)分別是分別是hd(n)和和RN(n)的傅里的傅里葉變換，即葉變換，即RN()稱(chēng)為矩形窗的幅度函數(shù)。稱(chēng)為矩形窗的幅度函數(shù)。(7.2.5) (1()()()2jjjdNH eHeRed )(111(1)200sin(/2()( )( )sin(/2)NNjNjj nj njaNNNnnNReRn

39、eeeRe)sin(/21( ),sin(/2)2NNNR)將將Hd(ej)寫(xiě)成寫(xiě)成()( )jj addHeHeHd()為理想數(shù)字濾波器的幅度特性，將為理想數(shù)字濾波器的幅度特性，將Hd(ej)和和RN(ej)代入代入(7.2.4)式，得式，得()1()( )()21( )()2jj ajadNj adNH eHeRedeHRd 將將H(ej)也寫(xiě)成也寫(xiě)成()( )1( )( )()2jj adNH eHeHHRd(7.2.6)圖圖7.2.2 矩形窗對(duì)理想低通矩形窗對(duì)理想低通 幅度特性的影響幅度特性的影響 由上述分析可知，對(duì)由上述分析可知，對(duì)hd(n)加矩形窗后，加矩形窗后，H()和理和理想想

40、Hd()有以下差別：有以下差別： (1)在理想特性不延續(xù)點(diǎn)在理想特性不延續(xù)點(diǎn)=c附近構(gòu)成過(guò)渡帶。過(guò)附近構(gòu)成過(guò)渡帶。過(guò)渡帶的寬度，近似等于渡帶的寬度，近似等于RN()主瓣寬度，即主瓣寬度，即4/N。 (2)窗函數(shù)的旁瓣使通帶內(nèi)添加了動(dòng)搖，最大的峰窗函數(shù)的旁瓣使通帶內(nèi)添加了動(dòng)搖，最大的峰值在值在c-2/N處；阻帶內(nèi)產(chǎn)生了余振，最大的負(fù)峰在處；阻帶內(nèi)產(chǎn)生了余振，最大的負(fù)峰在c+2/N處。動(dòng)搖幅度取決于旁瓣與主瓣相對(duì)幅度，處。動(dòng)搖幅度取決于旁瓣與主瓣相對(duì)幅度，動(dòng)搖數(shù)目取決于旁瓣數(shù)目。動(dòng)搖數(shù)目取決于旁瓣數(shù)目。 (3)添加窗函數(shù)的長(zhǎng)度添加窗函數(shù)的長(zhǎng)度N，只能減少其主瓣寬度，只能減少其主瓣寬度，而不能改動(dòng)旁

41、瓣與主瓣幅度的相對(duì)值，該值主要取決而不能改動(dòng)旁瓣與主瓣幅度的相對(duì)值，該值主要取決于窗函數(shù)的外形。于窗函數(shù)的外形。 為了使為了使H(ej)盡能夠逼近盡能夠逼近Hd(ej)，需求從窗函數(shù)，需求從窗函數(shù)的長(zhǎng)度、外形加以適中選擇。窗函數(shù)選擇的普通原那么的長(zhǎng)度、外形加以適中選擇。窗函數(shù)選擇的普通原那么為：為： (1)具有較低的旁瓣幅度，尤其是第一旁瓣幅度；具有較低的旁瓣幅度，尤其是第一旁瓣幅度； (2)旁瓣幅度下降速率要大，以利于添加阻帶衰減；旁瓣幅度下降速率要大，以利于添加阻帶衰減； (3)主瓣寬度要窄，以獲得較陡的過(guò)渡帶。主瓣寬度要窄，以獲得較陡的過(guò)渡帶。 選擇平滑窗函數(shù)可以降低旁瓣幅度，減輕吉布斯

