定積分在幾何中的應(yīng)用

1、1.7.1 定積分在幾何中定積分在幾何中的應(yīng)用的應(yīng)用高二數(shù)學(xué)組高二數(shù)學(xué)組 單守春單守春1.微積分基本定理微積分基本定理 bbaafx dxF xF bF a ,f xa bF xf x 如如果果是是區(qū)區(qū)間間上上的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)且且則則一、復(fù)習(xí)回顧一、復(fù)習(xí)回顧3定積分的幾何意義：定積分的幾何意義：Ox yab y f (x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 x a、x b與與 x軸所圍成的曲邊梯形的面積。軸所圍成的曲邊梯形的面積。 當(dāng) f(x)0 時，積分d dx xx xf fb ba a) )( ( 在幾在幾何何上上表示由表示由 y y= =f f ( (x x) )、

2、 x x y yO Oa ab b y y f (x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 S 當(dāng)當(dāng)f(x) 0時，由時，由y f (x)、x a、x b 與與 x 軸所圍成軸所圍成的曲邊梯形位于的曲邊梯形位于 x 軸的下方軸的下方1( )baAf x dx 221( )( )baAfxfx dx 思考思考:試用定積分表示下面各平面圖形的面積值試用定積分表示下面各平面圖形的面積值:( )yf x ab圖圖1.1.曲邊梯形曲邊梯形xyo)(1xfy )(2xfy ab圖圖2.2.如圖如圖xyo圖圖4.4.如圖如圖)(1xfy )(2xfy ab0 xy圖圖3.3.如圖如圖)(xfy

3、 ab0yx3( )baAf x dx 421( )( )baAfxf x dx類型類型1.1.求由一條曲線求由一條曲線y=f(x)y=f(x)和直線和直線x=a,x=b(ab)x=a,x=b(ab)及及x x軸所圍成平面圖形的面積軸所圍成平面圖形的面積S SbccabccadxxfdxxfdxxfdxxfS)()()(|)(| )3(badxxfS)( ) 1 (badxxfS)( )2(2)xyoabc)(xfy (3)(1)xyo)( xfy ab練習(xí)練習(xí). . 求拋物線求拋物線y=xy=x2 2-1-1，直線，直線x=2x=2，y=0y=0所圍成的所圍成的 圖形的面積。圖形的面積。yx

4、解：解：如圖：由如圖：由x x2 2-1=0-1=0得到拋物線得到拋物線與與x x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(-1,0)(-1,0)，(1,0).(1,0).所求面積如圖陰影所示：所求面積如圖陰影所示：所以：所以：112212) 1() 1(dxxdxxS38)3()3(113123xxxx由一條曲線和直線所圍成平面圖形的面積的求解由一條曲線和直線所圍成平面圖形的面積的求解類型類型2 2：由兩條曲線由兩條曲線y=f(x)y=f(x)和和y=g(x)y=g(x)，直線，直線x=a,x=b(ab)x=a,x=b(ab)所圍成平面圖形的面積所圍成平面圖形的面積S Syxoba)(xfy )(xgy

5、 (2)(xfy )(xgy (1) baf xg xdx解：解：兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn)(0,0)(1,1)OB120(-)Sxxdx 或32130233()xx.31 -OABDOABCSSS 梯梯曲形曲梯形11200 xdxx dx201yxxxyx 及及 例題例題3211300233xx 211333.作出作出y2=x,y=x2的圖象如圖所示的圖象如圖所示:oxy2yx2yx2xy yxABCDO方法小結(jié)方法小結(jié)求在直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積步驟求在直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積步驟: :1. 作圖象作圖象( (弄清相對位置關(guān)系弄清相對位置關(guān)系) );2. 求交點(diǎn)的橫坐標(biāo)求交點(diǎn)的橫坐標(biāo),定

6、出定出積分上、下限積分上、下限;3. 確定確定被積函數(shù)被積函數(shù)，用定積分表示所求的面積，用定積分表示所求的面積，特別注意分清被積函數(shù)的特別注意分清被積函數(shù)的上、下位置上、下位置;4. 用用牛頓萊布尼茨公式牛頓萊布尼茨公式求定積分求定積分.兩曲線的交點(diǎn)為兩曲線的交點(diǎn)為(8,4)24yxyx直線與直線與x軸交點(diǎn)為軸交點(diǎn)為(4,0)2yx 4yx880424()xdxxdxS1S248812044224()SSSxdxxdxxdx488044224()()xdxxdxxdx38282042 21404323|()|xxx解解:作出作出y=x-4, 的圖象的圖象如圖所示如圖所示:2yx80212484

7、2()sxdx 法法 ：38202 283|x2 24016 2833解解:兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn)).4 , 8(),2, 2( 422xyxyxy22 4 xy12280222224()SSSxdxxxdx1S1S2S2yx3322822022 22 2124332|()|xxxx 練習(xí)練習(xí)16642618333解解: 兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn)).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy32012)6(xAdxxx23320(6 )xAxx dx2xy xxy63 1A2A于是所求面積于是所求面積21AAA dxxxxA)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 說明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式說明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式 練習(xí)練習(xí)課堂小結(jié)課堂小結(jié)求在直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積步驟求在直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積步驟: :1. 作圖象作圖象;2. 求交點(diǎn)的橫坐標(biāo)求交點(diǎn)的橫坐標(biāo),定出積分上、下限定出積分上、下限;3. 確定被積函數(shù)，用定