層次分析法及matlab程序

1、層次分析法建模、層次分析法（AHPAnalytic Hierachy p roc e s s） 多目標決策方法70年代由美國運籌學家TLSatt y提岀得，就是一種立性與圧量分析相結(jié)合得多目標決 策分析方法論吸收利用行為科學得特點，就是將決策者得經(jīng)驗判斷給予量化，對目標（因素）結(jié) 構(gòu)復雜而且缺乏必要得數(shù)據(jù)情況下，採用此方法較為實用，就是一種系統(tǒng)科學中，常用得一種系 統(tǒng)分析方法，因而成為系統(tǒng)分析得數(shù)學工具之一。傳統(tǒng)得常用得研究自然科學與社會科學得方法有：機理分析方法：利用經(jīng)典得數(shù)學工具分析觀察得因果關(guān)系：統(tǒng)計分析方法：利用大量觀測數(shù)拯尋求統(tǒng)汁規(guī)律,用隨機數(shù)學方法描述（自然現(xiàn)象、社 會現(xiàn)象）現(xiàn)象得

2、規(guī)律。基本內(nèi)容：（1）多目標決策問題舉例A HP建模方法（2 ）AHP建模方法基本步驟（3） A HP建模方法基本算法（3）AHP建模方法理論算法應(yīng)用得若干問題。參考書：1、姜啟源，數(shù)學模型（第二版,第9章;第三版,第8章），高等教育出版社2、程理民等，運籌學模型與方法教程，（第1 0章），淸華大學出版社3、運莓學編寫組，運籌學（修訂版），第11章，第7節(jié)，清華大學出版社一、問題舉例:A。大學畢業(yè)生就業(yè)選擇問題獲得大學畢業(yè)學位得畢業(yè)生，“雙向選擇”時,用人單位與畢業(yè)生都有各自得選擇標準與要求。 就畢業(yè)生來說選擇單位得標準與要求就是多方而得,例如： 能發(fā)揮自己得才干為國家作出較好翹（即工作崗位適

3、合發(fā)揮專長）； 工作收入較好（待遇好）； 生活環(huán)境好（大城市、氣候等工作條件等）； 單位名聲好（聲譽-R e pu t a t i on）： 工作両好（人際關(guān)系與諧等） 發(fā)展晉升（promote, p r omo t ion）機會多（如新單位或單位發(fā)展有后勁）等。問題五在有多個用人單位可供她選擇，因此，她而臨多種選擇與決策，問題就是她將如何 作岀決策與選擇？一一或者說她將用什么方法將可供選擇得工作單位排序？暑假有3個旅游勝地可供選擇。例如:：蘇州杭州，北戴河，桂林，到底到哪個地方去旅游最 好？要作岀決策與選擇。為此，要把三個旅游地得特點，例如：景色;費用;居住;環(huán)境; 旅途條件等作一些比較一-

4、建立一個決再得準則，最后綜嚴評判確左岀一個可選擇得最優(yōu)方案.目標層選擇旅游地7種金屬可供開發(fā).開發(fā)后對國家貢獻可以通過兩兩比較得到?jīng)Q泄對哪種資源先開發(fā), 效用最用.二、問題分析:例如旅游地選擇問題：一般說來，此決策問題可按如下步驟進行：（S1）將決策解分解為三個層次,即：目標層：（選擇旅游地）準則層：（景色、費用、居住、飲食、旅途等5個準則）方案層：（有，三個選擇地點）并用直線連接各層次。（S2）互相比較各準則對目標得權(quán)重，各方案對每一個準則得權(quán)重。這些權(quán)限重在人得思維過程 中常就是定性得。例如:經(jīng)濟好，身體好得人：會將景色好作為第一選擇：中老年人:會將居住、飲食好作為第一選擇：經(jīng)濟不好得人:

5、會把費用低作為第一選擇。而層次分析方法則應(yīng)給出確定權(quán)重得泄量分析方法。（53）將方案后對準則層得權(quán)重，及準則后對目標層得權(quán)重進行綜合.（54）最終得出方案層對目標層得權(quán)重，從而作岀決策。以上步驟與方法即就是A HP得決策分析方法.三、確定各層次互相比較得方法一一成對比較 矩陣與權(quán)向量在確定各層次各因素之間得權(quán)重時，如果只就是疋性得結(jié)果,則常常不容易被別人接受，因 而Santy等人提出:二玖年呼迭即：1、不把所有因素放在一起比較，而就是兩兩相互比較2、對此時採用相對尺度，以盡可能減少性質(zhì)不同得諸因素相互比較得困難，提高準確度。因素比較方法成對比較矩陣法：目得就是，要比較某一層個因素對上一層因素O

6、得影響（例如:旅游決策解中，比較景色等 5個準則在選擇旅游地這個目標中得重要性）。採用得方法就是：每次取兩個因素與比較其對目標因素O得影響，并用表示，全部比較得 結(jié)果用成對比較矩陣表示，即：（1）由于上述成對比較矩陣有特點：故可稱為正互反矩陣:顯然，由,即:,故有：例如：在旅游決策問題中：=表示：故：=表示：即：景色為4,居住為1。= 表示：即:費用重要性為7,居住重要性為1。因此有成對比較矩陣：? ?問題：稍加分析就發(fā)現(xiàn)上述成對比較矩陣得問題： 即存在有各元素得不一致性.例如:既然：所以應(yīng)該有：而不應(yīng)為矩陣中得 成對比較矩陣比較得次數(shù)要求太，因:個元素比較次數(shù)為:次，因此，問題就是:如何改造

7、成對比較矩陣，使由其能確左諸因素對上層因素O得權(quán)重？對此Saoty提出了：在成對比較出現(xiàn)不一致情況下，計算各因素對因素（上層因素）0得 權(quán)重方法，并確定了這種不一致得容許誤差范圍。為此，先瞧成對比較矩陣得完全一致性一一成對比較完全一致性四:一致性矩陣Def：設(shè)有正互反成對比較矩陣:（4）除滿足：（i）正互反性：即 而且還滿足：（i i）致性：即/有點點錯誤 則稱滿足上述條件得正互反對稱矩陣A為一致性矩陣,簡稱一致陣。一致性矩陣（一致陣）性質(zhì)：性質(zhì)1：得秩Rank （A） = 1 /顯然得唯一非0得特征根為n性質(zhì)2：得任一列亠心向量都就是對應(yīng)特征根得特征向量：即有（特征向量、特征值）：,則向量滿

8、足：即：我得理解:通過A （變換A與W中得 元素有關(guān)）變換將一致w矩陣變成權(quán)向量W （特征向量），如果正互反矩陣W，接近一致矩 陣，同樣得道理變換A可以將W，變成權(quán)向量 （這里得權(quán)向量與W，稍有不同）啟發(fā)與思考：既然一致矩陣有以上性質(zhì)，即門個元素 血， w2,必,.必 構(gòu)成得向呈就是一致矩陣A得特征向星,則可以把向星W歸一化后得向呈，瞧成就是諸元素z W2, 必.Wn目標得權(quán)向呈,因此，可以用求力得特征根與特征向呈得辦法，求出元素146,W2, Ws .必相對于目標O得勸向星。解釋：一致矩陣即：件物體，它們重量分別為，將她們兩兩比較重量，其比值構(gòu)成一致矩陣，若用重 呈:向量右乘，則A的特征根為

9、2,以”為特征根的特征向量為重量向量 w=肥，則歸一化后的特征向量fw；W=（SW=l就表示諸因素6，C?,，Cn對上層因素0的權(quán)重，即為W /權(quán)向量，此種用特征向星求權(quán)向量的方法稱特征根法，分析:若重量向量未知時，則可由決策者對物體之間兩兩相比關(guān)系，主觀作出比值得判斷，或用D e 1 phi（調(diào)查法）來確左這些比值，使矩陣（不一上有一致性）為已知得，并記此主觀判斷作出 得矩陣為（主觀）判斷矩陣，并且此（不一致）在不一致得容許范圍內(nèi)，再依據(jù): 得特征根或 與特征向量連續(xù)地依賴于矩陣得元素，即當離一致性得要求不太遠時f得特征根與特征值（向量）與一致矩陣得 特征根與特征向量也相差不大得道理：由特征