42、景選擇平滑窗函數(shù)可以降低旁瓣幅度，減輕吉布斯景象，但付出的代價(jià)是加寬了主瓣，從而加寬了濾波器的象，但付出的代價(jià)是加寬了主瓣，從而加寬了濾波器的過(guò)渡帶。過(guò)渡帶。3. 常用的窗函數(shù)常用的窗函數(shù) 設(shè)設(shè) h(n)=hd(n)w(n) 式中式中w(n)表示窗函數(shù)。下面引見(jiàn)幾種常用的窗表示窗函數(shù)。下面引見(jiàn)幾種常用的窗函數(shù)。函數(shù)。 (1) 矩形窗矩形窗(Rectangle Window) wR(n)=RN(n) 其頻率呼應(yīng)為其頻率呼應(yīng)為 主瓣寬度主瓣寬度4/N，第一旁瓣幅度比主瓣低，第一旁瓣幅度比主瓣低13dB。1(1)2sin(/2)()sin(/2)jNjRNWee(2) 三角形窗三角形窗(Bartle

43、tt Window)(7.2.8) 其頻率呼應(yīng)為其頻率呼應(yīng)為主瓣寬度主瓣寬度8/N，第一旁瓣幅度比主瓣低，第一旁瓣幅度比主瓣低26dB。 1()22sin()4()2 sin(/2)NjjBrNNWee(7.2.9) 21,0(1)12( )212,(1)112BrnnNNnnNnNNBrw(3) 漢寧漢寧(Hanning)窗窗升余弦窗升余弦窗22( )0.5( )0.25()()HnRRRWWWWNN當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，N-1N， 1N能量更集中于主瓣，代價(jià)為主瓣寬度能量更集中于主瓣，代價(jià)為主瓣寬度8/N。1211222( )0.51cos()( )1()( )( )2()( )0.5( )0.2

44、5()12()( )1HnNNjjRNRjHnHnRRNNjjRHnnnRnNWeFT RnWeWeFT WnWWNWeWeNw圖圖7.2.3 漢寧窗的幅度特性漢寧窗的幅度特性(4) 哈明哈明(Hamming)窗窗改良的升余弦窗改良的升余弦窗(7.2.11)其頻域函數(shù)其頻域函數(shù)WHm(ej)為為22()()11()0.54()0.23()0.23()22( )0.54()0.23()0.23()11jjjjNNHmRRRjHmRRRWeWeWeWeWWeWWNN其幅度函數(shù)其幅度函數(shù)WHm()為為當(dāng)當(dāng)N1時(shí)，可近似表示為時(shí)，可近似表示為22( )0.54( )0.23()0.23()BlRRRn

45、WWWNNW2( )0.540.46cos()( )1HmNnnRnNw 主瓣能量約占主瓣能量約占99.96%，寬度，寬度8/N，第一旁瓣幅度比主，第一旁瓣幅度比主瓣低瓣低40dB。(5) 布萊克曼布萊克曼(Blackman)窗窗(7.2.13) 其頻域函數(shù)為其頻域函數(shù)為其幅度函數(shù)為其幅度函數(shù)為(7.2.14) 24( )0.420.5cos0.08cos( )11BlNnnnRnNNw22()()11R22()()11()0.42()0.25()()0.04()()jjjjNNBlRRjjNNRRWeWeWeWeWeWe4422( )0.42( )0.25()()11440.04()()11

46、BlRRRRRWWWWNNWWNN)12(NWR旁瓣進(jìn)一步抵消，阻帶衰減進(jìn)一步添加，過(guò)渡帶是矩形窗的旁瓣進(jìn)一步抵消，阻帶衰減進(jìn)一步添加，過(guò)渡帶是矩形窗的3倍。倍。圖圖7.2.4 常用窗函數(shù)常用窗函數(shù) 圖圖7.2.5 常用窗函數(shù)的幅度特性常用窗函數(shù)的幅度特性(a)矩形窗；矩形窗；(b)巴特利特窗巴特利特窗(三角形窗三角形窗)；(c)漢寧窗；漢寧窗；(d)哈明窗；哈明窗；(e)布萊克曼窗布萊克曼窗 圖圖7.2.6 理想低通加窗后的幅度特性理想低通加窗后的幅度特性(N=51,c=0.5) (a)矩形窗；矩形窗；(b)巴特利特窗巴特利特窗(三角形窗三角形窗)；(c)漢寧窗；漢寧窗； (d)哈明窗；哈明

