第13章(動載荷)

1、中南大學土木建筑學院力學系中南大學土木建筑學院力學系 Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University 靜載荷靜載荷 動載荷動載荷第十三章第十三章 動載荷動載荷第一節(jié)第一節(jié) 概述概述 動應力動應力緩慢地從零逐漸增加到某一數(shù)值后保持不變的載荷。緩慢地從零逐漸增加到某一數(shù)值后保持不變的載荷。 構件內各質點做變速運動而具有明顯的加速度或載荷構件內各質點做變速運動而具有明顯的加速度或載荷明顯地隨時間變化。明顯地隨時間變化。 在構件內由于動載荷引起的應力。

2、在構件內由于動載荷引起的應力。 慣性力問題慣性力問題沖擊問題沖擊問題用動靜法求解用動靜法求解用能量法求解用能量法求解 第二節(jié)第二節(jié) 動靜法的應用動靜法的應用 一、構件作勻加速直線運動時的應力與變形計算一、構件作勻加速直線運動時的應力與變形計算0:xF A aFA xxgNd0 Nd(1)aFA xg d(1)axg桿件的動內力桿件的動內力 桿件橫截面上的動應力桿件橫截面上的動應力 1. 1. 勻加速直線運動構件的應力勻加速直線運動構件的應力 設勻加速度提升的桿件，長度為設勻加速度提升的桿件，長度為l，重量為，重量為W，材料的重，材料的重度為度為，橫截面面積為，橫截面面積為A，以加速度上升，以加

3、速度上升a Nd(1)aFA xg d(1)axgd(1)aFWg桿件的動內力桿件的動內力 桿件橫截面上的動應力桿件橫截面上的動應力 吊索動牽引力吊索動牽引力 FA xNst xst FWst a0 靜載荷靜載荷 a0 a0 aFA xgNd(1) axgd(1)aFWgd(1)FA xNst xst FWst a0 動載荷動載荷 靜載荷靜載荷 NddNstFK F ddstK ddstFK F d(1)aKg勻加速豎直運動的動荷系數(shù)勻加速豎直運動的動荷系數(shù) 2. 2. 勻加速直線運動構件的變形勻加速直線運動構件的變形ddstlKl ddstK 解：解： 計算鋼纜內的動應力計算鋼纜內的動應力

4、查型鋼表得查型鋼表得 動荷系數(shù)動荷系數(shù) 由平衡條件求得鋼纜內力由平衡條件求得鋼纜內力 1st165.62N mq 15112.539.8daKgstNst165.62 12993.7N22q lF 例：一根長度例：一根長度l=12m的的1414號工字鋼由兩根鋼索吊起，以勻加速度號工字鋼由兩根鋼索吊起，以勻加速度a=15ms-2上升。已知鋼纜的橫截面面積上升。已知鋼纜的橫截面面積A=72mm2，工字鋼的許用應，工字鋼的許用應力力=160MPa，計算鋼纜的動應力，并校核工字鋼的強度。，計算鋼纜的動應力，并校核工字鋼的強度。 3. 3. 動載荷下構件的強度條件動載荷下構件的強度條件 dmaxdstm

5、axK 2stmax1993.7 4165.62 6993.7N m2M 6316.1 10 mzW stmaxstmax6993.761.7MPa16.1 10zMW dmaxdstmax2.53 61.7156.1MPaK 所以鋼梁的強度滿足要求所以鋼梁的強度滿足要求 計算梁內最大靜應力計算梁內最大靜應力 查型鋼表得查型鋼表得 鋼梁強度的校核鋼梁強度的校核 由彎矩圖可知最大正應力在跨中截面由彎矩圖可知最大正應力在跨中截面Nst993.7NF ddst6993.72.5334.9MPa72 10K 1. 1. 旋轉圓環(huán)的應力旋轉圓環(huán)的應力 2dn2AA Dqawgg 沿圓環(huán)厚度中線均勻分布的

