(新課標(biāo))高一數(shù)學(xué)必修4課件：第二章平面向量本章回顧2

1、第二章平面向量本章回顧向鈦及具基木概念知識(shí)結(jié)構(gòu)實(shí)際背景I規(guī)律方法總結(jié)1. 學(xué)習(xí)本章應(yīng)注意類比，如向量的運(yùn)算法則及運(yùn)算律可與 實(shí)數(shù)相應(yīng)的運(yùn)算法則及運(yùn)算律進(jìn)行橫向類比.2. 向量是數(shù)形結(jié)合的載體，一方面通過數(shù)形結(jié)合來研究向 量的概念和運(yùn)算；另一方面，以向量為工具，用數(shù)形結(jié)合解決 數(shù)學(xué)和物理的有關(guān)問題.同時(shí)，向量的坐標(biāo)表示為我們用代數(shù) 方法研究幾何問題提供了可能，豐富了我們研究問題的范圍和 手段.3通過本章的學(xué)習(xí)，掌握用向量處理問題的兩種方法向量法和坐標(biāo)法.4. 經(jīng)歷概念的形成過程，解題的思維過程，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想的指導(dǎo)作用.5. 經(jīng)歷用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的幾何問題、物理問題的過程，體會(huì)向量是一種

2、處理幾何問題、物理問題等的工具.熱點(diǎn)問題剖析1有關(guān)向量的共線問題根據(jù)a(“HO)與方共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)兒 使b =加；或運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)表達(dá)式：a = (xi，yj與方=(兀2，yi) 共線0X12兀2刃=0來解決問題.【例1】 已知 = (1,2),方= (3,2),若ka2b與加一4b平行，求實(shí)數(shù)k的值.【解】解法1： 9：ka + 2b與加一4平行，則存在唯一實(shí) 數(shù)兒使 ka + 2b=A(2a-4b).畑+2 方=1,2)+2(3,2)=伙一6,2+4),2a4 = 2( 1,2)4( 3,2) = (14, 4)， 伙一6,2仝+4)=久(14, 4).k6= 14兒 2

3、P+4= 4久,Q1解得2 即k的值為一1.k= .2： 貳 + 20“片(12)+2(32)卄金62+4) 2a40 = 2(12)4(32) (144) 1r+20刃），b （%2 丁2）是否共線，只需檢驗(yàn)兀1力 兀2刃=0是否成立；反之若a/b,則必有心2兀2刃=0.由于 坐標(biāo)表示的條件比共線定理少一個(gè) 飲”,因而用坐標(biāo)表示比 用共線定理要簡(jiǎn)捷一些.2.有關(guān)向量的模的問題【例3】設(shè)a = b=l,13a2方 1 = 3,求3a+b的值.【解】 方法一：VI3a-2ftl = 3, 9/1加方+4慶=9.又 11 = 1方1= 1, J.ab = .故 13a+方 I=（3a+b）2=y9

4、cr-6a-bb1 =-9+6 X*+1 =2J.方法一:設(shè)=（兀1，刃），b = （%2 2）.V a = b=j /. #+yf=+ = 1.T 3a 一 2b = （3%i 一 2x2 3y 一 2乃），13a 2b=寸（3心一2疋）2 + （3y 彳乃尸=3 xX2yy2=y/ 3ab=寸（3兀1 +疋）2 + （3）“ +丁2）2=冷9點(diǎn)+9員+6（兀以2+y 1力）規(guī)律技巧向量的模，即向量的大小，用來表示向量的有 向線段的長(zhǎng)度向量的模不僅是研究向量的一個(gè)重要的量，而且 是利用向量方法解決幾何問題的一個(gè)“交匯”點(diǎn)因此，我們必 須熟練掌握求向量的模的基本方法一般的，求向量的模主要是 利

5、用公式lal2=a2將它轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積問題，再利用數(shù)量積的運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行展開、合并，使問題得以解決，如例題或利用公式a = ylx2+y2將它轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題，“以舊帶 新”，使問題得以解決，解決向量的模的問題關(guān)鍵是在靈活運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法，將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問題，不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題.3用向量求解垂直和夾角問題【例4】非零向量（a+b）與（加_方）互相垂直，且-2b） 與（加+方）互相垂直，求向量與方的夾角的余弦值.【解】V(+Z)(2-), (a2b)丄(2a+b),.J(a+(2方) = 0,| (a 2by(2a+b) = 0.2a2-a-bb2=0,* 2a2

