六,9-3可積條件

1、判別一個函數(shù) f (x) 在a, b上是否可積,就是判別9-3 可積條件的性質（例如函數(shù)的有界性、連續(xù)性等）來判別01lim()niiTifx 極限 是否存在. 在實際應用中，直接按定義來判定是困難的. 我們希望由函數(shù)本身函數(shù)的可積性. 為此, 先給出可積準則,并以此證明有界性是可積的必要條件而非充分條件, 連續(xù)性是可積的充分條件而非必要條件.定理定理9.1 ( (可積必有界）可積必有界）若函數(shù)若函數(shù) 在在 上可積，則上可積，則 在在 上必有界上必有界.ff,ba,ba證證 設設.d)(Jxxfba由定義由定義, 對對100,T,T 只只要要無無論論 11niiif () xJ, 于是于是1,

2、 (1,2, ),iiixxin 與與如如何何選選取取 都都有有 1,. kkxx上上無無界界 令令(),iiikGfx 1,kkkxx 故必存在滿足故必存在滿足11niiif () xJM. ().kkMGfx ( ) , f xa b倘倘若若在在上上無無界界，,k則必有則必有( )f x使使得得在在于是于是1()niiifx 矛盾矛盾.以下例子告訴我們以下例子告訴我們, 有界性并不是可積的充分條有界性并不是可積的充分條件件. .()()kkiiikfxfx ,kkMGxGMx 1Q,1,2, ,iiixxin 現(xiàn)現(xiàn)任任取取則則11().nniiiiiDxxba R,0,J 證證 若若 D(

3、x) 在在 a, b 上可積上可積 , 則則1().2niiibaDxJ (1)D x試試用用反反證證法法證證明明: :狄狄利利克克雷雷函函數(shù)數(shù)例例在在任任何何 , .a b區(qū)間上不可積區(qū)間上不可積,T 當當時時 1,iiixx 對對任任何何有有于是于是11()(),nniiiiiiDxDxba 而這與而這與 11()()nniiiiiiDxDx11()()22nniiiiiibabaDxJDxJba 1, Q,1,2, ,iiixxin 又又任任取取則則1()0.niiiDx 相矛盾相矛盾, 所以所以 , ( ).a bD x 在在上上不不可可積積,.:10bxxxaTn稱為稱為 f 關于分

4、割關于分割 T 的上和的上和, ,其中其中1( )niiiS TMx1sup( )|, ,1, 2,;iiiMf xxxxin稱為稱為 f 關于分割關于分割 T 的下和的下和, ,其中其中1( )niiis Tmx1inf( )|, ,1, 2,;iiimf xxxxin , ,fa b設設在在上上有有界界對任意分割對任意分割定義定義21(1, 2,),iiiiiM minfxx 稱稱為為在在上上的的.振振幅幅定理定理9.3（可積準則）（可積準則）函數(shù)函數(shù) f 在在a, b上可積的充要上可積的充要條件是：條件是：0,T 分分割割使使11( )( )().nniiiiiiiS Ts TMmxx

5、此定理將在本章第六節(jié)定理此定理將在本章第六節(jié)定理 9.15 中證明中證明. . 在用它在用它振幅反映了函數(shù)在區(qū)間內的變化范圍振幅反映了函數(shù)在區(qū)間內的變化范圍, ,是一個與連是一個與連續(xù)性相關聯(lián)的概念續(xù)性相關聯(lián)的概念. .1 niiix 證明可積性問題時證明可積性問題時, ,有多種方法可使有多種方法可使11.nniiiiixxba 常見的有三種方法常見的有三種方法, ,下面分別作出介紹下面分別作出介紹. .每個每個abi ，從而，從而第一種方法第一種方法: :, , .a bf例例如如 在在上上一一致致連連續(xù)續(xù)的的, ,便便屬屬于于這這種種情情形形定理定理9.4（連續(xù)必可積）（連續(xù)必可積）連續(xù)，