47、窗；(e)布萊克曼窗布萊克曼窗 (6) 凱塞凱塞貝塞爾窗貝塞爾窗(Kaiser-Basel Window) 002201()( ),01()21(1)11( )1() )! 2kkkInnNInNxIxk式中式中 I0(x)是零階第一類(lèi)修正貝塞爾函數(shù)，可用下面級(jí)數(shù)計(jì)算：是零階第一類(lèi)修正貝塞爾函數(shù)，可用下面級(jí)數(shù)計(jì)算： 普通普通I0(x)取取1525項(xiàng)。項(xiàng)?？刂拼巴庑危刂拼巴庑?，加大，主瓣加寬，加大，主瓣加寬，旁瓣減小，典型值為旁瓣減小，典型值為49。當(dāng)。當(dāng)=5.44時(shí)，窗函數(shù)接近時(shí)，窗函數(shù)接近哈明窗；哈明窗；=7.865時(shí)，窗函數(shù)接近布萊克曼窗。凱塞窗時(shí)，窗函數(shù)接近布萊克曼窗。凱塞窗的幅度函數(shù)

48、為的幅度函數(shù)為(1)/21( )(0)2( )cosNkkknWnn(7.2.16) 表表7.2.1 凱塞窗參數(shù)對(duì)濾波器的性能影響凱塞窗參數(shù)對(duì)濾波器的性能影響 表表7.2.2 六種窗函數(shù)的根本參數(shù)六種窗函數(shù)的根本參數(shù) 窗函數(shù)法設(shè)計(jì)窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器的步驟：濾波器的步驟：(1) Hd(ej) hd(n) 假設(shè)給出待求濾波器的頻響為假設(shè)給出待求濾波器的頻響為Hd(ej)，那么，那么 或用或用Hd(ej)的的M個(gè)采樣點(diǎn)計(jì)算個(gè)采樣點(diǎn)計(jì)算22101( )()MjkjknMMMdkhnHeeM(7.2.17) (7.2.18) 根據(jù)頻率采樣定理，根據(jù)頻率采樣定理，hM(n)與與hd(n)應(yīng)滿(mǎn)足如下關(guān)

49、系：應(yīng)滿(mǎn)足如下關(guān)系：( )()Mdrhnh nrM1( )()2jjddhnHee ddenj(2)選擇選擇w(n) 根據(jù)對(duì)過(guò)渡帶根據(jù)對(duì)過(guò)渡帶及阻帶衰減的要求，選擇窗函數(shù)的方及阻帶衰減的要求，選擇窗函數(shù)的方式、窗口長(zhǎng)度式、窗口長(zhǎng)度N。待求濾波器過(guò)渡帶。待求濾波器過(guò)渡帶近似等于窗函近似等于窗函數(shù)主瓣寬度，數(shù)主瓣寬度，NA/，A選擇見(jiàn)選擇見(jiàn)7.2.2表。表。 (3) hd(n) hN(n) 由于由于Hd(ej)通常以通常以=0偶對(duì)稱(chēng)，使得偶對(duì)稱(chēng)，使得hd(n)以以n=0為對(duì)為對(duì)稱(chēng)軸，為了獲得對(duì)稱(chēng)的稱(chēng)軸，為了獲得對(duì)稱(chēng)的hN(n)(線(xiàn)性相位條件線(xiàn)性相位條件)，將，將w(n)定義在定義在-N/2，N/2