6、離心慣性力的集度沿圓環(huán)厚度中線均勻分布的離心慣性力的集度 二、構件作勻速轉動時的應力與變形計算二、構件作勻速轉動時的應力與變形計算 設薄壁圓環(huán)繞通過圓心且垂直于圓環(huán)平面的軸勻速轉設薄壁圓環(huán)繞通過圓心且垂直于圓環(huán)平面的軸勻速轉動。圓環(huán)平均直徑為動。圓環(huán)平均直徑為D，壁厚為，壁厚為t，橫截面面積為，橫截面面積為A，材料單，材料單位體積的重量為位體積的重量為，角速度為，角速度為 2dn2AA Dqawgg 0:yF Ndd02d sin02DFq 桿件的動內力桿件的動內力 圓環(huán)橫截面上的動應力圓環(huán)橫截面上的動應力 22Nd4A DFwg 22d4Dwg 2. 2. 旋轉圓環(huán)的變形旋轉圓環(huán)的變形 圓環(huán)

7、周向應變圓環(huán)周向應變 在線彈性范圍內，由胡克定律在線彈性范圍內，由胡克定律 t( )DDDDDD tDD 22dt4DEEg 324DDEg 3. 3. 動載荷下構件的強度條件動載荷下構件的強度條件 22d4Dg 12gnD tDD 例：在軸例：在軸AB的的B端有一個質量很大的飛輪。與飛輪相比，端有一個質量很大的飛輪。與飛輪相比，軸的質量可忽略不計。軸的另一端裝有制動器。飛輪的轉速為軸的質量可忽略不計。軸的另一端裝有制動器。飛輪的轉速為n=100r/min，轉動慣量為，轉動慣量為Ix=0.5kNms2，軸的直徑，軸的直徑d=100mm。制動時使軸在內均勻停止轉動，求軸內最大動應力。制動時使軸在

8、內均勻停止轉動，求軸內最大動應力。 解：解： 計算軸計算軸AB的載荷的載荷 飛輪與軸的轉動角速度飛輪與軸的轉動角速度 010010rad/s30303n 飛輪與軸同時均勻減速轉動，其加速度飛輪與軸同時均勻減速轉動，其加速度 根據(jù)動靜法，飛輪有慣性力偶矩根據(jù)動靜法，飛輪有慣性力偶矩 由平衡方程由平衡方程 2101003rad/s103wwt 010rad/s3 d0.50.5 ()kN m33xMI fd0.5kN m3MM 0 xM 計算計算AB軸橫截面上的最大切應力軸橫截面上的最大切應力 3Tfmax39PP0.510 /32.67MPa10010/16MMWW 解：解： 求桿內最大動應力求

9、桿內最大動應力 2nax 2d( )Aqxxg 例：一等直桿例：一等直桿OB 在水平面內繞通過在水平面內繞通過O 點并垂直于水平面點并垂直于水平面的的z-z軸轉動。已知角速度為軸轉動。已知角速度為，桿橫截面面積為，桿橫截面面積為A，材料單位，材料單位體積的重量為體積的重量為，彈性模量為，彈性模量為E。試求桿內最大動應力和桿的。試求桿內最大動應力和桿的總伸長。總伸長。 到軸線距離為到軸線距離為x處的向心加速度處的向心加速度 到軸線距離為到軸線距離為x處單位長度上的動載荷處單位長度上的動載荷 求桿的總伸長求桿的總伸長 ddd( )d( )( )ddxlxxxE 22 322dd00d( )()d2

10、3llllllxxEgEg222Nd( )( )()2FxxlxAg 2 2dmaxd(0)2lg到軸線距離為到軸線距離為x的截面上的動應力的截面上的動應力 dx到軸線距離為到軸線距離為x處取微段處取微段dx，其伸長，其伸長 2222Nd( )( )dd()2llxxAAFxqxxx xlxgg 到軸線距離為到軸線距離為x的截面上的軸力的截面上的軸力 qA 2arAqg 例：圖示機車平行桿例：圖示機車平行桿AB，兩端鉸接于車輪上，鉸至輪心距，兩端鉸接于車輪上，鉸至輪心距離離r=0.5m。平行桿長度。平行桿長度l=1.5m，橫截面為矩形，寬，橫截面為矩形，寬b=45mm，高，高h=100mm，材

