第十七講數(shù)字信號處理-FIR濾波器

1、第三章第三章 數(shù)字濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器設(shè)計 3-1 模擬濾波器設(shè)計 3-2 通過模擬濾波器設(shè)計IIR數(shù)字濾波器 3-3 FIR低通數(shù)字濾波器設(shè)計方法 3-4 數(shù)字濾波器計算機輔助設(shè)計 3-5 IIR與FIR數(shù)字濾波器比較一、一、IIR濾波器的優(yōu)缺點濾波器的優(yōu)缺點IIR數(shù)字濾波器的優(yōu)點：可以利用模擬濾波器設(shè)計的結(jié)果，而模擬濾波器的設(shè)計有大量圖表可查，方便簡單。IIR數(shù)字濾波器的缺點：沖激響應(yīng)不變法可能會引起頻譜的混疊，而雙線性變換法的相位變化非線性，將引起頻率的色散。二、二、FIR DF 優(yōu)點優(yōu)點 FIR濾波器在保證幅度特性滿足技術(shù)要求的同時，很容易做到有嚴(yán)格的線性相位特性。10)()(Nnnz

2、nhzH 設(shè)FIR濾波器單位沖激響應(yīng)h(n)長度為N，其系統(tǒng)函數(shù)H(z)為：H(z)是z-1的N-1次多項式，它在z平面上有N-1個零點，原點z=0是N-1階重極點。因此，H(z)永遠(yuǎn)穩(wěn)定。穩(wěn)定和線性相位特性是FIR濾波器突出的優(yōu)點。3.3.1FIR DF的線性相位頻率特性一、FIR濾波器具有線性相位的條件 對于長度為N的h(n), 頻率響應(yīng)為：稱為相位特性。稱為幅度特性，式中，)()(He )(H)e(He )n(h)e(H)(jj1N0nnjj幅頻特性注意幅度特性總是正值。負(fù)值，而稱為幅度函數(shù)，可以取的實函數(shù)，為不同于注意，這里)e(H)(H, )e(H)(Hjj。）式為第二類線性相位滿足

3、式是第一類線性相位，一般滿足位。也稱這種情況為線性相但以上兩種情況都滿足2()1(d)(d1、 線性相位)e(Hj）（為常數(shù)的線性函數(shù)，即是線性相位是指1,)()()e(Hj不具有線性相位，嚴(yán)格地說，此時）（是起始相位，滿足下式：如果)(2)()(002、FIR濾波器具有線性相位的條件處。其對稱中心在奇對稱：偶對稱：且滿足以下任一條件：，為因果、有限長的實數(shù)濾波器的單位沖激響應(yīng)件是：濾波器具有線性相位條21Nn)n1N(h)n(h)n1N(h)n(h)n(hFIRFIR奇對稱是實序列且對條件是：滿足第二類線性相位的偶對稱。是實序列且對位的條件是：其中滿足第一類線性相2/ )1N()n(h2/

4、)1N()n(h)z(Hz)z(Hz)m(h)z(H1)1N(1N0mm1二、線性相位條件的證明：以第一類線性相位為例:)n1N(h)n(h)n(h為偶對稱情況，即1N0nn1N0nnz )n1N( hz )n( h)z(H10)1(101()()(1NmmNNmmNzmhzzmhmnN）右邊令)z(Hz)z(H21)z(H:)z(H1)1N(表示為則可將1N0nn)1N(1N0nnz )n(hzz )n(h211N0nn)1N(nzzz)n(h211N0n2)1N(n21Nn21N2zz)n(hz代入上式，得到：將jez 有第一類線性相位。那么該濾波器就一定具為偶對稱，是實序列，且看出：只要

5、)n(h)n(h11()()1221()20()( )2NNj nj nNNjjneeH eeh n 1N0n)21N( j)21Nn(cos)n(he1N0n)21Nn(cos)n( h)(H:幅度函數(shù)為)21N()()21N()(:其群時延為相位函數(shù)為三、線性相位FIR濾波器H()的特點（1）h(n)=h(N-1-n)，即h(n)為偶對稱偶對稱, N=奇數(shù)（2）h(n)=h(N-1-n),即h(n)為偶對稱偶對稱，N=偶數(shù)（3）h(n)=-h(N-1-n)，即h(n)為奇對稱奇對稱, N=奇數(shù)（4）h(n)=-h(N-1-n),即h(n)為奇對稱奇對稱，N=偶數(shù)由于h(n)的長度N取奇數(shù)還