10、向量求權(quán)向量得方法即為寮征問量迭,并由此引出一致性檢查得方法.問題：Remar k以上討論得用求特征根來求權(quán)向疑得方法與思路，在理論上應(yīng)解決以下問題：1. 一致陣得性質(zhì)1就是說:一致陣得最大特征根為（即必要條件），但用特征根來求特征向量時, 應(yīng)回答充分條件:即正互反矩陣就是否存在正得最大特征根與正得特征向量？且如果正互反 矩陣得最大特征根時，就是否為一致陣？2. 用主觀判斷矩陣得特征根與特征向量連續(xù)逼近一致陣得特征根與特征向量時，即：由得到：即：就是否在理論上有依據(jù).3. 般情況下，主觀判斷矩陣在逼近于一致陣得過程中，用與接近得來代替，即有，這種近似得替 代一致性矩陣得作法，就導致了產(chǎn)生得偏差

11、估計問題，即一致性檢驗問題，即要確定一種一致性 檢驗判斷指標，由此指標來確定在什么樣得允許范用內(nèi)，主觀判斷矩陣就是可以接受得,否則，要兩兩比較構(gòu)造主觀判斷矩陣。此問題即一致性檢驗問題得內(nèi)容。以上三個問題：前兩個問題由數(shù)學嚴格比較可獲得（見教材P325,泄理1、立理2）。第3 個問題：Sa tty給出一致性指標（TH I , TH2介紹如下：）附：Thl:（教材P326, perro n Th 比隆19 70 ）對于正矩陣（得所有元素為正數(shù)）（1）得最大特征根就是正單根；（2 ）對應(yīng)正特征向疑（得所有分量為正數(shù)）（3） 其中：為半徑向量，就是對應(yīng)得歸一化特征向疑證明：（3）可以通過將化為標準形證

12、明Th2：階正互反陣A得最大特征根；當時，就是一致陣五、一致性檢驗致性指標:1 一致性檢驗指標得定義與確定（平均值）得定義：當人們對復雜事件得各因素，采用兩兩比較時，所得到得主觀判斷矩陣，一般不可直接保證 正互反矩陣就就是一致正互反矩陣，因而存在誤差（及誤差估計問題）。這種誤差.必然導致特征 值與特征向量之間得誤差此時就導致問題與問題之間得差別（上述問題中就是主觀判斷矩陣得 特征值，就是帶有偏差得相對權(quán)向量）。這就是由判斷矩陣不一致性所引起得.因此，為了避免誤差太大,就要衡量主觀判斷矩陣得一致性.因為： 當主觀判斷矩陣為一致陣時就有：為一致陣時有：（a Ci i 為對角線上得值，按照一致性矩陣

13、得理解，它 應(yīng)該為1）此時存在唯一得非（由一致陣性質(zhì)1： Rark（4）=l,有唯一非0最大特征根且） 當主觀判斷矩陣不就是一致矩陣時,此時一般有：（Th2） 此時,應(yīng)有：（不大理解）即：所以，可以取其平均值作為檢驗主觀判斷矩陣得準則，一致性得指標，即：顯然：（1）當時，有:，為完全一致性（2）值越大，主觀判斷矩陣得完全一致性越差，即:偏離越遠（用特征向量作為權(quán)向量引起 得誤差越大）（3）一般，認為主觀判斷矩陣得一致性可以接受，否則應(yīng)重新進行兩兩比較，構(gòu)造主觀判 斷矩陣。2隨機一致性檢驗指標一問題:實際操作時發(fā)現(xiàn):主觀判斷矩陣得維數(shù)越大，判斷得一致性越差，故應(yīng)放寬對髙維矩陣得一得維數(shù)12345

14、89670、0 0 321.0、000. 580、961、1 2411. 45K 241、義檢 標致性要求。于就是引入修匸值來校正一致性檢驗指標：即左義得修正值表為: 并定 新得 致性 驗指 為：隨機一致性檢驗指標-一尋解釋：為確左得不一致程度得容許范I札需要確宦衡量得一致性指示得標準于就是S atty又引入所謂 隨機一致性指標，其定義與計算過程為：對固泄得,隨機構(gòu)造正互反陣，英元素從19與1中隨機取值,且滿足與得互反性，即:，且、 然后再計算得一致性指標，因此就是非常不一致得,此時，值相當大、 如此構(gòu)造相當多得，再用它們得平均值作為隨機一致性指標.Sa tty對于不同得11），用100- 5

