三元數(shù)函數(shù)與解析

1、三元數(shù)函數(shù)與解析從復(fù)平面到數(shù)空間 白爍星 （河北省武安市橋西路郵局037號(hào)信箱 郵碼:056300）韓江燕 （河北省武安市第八中學(xué) 郵碼:056300）摘 要 本文從復(fù)數(shù)理論出發(fā),通過(guò)推廣函數(shù)、解析等數(shù)學(xué)概念,逐步建立了三元數(shù)函數(shù)與解析的理論. 關(guān)鍵詞 數(shù)平面;數(shù)空間;平面解析;空間解析;泛解析;半解析;冪級(jí)數(shù)中圖分類號(hào):0153.5 泛代數(shù)一、引言三元數(shù)、多元數(shù)的研究始于曲阜師大中學(xué)數(shù)學(xué)雜志發(fā)表的超越復(fù)數(shù)的三元數(shù)、復(fù)數(shù)的多元數(shù),后來(lái)東北師大數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究發(fā)表了代數(shù)基本定理在高維數(shù)空間之證明,多項(xiàng)式函數(shù)首先得到了深刻的研究.然而在數(shù)空間里是否存在優(yōu)美而和諧的函數(shù)與解析理論呢?本文從復(fù)數(shù)理論出發(fā)

2、,通過(guò)推廣函數(shù)、解析等數(shù)學(xué)概念,嘗試給出了一個(gè)有趣的解答.二、三元數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)1、三元數(shù)的代數(shù)運(yùn)算與三維數(shù)空間 形如(、)的數(shù)叫做三元數(shù),三元數(shù)通常用一個(gè)字母來(lái)表示,即,全體三元數(shù)構(gòu)成的集合叫做三元數(shù)集,用字母來(lái)表示,定義(1)(2)則有:;說(shuō)明:(1)三元數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律,乘法滿足交換律及對(duì)加法的分配律;(2)除法是乘法的逆運(yùn)算,兩個(gè)三元數(shù)作除法運(yùn)算,可依三元數(shù)相等的定義及乘法公式求得. 建立了空間直角坐標(biāo)系來(lái)表示三元數(shù)的空間叫做三維數(shù)空間,簡(jiǎn)稱數(shù)空間,仍用來(lái)表示.于是:實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)實(shí)軸上的點(diǎn);復(fù)數(shù)一一對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)點(diǎn);三元數(shù)一一對(duì)應(yīng)數(shù)空間內(nèi)點(diǎn)2、三元數(shù)的幾何表示與重要性質(zhì)三維數(shù)空間內(nèi)

3、的點(diǎn)可以表示三元數(shù),由于三元數(shù)集與三維數(shù)空間內(nèi)所有以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量所組成的集合一一對(duì)應(yīng)（實(shí)數(shù)與零向量對(duì)應(yīng)）,所以三元數(shù)也可以用起點(diǎn)在原點(diǎn)的向量來(lái)表示.稱為三元數(shù)的代數(shù)形式,稱為三元數(shù)的三角形式. 三元數(shù)的模 與三元數(shù)對(duì)應(yīng)的向量的模（即有向線段的長(zhǎng)度）叫做三元數(shù)的模（或絕對(duì)值）,記作或,易知三元數(shù)模的幾何意義是:三元數(shù)在數(shù)空間內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.三元數(shù)的輻角與傾角 數(shù)空間可看作復(fù)平面繞軸旋轉(zhuǎn)而成,軸與空間點(diǎn)可唯一確定一個(gè)平面,該平面與復(fù)平面的夾角稱三元數(shù)的傾角,平面稱傾角為的數(shù)平面,特別地,復(fù)平面是傾角為的數(shù)平面,無(wú)數(shù)個(gè)數(shù)平面形成了數(shù)空間.當(dāng)點(diǎn)落在軸上時(shí),傾角值不定,也就是說(shuō):實(shí)數(shù)的傾角值

4、不定.以軸的正半軸為始邊,向量所在的射線（起點(diǎn)是）為終邊的角,叫做三元數(shù)的輻角,記做.輻角的主值 在區(qū)間內(nèi)的輻角的值,叫做輻角的主值,記作,即.非三元數(shù)的輻角有無(wú)限多個(gè)值,但輻角的主值只有一個(gè),三元數(shù)的輻角不定.說(shuō)明:(1)三元數(shù)的代數(shù)形式是唯一的,但三角形式不唯一;(2)復(fù)平面是傾角為的數(shù)平面;(3)在復(fù)平面上成立的結(jié)論,在其它傾角的數(shù)平面上也成立;(4)代數(shù)形式與相對(duì)應(yīng)的三角形式的互化公式:;,具體依下列規(guī)則進(jìn)行先求:,再求:由點(diǎn)的所在象限及共同確定（一般取最小正角）最后求:一般地,取,時(shí),;時(shí),值不定例 (，)從更高的觀點(diǎn)來(lái)看,可以觀察到數(shù)學(xué)在更高層次上的統(tǒng)一,復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與極坐標(biāo)的統(tǒng)