50、-1區(qū)間上，得區(qū)間上，得 hN(n)=hd(n)w(n) -N/2nN/2-1(4) hN(n) 因果序列因果序列h(n) hN(n)為非因果序列，經(jīng)過(guò)移位可將其轉(zhuǎn)變?yōu)橐蚬蛄袨榉且蚬蛄?，?jīng)過(guò)移位可將其轉(zhuǎn)變?yōu)橐蚬蛄衕(n)，即，即 N為奇數(shù)：為奇數(shù)： N為偶數(shù)：為偶數(shù)：(5)濾波器分析濾波器分析 設(shè)計(jì)出的濾波器頻率呼應(yīng)為：設(shè)計(jì)出的濾波器頻率呼應(yīng)為： 檢驗(yàn)技術(shù)目的能否滿(mǎn)足要求，假設(shè)滿(mǎn)足目的，設(shè)計(jì)終檢驗(yàn)技術(shù)目的能否滿(mǎn)足要求，假設(shè)滿(mǎn)足目的，設(shè)計(jì)終了；否那么重新選擇了；否那么重新選擇w(n)，反復(fù)步驟，反復(fù)步驟(2)(5)。實(shí)現(xiàn)：利用計(jì)算機(jī)并采用試探法為可行途徑。實(shí)現(xiàn)：利用計(jì)算機(jī)并采用試探法為可行

51、途徑。10()( )Njj nnH eh n e)2()()21()(NnhnhNnhnhNN 窗函數(shù)法是一種很吸引人的技術(shù)，但有窗函數(shù)法是一種很吸引人的技術(shù)，但有3個(gè)問(wèn)題個(gè)問(wèn)題經(jīng)常妨礙它的實(shí)踐運(yùn)用：一是利用積分求解經(jīng)常妨礙它的實(shí)踐運(yùn)用：一是利用積分求解h(n)能夠能夠存在一定困難存在一定困難(如得不到閉合解，求解過(guò)于復(fù)雜等如得不到閉合解，求解過(guò)于復(fù)雜等)，用采樣值求解能夠會(huì)引入誤差；二是缺乏設(shè)計(jì)的靈敏用采樣值求解能夠會(huì)引入誤差；二是缺乏設(shè)計(jì)的靈敏性，設(shè)計(jì)中只能改動(dòng)窗函數(shù)；三是設(shè)計(jì)出的濾波器難性，設(shè)計(jì)中只能改動(dòng)窗函數(shù)；三是設(shè)計(jì)出的濾波器難于確定邊境頻率，這是由于窗孔于確定邊境頻率，這是由于窗孔

52、“涂抹掉了濾波器涂抹掉了濾波器頻域中的不延續(xù)點(diǎn)，使其變?yōu)榱诉^(guò)渡帶。頻域中的不延續(xù)點(diǎn)，使其變?yōu)榱诉^(guò)渡帶。優(yōu)點(diǎn)：能用最少的計(jì)算量比較直接地獲得濾波器的沖激優(yōu)點(diǎn)：能用最少的計(jì)算量比較直接地獲得濾波器的沖激呼應(yīng)。呼應(yīng)。缺陷：得到的缺陷：得到的FIR濾波器不滿(mǎn)足知的任何最優(yōu)準(zhǔn)那么。濾波器不滿(mǎn)足知的任何最優(yōu)準(zhǔn)那么。例例7.2.1 用矩形窗、漢寧窗和布萊克曼窗設(shè)計(jì)用矩形窗、漢寧窗和布萊克曼窗設(shè)計(jì)FIR低通濾低通濾波器，設(shè)波器，設(shè)N=11,c=0.2rad。解：用理想低通作為逼近濾波器，按照解：用理想低通作為逼近濾波器，按照(7.2.2)式，有式，有顯然顯然h(n)=h(N-1-n)，所以該濾波器具有線(xiàn)性相位

