概率論與數理統計課后習題答案高等教育出版社浙江大學盛驟謝式千潘承毅

1、第一章 概率論的基本概念 四 設a，b，c是三事件，且，. 求a，b，c至少有一個發(fā)生的概率。解：p (a，b，c至少有一個發(fā)生)=p (a+b+c)= p(a)+ p(b)+ p(c)p(ab)p(bc)p(ac)+ p(abc)= .九 從5雙不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一雙的概率是多少？記a表“4只全中至少有兩支配成一對”則表“4只人不配對” 從10只中任取4只，取法有種，每種取法等可能。要4只都不配對，可在5雙中任取4雙，再在4雙中的每一雙里任取一只。取法有 十四 。解：由由乘法公式，得由加法公式 十七 已知10只晶體管中有2只次品，在其中取二次，每次隨機地取一只，作不

2、放回抽樣，求下列事件的概率。（1）二只都是正品（記為事件a）法一：用組合做 在10只中任取兩只來組合，每一個組合看作一個基本結果，每種取法等可能。法二：用排列做 在10只中任取兩個來排列，每一個排列看作一個基本結果，每個排列等可能。法三：用事件的運算和概率計算法則來作。記a1，a2分別表第一、二次取得正品。（2）二只都是次品（記為事件b）法一：法二：法三：（3）一只是正品，一只是次品（記為事件c）法一：法二：法三： （4）第二次取出的是次品（記為事件d）法一：因為要注意第一、第二次的順序。不能用組合作，法二：法三： 二十二 一學生接連參加同一課程的兩次考試。第一次及格的概率為p，若第一次及格則

3、第二次及格的概率也為p；若第一次不及格則第二次及格的概率為（1）若至少有一次及格則他能取得某種資格，求他取得該資格的概率。（2）若已知他第二次已經及格，求他第一次及格的概率。解：ai=他第i次及格，i=1,2 已知p (a1)=p (a2|a1)=p，（1）b=至少有一次及格所以 （2）（*）由乘法公式，有p (a1 a2)= p (a1) p (a2| a1) = p2由全概率公式，有 將以上兩個結果代入（*）得.二十四 有兩箱同種類型的零件。第一箱裝5只，其中10只一等品；第二箱30只，其中18只一等品。今從兩箱中任挑出一箱，然后從該箱中取零件兩次，每次任取一只，作不放回抽樣。試求（1）第

4、一次取到的零件是一等品的概率。（2）第一次取到的零件是一等品的條件下，第二次取到的也是一等品的概率。解：設bi表示“第i次取到一等品” i=1，2aj表示“第j箱產品”j=1,2，顯然a1a2=sa1a2=（1）（b1= a1b +a2b由全概率公式解）。（2） （先用條件概率定義，再求p (b1b2)時，由全概率公式解）第二章 隨機變量及其分布一 一袋中有5只乒乓球，編號為1、2、3、4、5，在其中同時取三只，以x表示取出的三只球中的最大號碼，寫出隨機變量x的分布律解：x可以取值3，4，5，分布律為 也可列為下表x： 3， 4，5p：.三 設在15只同類型零件中有2只是次品，在其中取三次，每

5、次任取一只，作不放回抽樣，以x表示取出次品的只數，（1）求x的分布律，（2）畫出分布律的圖形。解：任取三只，其中新含次品個數x可能為0，1，2個。px12o再列為下表x： 0， 1， 2p： 五 一房間有3扇同樣大小的窗子，其中只有一扇是打開的。有一只鳥自開著的窗子飛入了房間，它只能從開著的窗子飛出去。鳥在房子里飛來飛去，試圖飛出房間。假定鳥是沒有記憶的，鳥飛向各扇窗子是隨機的。（1）以x表示鳥為了飛出房間試飛的次數，求x的分布律。（2）戶主聲稱，他養(yǎng)的一只鳥，是有記憶的，它飛向任一窗子的嘗試不多于一次。以y表示這只聰明的鳥為了飛出房間試飛的次數，如戶主所說是確實的，試求y的分布律。（3）求試

6、飛次數x小于y的概率；求試飛次數y小于x的概率。解：（1）x的可能取值為1，2，3，n，p x=n=p 前n1次飛向了另2扇窗子，第n次飛了出去 =， n=1，2，（2）y的可能取值為1，2，3 p y=1=p 第1次飛了出去= p y=2=p 第1次飛向 另2扇窗子中的一扇，第2次飛了出去 = p y=3=p 第1，2次飛向了另2扇窗子，第3次飛了出去 = 同上， 故 九 有一大批產品，其驗收方案如下，先做第一次檢驗：從中任取10件，經驗收無次品接受這批產品，次品數大于2拒收；否則作第二次檢驗，其做法是從中再任取5件，僅當5件中無次品時接受這批產品，若產品的次品率為10%，求（1）這批產品經

