高中數(shù)學(xué)解題思想方法

1、 21第一章 高中數(shù)學(xué)解題基本方法一、 配方法配方法是對(duì)數(shù)學(xué)式子進(jìn)行一種定向變形（配成“完全平方”）的技巧，通過配方找到已知和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡(jiǎn)。何時(shí)配方，需要我們適當(dāng)預(yù)測(cè)，并且合理運(yùn)用“裂項(xiàng)”與“添項(xiàng)”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方。有時(shí)也將其稱為“湊配法”。最常見的配方是進(jìn)行恒等變形，使數(shù)學(xué)式子出現(xiàn)完全平方。它主要適用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解.配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項(xiàng)完全平方公式(ab)a2abb，將這個(gè)公式靈活運(yùn)用，可得到各種基本配方形式，如：ab(ab)2ab(ab)2ab；aabb(ab)ab(ab)3ab(a

2、)（b）；abcabbcca(ab)(bc)(ca)abc(abc)2(abbcca)(abc)2(abbcca)結(jié)合其它數(shù)學(xué)知識(shí)和性質(zhì)，相應(yīng)有另外的一些配方形式，如：1sin212sincos（sincos）；x(x)2(x)2 ； 等等。、再現(xiàn)性題組：1. 在正項(xiàng)等比數(shù)列a中，asa+2asa+aa=25，則 aa_。2. 方程xy4kx2y5k0表示圓的充要條件是_。 a. k1 b. k1 c. kr d. k或k13. 已知sincos1，則sincos的值為_。 a. 1 b. 1 c. 1或1 d. 04. 函數(shù)ylog (2x5x3)的單調(diào)遞增區(qū)間是_。 a. （, b. ,+

3、) c. (, d. ,3)5. 已知方程x+(a-2)x+a-1=0的兩根x、x，則點(diǎn)p(x,x)在圓x+y=4上，則實(shí)數(shù)a_。、示范性題組：例1. 已知長(zhǎng)方體的全面積為11，其12條棱的長(zhǎng)度之和為24，則這個(gè)長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線長(zhǎng)為_。 a. 2 b. c. 5 d. 6例2. 設(shè)方程xkx2=0的兩實(shí)根為p、q，若()+()7成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。、鞏固性題組：1. 函數(shù)y(xa)(xb) （a、b為常數(shù)）的最小值為_。a. 8 b. c. d.最小值不存在2. 、是方程x2axa60的兩實(shí)根，則(-1) +(-1)的最小值是_。a. b. 8 c. 18 d.不存在3. 已知x、yr

4、，且滿足x3y10，則函數(shù)t28有_。a.最大值2 b.最大值 c.最小值2 b.最小值4. 化簡(jiǎn)：2的結(jié)果是_。a. 2sin4 b. 2sin44cos4 c. 2sin4 d. 4cos42sin4 5. 設(shè)f和f為雙曲線y1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)p在雙曲線上且滿足fpf90，則fpf的面積是_。6. 若x1，則f(x)x2x的最小值為_。7. 已知，cos(-)，sin(+)，求sin2的值。8. 設(shè)二次函數(shù)f(x)axbxc，給定m、n（m0； 是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)t，使當(dāng)t(m+t,n-t)時(shí)，f(x)1，t1，mr，xlogtlogs，ylogtlogsm(logtlogs), 將y表示為x

5、的函數(shù)yf(x)，并求出f(x)的定義域； 若關(guān)于x的方程f(x)0有且僅有一個(gè)實(shí)根，求m的取值范圍。二、換元法解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計(jì)算和推證簡(jiǎn)化。它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為

6、代數(shù)式，在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應(yīng)用。換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來代替它從而簡(jiǎn)化問題，當(dāng)然有時(shí)候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不等式：4220，先變形為設(shè)2t（t0），而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖?shù)方程的問題。三角換元，應(yīng)用于去根號(hào)，或者變換為三角形式易求時(shí)，主要利用已知代數(shù)式中與三角知識(shí)中有某點(diǎn)聯(lián)系進(jìn)行換元。如求函數(shù)y的值域時(shí)，易發(fā)現(xiàn)x0,1，設(shè)xsin ，0,，問題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。為什么會(huì)想到如此設(shè)，其中主要應(yīng)該是發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系，又有去根號(hào)的需要。如變量x