53、特性。，所以該濾波器具有線(xiàn)性相位特性。sin()( ),010()1(1)52sin(0.2 (5)( ),010(5)cddnh nnnNnh nnn用漢寧窗設(shè)計(jì)：用漢寧窗設(shè)計(jì)：( )( )( ),0102( )0.5(1cos)10dHnHnh nh nnnnn用布萊克曼窗設(shè)計(jì)：用布萊克曼窗設(shè)計(jì)： 11( )( )( )22( )(0.420.5cos0.08cos)( )1010dBlBlh nh nnnnnRn圖圖7.2.7 例例7.2.1的低通幅度特性的低通幅度特性例：采用矩形窗，設(shè)計(jì)具有理想高通特性的例：采用矩形窗，設(shè)計(jì)具有理想高通特性的FIR線(xiàn)性相位線(xiàn)性相位濾波器。濾波器。N為奇

54、數(shù)，截止頻率為為奇數(shù)，截止頻率為c。解：解：1, 1 , 0 21 )21()21(sin(21 1 )21()21(sin()21()21(sin( 2121)()21()21(NnNnNnNnNnNnNnNnNndedenhcccNnjNnjcc)()21()21(sin()211()211(sin()1(nhNnNnNnNNnNnNhcc 頻率采樣法頻率采樣法 1. 設(shè)計(jì)思想設(shè)計(jì)思想 2. 設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn) 設(shè)待設(shè)計(jì)的濾波器的頻率呼應(yīng)函數(shù)為設(shè)待設(shè)計(jì)的濾波器的頻率呼應(yīng)函數(shù)為Hd(ej)，對(duì)它在，對(duì)它在=0到到2之間等間隔采樣之間等間隔采樣N點(diǎn)，點(diǎn)，得到得到Hd(k)再對(duì)再對(duì)N

55、點(diǎn)點(diǎn)Hd(k)進(jìn)展進(jìn)展IDFT，得到，得到h(n)(7.3.1) (7.3.2) )()()()(2zHnhkHeHZFIDFTdkNjd 2210( )(),0,1,2,11( )( ),0,1,2,1jddkDNjknNdkHkHekNh nHk ekNNN)()(11)(11)(11)(1)(1)()(1)(1)()(10110121010121210121010210zHzHNzWkHNzzekHNzzezekHNzekHNzekHNznhzHIFNkkNdNNkkNjdNNkNkkNjNkNjdNnnkNjdNnnNknkNjdNnn (7.3.2)式確定的式確定的h(n)就是所設(shè)計(jì)

56、濾波器的沖激呼應(yīng)，其系就是所設(shè)計(jì)濾波器的沖激呼應(yīng)，其系統(tǒng)函數(shù)統(tǒng)函數(shù)H(z)為為(7.3.3)(7.3.4) (1) 頻率采樣構(gòu)造 (7.3.4)式闡明，由H(z)確定的系統(tǒng)構(gòu)造是FIR子系統(tǒng)和IIR子系統(tǒng)的串聯(lián)。將(7.3.4)式寫(xiě)成下式： 1011( )( )( )( )1( )( )1NckkNckkNH zHzHzNHzzH kHzWz (5.4.2) 式中式中 Hc(z)是是FIR濾波器，稱(chēng)為梳狀濾波器濾波器，稱(chēng)為梳狀濾波器(參考第八章參考第八章)，其，其零點(diǎn)為零點(diǎn)為Hk(z)是單極點(diǎn)是單極點(diǎn)IIR濾波器，稱(chēng)為諧振器，諧振頻率為濾波器，稱(chēng)為諧振器，諧振頻率為2,0,1,2,1jkkNk