7、第一次檢驗就能接受的概率（2）需作第二次檢驗的概率（3）這批產品按第2次檢驗的標準被接受的概率（4）這批產品在第1次檢驗未能做決定且第二次檢驗時被通過的概率（5）這批產品被接受的概率解：x表示10件中次品的個數，y表示5件中次品的個數， 由于產品總數很大，故xb（10，0.1），yb（5，0.1）（近似服從）（1）p x=0=0.9100.349（2）p x2=p x=2+ p x=1=（3）p y=0=0.9 50.590（4）p 0x2，y=0(0x2與 y=2獨立) = p 0x2p y=0 =0.5810.5900.343（5）p x=0+ p 0x2，y=0 0.349+0.343=

8、0.69218.十七 設隨機變量x的分布函數為，求（1）p (x2), p 0x3, p (2x)；（2）求概率密度fx (x).解：（1）p (x2)=fx (2)= ln2， p (0x3)= fx (3)fx (0)=1，（2）22.二十 某種型號的電子的壽命x（以小時計）具有以下的概率密度： 現有一大批此種管子（設各電子管損壞與否相互獨立）。任取5只，問其中至少有2只壽命大于1500小時的概率是多少？解：一個電子管壽命大于1500小時的概率為令y表示“任取5只此種電子管中壽命大于1500小時的個數”。則，二十一 設顧客在某銀行的窗口等待服務的時間x（以分計）服從指數分布，其概率密度為：

9、某顧客在窗口等待服務，若超過10分鐘他就離開。他一個月要到銀行5次。以y表示一個月內他未等到服務而離開窗口的次數，寫出y的分布律。并求p（y1）。解：該顧客“一次等待服務未成而離去”的概率為因此 .二十三 設xn（3.22）（1）求p (2x5)，p (4)2，p (x3)若xn（，2），則p (x)=p (2x5) =(1)(0.5) =0.84130.3085=0.5328p (42)=1p (|x|2)= 1p (2 p3)=1p (x3)=1=10.5=0.5（2）決定c使得p (x c )=p (xc)p (x c )=1p (xc )= p (xc)得p (xc )=0.5又p (

10、xc )= c =332.二十九 設xn（0，1）（1）求y=ex的概率密度 x的概率密度是 y= g (x)=ex是單調增函數又x= h (y ) = lny 反函數存在且 = ming (), g (+)=min(0, +)=0 = maxg (), g (+)= max(0, +)= + y的分布密度為：（2）求y=2x2+1的概率密度。在這里，y=2x2+1在(+，)不是單調函數，沒有一般的結論可用。設y的分布函數是fy（y），則fy ( y)=p (yy)=p (2x2+1y) =當y1時，( y)= fy ( y) = =（3）求y=| x |的概率密度。y的分布函數為 fy (

11、y)=p (yy )=p ( | x |y)當y0時：( y)= fy ( y) =第三章 多維隨機變量及其分布.一 在一箱子里裝有12只開關，其中2只是次品，在其中隨機地取兩次，每次取一只?？紤]兩種試驗：（1）放回抽樣，（2）不放回抽樣。我們定義隨機變量x，y如下：試分別就（1）（2）兩種情況，寫出x和y的聯合分布律。解：（1）放回抽樣情況由于每次取物是獨立的。由獨立性定義知。p (x=i, y=j)=p (x=i)p (y=j)p (x=0, y=0 )=p (x=0, y=1 )=p (x=1, y=0 )=p (x=1, y=1 )=或寫成xy0101（2）不放回抽樣的情況p x=0,

12、 y=0 =p x=0, y=1 =p x=1, y=0 =p x=1, y=1 =或寫成xy0101.二 盒子里裝有3只黑球，2只紅球，2只白球，在其中任取4只球，以x表示取到黑球的只數，以y表示取到白球的只數，求x，y的聯合分布律。xy01230001020解：（x，y）的可能取值為(i, j)，i=0，1，2，3， j=0，12，i + j2，聯合分布律為p x=0, y=2 = p x=1, y=1 =p x=1, y=2 = p x=2, y=0 =p x=2, y=1 = p x=2, y=2 =p x=3, y=0 = p x=3, y=1 =p x=3, y=2 =0 三 設隨機變量（x，y）概率密度為（1）確定常數k。（2）求p x1, y3（3）求p (xy , p x+y1400 解：（1）利用數學期望的性質2，3有e (y )= 2e (x1 )e (x2 )+3 e (x3 )e (x4 )=7利用數學方差的性質2，3有d (y )=22 d (x1 )+ (1)2 d (x2 )+32 d (x3 )+()2 d (x4 )=37.25（2）根據有限個相互獨立的正態(tài)隨機變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布，知z1n（ ，），z2n（ ，）而e z1=2ex+y=2720+640, d (