7、、y適合條件xyr（r0）時(shí)，則可作三角代換xrcos、yrsin化為三角問題。均值換元，如遇到xys形式時(shí)，設(shè)xt，yt等等。我們使用換元法時(shí)，要遵循有利于運(yùn)算、有利于標(biāo)準(zhǔn)化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對(duì)應(yīng)于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴(kuò)大。如上幾例中的t0和0,。、再現(xiàn)性題組：1.ysinxcosxsinx+cosx的最大值是_。2.設(shè)f(x1)log(4x) （a1），則f(x)的值域是_。3.已知數(shù)列a中，a1，aaaa，則數(shù)列通項(xiàng)a_。4.設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足x2xy10，則xy的取值范圍是_。5.方程3的解是_。6.不等式log(21) log(22)2

8、的解集是_。、示范性題組：例1. 實(shí)數(shù)x、y滿足4x5xy4y5 （ 式） ，設(shè)sxy，求的值。（93年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）例2 abc的三個(gè)內(nèi)角a、b、c滿足：ac2b，求cos的值。例3. 設(shè)a0，求f(x)2a(sinxcosx)sinxcosx2a的最大值和最小值。例4. 已知，且= (式)，求的值。例5. 實(shí)數(shù)x、y滿足1，若xyk0恒成立，求k的范圍。、鞏固性題組：1. 已知f(x)lgx (x0)，則f(4)的值為_。a. 2lg2 b. lg2 c. lg2 d. lg42. 函數(shù)y(x1)2的單調(diào)增區(qū)間是_。a. -2,+) b. -1,+) d. (-,+) c. (-,-

9、13. 設(shè)等差數(shù)列a的公差d，且s145，則aaaa的值為_。a. 85 b. 72.5 c. 60 d. 52.54. 已知x4y4x，則xy的范圍是_。5. 已知a0，b0，ab1，則的范圍是_。6. 不等式ax的解集是(4,b)，則a_，b_。7. 函數(shù)y2x的值域是_。8. 在等比數(shù)列a中，aaa2，aaa12，求aaa。9. 實(shí)數(shù)m在什么范圍內(nèi)取值，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式sinx2mcosx4m10,y0)上移動(dòng)，且ab、ad始終平行x軸、y軸，求矩形abcd的最小面積。 三、待定系數(shù)法要確定變量間的函數(shù)關(guān)系，設(shè)出某些未知系數(shù)，然后根據(jù)所給條件來確定這些未知系數(shù)的方法叫待定系數(shù)法，其理

10、論依據(jù)是多項(xiàng)式恒等，也就是利用了多項(xiàng)式f(x)g(x)的充要條件是：對(duì)于一個(gè)任意的a值，都有f(a)g(a)；或者兩個(gè)多項(xiàng)式各同類項(xiàng)的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等。待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是依據(jù)已知，正確列出等式或方程。使用待定系數(shù)法，就是把具有某種確定形式的數(shù)學(xué)問題，通過引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程組來解決，要判斷一個(gè)問題是否用待定系數(shù)法求解，主要是看所求解的數(shù)學(xué)問題是否具有某種確定的數(shù)學(xué)表達(dá)式，如果具有，就可以用待定系數(shù)法求解。例如分解因式、拆分分式、數(shù)列求和、求函數(shù)式、求復(fù)數(shù)、解析幾何中求曲線方程等，這些問題都具有確定的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，所以都可以用待定系數(shù)法求解。使用待定系數(shù)法，它解題的基本步驟是：第一步，