5、一,三元數(shù)的代數(shù)形式與球坐標(biāo)的統(tǒng)一,極坐標(biāo)是球坐標(biāo)的特例,復(fù)數(shù)是三元數(shù)的特例.三元數(shù)的加法滿足平行四邊形法則,減法滿足三角形法則.復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的擴(kuò)充,三元數(shù)是復(fù)數(shù)的擴(kuò)充,要特別注意三元數(shù)與復(fù)數(shù)及實(shí)數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng),復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量一一對(duì)應(yīng),三元數(shù)與數(shù)空間內(nèi)的點(diǎn)、數(shù)空間內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量一一對(duì)應(yīng).兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小,有關(guān)不等式的一些性質(zhì)僅限于實(shí)數(shù)集中成立.三元數(shù)的模是實(shí)數(shù)及復(fù)數(shù)絕對(duì)值的擴(kuò)充,實(shí)數(shù)與復(fù)數(shù)的絕對(duì)值是三元數(shù)模的特例,因此三元數(shù)模的所有性質(zhì)對(duì)實(shí)數(shù)絕對(duì)值都成立,而實(shí)數(shù)絕對(duì)值的一些性質(zhì)對(duì)三元數(shù)模則不一定成立.,在為實(shí)數(shù)時(shí)表示兩個(gè)點(diǎn),在為

6、復(fù)數(shù)時(shí)表示單位圓,在為三元數(shù)時(shí)表示單位球面.實(shí)數(shù)集對(duì)加、減、乘、除、乘方運(yùn)算封閉,復(fù)數(shù)集與三元數(shù)集對(duì)加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方運(yùn)算封閉;一般地,一元次代數(shù)方程在復(fù)數(shù)集中有且僅有個(gè)根,在三元數(shù)集中可以有多于個(gè)的根,甚至有無(wú)窮多個(gè)根存在.3、三元數(shù)三角形式的運(yùn)算在傾角為的數(shù)平面上,設(shè)，則有 ,顯然,同在一個(gè)數(shù)平面上的三個(gè)數(shù)相乘,其乘積的模為模的乘積,復(fù)數(shù)乘法是其特例. 三元數(shù)的三角形式可用來(lái)直觀描述一個(gè)星體在軌道傾角為的平面上繞中心天體的運(yùn)行情況:,為該星體運(yùn)行的圓形軌道的半徑.如軌道為橢圓,公式可改寫為:若軌道還需旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度,公式可再改寫為: 其中、表示星體運(yùn)行的橢圓軌道的長(zhǎng)半軸與短半軸,表示

7、時(shí)間,表示星體運(yùn)行的角速度, 表示該星體繞中心天體運(yùn)行的周期.是三維數(shù)空間里的旋轉(zhuǎn)算子,該算子還可推廣至更高維數(shù)空間.(2)三元數(shù)的乘方 三元數(shù)的次冪的模等于這個(gè)三元數(shù)的模的次冪,它的輻角等于這個(gè)三元數(shù)的輻角的倍,而傾角不變.特別地,當(dāng)時(shí)得:此即復(fù)平面上的Movire定理,在這里成了三元數(shù)乘方的一個(gè)特例.(3)三元數(shù)的開(kāi)方 三元數(shù)的次方根是注意:(1)一般地（指不為實(shí)數(shù)時(shí)）,三元數(shù)總有固定的傾角,這時(shí)三元數(shù)的次方根是個(gè)三元數(shù),它們的模等于這個(gè)三元數(shù)的模的次算術(shù)根,它們的輻角分別等于這個(gè)三元數(shù)的輻角與的,倍的和的分之一,而傾角不變.(2)為實(shí)數(shù)時(shí),傾角值不定,需解參數(shù)方程:易知的平方根是它的幾何

8、意義是數(shù)空間中以原點(diǎn)為圓心,垂直于復(fù)平面,在平面上的單位圓,其與復(fù)平面的交點(diǎn)恰好是與兩個(gè)點(diǎn),在復(fù)平面上有且僅有兩個(gè)根,在數(shù)空間中卻有整整一個(gè)圓的根存在.這是給出定義,時(shí)所完全不曾預(yù)料的事情!需要指出的是:求一個(gè)三元數(shù)的次方根,當(dāng)時(shí),勉強(qiáng)可利用定義解代數(shù)方程求得,當(dāng)較大時(shí)用三元數(shù)的三角形式求解較為簡(jiǎn)單.三元數(shù)開(kāi)方的幾何意義一般地,三元數(shù)（指不為實(shí)數(shù)時(shí)）開(kāi)次方的個(gè)根在數(shù)空間內(nèi)所對(duì)應(yīng)的個(gè)點(diǎn)均勻地分布在以原點(diǎn)為圓心,為半徑,與復(fù)平面的傾角為的數(shù)空間中的一個(gè)圓上.當(dāng)然,當(dāng)為實(shí)數(shù)時(shí),其次方根的幾何意義依然可利用三元數(shù)的求方根公式進(jìn)行討論,讀者不妨自行一試.4、三元數(shù)的重要定義、定理與推論4.1模律定理 兩