57、NzeWkN），（極點(diǎn)kNjkNkkeWzkN22圖圖5.4.3 FIR濾波器頻率采樣構(gòu)造濾波器頻率采樣構(gòu)造 H(k)=Hd(k) x(n)y(n)z1z1 z NH(0)H(1)H(N 1)0NW1NW1NNWz1N1頻率采樣構(gòu)造特點(diǎn)頻率采樣構(gòu)造特點(diǎn) 優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)： (1)在頻率采樣點(diǎn)在頻率采樣點(diǎn)k，Hd(ejk)=H(k)，只需調(diào)整，只需調(diào)整H(k)(即一階網(wǎng)絡(luò)即一階網(wǎng)絡(luò)Hk(z)中乘法器的系數(shù)中乘法器的系數(shù)H(k)，就可以有效，就可以有效地調(diào)整頻響特性，使調(diào)整方便可行。地調(diào)整頻響特性，使調(diào)整方便可行。 (2)只需只需h(n)長(zhǎng)度長(zhǎng)度N一樣，對(duì)于任何頻響外形，其梳狀一樣，對(duì)于任何頻響外形，其

58、梳狀濾波器部分和濾波器部分和N個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)部分構(gòu)造完全一樣，只是各支個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)部分構(gòu)造完全一樣，只是各支路增益路增益H(k)不同。這樣，一樣部分便于規(guī)范化、模塊化。不同。這樣，一樣部分便于規(guī)范化、模塊化。 缺陷：缺陷： (1)系統(tǒng)穩(wěn)定是靠單位圓上的系統(tǒng)穩(wěn)定是靠單位圓上的N個(gè)零極點(diǎn)對(duì)消來(lái)保證的，個(gè)零極點(diǎn)對(duì)消來(lái)保證的，假設(shè)由于誤差等緣由呵斥零極點(diǎn)無(wú)法對(duì)消，會(huì)使系統(tǒng)不穩(wěn)假設(shè)由于誤差等緣由呵斥零極點(diǎn)無(wú)法對(duì)消，會(huì)使系統(tǒng)不穩(wěn)定。定。 (2)構(gòu)造中，構(gòu)造中，H(k)和和WN-k普通為復(fù)數(shù)，要求乘法器完成普通為復(fù)數(shù)，要求乘法器完成復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算，這對(duì)硬件實(shí)現(xiàn)是不方便的。復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算，這對(duì)硬件實(shí)現(xiàn)是不方便的。修正構(gòu)

59、造：首先，將單位圓上的零極點(diǎn)向單位圓內(nèi)收縮到半修正構(gòu)造：首先，將單位圓上的零極點(diǎn)向單位圓內(nèi)收縮到半徑為徑為r的圓上，取的圓上，取r1且且r1。此時(shí)。此時(shí)H(z)為為1101( )( )(1)1NNNrkkNHkH zr zNrWz(5.4.3) 其次，利用其次，利用DFT的共軛對(duì)稱(chēng)性。假設(shè)的共軛對(duì)稱(chēng)性。假設(shè)h(n)是實(shí)數(shù)序列，是實(shí)數(shù)序列，那么其離散傅里葉變換那么其離散傅里葉變換H(k)關(guān)于關(guān)于N/2點(diǎn)共軛對(duì)稱(chēng)，即點(diǎn)共軛對(duì)稱(chēng)，即 H(k)=H*(N-k)，且，且WN-k=WN-(N-k) 將將Hk(z)和和HN-k(z)合并為一個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)，并記為合并為一個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)，并記為Hk(z)，那，那么么1

60、()111101122( )()( )11( )( )11()212 cos()kkNkNNkkNNkkH kH NkHzrWzrWzH kHkrWzr Wzaa zrk zr zN 顯然，二階網(wǎng)絡(luò)顯然，二階網(wǎng)絡(luò)Hk(z)的系數(shù)都為實(shí)數(shù)，其構(gòu)造如圖的系數(shù)都為實(shí)數(shù)，其構(gòu)造如圖5.4.4(a)所示。當(dāng)所示。當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)，H(z)可表示為可表示為式中式中 012Re( )2Re( )kkkNaH karH k W 1,2,3,12Nk 11201111221()1(0)2( )(1)21112cos()NNNkkkNHHaa zH zr zNrzrzk zr zN(5.4.4) 式中式中H