東營市2021年中考數(shù)學試卷及答案(解析word版)

1、2021年山東省東營市中考數(shù)學試卷一、選擇題共10小題，每題只有一個選項正確，每題選對得3分，錯選不選或選出的答案超過一個均記零分13分(2021年山東東營)的平方根是A3B3C9D9考點：平方根；算術平方根分析：根據(jù)平方運算，可得平方根、算術平方根解答：解：，9的平方根是3，故答案選A點評：此題考查了算術平方根，平方運算是求平方根的關鍵23分(2021年山東東營)以下計算錯誤的選項是A3=2Bx2x3=x6C2+|2|=0D32=考點：二次根式的加減法；有理數(shù)的加法；同底數(shù)冪的乘法；負整數(shù)指數(shù)冪分析：四個選項中分別根據(jù)二次根式的加減法求解，同底數(shù)冪的乘法法那么求解，絕對值的加減法用負整數(shù)指數(shù)

2、冪的法那么求解解答：解：A，3=2正確，B，x2x3=x6 同底數(shù)的數(shù)相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加，故錯，C，2+|2|=0，2+2=0，正確，D，32=正確應選：B點評：此題主要考查了二次根式的加減法，同底數(shù)冪的乘法，絕對值的加減法，負整數(shù)指數(shù)冪，解題的關鍵是根據(jù)它們各自和法那么認真運算33分(2021年山東東營)直線y=x+1經過的象限是A第一、二、三象限B第一、二、四象限C第二、三、四象限D第一、三、四象限考點：一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系分析：根據(jù)一次函數(shù)的性質解答即可解答：解：由于10，10，故函數(shù)過一、二、四象限，應選B點評：此題考查了一次函數(shù)的性質，要知道，對于y=kx+bk0來說，k、b

3、的符號決定函數(shù)所過的象限43分(2021年山東東營)以下命題中是真命題的是A如果a2=b2，那么a=bB對角線互相垂直的四邊形是菱形C旋轉前后的兩個圖形，對應點所連線段相等D線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等考點：命題與定理分析：利用菱形的判定、旋轉的性質及垂直平分線的性質對每個選項進行判斷后即可得到正確的選項解答：解：A、錯誤，如3與3； B、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故錯誤，是假命題；C、旋轉前后的兩個圖形，對應點所連線段不一定相等，故錯誤，是假命題；D、正確，是真命題，應選D點評：此題考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是理解菱形的判定、旋轉的性質及垂直平分線的性質5

4、3分(2021年山東東營)如圖，扇形的圓心角為60，半徑為，那么圖中弓形的面積為ABCD考點：扇形面積的計算分析：過A作ADCB，首先計算出BC上的高AD長，再計算出三角形ABC的面積和扇形面積，然后再利用扇形面積減去三角形的面積可得弓形面積解答：解：過A作ADCB，CAB=60，AC=AB，ABC是等邊三角形，AC=，AD=ACsin60=，ABC面積：=，扇形面積：=，弓形的面積為：=，應選：C點評：此題主要考查了扇形面積的計算，關鍵是掌握扇形的面積公式：S=63分(2021年山東東營)以下圖是一個由多個相同小正方體堆積而成的幾何體的俯視圖，圖中所示數(shù)字為該位置小正方體的個數(shù)，那么這個幾何

5、體的左視圖是ABCD考點：由三視圖判斷幾何體；簡單組合體的三視圖分析：主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形解答：解：從俯視圖可以看出直觀圖的各局部的個數(shù)，可得出左視圖前面有2個，中間有3個，后面有1個，即可得出左視圖的形狀應選B點評：此題主要考查了三視圖的概念根據(jù)俯視圖得出每一組小正方體的個數(shù)是解決問題的關鍵73分(2021年山東東營)以下關于位似圖形的表述：相似圖形一定是位似圖形，位似圖形一定是相似圖形；位似圖形一定有位似中心；如果兩個圖形是相似圖形，且每組對應點的連線所在的直線都經過同一個點，那么，這兩個圖形是位似圖形；位似圖形上任意兩點與位似中心的距離之比等

6、于位似比其中正確命題的序號是ABCD考點：位似變換；命題與定理分析：利用位似圖形的定義與性質分別判斷得出即可解答：解：相似圖形不一定是位似圖形，位似圖形一定是相似圖形，故此選項錯誤；位似圖形一定有位似中心，此選項正確；如果兩個圖形是相似圖形，且每組對應點的連線所在的直線都經過同一個點，那么，這兩個圖形是位似圖形，此選項正確；位似圖形上任意兩點與位似中心的距離之比等于位似比，此選項錯誤正確的選項為應選：A點評：此題主要考查了位似圖形的性質與定義，熟練掌握位似圖形的性質是解題關鍵83分(2021年山東東營)小明把如下圖的平行四邊形紙板掛在墻上，玩飛鏢游戲每次飛鏢均落在紙板上，且落在紙板的任何一個點