9、個(gè)三元數(shù),為常量,為變量,其積,當(dāng)且僅當(dāng),即兩個(gè)三元數(shù)在同一個(gè)數(shù)平面上時(shí)，三元數(shù)積的模等于兩個(gè)三元數(shù)的模的積,得到最大值;當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí),得到最小值依高等幾何知識(shí),本質(zhì)上表示一個(gè)仿射變換,球面通過(guò)可逆線性變換繞球心（原點(diǎn)）旋轉(zhuǎn)、伸縮后被映射成一個(gè)橢球面,模律定理恰好揭示出了橢球面的最長(zhǎng)半軸與最短半軸.特別地,如果,此時(shí)得到一個(gè)半徑的球面,球面的半徑是常量,當(dāng)然最大值與最小值相等. 給定三元數(shù),一一對(duì)應(yīng)一個(gè)矩陣,該矩陣的行列式 稱為數(shù)的基本值,限制的基本值,仿射變換成為可逆線性變換,商唯一可求.特別地,在復(fù)域中,復(fù)數(shù)的基本值,基本值的通項(xiàng)公式為.初等數(shù)學(xué)中一般規(guī)定不作除數(shù)正是的特例. 4.2 推論

10、（零因子定理）兩個(gè)三元數(shù),當(dāng)且僅當(dāng),且時(shí),其乘積4.3 除法定理 已知, ,求.將乘出,依三元數(shù)相等的定義,得三元一次方程組,當(dāng)時(shí),方程有唯一解, ,當(dāng),即與在同一個(gè)數(shù)平面上時(shí),方程組有形式簡(jiǎn)單的的解,如果,數(shù)平面的傾角為,即得出復(fù)域內(nèi)結(jié)果,顯然復(fù)數(shù)除法是三元數(shù)除法的特例.再來(lái)研究,時(shí)的情形,將乘出,得三元一次方程組, 方程組系數(shù)矩陣的行列式當(dāng),且時(shí),得解:,當(dāng)時(shí)無(wú)解.當(dāng),且時(shí),得解: ,當(dāng)時(shí)無(wú)解.當(dāng),且時(shí),得解: ,當(dāng)時(shí)無(wú)解.若在復(fù)域內(nèi)考慮,當(dāng)時(shí)得解:,此時(shí)得出了唯一解,復(fù)域內(nèi)情形為三元數(shù)除法的特例.注意到在商有唯一解的公式中取,將,代入商有直線解的公式,將代入仍成立,可去間斷點(diǎn)必在連續(xù)直線

11、上.在三元數(shù)函數(shù)論中,為了研究問(wèn)題的方便,定義可去間斷點(diǎn)為三元數(shù)商的主值,與商一樣仍用來(lái)表示,以實(shí)現(xiàn)商的單值連續(xù),在商多值時(shí)一般專指商的主值,復(fù)域內(nèi)情形為其特例,以后不再一一說(shuō)明.利用數(shù)平面的概念,上述結(jié)果可簡(jiǎn)述為(1) 時(shí),方程組有唯一解,商唯一可求.(2) ,時(shí),如果與在同一個(gè)數(shù)平面上,方程組有一條直線的解,商的主值唯一可求,復(fù)域內(nèi)解為其特例.(3) ,時(shí),如果與不在同一個(gè)數(shù)平面上,方程組無(wú)解,商為空集.最后來(lái)研究時(shí)的情形,此時(shí),如果,此時(shí)沒(méi)有任何三元數(shù)滿足,所以解集是空集;如果,此時(shí)任意一個(gè)三元數(shù)均滿足,所以解集為,意即所有的三元數(shù)均為所求.綜上所述,三元數(shù)的乘除法比加減法要更為微妙,從

12、函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)看,三元數(shù)乘法得到的積是單值函數(shù),三元數(shù)除法得到的商卻可以一值、多值(主值唯一)、甚至無(wú)解.其實(shí)即使在復(fù)域內(nèi)考慮,乘除法也并不完全可逆,就是個(gè)例外,初等數(shù)學(xué)中一般規(guī)定不作除數(shù),以保證除法運(yùn)算所得到的商總是單值.在三元數(shù)函數(shù)論中,從更一般的觀點(diǎn)來(lái)看,三元數(shù)除法等價(jià)于三元一次方程組的求解,任意兩個(gè)三元數(shù)總可作除法,除法運(yùn)算即解方程組的過(guò)程總可以進(jìn)行,只是除法運(yùn)算的結(jié)果（商）可能單值、多值、或無(wú)解罷了.4.4 推論（倒數(shù)定理）,時(shí),稱為的倒數(shù),代入,得(1) 時(shí),倒數(shù)唯一可求.,(2) ,時(shí),得解:,方程組有一條直線的解(3) ,時(shí),得解:,方程組有一條直線的解(4) ,時(shí),得解:,方程