6、則可積連續(xù)，則可積. .若若 , fa b在在上上 , fa b在在上上連續(xù)連續(xù), ,從而從而一致連續(xù)一致連續(xù). .于于證證 , fa b在在上上 , a b在在上上()().f xf xba iiimM 1sup()(),iif xf xx xxx，,ab 從而從而11.nniiiiixxba 因此當因此當 , a bTT 上上的的分分割割滿滿足足時時, ,0,0, , ,x xa b 是是,xx 若若則則, , fa b例例如如在在上上單單調調時時, ,有有1( )( ) ,niif bf a 1,niiM 若若有有界界 即即對對任任意意分分割割第二種方法第二種方法: :11|.nniii

7、iixTMM |,TM 則則當當時時1,niiM , fa b從從而而可可證證在在上上可可積積. .定理定理9.5（單調必可積）（單調必可積） , , fa bfa b若若是是上上的的單單調調函函數(shù)數(shù), ,則則在在上上可可積積. .f證證 不妨設不妨設是非常值的增函數(shù)，則對任意分割是非常值的增函數(shù)，則對任意分割01:.,nTaxxxb 1()(),1,2, ,iiif xf xin 于是于是 111()()( )( ).nniiiiif xf xf bf a 因此因此, ,若若,( )( )Tf bf a 則則11nniiiiixT .)()()()( afbfafbf,iix 在在中中iix

8、 而而在在中中，,)(2abi ,)(2mMxi ,iiiiiixxx 若若第三種方法第三種方法: :,1,2, .iMm in 于是于是 iiiiiixxx )()(2)()(2mMmMabab . , ,Mmfa b其其中中是是在在上上的的振振幅幅 從從而而0, 取取滿滿足足0().2()baMm 定理定理9.6（有限個間斷點的有界函數(shù)必可積）（有限個間斷點的有界函數(shù)必可積）若若 , fa b在在上上有界有界, ,且只有有限多個不連續(xù)點，且只有有限多個不連續(xù)點，此時可用第三種方法證明此時可用第三種方法證明 f 可積可積. f 在在 a, b 上可積上可積.只有一個間斷點只有一個間斷點, ,

9、且為且為 b. .證證 不妨設不妨設 , fa b在在上上 , fa b若 在上有界，且只有有限多個間斷點，則若 在上有界，且只有有限多個間斷點，則., ,fbb 界界 設設在在上上的的振振幅幅為為則則.2)(2)( mMmM,.:110 bxxxaTn使使.2Tiix 則存在分割則存在分割 ,fa b 由由于于在在上上連連續(xù)續(xù), , , Mmfa b其其中中與與分分別別為為在在上上的的上上確確界界與與下下確確令令,.:10bxxxaTn則則 Tiix Tiix.22 , .fa b由由可可積積準準則則, ,在在上上可可積積例例2 證明黎曼函數(shù)證明黎曼函數(shù)1,(,),( )0 ,0, 1(0,

10、 1)pxp qqqR xx互互素素及及中中的的無無理理數(shù)數(shù)0,1在在上可積上可積, ,且且10( )d0.R xx 證證10,0,12q 在在中中滿滿足足的有理數(shù)的有理數(shù)prq只有有限多個只有有限多個, ,設它們?yōu)樵O它們?yōu)?20,1,.krrr對對作作分割分割01:01,nTxxx.2Tk 使使12 ,kTrrr中中含含的小區(qū)間至多有的小區(qū)間至多有 2 2k 個個, ,記為記為 .i 因此這些小區(qū)間長度之和為因此這些小區(qū)間長度之和為2.2ixkk i 由由于于在在12,.kiTrrr 中中不不含含的的區(qū)區(qū)間間記記為為 iix iiiixx iixx221 .22 0( ),2R x 上于是上于是.2 i從而從而( ).R x這這就就證證明明了了的的可可積積性性( ),R x由由于于已已證證得得可可積積 而而且且無無理理數(shù)數(shù)具具有有稠稠密密性性, ,1, (1,2, )iiixxin 因因此此可可取取皆皆為為無無理理數(shù)數(shù), ,1001( )dlim()0.niiTiR xxRx 從而從而 作業(yè)題作業(yè)題P212 P212 1,1, ,復習思考題1. f (x) 為為 a, b 上的有界函數(shù)上的有界函數(shù), 其不連續(xù)點的集合其不連續(xù)點的集合011,|.nniiikkkEa b