11、確定所求問題含有待定系數(shù)的解析式；第二步，根據(jù)恒等的條件，列出一組含待定系數(shù)的方程；第三步，解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決。如何列出一組含待定系數(shù)的方程，主要從以下幾方面著手分析： 利用對(duì)應(yīng)系數(shù)相等列方程； 由恒等的概念用數(shù)值代入法列方程； 利用定義本身的屬性列方程； 利用幾何條件列方程。比如在求圓錐曲線的方程時(shí)，我們可以用待定系數(shù)法求方程：首先設(shè)所求方程的形式，其中含有待定的系數(shù)；再把幾何條件轉(zhuǎn)化為含所求方程未知系數(shù)的方程或方程組；最后解所得的方程或方程組求出未知的系數(shù)，并把求出的系數(shù)代入已經(jīng)明確的方程形式，得到所求圓錐曲線的方程。、再現(xiàn)性題組：1. 設(shè)f(x)m的圖象和g(x

12、)nx5的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱，那么m、n的值依次為_。a. , 2 b. ， 2 c. , 2 d. ，22. 二次不等式axbx20的解集是(,)，則ab的值是_。a. 10 b. 10 c. 14 d. 143. 在(1x)（1x）的展開式中，x的系數(shù)是_。a. 297 b.252 c. 297 d. 2074. 函數(shù)yabcos3x (b1，則a的取值范圍是_。a. 2a且a1 b. 0a或1a2 c. 1a2或0a2. 方程xpxq0與xqxp0只有一個(gè)公共根，則其余兩個(gè)不同根之和為_。a. 1 b. 1 c. pq d. 無法確定 3. 如果函數(shù)ysin2xacos2x的圖像關(guān)于直線

13、x對(duì)稱，那么a_。a. b. c. 1 d. 14. 滿足c1c2cnc500的最大正整數(shù)是_。a. 4 b. 5 c. 6 d. 75. 無窮等比數(shù)列a的前n項(xiàng)和為sa , 則所有項(xiàng)的和等于_。a. b. 1 c. d.與a有關(guān)6. (1kx)bbxbxbx，若bbbb1，則k_。7. 經(jīng)過兩直線11x3y90與12xy190的交點(diǎn)，且過點(diǎn)(3,-2)的直線方程為_。 8. 正三棱錐底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱和底面所成角為60，過底面一邊作截面，使其與底面成30角，則截面面積為_。9. 設(shè)yf(x)是一次函數(shù)，已知f(8)15,且f(2)、f(5)、f(14)成等比數(shù)列，求f(1)f(2)f(m)的

14、值。10. 設(shè)拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)(-1,6)和(-1,-2)，對(duì)稱軸與x軸平行，開口向右，直線y2x7和拋物線截得的線段長(zhǎng)是4, 求拋物線的方程。四、定義法所謂定義法，就是直接用數(shù)學(xué)定義解題。數(shù)學(xué)中的定理、公式、性質(zhì)和法則等，都是由定義和公理推演出來。定義是揭示概念內(nèi)涵的邏輯方法，它通過指出概念所反映的事物的本質(zhì)屬性來明確概念。定義是千百次實(shí)踐后的必然結(jié)果，它科學(xué)地反映和揭示了客觀世界的事物的本質(zhì)特點(diǎn)。簡(jiǎn)單地說，定義是基本概念對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)體的高度抽象。用定義法解題，是最直接的方法，本講讓我們回到定義中去。、再現(xiàn)性題組：1. 已知集合a中有2個(gè)元素，集合b中有7個(gè)元素，ab的元素個(gè)數(shù)為n，則_。a. 2

15、n9 b. 7n9 c. 5n9 d. 5n72. 設(shè)mp、om、at分別是46角的正弦線、余弦線和正切線，則_。a. mpomat b. ommpat c. atommp d. omatmp3. 復(fù)數(shù)za2，z2，如果|z| |z|，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_。a. 1a1 c. a0 d. a14. 橢圓1上有一點(diǎn)p，它到左準(zhǔn)線的距離為，那么p點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為_。a. 8 c. 7.5 c. d. 35. 奇函數(shù)f(x)的最小正周期為t，則f()的值為_。a. t b. 0 c. d. 不能確定6. 正三棱臺(tái)的側(cè)棱與底面成45角，則其側(cè)面與底面所成角的正切值為_。、示范性題組：例1. 已知f