7、的時機都相等，那么飛鏢落在陰影區(qū)域的概率是ABCD考點：幾何概率；平行四邊形的性質分析：先根據(jù)平行四邊形的性質求出平行四邊形對角線所分的四個三角形面積相等，再求出S1=S2即可解答：解：根據(jù)平行四邊形的性質可得：平行四邊形的對角線把平行四邊形分成的四個面積相等的三角形，根據(jù)平行線的性質可得S1=S2，那么陰影局部的面積占，故飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為：；應選C點評：此題主要考查了幾何概率，用到的知識點為：概率=相應的面積與總面積之比，關鍵是根據(jù)平行線的性質求出陰影局部的面積與總面積的比93分(2021年山東東營)假設函數(shù)y=mx2+m+2x+m+1的圖象與x軸只有一個交點，那么m的值為A0B0或

8、2C2或2D0，2或2考點：拋物線與x軸的交點分析：分為兩種情況：函數(shù)是二次函數(shù)，函數(shù)是一次函數(shù)，求出即可解答：解：分為兩種情況：當函數(shù)是二次函數(shù)時，函數(shù)y=mx2+m+2x+m+1的圖象與x軸只有一個交點，=m+224mm+1=0且m0，解得：m=2，當函數(shù)時一次函數(shù)時，m=0，此時函數(shù)解析式是y=2x+1，和x軸只有一個交點，應選D點評：此題考查了拋物線與x軸的交點，根的判別式的應用，用了分類討論思想，題目比擬好，但是也比擬容易出錯103分(2021年山東東營)如圖，四邊形ABCD為菱形，AB=BD，點B、C、D、G四個點在同一個圓O上，連接BG并延長交AD于點F，連接DG并延長交AB于點

9、E，BD與CG交于點H，連接FH，以下結論：AE=DF；FHAB；DGHBGE；當CG為O的直徑時，DF=AF其中正確結論的個數(shù)是A1B2C3D4考點：圓的綜合題分析：由四邊形ABCD是菱形，AB=BD，得出ABD和BCD是等邊三角形，再由B、C、D、G四個點在同一個圓上，得出ADE=DBF，由ADEDBF，得出AE=DF，利用內錯角相等FBA=HFB，求證FHAB，利用DGH=EGB和EDB=FBA，求證DGHBGE，利用CG為O的直徑及B、C、D、G四個點共圓，求出ABF=12090=30，在RTAFB中求出AF=AB，在RTDFB中求出FD=BD，再求得DF=AF解答：解：四邊形ABCD

10、是菱形，AB=BC=DC=AD，又AB=BD，ABD和BCD是等邊三角形，A=ABD=DBC=BCD=CDB=BDA=60，又B、C、D、G四個點在同一個圓上，DCH=DBF，GDH=BCH，ADE=ADBGDH=60EDB，DCH=BCDBCH=60BCH，ADE=DCH，ADE=DBF，在ADE和DBF中，ADEDBFASAAE=DF故正確，由中證得ADE=DBF，EDB=FBA，B、C、D、G四個點在同一個圓上，BDC=60，DBC=60，BGC=BDC=60，DGC=DBC=60，BGE=180BGCDGC=1806060=60，F(xiàn)GD=60，F(xiàn)GH=120，又ADB=60，F(xiàn)、G、H

11、、D四個點在同一個圓上，EDB=HFB，F(xiàn)BA=HFB，F(xiàn)HAB，故正確，B、C、D、G四個點在同一個圓上，DBC=60，DGH=DBC=60，EGB=60，DGH=EGB，由中證得ADE=DBF，EDB=FBA，DGHBGE，故正確，如以下圖CG為O的直徑，點B、C、D、G四個點在同一個圓O上，GBC=GDC=90，ABF=12090=30，A=60，AFB=90，AF=AB，又DBF=6030=30，ADB=60，DFB=90，F(xiàn)D=BD，AB=BD，DF=AF，故正確，應選：D點評：此題綜合考查了圓及菱形的性質，等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定和性質，運用四點共圓找出相等的角是解

