(完整版)函數(shù)定義域的求法整理(整理詳細(xì)版)

1、函數(shù)定義域的求法整理一、常規(guī)型即給出函數(shù)的解析式的定義域求法，其解法是由解析式有意義列出關(guān)于自變量的不等式或不等式組，解此不等式(或 組)即得原函數(shù)的定義域。_ I I例 2 2 求函數(shù)y . sinx -的定義域。訥6 x2解：要使函數(shù)有意義，則必須滿足si nx 016 x20由解得2kx2k,k Z由解得4x 4由和求公共部分，得4 x或0 x故函數(shù)的定義域?yàn)?4, (0，二、抽象函數(shù)型抽象函數(shù)是指沒(méi)有給出解析式的函數(shù)，不能常規(guī)方法求解，一般表示為已知一個(gè)抽象函數(shù)的定義域求另一個(gè)抽象函數(shù) 的解析式，一般有兩種情況。(1)已知f(x)的定義域，求fg(x)的定義域。(2)其解法是：已知f(

2、x)的定義域是a a, b b求fg(x)的定義域是解a g(x) b，即為所求的定義域。例 3 3 已知f(x)的定義域?yàn)? 2, 2 2,求f (x21)的定義域。解：令2 x21 2,得1 x23，即0 x23，因此0|x| .3，從而3 x .3，故函數(shù)的定義域是x | 3 x . 3。|x 3| 8解：要使函數(shù)有意義，則必須滿足x22x 15 0|x 3| 8 0由解得x 3或x 5。由解得x5或x11和求交集得x3且x11或 x5x5。例 1 1 求函數(shù)y2x 15的定義域。故所求函數(shù)的定義域?yàn)閄|X3且x11 x |x 5。(2 2)已知fg(x)的定義域，求 f(x)f(x)的

3、定義域。其解法是：已知fg(x)的定義域是a a, b b,求 f(x)f(x)定義域的方法是：由a x b，求 g(x)g(x)的值域，即所求 f(x)f(x)的定義域。例 4 4 已知f (2x1)的定義域?yàn)? 1, 2 2,求 f(x)f(x)的定義域。解：因?yàn)? x 2,2 2x 4,3 2x 15。即函數(shù) f(x)f(x)的定義域是x | 3 x 5。三、逆向型即已知所給函數(shù)的定義域求解析式中參數(shù)的取值范圍。特別是對(duì)于已知定義域?yàn)?恒成立問(wèn)題來(lái)解決。例 5 5 已知函數(shù)y . mx26mx m 8的定義域?yàn)?R R 求實(shí)數(shù) m m當(dāng) k=0k=0 時(shí)，方程左邊=3=3 工 0 0 恒

4、成立。求函數(shù)的定義域。1-(a 2x)于是可得矩形面積。2R R，求參數(shù)的范圍問(wèn)題通常是轉(zhuǎn)化為的取值范圍。分析：函數(shù)的定義域?yàn)?R R，表明2mx 6mx 8 m 0，使一切x x R R 都成立，由x2項(xiàng)的系數(shù)是 m m,所以應(yīng)分 m=0m=0或m 0進(jìn)行討論。解：當(dāng) m=0m=0 時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)镽 R;0時(shí)，mx26mx m80是二次不等式，其對(duì)一切實(shí)數(shù)x x 都成立的充要條件是2(6m) 4m(mm 18) 0綜上可知0 m 1。 評(píng)注：不少學(xué)生容易忽略例 6 6 已知函數(shù)f(x)m=0m=0 的情況，希望通過(guò)此例解決問(wèn)題。kx 7 kx24kx3的定義域是R，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。解

5、：要使函數(shù)有意義，則必須kx24kx 3工 0 0 恒成立，因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)?R R，即kx24kx 3 0無(wú)實(shí)數(shù)當(dāng) k kz0 0 時(shí),16k24 3k30恒成立，解得0 k4；解：設(shè)矩形一邊為x x，則另一邊長(zhǎng)為x21尹2x)1ax。212ax x2由問(wèn)題的實(shí)際意義,知函數(shù)的定義域應(yīng)滿足丄心2x)022x故所求函數(shù)的解析式為x21aax，定義域?yàn)?0 0,) 22(22)x2 Lx根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的意義知2x 0L 2x x o2五、參數(shù)型解：因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)? 0, 1 1,即0 x 1。故函數(shù)F(x)的定義域?yàn)橄铝胁坏仁浇M的解集:0 x a 1剛a x 1 a，即0 x a 1

6、 a x 1 a即兩個(gè)區(qū)間a a, 1 1- a a與a a, 1+a1+a的交集，比較兩個(gè)區(qū)間左、右端點(diǎn)，知1(1)當(dāng)a 0時(shí)，F(xiàn)(x x)的定義域?yàn)閤 | a x 1 a；1(2)當(dāng)0 a 3時(shí)，F(xiàn) F (x x)的定義域?yàn)閤 | a x 1 a；11(3)當(dāng)a或a時(shí)，上述兩區(qū)間的交集為空集，此時(shí)F F (x x)不能構(gòu)成函數(shù)。22六、隱含型有些問(wèn)題從表面上看并不求定義域，但是不注意定義域，往往導(dǎo)致錯(cuò)解，事實(shí)上定義域隱含在問(wèn)題中，例如函數(shù)的單 調(diào)區(qū)間是其定義域的子集。因此，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必須先求定義域。例 1010 求函數(shù)y log2( x22x 3)的單調(diào)區(qū)間。 解：由x22x 3

7、0，即x22x 30，解得函數(shù)y log2(x22x 3)是由函數(shù)y Iog2t,tt X22x 3 (x 1)24，對(duì)稱軸 x=1x=1，由二次函數(shù)的單調(diào)性， 可知 t t 在區(qū)例 8 8 用長(zhǎng)為 L L 的鐵絲彎成下部為矩形上部為半圓的框架，如圖，若矩形底邊長(zhǎng)為2x2x,求此框架圍成的面積 y y 與 x x 的函數(shù)關(guān)系式，并求定義域。解：由題意知，此框架圍成的面積是由一個(gè)矩形和一個(gè)半圓組成的圖形的面積，如圖。因?yàn)?CD=AB=2xCD=AB=2x，所以CD x，所以ADL AB CDL 2x x2故函數(shù)的解析式為(222)x Lx，定義域(0 0,對(duì)于含參數(shù)的函數(shù),求定義域時(shí)，必須對(duì)分母分類討論。例 9 9 已知f(x)的定義域?yàn)? 0, 1 1 ,求函數(shù)F(x)f(xa) f (x a)的定義域。1 x 3。即函數(shù) y y 的定義域?yàn)?一 1 1 , 3 3 )。2x 2x 3復(fù)合而成的。C