16、(x)xcx，f(2)14，f(4)252，求ylogf(x)的定義域，判定在(,1)上的單調(diào)性。例2.已知abcabc是正三棱柱，d是ac中點(diǎn)。 證明：ab平面dbc； 假設(shè)abbc，求二面角dbcc的度數(shù)。例3. 求過定點(diǎn)m(1,2)，以x軸為準(zhǔn)線，離心率為的橢圓的下頂點(diǎn)的軌跡方程?！尽㈧柟绦灶}組：1 函數(shù)yf(x)ak的圖像過點(diǎn)(1,7)，它的反函數(shù)的圖像過點(diǎn)(4,0)，則f(x)的表達(dá)式是_。2. 過拋物線焦點(diǎn)f的直線與拋物線相交于a、b兩點(diǎn)，若a、b在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為a、b,則afb等于_。a. 45 b. 60 c. 90 d. 1203. 已知a0,1，bx|xa，則下列

17、關(guān)系正確的是_。 a. ab b. ab c. ab d. ab4. 雙曲線3xy3的漸近線方程是_。 a. y3x b. yx c. yx d. yx5. 已知定義在r上的非零函數(shù)f(x)滿足f(xy)f(x)f(y)，則f(x)是_。 a.奇函數(shù) b.偶函數(shù) c.非奇非偶函數(shù) d.既奇既偶函數(shù)6. cc_。7. z4(sin140cos140)，則復(fù)數(shù)的輻角主值是_。8. 不等式axbxc0的解集是(1,2)，則不等式bxcxab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，其中f與拋物線y12x的焦點(diǎn)重合，m是兩曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，且有cosm ffcosmff，求橢圓方程。五、數(shù)學(xué)歸納法歸納是一種有特殊事例導(dǎo)出一般原理

18、的思維方法。歸納推理分完全歸納推理與不完全歸納推理兩種。不完全歸納推理只根據(jù)一類事物中的部分對(duì)象具有的共同性質(zhì)，推斷該類事物全體都具有的性質(zhì)，這種推理方法，在數(shù)學(xué)推理論證中是不允許的。完全歸納推理是在考察了一類事物的全部對(duì)象后歸納得出結(jié)論來。數(shù)學(xué)歸納法是用來證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種推理方法，在解數(shù)學(xué)題中有著廣泛的應(yīng)用。它是一個(gè)遞推的數(shù)學(xué)論證方法，論證的第一步是證明命題在n1(或n)時(shí)成立，這是遞推的基礎(chǔ)；第二步是假設(shè)在nk時(shí)命題成立，再證明nk1時(shí)命題也成立，這是無限遞推下去的理論依據(jù)，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，實(shí)際上它使命題的正確性突破了有限，達(dá)到無限。這兩個(gè)步驟密

19、切相關(guān)，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定“對(duì)任何自然數(shù)（或nn且nn）結(jié)論都正確”。由這兩步可以看出，數(shù)學(xué)歸納法是由遞推實(shí)現(xiàn)歸納的，屬于完全歸納。運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)，關(guān)鍵是nk1時(shí)命題成立的推證，此步證明要具有目標(biāo)意識(shí)，注意與最終要達(dá)到的解題目標(biāo)進(jìn)行分析比較，以此確定和調(diào)控解題的方向，使差異逐步減小，最終實(shí)現(xiàn)目標(biāo)完成解題。運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，可以證明下列問題：與自然數(shù)n有關(guān)的恒等式、代數(shù)不等式、三角不等式、數(shù)列問題、幾何問題、整除性問題等等。、再現(xiàn)性題組：1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明(n1)(n2)(nn)212(2n1) （nn），從“k到k1”，左端需乘的代數(shù)式為_。 a. 2k1 b. 2