13、組有一條直線的解(5)任何數(shù)乘以都不等于,所以沒(méi)有倒數(shù),反之,任何非三元數(shù)總有至少一個(gè)倒數(shù)在復(fù)變函數(shù)論中,倒數(shù)函數(shù)將一個(gè)圓單值連續(xù)映照為另一個(gè)模為倒數(shù)的圓,在三元數(shù)函數(shù)論中,多值商取主值,后倒數(shù)函數(shù)將一個(gè)球面單值連續(xù)映照為另一個(gè)模為倒數(shù)的球面,復(fù)數(shù)倒數(shù)是三元數(shù)倒數(shù)的特例.4.5 乘除轉(zhuǎn)化定理 一般地,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), 除以一個(gè)三元數(shù)等于乘以這個(gè)三元數(shù)的倒數(shù).實(shí)際上當(dāng)、商為多值時(shí)乘除轉(zhuǎn)化定理仍成立,此時(shí)只需左邊商取多值或主值而右邊的倒數(shù)也取多值或主值乘出即可.利用數(shù)平面的概念, 乘除轉(zhuǎn)化定理可簡(jiǎn)述為:一般地,當(dāng)且僅當(dāng)與在同一個(gè)數(shù)平面上時(shí),除以一個(gè)三元數(shù)等于乘以這個(gè)三元數(shù)的倒數(shù),復(fù)域內(nèi)情形為其特例.4

14、.6結(jié)合律定理 三個(gè)三元數(shù)相乘,當(dāng)且僅當(dāng)為實(shí)數(shù)或者、在同一個(gè)數(shù)平面上時(shí),結(jié)合律成立,由于實(shí)軸是所有數(shù)平面的公共軸,任意數(shù)平面均包含實(shí)數(shù),所以至少有一個(gè)數(shù)是實(shí)數(shù)的三個(gè)數(shù)相乘,其乘積滿足結(jié)合律.4.7 代數(shù)學(xué)基本定理 三維數(shù)空間里一般系數(shù)的一元次代數(shù)方程至少有一解（,）4.8 推論（實(shí)系數(shù)代數(shù)學(xué)基本定理）如果實(shí)系數(shù)一元次代數(shù)方程在復(fù)平面上有個(gè)實(shí)根，, 、對(duì)虛根 ,那么該方程在數(shù)空間里有且僅有個(gè)實(shí)根,和個(gè)圓的非實(shí)數(shù)根4.9 推論(實(shí)根定理)如果實(shí)系數(shù)一元次代數(shù)方程在復(fù)平面上有且僅有個(gè)實(shí)根,那么其在數(shù)空間里也有且僅有個(gè)實(shí)根4.10 推論(虛根定理) 如果實(shí)系數(shù)一元次代數(shù)方程在復(fù)平面上有且僅有對(duì)虛根,那

15、么其在數(shù)空間里有且僅有個(gè)圓的非實(shí)數(shù)根 三、三元數(shù)函數(shù)通過(guò)引入定義現(xiàn)在已能對(duì)兩個(gè)三元數(shù)作加、減、乘、除等四則運(yùn)算,對(duì)單個(gè)三元數(shù)可進(jìn)行乘方、開(kāi)方,還可以解出數(shù)空間里形如、的二項(xiàng)方程.這都屬于初等數(shù)學(xué)中代數(shù)運(yùn)算的范疇,下面利用冪級(jí)數(shù)理論對(duì)三元數(shù)函數(shù)進(jìn)行推廣3.1指數(shù)函數(shù)定義: (1)先研究的指數(shù)函數(shù),將代入并整理得 (2) 可以給出嚴(yán)格的證明,在整個(gè)數(shù)空間內(nèi)是收斂的.令,在中即可得到此即著名的Euler公式,這里可以從三元數(shù)理論中導(dǎo)出,從而是三元數(shù)理論中的特例。當(dāng)時(shí),代入得 (3)此即求任一三元數(shù)指數(shù)函數(shù)的公式,三元數(shù)還有指數(shù)形式3.2三角函數(shù)與雙曲函數(shù)三元數(shù),確定了三元數(shù)所在的數(shù)平面在數(shù)空間中的位