11、料單位體積的重量，材料單位體積的重量=78kN/m3。機車等速前進，車。機車等速前進，車輪角速度輪角速度=30rad/s，求桿的最大彎矩和最大彎曲正應力。，求桿的最大彎矩和最大彎曲正應力。 解：解： 求桿求桿AB的最大彎矩的最大彎矩 桿桿AB作平動，各點加速度的大小和方向相同，同端點作平動，各點加速度的大小和方向相同，同端點A 桿桿AB受均布自重受均布自重 桿桿AB受均布慣性力受均布慣性力 桿中點彎矩最大桿中點彎矩最大 2d(1)arqqqAg 222ddmax3622(1)8878 1045 100 101.50.530(1)4630N m89.8q lAlrMg dmaxdmax29463

12、061.7MPa45 10010/6zMW qA 2arAqg aqq、當桿當桿AB處于最低位置時，處于最低位置時，q、qa指向相同，集度最大指向相同，集度最大 求桿求桿AB的最大彎曲正應力的最大彎曲正應力 第三節(jié)第三節(jié) 桿件受沖擊時的應桿件受沖擊時的應 力和變形計算力和變形計算 一、沖擊問題一、沖擊問題 沖擊沖擊 沖擊載荷沖擊載荷 能量法解決沖擊問題能量法解決沖擊問題 當物體以一定的速度當物體以一定的速度撞擊構件，由于物體的運撞擊構件，由于物體的運動受到構件阻礙，其速度動受到構件阻礙，其速度迅速減小，甚至降為零。迅速減小，甚至降為零。 沖擊過程中兩個物沖擊過程中兩個物體間的作用力。體間的作用

13、力。 能量法解決沖擊問題能量法解決沖擊問題 由機械能守恒定律，沖擊物在沖擊過程中減少的動能和由機械能守恒定律，沖擊物在沖擊過程中減少的動能和勢能將全部轉化為被沖擊物的彈性應變能。勢能將全部轉化為被沖擊物的彈性應變能。 假設沖擊物為剛體，被沖擊物假設沖擊物為剛體，被沖擊物為彈性體，沖擊過程中材料服從胡為彈性體，沖擊過程中材料服從胡克定律?？硕伞?被沖擊物的質量與沖擊物的質被沖擊物的質量與沖擊物的質量相比很小，可忽略不計，兩物體量相比很小，可忽略不計，兩物體接觸成為一個運動系統(tǒng)。接觸成為一個運動系統(tǒng)。 略去沖擊過程中的能量損失。略去沖擊過程中的能量損失。 沖擊物為變沖擊物為變形能忽略不計形能忽略

14、不計 被沖擊物在被沖擊物在沖擊過程中重力沖擊過程中重力勢能變化忽略不勢能變化忽略不計；沖擊物不回計；沖擊物不回彈。彈。二、豎向沖擊二、豎向沖擊 FlFlEAEA l3348FlFEIEI l eePPM lMGIGIl EAl348EIlPGIlddVTVTW ddd2FV dddststFW ddVTW ddd2FV 2ddst12 VW 2stdstd2 2 0TW 速度為零時彈簧的動載荷速度為零時彈簧的動載荷Fd dstst2 (11)TW ddstst2(11)TKW ddstK ddFK W ddstK dst211WWhK 當重為當重為W物體從高為物體從高為h處自由下落處自由下落突

15、加載荷情況下突加載荷情況下( (h=0) ) dst2112hK 沖擊動載荷系數(shù)沖擊動載荷系數(shù) dst2(11)TKW 被沖擊物達被沖擊物達到最大變形，沖到最大變形，沖擊速度等于零時擊速度等于零時的瞬時載荷、應的瞬時載荷、應力，為沖擊過程力，為沖擊過程的最大值。的最大值。 st211h三、水平沖擊三、水平沖擊 0V 22mvT 2ddststvKg2d12WVvg dVTV dddststFW ddd2FV 2ddst12 VW 212Wvg 四、構件沖擊時的強度條件四、構件沖擊時的強度條件 dmaxdstmaxK 例：圖示直角拐桿，已知材料的剪切模量例：圖示直角拐桿，已知材料的剪切模量G=8