20、(2k1) c. d. 2. 用數(shù)學(xué)歸納法證明11)時(shí)，由nk (k1)不等式成立，推證nk1時(shí)，左邊應(yīng)增加的代數(shù)式的個(gè)數(shù)是_。 a. 2 b. 21 c. 2 d. 213. 某個(gè)命題與自然數(shù)n有關(guān)，若nk (kn)時(shí)該命題成立，那么可推得nk1時(shí)該命題也成立。現(xiàn)已知當(dāng)n5時(shí)該命題不成立，那么可推得_。 (94年上海高考) a.當(dāng)n6時(shí)該命題不成立 b.當(dāng)n6時(shí)該命題成立 c.當(dāng)n4時(shí)該命題不成立 d.當(dāng)n4時(shí)該命題成立4. 數(shù)列a中，已知a1，當(dāng)n2時(shí)aa2n1，依次計(jì)算a、a、a后，猜想a的表達(dá)式是_。 a. 3n2 b. n c. 3 d. 4n35. 用數(shù)學(xué)歸納法證明35 (nn)能

21、被14整除，當(dāng)nk1時(shí)對(duì)于式子35應(yīng)變形為_。6. 設(shè)k棱柱有f(k)個(gè)對(duì)角面，則k1棱柱對(duì)角面的個(gè)數(shù)為f(k+1)f(k)_。、示范性題組：例1. 已知數(shù)列，。s為其前n項(xiàng)和，求s、s、s、s，推測(cè)s公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明。 例2. 設(shè)a (nn),證明：n(n1)an (n1且nn)六、參數(shù)法參數(shù)法是指在解題過程中，通過適當(dāng)引入一些與題目研究的數(shù)學(xué)對(duì)象發(fā)生聯(lián)系的新變量（參數(shù)），以此作為媒介，再進(jìn)行分析和綜合，從而解決問題。直線與二次曲線的參數(shù)方程都是用參數(shù)法解題的例證。換元法也是引入?yún)?shù)的典型例子。辨證唯物論肯定了事物之間的聯(lián)系是無窮的，聯(lián)系的方式是豐富多采的，科學(xué)的任務(wù)就是要揭示事物之

22、間的內(nèi)在聯(lián)系，從而發(fā)現(xiàn)事物的變化規(guī)律。參數(shù)的作用就是刻畫事物的變化狀態(tài)，揭示變化因素之間的內(nèi)在聯(lián)系。參數(shù)體現(xiàn)了近代數(shù)學(xué)中運(yùn)動(dòng)與變化的思想，其觀點(diǎn)已經(jīng)滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)分支。運(yùn)用參數(shù)法解題已經(jīng)比較普遍。參數(shù)法解題的關(guān)鍵是恰到好處地引進(jìn)參數(shù)，溝通已知和未知之間的內(nèi)在聯(lián)系，利用參數(shù)提供的信息，順利地解答問題。、再現(xiàn)性題組：1. 設(shè)2351，則2x、3y、5z從小到大排列是_。2. （理）直線上與點(diǎn)a(-2,3)的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)是_。 （文）若k0時(shí)，f(x)0)，證明：在x軸的正向上一定存在一點(diǎn)m，使得對(duì)于拋物線的任意一條過點(diǎn)m的弦pq，有為定值。七、反證法與前面所講的方法不同，反證法是屬于“

23、間接證明法”一類，是從反面的角度思考問題的證明方法，即：肯定題設(shè)而否定結(jié)論，從而導(dǎo)出矛盾推理而得。法國(guó)數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪(hadamard)對(duì)反證法的實(shí)質(zhì)作過概括：“若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會(huì)導(dǎo)致矛盾”。具體地講，反證法就是從否定命題的結(jié)論入手，并把對(duì)命題結(jié)論的否定作為推理的已知條件，進(jìn)行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題等相矛，矛盾的原因是假設(shè)不成立，所以肯定了命題的結(jié)論，從而使命題獲得了證明。反證法所依據(jù)的是邏輯思維規(guī)律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思維過程中，兩個(gè)互相矛盾的判斷不能同時(shí)都為真，至少有一個(gè)是假的，這就是邏輯思維中的“矛盾律