6、- 3a b -2b2 = 0.X3 +得。2=討,.血|2 =詁|2. 由得/方=護(hù)_加2 = |勿2_2乂|勿2=_押.設(shè)“與方的夾角為e廠八ab則cos。|加礦-如卩a-b _1尹a【例5】已知平面上三個(gè)向量“，“ c的模均為1,它們相互之間的夾角均為120.(1) 求證：(ab)丄c；(2) 若ka+b+c伙GR),求k的取值范圍.【解】解答本題的突破口在于準(zhǔn)確理解平面向量0, b，C兩兩夾角為120.(1) V (ab)c=ac方c = lallclcosl20 Illclcosl20 = 0, e. (ab)_Lc.(2) 若I転+方+cll,貝I屜+方+c|2l,: Z?。？+方

7、2+心2 + Ikab + 2ka-c + 2bc 1 a = b = c=,且a, b, c相互之間的夾角均為120,:&_2k0, :.k2或衣0.ab=bc=ac =12*即的取值范圍是(, 0)U(2, +)規(guī)律技巧 化歸是中學(xué)數(shù)學(xué)中最基本的思想方法，是數(shù)學(xué) 思想的精髓，數(shù)學(xué)研究的過程自始至終貫穿著“化生為熟，化 繁為簡(jiǎn)”，從而使問題得到圓滿的解決，再?gòu)?fù)雜的數(shù)學(xué)問題都可通過轉(zhuǎn)化與化歸使問題得到想，即把有關(guān)向量模的不等式轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)不等式.4用向量求解幾何、物理問題【例6】向量OB.炭滿足條件OA + OB + OC=0.OA = OB = OC=1.試判斷 ABC 的形狀.【分析】 判斷

8、AABC的形狀，即要涉及向量的模和夾角.所以從計(jì)算對(duì)應(yīng)邊的向量的模或夾角入手.【解】v5a+5b+3c=o,：.dA2 + OB2 + 2dAOB = dc：.OAOBcosZAOB=-.9OA = OB = OC=,OAOB=從而得ZAOB=120同理可得ZAOC= ZBOC- 故ZVIBC是等邊三角形.= 120.【例7】一艘船以5 km/h的速度向垂直于對(duì)岸方向行 駛，該船實(shí)際航行方向與水流方向成30。角.求水流速度與船 的實(shí)際速度.【解】 如圖，OA表示水流速度，OB表示船向垂直于對(duì) 岸行駛的速度，炭表示船實(shí)際速度，ZAOC=30, I OB 1 = 5 km/h 四邊形OACB為矩形

9、， OA = IACI-tan60 = l3BI-tan60 = 5 羽(km/h),- OBIOCI = sin3oo= 10(km/h).水流速度為5書km/h,船實(shí)際速度為10 km/h5.構(gòu)建模型的思想方法構(gòu)建模型是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的思想方法之一，運(yùn)用它可以 迅速地將某些研究對(duì)象或?qū)嶋H問題抽象為數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而使問 題得以解決.用平面向量知識(shí)解決實(shí)際問題就蘊(yùn)含著這一思想 方法，如向量的加、減法可歸結(jié)為平行四邊形或三角形模 型；有關(guān)小船或飛機(jī)的位移問題可抽象為解三角形的問題 等.【例8】 如圖所示，一條河的兩岸平行，河的寬度= 500m, 一艘船從A點(diǎn)出發(fā)航行到河對(duì)岸，船航行速度的大小為 力11=10 km/h,水流速度的大小為v2=4 km/h,設(shè)0和血的夾 角為 6(06180).(1) 當(dāng)&多大時(shí)，船能垂直到達(dá)對(duì)岸(精確到1。)？(2) 當(dāng)船垂直到達(dá)對(duì)岸時(shí)，航行所需時(shí)間是否最少？為什 么？【分析】 用向量知識(shí)解決物理問題，首先要把物理現(xiàn)象 轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，即將物理之間的關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)模型，然后 再通過對(duì)這個(gè)