6、是偶數(shù)，對H()的特性有影響，因此，對于兩類線性相位，下面我們分四種情況討論其幅度特性的特點：1. 第一種情況：h(n)=h(N-1-n)，N=奇數(shù)1N0n)n21N(cos)n(h)(H式中：兩項皆對（N-1)/2呈偶對稱，即可以以(N-1)/2為中心，把兩兩相等的項合并，由于N是奇數(shù)，故余下中間項n=(N-1)/2，)n1N(21Ncos)21Nn(cos)n21N(cos2/)1N(1m)mcos()m21N(h221N(h)(H,mn21N）則令2/)3N(0n)n21Ncos)n(h221N(h)(H（）合并后，可得：0)21(2)(0)21()0()cos()()(2)1(0nnN

7、hnanNhannaHNn其中：可以表示成看出：cos(n )對于=0,2皆為偶對稱，所以幅度函數(shù)H()也對 =0,2皆為偶對稱。且H(0)、H(/2), H(),H(2)都可不為零。(只要h (N-1)/2不為零）。所以從從0 2 范圍內(nèi)，無任何約束，可以設(shè)范圍內(nèi)，無任何約束，可以設(shè)計成任何一種濾波器。低通、高通、帶通、帶阻計成任何一種濾波器。低通、高通、帶通、帶阻）0)21(2)(0)21()0()cos()()(2)1(0nnNhnanNhannaHNn其中：)4()2()()(HHHH)(H022關(guān)于=0及 = 偶對稱n對稱中心N=7)(nh可以設(shè)計任何可以設(shè)計任何一種濾波器一種濾波器

8、1. 第一種情況：h(n)=h(N-1-n)，N=奇數(shù)=時，由于余弦項為零，且對=奇對稱，因此這種情況下的幅度特性的特點是對=奇對稱，且在=處有一零點，使H()=0，這樣，對于高通和帶阻不適合采用這種情況。2. 第二種情況：h(n)=h(N-1-n)，N=偶數(shù)H()中沒有單獨項，相等的項合并成N/2項。 ( )0H/21/211(2)( )cos(2)()21( )cos()( )2NnNnHb nnb nnH / 21/ 211()2 ()cos()221()( )cos()2( )2 (),1,2,)22NmNnNHhmmHb nnNNb nhnn關(guān)于 =0偶對稱， = 奇對稱，H()=0

9、 (總是)n對稱中心N=6)(nh0)(H0222. 第二種情況h(n)=h(N-1-n)，N=偶數(shù)只能設(shè)計低通能設(shè)計低通和帶通濾波器和帶通濾波器3. 第三種情況：h(n)=-h(N-1-n)，N=奇數(shù)(1) / 21()( )sin11( )2 (),1,2,22NnHc nnNNc nhnn由于在=0, 2時，正弦項為零，因此幅度特性H()在=0, 2處為零，即在z 1處是零點，且H()對=0, 2呈奇對稱形式。()( )(2)( )HHHH 關(guān)于 =0、 = 奇對稱H(0)=0 、H()=0 (總是)）（H022n對稱中心N=7)(nh03.第三種情況 h(n)=-h(N-1-n)，N=

10、奇數(shù)只能設(shè)計能設(shè)計帶通濾波器帶通濾波器正弦項在=0, 2處為零，因此H()在=0, 2處為零，即在z=1處有一個零點，且對=0, 2奇對稱，對=呈偶對稱。4. 第四種情況：h(n)=-h(N-1-n)，N=偶數(shù)/21/211( )2 ()sin ()221( )( )sin ()2( )2 (),1,2,3,22NmNnNHhmmHd nnNNd nhn n()( )HH /21/211(2)( )sin(2)()21( )sin() ( )2NnNnHd nnd nnH/21/211(4)( )sin(4)()21( )sin() ( )2NnNnHd nnd nnH關(guān)于 =0奇對稱、 =偶對稱H(0)=0 (總是)n對稱中心N=6)(nh0)(H0224. 第四種情況h(n)=-h(N-1-n)，N=偶數(shù)只能設(shè)計帶通、能設(shè)計帶通、高通濾波器高通濾波器任一任一低通、帶通低通、帶通帶通帶通帶通、高通帶通、高通 h(n)奇對稱奇對稱幅度特性總結(jié)類別h(n)的長度Nh(n)關(guān)于 對稱H()關(guān)于1奇偶偶2偶偶奇3奇奇奇4偶奇偶21)-(N任一任一低通、帶通低通、帶通帶通帶通帶通、高通帶通、高通解：因為長度N為奇數(shù)，且頻譜關(guān)于 偶對稱，有) 1()(nNhnh1)2()4( hh2) 1 ()5( hh3)0()6( hh濾波器的差分方程為：) 6(3) 5(2) 4() 3(4