24、”；兩個(gè)互相矛盾的判斷不能同時(shí)都假，簡(jiǎn)單地說“a或者非a”，這就是邏輯思維中的“排中律”。反證法在其證明過程中，得到矛盾的判斷，根據(jù)“矛盾律”，這些矛盾的判斷不能同時(shí)為真，必有一假，而已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題都是真的，所以“否定的結(jié)論”必為假。再根據(jù)“排中律”，結(jié)論與“否定的結(jié)論”這一對(duì)立的互相否定的判斷不能同時(shí)為假，必有一真，于是我們得到原結(jié)論必為真。所以反證法是以邏輯思維的基本規(guī)律和理論為依據(jù)的，反證法是可信的。反證法的證題模式可以簡(jiǎn)要的概括我為“否定推理否定”。即從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確無誤的推理導(dǎo)致邏輯矛盾，達(dá)到新的否定，可以認(rèn)為反證法的基本思想就是“否定

25、之否定”。應(yīng)用反證法證明的主要三步是：否定結(jié)論 推導(dǎo)出矛盾 結(jié)論成立。實(shí)施的具體步驟是：第一步，反設(shè)：作出與求證結(jié)論相反的假設(shè)；第二步，歸謬：將反設(shè)作為條件，并由此通過一系列的正確推理導(dǎo)出矛盾；第三步，結(jié)論：說明反設(shè)不成立，從而肯定原命題成立。在應(yīng)用反證法證題時(shí)，一定要用到“反設(shè)”進(jìn)行推理，否則就不是反證法。用反證法證題時(shí)，如果欲證明的命題的方面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫“歸謬法”；如果結(jié)論的方面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結(jié)論成立，這種證法又叫“窮舉法”。在數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常使用反證法，牛頓曾經(jīng)說過：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦弧?/p>

26、。一般來講，反證法常用來證明的題型有：命題的結(jié)論以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“無限”形式出現(xiàn)的命題；或者否定結(jié)論更明顯。具體、簡(jiǎn)單的命題；或者直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，從結(jié)論入手進(jìn)行反面思考，問題可能解決得十分干脆。、再現(xiàn)性題組：1. 已知函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，則方程f(x)0 _。a.至多一個(gè)實(shí)根 b.至少一個(gè)實(shí)根 c.一個(gè)實(shí)根 d.無實(shí)根2. 已知a0,1bab ab b. ababa c. aba ab d. ab aba3. 已知l，a ，b ，若a、b為異面直線，則_。a. a、b都與l相交 b. a、b中至少一條與l相交c. a、b中至多

27、有一條與l相交 d. a、b都與l相交4. 四面體頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)共10個(gè)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法有_。a. 150種 b. 147種 c. 144種 d. 141種、示范性題組：例1.設(shè)sa、sb是圓錐so的兩條母線，o是底面圓心，c是sb上一點(diǎn)。求證：ac與平面sob不垂直。【注】否定性的問題常用反證法。例如證明異面直線，可以假設(shè)共面，再把假設(shè)作為已知條件推導(dǎo)出矛盾。例2. 若下列方程：x4ax4a30， x(a1)xa0, x2ax2a0至少有一個(gè)方程有實(shí)根。試求實(shí)數(shù)a的取值范圍?！咀ⅰ俊爸辽佟?、“至多”問題經(jīng)常從反面考慮，有可能使情況變得簡(jiǎn)單。本題還用到了“判別式法”、“補(bǔ)

28、集法”（全集r），也可以從正面直接求解，即分別求出三個(gè)方程有實(shí)根時(shí)（0）a的取值范圍，再將三個(gè)范圍并起來，即求集合的并集。兩種解法，要求對(duì)不等式解集的交、并、補(bǔ)概念和運(yùn)算理解透徹。例3. 給定實(shí)數(shù)a，a0且a1，設(shè)函數(shù)y (其中xr且x)，證明：.經(jīng)過這個(gè)函數(shù)圖像上任意兩個(gè)不同點(diǎn)的直線不平行于x軸； .這個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線yx成軸對(duì)稱圖像。、鞏固性題組：1. 已知f(x)，求證：當(dāng)xx時(shí)，f(x)f(x)。2. 已知非零實(shí)數(shù)a、b、c成等差數(shù)列，ac，求證：、不可能成等差數(shù)列。3. 已知f(x)xpxq，求證：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個(gè)不小于 。4. 求證：拋物線y