16、置,稱為三元數(shù)的代數(shù)傾角,簡(jiǎn)稱傾角,相應(yīng)特指三元數(shù)的幾何傾角.,3.3對(duì)數(shù)函數(shù),則,因無(wú)解,將以指數(shù)形式寫出：,并記,于是,所以: ,由于指數(shù)函數(shù)在傾角為的數(shù)平面上有周期,其反函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)是多值函數(shù). 現(xiàn)在研究映射,平面被映射成球面,設(shè),依次取,映射將自變量數(shù)空間內(nèi)的中心圓柱體、無(wú)窮多的半圓環(huán)柱體依次映射成了函數(shù)數(shù)空間(不含原點(diǎn)),復(fù)變函數(shù)論中將直線映射成圓,自變量復(fù)平面帶形區(qū)域依次取被映射成了函數(shù)復(fù)平面（不含原點(diǎn)）,復(fù)域內(nèi)結(jié)論是三元數(shù)函數(shù)論中的特例,實(shí)質(zhì)表述了數(shù)空間中一個(gè)剖面的情形.3.4反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)注意到對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、雙曲函數(shù)其實(shí)均來(lái)源于指數(shù)函數(shù),而指數(shù)函數(shù)實(shí)質(zhì)為在整個(gè)數(shù)空

17、間收斂的實(shí)系數(shù)的冪級(jí)數(shù),任取一個(gè)數(shù)平面來(lái)研究,當(dāng)自變量在傾角為的數(shù)平面上取值時(shí),函數(shù)值亦在該數(shù)平面上變動(dòng),有,3.5冪函數(shù),其中與是三元數(shù),三元數(shù)基礎(chǔ)理論中已討論過(guò)的情形,分別為的乘方與開(kāi)方,一般的開(kāi)方根函數(shù)就已是多值函數(shù),在新的定義下得出的結(jié)論與以前的結(jié)果并無(wú)不同.當(dāng)取一般的三元數(shù)時(shí)出現(xiàn)了新的情況,盡管三元數(shù)的冪函數(shù)也是通過(guò)指數(shù)函數(shù)來(lái)定義,但由于不一定在同一個(gè)數(shù)平面上,所以當(dāng)自變量在傾角為的數(shù)平面上變動(dòng)時(shí),函數(shù)值不一定仍在這個(gè)數(shù)平面上變動(dòng).3.6多項(xiàng)式和有理函數(shù),其中均為多項(xiàng)式.多項(xiàng)式是有理函數(shù)的特例.顯然,在整個(gè)三維數(shù)空間內(nèi)多項(xiàng)式處處收斂.3.7整函數(shù)與分式函數(shù)在三維數(shù)空間內(nèi),可表示成處處

18、收斂的冪級(jí)數(shù)的和的三元數(shù)函數(shù)稱為整函數(shù),多項(xiàng)式是最簡(jiǎn)單的整函數(shù),非多項(xiàng)式的整函數(shù)(無(wú)窮高次多項(xiàng)式)稱為超越整函數(shù),指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)都是超越整函數(shù).易知有界整函數(shù)是常數(shù).,(其中均為整函數(shù))稱為分式函數(shù).在復(fù)變函數(shù)論中研究了收斂的實(shí)系數(shù)、復(fù)系數(shù)的冪級(jí)數(shù),在三元數(shù)函數(shù)論中,還需進(jìn)一步去研究收斂的一般三元數(shù)系數(shù)的冪級(jí)數(shù). 借助將三維數(shù)空間看作由傾角為的數(shù)平面（復(fù)平面）繞實(shí)軸（或軸）旋轉(zhuǎn)而成的幾何解釋,立即可以理解下列以點(diǎn)為中心的冪級(jí)數(shù)的收斂性:, 由于第一個(gè)冪級(jí)數(shù)在復(fù)平面上的單位圓內(nèi)收斂,而單位圓繞軸在三維數(shù)空間里旋轉(zhuǎn)得到單位球面,所以級(jí)數(shù)在三維數(shù)空間里的單位球內(nèi)收斂,其它幾個(gè)冪級(jí)數(shù)由于在整個(gè)復(fù)平

19、面內(nèi)收斂,所以它們?cè)谡麄€(gè)三維數(shù)空間里亦收斂.3.8一般的三元數(shù)函數(shù),其中、均為、的三元實(shí)函數(shù),從本質(zhì)上講,復(fù)變函數(shù)理論就是一對(duì)二元實(shí)函數(shù)的理論,而三元數(shù)函數(shù)論就是三個(gè)三元實(shí)函數(shù)的理論.四、三元數(shù)函數(shù)的解析理論定義4.1設(shè)為定義在區(qū)域內(nèi)的單值函數(shù),自變量,將沿傾角為的數(shù)平面作正交分解：, 當(dāng)時(shí),自變量與函數(shù)值在同一個(gè)數(shù)平面上變化,原式化為,如果函數(shù)在處沿?cái)?shù)平面可微,則稱函數(shù)在處可導(dǎo).此時(shí)為常量,有,定義4.2如,將函數(shù)的定義域依數(shù)平面分開(kāi),如果函數(shù)在傾角為的數(shù)平面上的部分處處可微,則稱函數(shù)在內(nèi)上解析,簡(jiǎn)稱平面解析;如果函數(shù)在內(nèi)所有數(shù)平面上處處可微,則稱函數(shù)在自變量區(qū)域內(nèi)解析,簡(jiǎn)稱空間解析.從定義