15、 00個樣本計算出上表所列出得隨機一致性指標作為 修正值表。3、一致性檢驗指標得定義-致性比率。由隨機性檢驗指標可知：當時,，這就是因為1,2階正互反陣總就是一致陣。對于得成對比較陣，將它得一致性指標與同階（指相同）得隨機一致性指標Z比稱為一致性比率一一簡稱一致性指標，即有：一致性檢驗指標得泄義一一致性比率定義:：當:時，認為主觀判斷矩陣得不一致程度在容許范圍之內(nèi)，可用苴特征向碗作為權(quán)向量.否則，對主觀判斷矩陣重新進行成對比較，構(gòu)重新得主觀判斷矩陣。注：上式得選取就是帶有一左主觀信度得。六、標度一比較尺度解：在構(gòu)造正互反矩陣時，當比較兩個可能就是有不同性質(zhì)得因素與對于上層因素O得影響 時，採用

16、什么樣得相對刻度較好，即得元素得值在（19）或（1）或更多得數(shù)字,S any 提出用19尺度最好，即取值為19或其互反數(shù)1，心理學家也提出：人們區(qū)分信息等 級得極限解能力為2.可見對階矩陣，只需作岀個判斷值即可標度定義1因素與因素相同重要3因素比因素稍重要5因素比因素較重要7因素比因素非常重要9因素比因素絕對重要2 , 4, 6&因素與因素得重要性得比較值介于上述兩個相倒數(shù)1,鄰等級之間因素與因素比較得到判斷值為得互反數(shù)，注：以上比較得標度S a tty曾用過多種標度比較層，得到得結(jié)論認為：19尺度不僅在較簡單得 尺度中最好，而且比較得結(jié)果并不劣于較為復雜得尺度。Salt y曾用得比較尺度為：

17、 1-3,1-5,1 6,，111,以及 ，其中 ，其中等共27種比較尺度，對放在不同距離處得光源亮度進行比較判斷，并構(gòu)造出成對比較矩陣,il算 岀權(quán)向疑同時把計算岀來得這些權(quán)向量與按照物理學中光強度左律與其她物理知識得到得實際 權(quán)向量進行對比。結(jié)果也發(fā)現(xiàn)19得比較標度不僅簡單，而效果也較好（至少不比其她更復雜得 尺度差）因而用19得標度來構(gòu)造成對比較矩陣得元素較合適。七、組合權(quán)向量得計算層次總排序得權(quán)向量得計算層次分析法得基本思想：（1） 計算岀下一層每個元素對上一層每個元素得權(quán)向量de f ：層次總排序，計算同一層次所有元素對最高層相對重要性得排序權(quán)值. 當然要先:構(gòu)造下一層每個元素對上一

18、次每個元素得成對比較矩陣計算出成對比較矩陣得特征向量（與法，根法，幕法） 由特征向量求岀最大特征根（由與法，根法，幕法求得） 用最大特征根用方式及對成對比較矩陣進行一致性檢，并通過.（2） 并把下層每個元素對上層每個元素得權(quán)向量按列排成以下表格形式：例,假定:上層有 個元素，且其層次總排序權(quán)向量為，下層有個元素，則按對 個元素得單排序權(quán)向 雖:得列向量為，即有：層次 層總就是排序權(quán)重（權(quán)向 量、列向量） 計算出最大特根（方法:與法、根法、幕法）一致性檢驗一致性檢驗比率檢驗否？注：若下層元素與上層元素無關(guān)系時，取總排序權(quán)向量各分量得計算公式：（3 ）對層次總排序進行一致性檢驗：從高層到低層逐層進