29、1上不存在關(guān)于直線xy0對(duì)稱的兩點(diǎn)。5. 已知a、br，且|a|b|1，求證：方程xaxb0的兩個(gè)根的絕對(duì)值均小于1。6. 兩個(gè)互相垂直的正方形如圖所示，m、n在相應(yīng)對(duì)角線上，且有emcn，求證：mn不可能垂直cf。第二章 高中數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想一、數(shù)形結(jié)合思想方法中學(xué)數(shù)學(xué)的基本知識(shí)分三類：一類是純粹數(shù)的知識(shí)，如實(shí)數(shù)、代數(shù)式、方程（組）、不等式（組）、函數(shù)等；一類是關(guān)于純粹形的知識(shí)，如平面幾何、立體幾何等；一類是關(guān)于數(shù)形結(jié)合的知識(shí)，主要體現(xiàn)是解析幾何。數(shù)形結(jié)合是一個(gè)數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動(dòng)和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即

30、以形作為手段，數(shù)為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)。數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時(shí)，要注意三點(diǎn)：第一要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對(duì)數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍。數(shù)學(xué)中

31、的知識(shí)，有的本身就可以看作是數(shù)形的結(jié)合。如：銳角三角函數(shù)的定義是借助于直角三角形來定義的；任意角的三角函數(shù)是借助于直角坐標(biāo)系或單位圓來定義的。、再現(xiàn)性題組：5. 設(shè)命題甲：0x5；命題乙：|x2|3，那么甲是乙的_。 a.充分非必要條件 b.必要非充分條件 c.充要條件 d.既不充分也不必要條件6. 若log2log20，則_。7. a. 0ab1 b. 0bab1 d. ba18. 如果|x|,那么函數(shù)f(x)cosxsinx的最小值是_。a. b. c. 1 d. 9. 如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間3,7上是增函數(shù)且最小值是5，那么f(x)的-7,-3上是_。a.增函數(shù)且最小值為5 b.增函數(shù)

32、且最大值為5c.減函數(shù)且最小值為5 d.減函數(shù)且最大值為5 10. 設(shè)全集i(x,y)|x,yr，集合m(x,y)| 1，n(x,y)|yx1，那么cumcun等于_。 a. b. (2,3) c. (2,3) d. (x,y)|yx1 11. 如果是第二象限的角，且滿足cossin,那么是_。a.第一象限角 b.第三象限角 c.可能第一象限角，也可能第三象限角 d.第二象限角12. 已知集合e|cossin，02，f|tgsin，那么ef的區(qū)間是_。a. (,) b. (,) c. (, ) d. (,) 13. 若復(fù)數(shù)z的輻角為，實(shí)部為2，則z_。a. 22 b. 22 c. 22 d.

33、2214. 如果實(shí)數(shù)x、y滿足等式(x2)y3，那么的最大值是_。 a. b. c. d. 、示范性題組：例1. 若方程lg(x3xm)lg(3x)在x(0,3)內(nèi)有唯一解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。例2. 設(shè)a、b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，a(x,y)|xn，ynab （nz），b(x,y)|xm，y3m15 (mz)，c(x,y)|xy144，討論是否，使得ab與(a,b)c同時(shí)成立?！痉治觥考蟖、b都是不連續(xù)的點(diǎn)集，“存在a、b，使得ab”的含意就是“存在a、b使得nab3n15(nz)有解（ab時(shí)xnm）。再抓住主參數(shù)a、b，則此問題的幾何意義是：動(dòng)點(diǎn)(a,b)在直線l：nxy3n15上，且直線與圓xy