20、可看出:對(duì)于三元數(shù)函數(shù),導(dǎo)數(shù)未采用比的極限的傳統(tǒng)定義,而是利用了可微即可導(dǎo)的原理,有,直接把函數(shù)的微分系數(shù)定義成了函數(shù)的導(dǎo)數(shù).不難得出函數(shù)可微或可導(dǎo)的充要條件為：, 在復(fù)域內(nèi)考慮,傾角,式就變成了傳統(tǒng)的C-R條件,復(fù)域內(nèi)結(jié)論是三元數(shù)函數(shù)論中的特例.定義4.3將函數(shù)沿傾角為的數(shù)平面作正交分解,如,在傾角為的數(shù)平面上的部分處處可微,則函數(shù)在內(nèi)可分成兩部分,解析,不解析,稱函數(shù)為半解析函數(shù).易知函數(shù)半解析的充要條件為: , ,例 4.1設(shè)函數(shù),試分析函數(shù)在三維數(shù)空間是否解析.解1 設(shè),代入整理得: 解出:據(jù)廣義C-R條件,函數(shù)在三維數(shù)空間內(nèi)解析,且為空間解析. 解2 由得,直接求導(dǎo)得:,故函數(shù)在三維

21、數(shù)空間內(nèi)解析.定義4.4設(shè)函數(shù)為定義在區(qū)域內(nèi)的單值連續(xù)函數(shù),如果可表示成一個(gè)收斂的三元數(shù)系數(shù)的冪級(jí)數(shù),則稱函數(shù)為泛解析函數(shù).解析函數(shù)是泛解析函數(shù)的特例.定理4.1泛解析函數(shù)表示成處處收斂中心在原點(diǎn)的冪級(jí)數(shù)的充要條件是組成函數(shù)的三個(gè)實(shí)變函數(shù)自鄰域中心點(diǎn)分別作Taylor展開(kāi)后的各項(xiàng)滿足,稱為泛解析Taylor條件. 將代入式展開(kāi),對(duì)比各式得到無(wú)窮個(gè)偏微分方程組,依次求之得、等.,復(fù)域內(nèi)復(fù)變函數(shù)在原點(diǎn)解析的條件是三元數(shù)函數(shù)在原點(diǎn)泛解析Taylor條件的特例.在三元數(shù)函數(shù)論中,函數(shù)可表示成收斂的冪級(jí)數(shù)與函數(shù)解析并不等價(jià).五、三元數(shù)函數(shù)的積分理論三元數(shù)函數(shù)的積分主要是考慮沿?cái)?shù)空間內(nèi)曲線的積分,曲線應(yīng)為

22、簡(jiǎn)單光滑或逐段光滑的有向曲線,定義,如果為閉曲線,積分方向又為曲線的正方向,則沿此閉曲線的積分又可記作:,一般地,上的連續(xù)函數(shù)在上可積.定理5.1(圍道積分公式)設(shè)三元數(shù)函數(shù)在三維數(shù)空間的一個(gè)單連通區(qū)域內(nèi)空間解析,是內(nèi)的任意一點(diǎn),則,其中閉路為圍住點(diǎn)的簡(jiǎn)單光滑或逐段光滑的閉曲線,在內(nèi)傾角為的數(shù)平面上,、.證 當(dāng)點(diǎn)不在實(shí)軸上時(shí),在傾角為的數(shù)平面上作圍道,據(jù)Cauchy積分公式定理得證,如果點(diǎn)恰好位于實(shí)軸上,此時(shí)通過(guò)任意一個(gè)數(shù)平面作圍道積分后亦可證得,故定理成立.復(fù)域內(nèi)情形是時(shí)的特例.特別地,如取,則有,時(shí)即得注意:如點(diǎn)不在實(shí)軸上,傾角,此時(shí)點(diǎn)能且只能位于唯一的一個(gè)數(shù)平面上,只有在這個(gè)數(shù)平面上作圍

23、道積分才能求得,若點(diǎn)恰在實(shí)軸上,則通過(guò)任意一個(gè)數(shù)平面作圍道積分均可求得.定理5.2（積分為定理）設(shè)是區(qū)域內(nèi)的連續(xù)函數(shù),如對(duì)于內(nèi)任意一條簡(jiǎn)單光滑閉曲線都有,則有,證據(jù)Green公式與Stokes公式展開(kāi)后,定理得證.在復(fù)域內(nèi)此定理即成為Morera定理, Morera定理是此定理的特例.但在三維數(shù)空間,一般地,積分為與函數(shù)解析并不等價(jià).單連通區(qū)域內(nèi)沿閉路積分為的連續(xù)函數(shù)的積分完全由它的上下限決定,而與所沿的路徑無(wú)關(guān),固定一點(diǎn),另一點(diǎn)在內(nèi)變動(dòng),則變上限積分所確定的函數(shù)與路徑無(wú)關(guān),因而是的一個(gè)單值函數(shù).六、三元數(shù)函數(shù)的級(jí)數(shù)理論6.1三元數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與三元數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 定理6.1.1給定一個(gè)三元數(shù)序列,其