19、行，如果如果層次某些元素對單得排序得一致性指標為，相應(yīng)得平均隨機一致性指標為，則層總排序 隨機一致性比率為：當時，認為層次總排序里有滿意得一致性，否則應(yīng)重新調(diào)整判斷矩陣得元素取值。八、層次分析法得基本步驟:（S1）建立層次結(jié)構(gòu)模型將有關(guān)因素按照屬性自上而下地分解成若干層次：同一層各因素從屬于上一層因素，或?qū)ι蠈右蛩赜杏绊懀瑫r又支配下一層得因素或受 到下層因素得影響。最上層為目標層（一般只有一個因素），最下層為方案層或?qū)ο髮?決策層，中間可以有1 個或幾個層次，通常為準則層或指標層。當準則層元素過多（例如多于9個）時,應(yīng)進一步分解出子準則層。（52）構(gòu)造成對比較矩陣,以層次結(jié)構(gòu)模型得第2層開始

20、，對于從屬于（或影響及）上一 層每個因素得同一層諸因素，用成對比較法與19比較尺度構(gòu)造成對比較矩陣，直到最下層。（53）計算（每個成對比較矩陣得）權(quán)向量并作一致性檢驗 對每一個成對比較矩陣汁算最大特征根及對應(yīng)得特征向疑（與法、根法、蒔法等） 利用一致性指標，隨機一致性指標與一致性比率作一致性檢驗 若通過檢驗（即，或）則將上層出權(quán)向量歸一化之后作為（到）得權(quán)向量（即單排序權(quán)向量） 若不成立，則需重新構(gòu)造成對比較矩陣（S4 ）計算組合權(quán)向星并作組合一致性檢驗一一即層次總排序利用單層權(quán)向量得權(quán)值構(gòu)組合權(quán)向量表：并訃算岀特征根，組合特征向量，一致性T- V層層次 計算組合權(quán)向量 其中 最大特征根與法、

21、根法、幕法一致性檢驗9一致性隨機檢驗對照表9一致性比率 若通過一致性檢驗，則可按照組合權(quán)向量得表示結(jié)果進行決策（中中最大者得最優(yōu)），即: 若未能通過檢驗，則需重新考慮模型或重新構(gòu)造那些一致性比率，較大得成對比較矩陣九、特征根得近似求法（實用算法）層次分析法得基本思路就是訃算上層每個元素對下一層次各元素得權(quán)向量（即最大特征根 對應(yīng)得特征向量），以及組合權(quán)向量及一致性檢驗問題。計算判斷矩陣最大特征根與對應(yīng)陣向量，并不需要追求較髙得精確度，這就是因為判斷矩陣 本身有相當?shù)谜`差范【饑而且優(yōu)先排序得數(shù)值也就是定性概念得表達，故從應(yīng)用性來考慮也希 望使用較為簡單得近似算法。常用得有以下求特征根得近似求法：

22、“與法”、“根法”、“幕法”， 具體如下：1紀與法”求最大特征根與對應(yīng)特征向量（近似解）（S 1）將矩陣得每一列向量得歸一化得：（利用數(shù)據(jù)驗證即為：每個位置得數(shù)除以該列得合計）（S 2）對按行求與得：（S3）將歸一化,即有:，則有特征向量：（S 4）計算與特征向量對應(yīng)得最大特征根得近似值：此方法：實際上就是將得列向量歸一化后取平均值作為得特征向疑。解釋：當為一致矩陣時，它得每一列向量都就是特征向量可以在得不一致性不嚴重時，取得列向量（歸一化后）得平均值作為近似特征向量就是合理 得（有依據(jù)得）。2。根法”求最大特征根特征向量近似值：步驟與“與法”相同，只就是在（S2）時：對歸一化后得列向量按行“

23、求與”改為按行“求 積”再取次方根，即：。即有具體步驟：（S1）將矩陣得每一列向量歸一化得：（52）對歸一化以后得列向量各元素：按行“求與”并開次方根得：（53）再將歸一化得：得到特征向量近似值：（54）計算最大特征根：作為最大特征根得近似值。注：“根法”就是將“與法”中求列向量得算術(shù)平均值改為求幾何平均值.3 “幕法”求最大特征根：（si）任取維歸一化初始向量（52）計算（53）歸一化，即令：（S4）對預先給左得，當時，即為所求得特征向量：否則返回（S2）（S5）計算最大特征根，以上用幕法求最大特征根對應(yīng)特征向量得迭代方法，其收斂性由TH1（教材P325）中得3）, 其中，漑是對應(yīng)得歸一化向