16、0103MPa，彈，彈性模量性模量E=200103MPa，BC段的長段的長l1=300mm，AB段長段長l=800mm，桿的橫截面直徑桿的橫截面直徑d=60mm。重物。重物W=100N，下落高度，下落高度h=50mm。試求。試求桿的最大動正應力和最大動切應力。若許用應力桿的最大動正應力和最大動切應力。若許用應力=120MPa，按，按第三強度理論進行強度校核。第三強度理論進行強度校核。 1121st112212000dddlllPWxWxWlxxxxlxEIEIGI 解：解： 求沖擊點求沖擊點C處的靜位移處的靜位移 計算動荷系數(shù)計算動荷系數(shù) dst211hK 1121st112212000ddd

17、lllPWxWxWlxxxxlxEIEIGI 3329494100 (0.30.8 )100 0.30.83 200 100.06 /6480 100.06 /32 42.11 10 m 33211P()3W llWl lEIGI 342 50 101122.82.11 10 計算靜載時的最大正應力、最大切應力計算靜載時的最大正應力、最大切應力 計算最大動正應力、最大動切應力計算最大動正應力、最大動切應力 校核桿的強度校核桿的強度 stmax3100 0.83.77MPa0.06 /32zWlW 1stmax3P100 0.30.7MPa0.06 /16WlW dmaxdstmax22.8 3

18、.7786MPaK dmaxdstmax22.8 0.716.1MPaK 2222r3d4864 16.191.83MPa 靜載時最大正應力在固定端靜載時最大正應力在固定端A處處 靜載時最大切應力在桿靜載時最大切應力在桿AB的外表面處的外表面處 例：圖示結構木桿例：圖示結構木桿AB與鋼梁與鋼梁BC在端點在端點B處鉸接，長度處鉸接，長度l=1m，兩者的橫截面均為邊長為，兩者的橫截面均為邊長為a=0.1m的正方形。的正方形。D-D為為與與AB聯(lián)接的不變形剛桿，當環(huán)狀重物聯(lián)接的不變形剛桿，當環(huán)狀重物W=1.2kN從從h=1cm處處自由落在剛桿自由落在剛桿D-D上時，試求木桿各段的內力，并校核木桿上時

19、，試求木桿各段的內力，并校核木桿強度。已知鋼梁的彈性模量強度。已知鋼梁的彈性模量Eg=200103MPa，木桿的彈性，木桿的彈性模量模量Em=200103MPa，許用應力，許用應力=120MPa。 解：解： 求沖擊點處的靜位移求沖擊點處的靜位移 沖擊處截面在靜載下的位移沖擊處截面在靜載下的位移 BABl 3NNNNN()3BABBBgmmmmFlFlFlWFlFlE IE AE AE AE A N54.5NBF 5Nst92(120054.5) 11.145 10 m10 100.1AmFlE A 變形協(xié)調條件變形協(xié)調條件 解得解得 計算木桿各段的內力，并校核木桿強度計算木桿各段的內力，并校核木桿強度 所以木桿的強度滿足要求所以木桿的強度滿足要求 N ddN42.8 54.52333NBBFK FN ddN42.8 (120054.5)49027.4NAAFK F N dd249027.44.9MPa0.1AAFA 計算動荷系數(shù)計算動荷系數(shù) 3d5st22 10 10111142.81.145 10hK 5st1.145 10 m 例：圖所示立柱長度為例：圖所示立柱長度為l，抗彎剛度為，抗彎剛度為EI，下端固定，上端有一，下端固定，上端有一柔度系數(shù)（單位力引起的變形）柔度系數(shù)（單位力引起的變形）=l3/2EI的彈簧連接。在桿中部的彈簧連接。在桿中部B處處受一速