24、中,則當(dāng)且僅當(dāng),(各系數(shù)均為實(shí)數(shù)). 定理6.1.2三元數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、同時(shí)收斂.定理6.1.3三元數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的必要條件是.定理6.1.4絕對(duì)收斂的三元數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)其本身一定收斂.定理6.1.5 若三元數(shù)函數(shù)均定義在集合上,并且有不等式,正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂.定理6.1.6若在區(qū)域內(nèi)連續(xù),級(jí)數(shù)在內(nèi)一致收斂于和函數(shù),則在內(nèi)處處連續(xù).定理6.1.7若均在光滑或逐段光滑的曲線上連續(xù),級(jí)數(shù)在上一致收斂于函數(shù),則在上可積,并且有.定理6.1.8若均在區(qū)域內(nèi)解析,并且在內(nèi)一致收斂于和函數(shù),則在內(nèi)解析,并且有6.2冪級(jí)數(shù)實(shí)系數(shù)處處收斂的冪級(jí)數(shù)在所有的數(shù)平面上解析,屬于空間

25、解析,非實(shí)數(shù)的復(fù)系數(shù)的處處收斂的冪級(jí)數(shù)僅在復(fù)平面上解析,屬于平面解析,當(dāng)然還存在一般三元數(shù)系數(shù)的處處收斂的冪級(jí)數(shù),屬于泛解析.定理6.2.給定冪級(jí)數(shù),如果極限,則當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂;當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散. 證 據(jù)三元數(shù)的模律定理,由于時(shí),級(jí)數(shù)的各項(xiàng)取絕對(duì)值后所構(gòu)成的冪級(jí)數(shù)收斂,所以級(jí)數(shù)也收斂;當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于,故級(jí)數(shù)發(fā)散. (在三元數(shù)理論中,由于一般地,所以僅根據(jù)冪級(jí)數(shù)在（）點(diǎn)收斂,并不能判定級(jí)數(shù)在以原點(diǎn)為中心、為半徑的球內(nèi)收斂,此時(shí)仍需根據(jù)定理6.2來(lái)判定級(jí)數(shù)的收斂區(qū)域.當(dāng)然也可能級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)只有成立,此時(shí)一般就只能判定級(jí)數(shù)在時(shí)收斂.6.3Laurent級(jí)數(shù)定義6.3在球帶區(qū)域內(nèi)處處收斂的雙向

26、冪級(jí)數(shù)稱為L(zhǎng)aurent級(jí)數(shù).,令把分成兩部分,前一級(jí)數(shù)時(shí)收斂,后一級(jí)數(shù)時(shí)收斂,如恰好成立,則兩級(jí)數(shù)就有公共的收斂范圍,為一球帶,Laurent級(jí)數(shù)在球帶內(nèi)絕對(duì)收斂.可以為無(wú)窮,可以為(),冪級(jí)數(shù)是Laurent級(jí)數(shù)的特例.七、四個(gè)定義、兩個(gè)猜想與結(jié)論定義:7.1如果泛解析三元數(shù)函數(shù)在點(diǎn)的值不存在,則稱為函數(shù)的奇點(diǎn).定義:7.2如果在點(diǎn)的某一空心鄰域內(nèi)有界,則稱為函數(shù)的可去奇點(diǎn).定義:7.3如果在點(diǎn)的某一空心鄰域內(nèi)當(dāng)自變量趨于點(diǎn)時(shí),趨于無(wú)窮,則稱為函數(shù)的極點(diǎn).定義:7.4如果在點(diǎn)的某一空心鄰域內(nèi)可趨于任意三元數(shù)(包括無(wú)窮),則稱為函數(shù)的本性奇點(diǎn).猜想7.1(單位球猜想)對(duì)于三維數(shù)空間內(nèi)任一邊界

27、不止一點(diǎn)的單連通區(qū)域,必存在收斂的冪級(jí)數(shù)將其一對(duì)一映照到單位球內(nèi)部.猜想7.2(例外值猜想)超越整函數(shù)至多有一個(gè)點(diǎn)或半個(gè)圓的例外值(點(diǎn)是半個(gè)圓半徑趨于時(shí)的極限),否則方程在三維數(shù)空間總有無(wú)窮多個(gè)根.,時(shí),在復(fù)變函數(shù)論中,單連通域內(nèi)連續(xù)函數(shù)沿閉路積分為與函數(shù)解析等價(jià),函數(shù)在圓盤區(qū)域內(nèi)或圓環(huán)區(qū)域內(nèi)存在處處收斂的冪級(jí)數(shù)表示與函數(shù)解析等價(jià),然而在三元數(shù)函數(shù)論中,函數(shù)存在冪級(jí)數(shù)表示不一定解析,解析只是函數(shù)存在冪級(jí)數(shù)表示的特例.Weierstrass通過(guò)冪級(jí)數(shù)來(lái)構(gòu)建函數(shù)論的方法某種意義上更為基本,這種形而上學(xué)的形式化定義既適用于結(jié)合代數(shù),也適用于非結(jié)合代數(shù),即使在傳統(tǒng)解析與積分理論不再成立的地方,冪級(jí)數(shù)理