34、144有公共點(diǎn)，但原點(diǎn)到直線l的距離12。、鞏固性題組：1. 已知5x12y60，則的最小值是_。a. b. c. d. 12. 已知集合p(x,y)|y、q(x,y)|yxb，若pq，則b的取值范圍是_。a. |b|3 b. |b|3 c. 3b3 d. 3b|x1|x1|的解集是非空數(shù)集，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是_。6. 設(shè)zcos且|z|1,那么argz的取值范圍是_。7. 若方程x3ax2a0的一個(gè)根小于1，而另一根大于1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_。8. sin20cos80sin20cos80_。9. 解不等式： bx10. 設(shè)ax|1x0、a0、a2時(shí)分a0、a0和a0三種情況討論。這

35、稱為含參型。另外，某些不確定的數(shù)量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結(jié)論等，都主要通過分類討論，保證其完整性，使之具有確定性。進(jìn)行分類討論時(shí)，我們要遵循的原則是：分類的對(duì)象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復(fù)，科學(xué)地劃分，分清主次，不越級(jí)討論。其中最重要的一條是“不漏不重”。解答分類討論問題時(shí)，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對(duì)象以及所討論對(duì)象的全體的范圍；其次確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行合理分類，即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不漏不重、分類互斥（沒有重復(fù)）；再對(duì)所分類逐步進(jìn)行討論，分級(jí)進(jìn)行，獲取階段性結(jié)果；最后進(jìn)行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論。、再現(xiàn)性題組：1集合ax|x|4,xr，bx|x3|a，xr，若ab

36、，那么a的范圍是_。a. 0a1 b. a1 c. a1 d. 0a0且a1，plog(aa1)，qlog(aa1)，則p、q的大小關(guān)系是_。a. pq b. pq d.當(dāng)a1時(shí)，pq；當(dāng)0a1時(shí)，pq3.函數(shù)y的值域是_。4.若(0, )，則的值為_。a. 1或1 b. 0或1 c. 0或1 d. 0或1或15.函數(shù)yx的值域是_。a. 2,+) b. (-,-22,+) c. (-,+) d. -2,26.正三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長(zhǎng)分別為2和4的矩形，則它的體積為_。a. b. c. d. 或7.過點(diǎn)p(2,3)，且在坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程是_。a. 3x2y0 b. xy50 c.

37、 3x2y0或xy50 d.不能確定、示范性題組：例1. 設(shè)0x0且a1，比較|log(1x)|與|log(1x)|的大小。例2. 已知集合a和集合b各含有12個(gè)元素，ab含有4個(gè)元素，試求同時(shí)滿足下面兩個(gè)條件的集合c的個(gè)數(shù)： . cab且c中含有3個(gè)元素； . ca 。例3. 設(shè)a是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，s是前n項(xiàng)和。 . 證明： 0，使得lg（sc）成立？并證明結(jié)論。例4. 設(shè)函數(shù)f(x)ax2x2，對(duì)于滿足1x0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。例5. 解不等式0 (a為常數(shù)，a)例7. 在xoy平面上給定曲線y2x，設(shè)點(diǎn)a(a,0)，ar，曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)a的距離的最小值為f(a)，求f(a)的函數(shù)

38、表達(dá)式。 、鞏固性題組：1. 若loglog(xa) (a0且a1)11.設(shè)首項(xiàng)為1，公比為q (q0)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為s，又設(shè)t，求t 。12. 若復(fù)數(shù)z、z、z在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)三點(diǎn)a、b、c組成直角三角形，且|z|2，求z 。13. 有卡片9張，將0、1、2、8這9個(gè)數(shù)字分別寫在每張卡片上。現(xiàn)從中任取3張排成三位數(shù)，若6可以當(dāng)作9用，問可組成多少個(gè)不同的三位數(shù)。14. 函數(shù)f(x)(|m|1)x2(m1)x1的圖像與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，求參數(shù)m的值及交點(diǎn)坐標(biāo)。三、函數(shù)與方程的思想方法函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解