24、量特征.（證明：可以將化為標準形證明）保證。任意選取，也可以取由“根法”、與法”得到得注：在以上求特征根與特向量得方法中“與濃 ；J單。例：在旅游問題中，求目標層到準則層得成對比較矩陣為得特征向量與最大特征根：準則層:方案層:利用“與法”求得特征向咼與特征根（S1）將得元素按列歸一化得:各列歸一化得分母（S2）將中元素按行求與得各行元素之與:（53）再將上述矩陣向量歸一化得到特征向量近似值，特征向量其中（54）訃算與特征向量相對應(yīng)最大特征根（得近似值）(0.262)0.262、0.4740.4740.055(21 755)0.0550.0990.099(0.102丿,0.102 丿0.262(

25、1 0.5 4 33)(0.25H0.474(0.262)0.4740.1431 0.5 0.333 ) 0.0550.099,0.102 丿0.055P.262、P.262、0.4740.474)0.055(0.333 0.2 3 11 )0.0550.0990.099、002,、0.102,(0.337 0.2 2 110.099+0.1021 0.263 + 0.237 + 0.22 + 0.297 + 0.3060.524 + 0.474 + 0.385 + 0.495 + 0.5+5 L0.2620.4740.066 + 0.068 + 0.055 + 0.0495 + 0.0340

26、.087 + 0.095 + 01 + 0.099 + 0.1021F0.0550.0990.087 + 0.095 + 065 + 0.099 + 0.1020.102 1 1.323 2.388 0.273 0.493 0.548+4H+510.262 0.474 0.055 0.099 0.102 J =*5.05 + 5.038 + 4.960 + 4.98 + 5.373) = 1x25.4015= 5.0802 故有最大特征根 對一致性檢驗指標: 故通過檢驗。十、應(yīng)用實例對前而旅游問題進行決策（由前而已算岀），并已通過一致性檢驗。準則相對于得成對比較矩陣為0、 1 02對作用得成對

27、比較矩陣為:同樣對作用得成對比較矩陣為:解：對以上每個比較矩陣都可計算出最大特征根及對象得特征向量（即權(quán)重向量）,并進行一致性檢驗:以為例用與法”求岀得特征根及對立得特征向量（S1）對按列歸一化得：（S2 ）對按列歸一化反向就再按行求與：（S3）對按行歸一化得到特征向量（S4）計算特征根if(0.595 -0.554+ 0.645),(0.298+ 0.277+ 0.258)、(0.119 + 0.139 + 0.129)30.5950.2770.129.1f 1.7940.8330.387-十310.5950.277 0.129丿0.5952 51 0.2770.1290.595f 0.59

28、5 (0.5 1 2j 0.2770.129,0.277(0.595、(0.2 0.5 1 0.2770.129 丿0.129= 1(3.015 + 3.007 + 3)=丄 x 9.022 = 3.007一致性檢驗：故通過檢驗，既成對矩陣可以接受。 同樣步驟對，對得影響用特征向量表示最大特征根用:表示并分別計算一致性檢驗指標：列表如下:沁層決策層B1B2B3B5B4組合權(quán)向量0、26 20、4740、0551020.0990、0.59506 330820、0、42 91 660、0、2771930.0、2361660、42 90、0、1 291 750、0、6686 820、1420、3.0

29、03.009733、00230、00 3 500 50、000100、0、585 80、0、58580 . 580、0、006其中得計算公式為:(0.595)叱=Z?丿久=(0.262, 0.474, 0.055, 0.099, 0.102) =i0.0820.4290.633(0166丿=0.262 x 0.595 + 0.474 x 0.082.0.055 x 0.429 + 0.099 x 0.633 + 0.102x0.166= 0.156 + 0.039 + 0.024 + 0.063 + 0.017=0.299並=(0.277 0.236 0.429 0930.5950.0820.166) 0.4290.633.0.166,=0.246必=工5仇，=(0.129 0.682 0.142 0.175J=10.59