28、論仍然適用.新的三元數(shù)函數(shù)論也提供了很多有趣的問(wèn)題,比如在三維數(shù)空間解析函數(shù)的零點(diǎn)與奇點(diǎn)就不一定孤立,像就有一個(gè)圓的零點(diǎn),但如果固定值將數(shù)空間依數(shù)平面分開(kāi),則每一個(gè)數(shù)平面上函數(shù)有且僅有兩個(gè)孤立的零點(diǎn).又如在復(fù)變函數(shù)中經(jīng)常提到的在單位圓內(nèi)收斂的冪級(jí)數(shù),一般教材都是告訴讀者因?yàn)樵趩挝粓A的圓周上出現(xiàn)了兩個(gè)極點(diǎn)與,函數(shù)在這兩點(diǎn)變?yōu)闊o(wú)窮,因而導(dǎo)致了函數(shù)的收斂域只能在單位圓內(nèi),不過(guò)如果從三元數(shù)函數(shù)論的觀點(diǎn)來(lái)看,導(dǎo)致函數(shù)收斂區(qū)域只能在單位球內(nèi)的更深刻原因其實(shí)是因?yàn)樵谌S數(shù)空間內(nèi)函數(shù)有一個(gè)整圓的奇點(diǎn)擋住了冪級(jí)數(shù)繼續(xù)延拓的進(jìn)程.必須指出:一篇小短文遠(yuǎn)不足以闡明三元數(shù)函數(shù)論中的所有問(wèn)題與研究方向,由于新的理論更多

29、是從連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)出發(fā)而得出了諸多更一般的結(jié)論,因而與拓?fù)鋵W(xué)和幾何學(xué)存在著天然緊密的聯(lián)系.同時(shí)出于解方程的需要,三元數(shù)函數(shù)論與非線性代數(shù)方程組、微分積分方程理論等也密不可分.在過(guò)去幾十年中,復(fù)變函數(shù)論中的一些重要結(jié)論逐漸被用拓?fù)鋵W(xué)的方法給出了更為深刻的證明,考慮到連續(xù)函數(shù)是解析函數(shù)的更一般情形,相信隨著三元數(shù)函數(shù)論與數(shù)學(xué)中其他分支聯(lián)系的日益加深,新的理論必然會(huì)隨著更多新鮮養(yǎng)分的注入而茁壯成長(zhǎng)、日臻成熟.最后指出,只需將三元數(shù)的傾角換成高維數(shù)空間中的傾角、,球坐標(biāo)三元數(shù)理論可自然推廣至維數(shù)空間乃至無(wú)窮維數(shù)空間而形成廣義球坐標(biāo)多元數(shù)理論.新的理論具備自我發(fā)展、自我完善的能力充分證明:好的數(shù)學(xué)對(duì)象自

30、有其不朽的生命與靈魂.一方面Cauchy是幸運(yùn)的,因?yàn)橹挥幸环N復(fù)變函數(shù)理論,恰巧被Cauchy發(fā)現(xiàn)了;另一方面我們則更加幸運(yùn),因?yàn)镃auchy的發(fā)現(xiàn)并非全部,在復(fù)變函數(shù)理論之上,實(shí)際還存在著更為優(yōu)美而和諧的三元數(shù)函數(shù)論以及多元數(shù)函數(shù)論.科學(xué)研究需要敢于創(chuàng)新,創(chuàng)新是科學(xué)的本質(zhì)與靈魂.只有不斷突破前人勇于創(chuàng)新,科學(xué)才能不斷進(jìn)步和發(fā)展.前人的理論固然偉大,但后人的成就終將會(huì)超越前人,立德立言、求美求真,在探索科學(xué)的道路上,總有更偉大的理論在等待著后人.八、致謝2006年超越復(fù)數(shù)的三元數(shù)在武漢湖北大學(xué)全國(guó)第六屆初等數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)交流會(huì)上公開(kāi)宣讀獲二等獎(jiǎng)，由于曲阜師大李吉寶教授慧眼識(shí)珠,球坐標(biāo)三元數(shù)理論2009年首先在中學(xué)數(shù)學(xué)雜志公開(kāi)發(fā)表,2010年哈爾濱工業(yè)大學(xué)韓彥偉博士在獲得國(guó)家自然科學(xué)基金資助的論文一種三元數(shù)的新定義中首先引用了超越復(fù)數(shù)的三元數(shù), 2011年北京航空航天大學(xué)全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽的獲獎(jiǎng)?wù)呤Y正好將球坐標(biāo)三元數(shù)編入了