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1、1.3 正方形的性質(zhì)與判定第一章 特殊平行四邊形導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)第1課時 正方形的性質(zhì) 九年級數(shù)學(xué)上(BS) 教學(xué)課件學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解正方形的概念.2.探索并證明正方形的性質(zhì),并了解平行四邊形、 矩形、菱形之間的聯(lián)系和區(qū)別.(重點、難點)3.會應(yīng)用正方形的性質(zhì)解決相關(guān)證明及計算問題. (難點)導(dǎo)入新課導(dǎo)入新課觀察下面圖形,正方形是我們熟悉的幾何圖形,在生活中無處不在.情景引入你還能舉出其他的例子嗎?講授新課講授新課 矩 形問題1:矩形怎樣變化后就成了正方形呢?你有什么 發(fā)現(xiàn)?問題引入正方形的性質(zhì)正方形問題2 菱形怎樣變化后就成了正方形呢?你有什么 發(fā)現(xiàn)?正方形鄰邊相等矩形正方形
2、 菱 形一個角是直角正方形正方形定義:有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫正方形.歸納總結(jié)已知:如圖,四邊形ABCD是正方形.求證:正方形ABCD四邊相等,四個角都是直角.ABCD證明:四邊形ABCD是正方形.A=90, AB=AC (正方形的定義). 又正方形是平行四邊形.正方形是矩形(矩形的定義), 正方形是菱形(菱形的定義).A=B =C =D = 90, AB= BC=CD=AD.證一證已知:如圖,四邊形ABCD是正方形.對角線AC、BD相交于點O.求證:AO=BO=CO=DO,ACBD.ABCDO證明:正方形ABCD是矩形, AO=BO=CO=DO. 正方形ABCD是菱形.
3、 ACBD.思考 請同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的正方形紙片,折一折,觀察并思考. 正方形是不是軸對稱圖形?如果是,那么對稱軸有幾條?對稱性: .對稱軸:.軸對稱圖形4條ABCD矩形菱形正方形平行四邊形 正方形是特殊的平行四邊形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性質(zhì),正方形都有.平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間關(guān)系:性質(zhì):1.正方形的四個角都是直角,四條邊相等. 2.正方形的對角線相等且互相垂直平分.歸納總結(jié) 例1 求證: 正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形.ADCBO已知: 如圖,四邊形ABCD是正方形,對角線AC、BD相 交于點O. 求證: ABO、 BCO
4、、 CDO、 DAO是全等的 等腰直角三角形. 證明: 四邊形ABCD是正方形, AC=BD,ACBD,AO=BO=CO=DO. ABO、 BCO、 CDO、 DAO都是等腰直角三角形,并且ABO BCO CDO DAO.典例精析例2:如圖在正方形ABCD中,E為CD上一點,F(xiàn)為BC邊延長線上一點,且CE=CF. BE與DF之間有怎樣的關(guān)系?請說明理由.解:BE=DF,且BEDF.理由如下:(1)四邊形ABCD是正方形.BC=DC,BCE =90 .(正方形的四條邊都相等,四個角都是直角)DCF=180-BCE=180-90=90.ABDCFEBCE=DCF.又CE=CF.BCEDCF. BE
5、=DF.ABDFE(2)延長BE交DE于點M,BCEDCF ,CBE =CDF.DCF =90 ,CDF +F =90.CBE+F=90 , BMF=90.BEDF.CM D A B C E例3 如圖,在正方形ABCD中, BEC是等邊三角形, 求證: EADEDA15 .證明: BEC是等邊三角形,BE=CE=BC,EBC=ECB=60, 四邊形ABCD是正方形,AB=BC=CD,ABC=DCB=90,AB=BE=CE=CD, ABE= DCE=30,ABE,DCE是等腰三角形, BAE= BEA= CDE= CED=75,EAD= EDA=90-75=15.【變式題1】四邊形ABCD是正方
6、形,以正方形ABCD的一邊作等邊ADE,求BEC的大小解:當(dāng)?shù)冗匒DE在正方形ABCD外部時,如圖,ABAE,BAE9060150.AEB15.同理可得DEC15.BEC60151530;當(dāng)?shù)冗匒DE在正方形ABCD內(nèi)部時,如圖,ABAE,BAE906030,AEB75.同理可得DEC75.BEC360757560150.綜上所述,BEC的大小為30或150.易錯提醒:因為等邊ADE與正方形ABCD有一條公共邊,所以邊相等本題分兩種情況:等邊ADE在正方形的外部或在正方形的內(nèi)部【變式題2】 如圖,在正方形ABCD內(nèi)有一點P滿足AP=AB,PB=PC,連接AC、PD(1)求證:APBDPC;解:
7、四邊形ABCD是正方形,ABC=DCB=90PB=PC,PBC=PCBABC-PBC=DCB-PCB,即ABP=DCP又AB=DC,PB=PC,APBDPC證明:四邊形ABCD是正方形,BAC=DAC=45APBDPC,AP=DP又AP=AB=AD,DP=AP=ADAPD是等邊三角形DAP=60PAC=DAP-DAC=15BAP=BAC-PAC=30BAP=2PAC(2)求證:BAP=2PAC 例4 如圖,在正方形ABCD中,P為BD上一點,PEBC于E, PFDC于F.試說明:AP=EF.ABCDPEF解: 連接PC,AC.又PEBC , PFDC,四邊形ABCD是正方形,FCE=90, A
8、C垂直平分BD,四邊形PECF是矩形,PC=EF.AP=PC.AP=EF. 在正方形的條件下證明兩條線段相等:通常連接對角線構(gòu)造垂直平分的模型,利用垂直平分線性質(zhì),角平分線性質(zhì),等腰三角形等來說明.歸納1.正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是 ( ) A.四個角相等 B.對角線互相垂直平分 C.對角互補 D.對角線相等2.正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)( ) A.四條邊相等 B.對角線互相垂直平分 C.對角線平分一組對角 D.對角線相等BD練一練2.如圖,四邊形ABCD是正方形,對角線AC與BD相交于點O,AO2,求正方形的周長與面積解:四邊形ABCD是正方形,ACBD,OAOD2.在RtAO
9、D中,由勾股定理,得正方形的周長為4AD , 面積為AD28.222 2,ADAOOD8 22.一個正方形的對角線長為2cm,則它的面積是 ()A.2cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.8cm2 A1.平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有的是() A對角線互相平分 B對角線互相垂直 C對角線相等 D對角線互相垂直且相等 A當(dāng)堂練習(xí)當(dāng)堂練習(xí)3在正方形ABC中,ADB= ,DAC= , BOC= .4.在正方形ABCD中,E是對角線AC上一點,且AE=AB,則EBC的度數(shù)是 .ADBCOADBCOE459022.5第3題圖第4題圖455.如圖,正方形ABCD的邊長為1cm,AC為對角線,AE平分BAC,EFAC,求BE的長解:四邊形ABCD為正方形,B90,ACB45,ABBC1cm.EFAC,EFAEFC90.又ECF45,EFC是等腰直角三角形,EFFC.BAEFAE,BEFA90,AEA
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