12、題的關鍵解題時注意各知識點的融會貫穿二、填空題共8小題，其中11-14題每題3分，15-18題每題3分，共28分113分(2021年山東東營)2021年東營市圍繞“轉方式，調結構，擴總量，增實力，上水平的工作大局，經濟平穩(wěn)較快增長，全年GDP到達3250億元，3250億元用科學記數(shù)法表示為3.251011考點：科學記數(shù)法表示較大的數(shù)分析：科學記數(shù)法的表示形式為a10n的形式，其中1|a|10，n為整數(shù)確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同當原數(shù)絕對值1時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值1時，n是負數(shù)解答：解：將3250億用科學記數(shù)法表示為：3.2510

13、11故答案為：3.251011點評：此題考查科學記數(shù)法的表示方法科學記數(shù)法的表示形式為a10n的形式，其中1|a|10，n為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值123分(2021年山東東營)3x2y27y=3yx+3x3考點：提公因式法與公式法的綜合運用分析：首先提取公因式3y，再利用平方差進行二次分解即可解答：解：原式=3yx29=3yx+3x3，故答案為：3yx+3x3點評：此題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止133分(2021年山東東營)市運會舉行射擊比賽，某校射擊隊從甲、乙

14、、丙、丁四人中選拔一人參賽，在選拔賽中，每人射擊10次，計算他們10發(fā)成績的平均數(shù)環(huán)及方差如下表，請你根據(jù)表中數(shù)據(jù)選一人參加比賽，最適宜的人選是丙甲乙丙丁平均數(shù)8.28.08.28.0方差2.01.81.51.6考點：方差；算術平均數(shù)分析：根據(jù)甲，乙，丙，丁四個人中甲和丙的平均數(shù)最大且相等，甲，乙，丙，丁四個人中丙的方差最小，說明丙的成績最穩(wěn)定，得到丙最適宜的人選解答：解：甲，乙，丙，丁四個人中甲和丙的平均數(shù)最大且相等，甲，乙，丙，丁四個人中丙的方差最小，說明丙的成績最穩(wěn)定，綜合平均數(shù)和方差兩個方面說明丙成績既高又穩(wěn)定，最適宜的人選是丙故答案為：丙點評：此題考查方差的意義方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)

15、波動大小的量，方差越大，說明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，說明這組數(shù)據(jù)分布比擬集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定143分(2021年山東東營)如圖，有兩棵樹，一棵高12米，另一棵高6米，兩樹相距8米，一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵數(shù)的樹梢，問小鳥至少飛行10米考點：勾股定理的應用分析：根據(jù)“兩點之間線段最短可知：小鳥沿著兩棵樹的樹梢進行直線飛行，所行的路程最短，運用勾股定理可將兩點之間的距離求出解答：解：如圖，設大樹高為AB=12m，小樹高為CD=6m，過C點作CEAB于E，那么四邊形EBDC是矩形，連接AC，EB=6m，EC=8m，AE=A

16、BEB=126=6m，在RtAEC中，AC=10m故小鳥至少飛行10m故答案為：10點評：此題考查了勾股定理的應用，根據(jù)實際得出直角三角形，培養(yǎng)學生解決實際問題的能力154分(2021年山東東營)如果實數(shù)x，y滿足方程組，那么代數(shù)式+2的值為1考點：分式的化簡求值；解二元一次方程組專題：計算題分析：原式括號中兩項通分并利用同分母分式的加法法那么計算，同時利用除法法那么變形，約分得到最簡結果，求出方程組的解得到x與y的值，代入計算即可求出值解答：解：原式=x+y=xy+2x+2y，方程組，解得：，當x=3，y=1時，原式=3+62=1故答案為：1點評：此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法那么

17、是解此題的關鍵164分(2021年山東東營)在O中，AB是O的直徑，AB=8cm，=，M是AB上一動點，CM+DM的最小值是8cm考點：軸對稱-最短路線問題；勾股定理；垂徑定理分析：作點C關于AB的對稱點C，連接CD與AB相交于點M，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，點M為CM+DM的最小值時的位置，根據(jù)垂徑定理可得=，然后求出CD為直徑，從而得解解答：解：如圖，作點C關于AB的對稱點C，連接CD與AB相交于點M，此時，點M為CM+DM的最小值時的位置，由垂徑定理，=，=，=，AB為直徑，CD為直徑，CM+DM的最小值是8cm故答案為：8點評：此題考查了軸對稱確定最短路線問題，垂徑定理，熟記定理并作

18、出圖形，判斷出CM+DM的最小值等于圓的直徑的長度是解題的關鍵174分(2021年山東東營)如圖，函數(shù)y=和y=的圖象分別是l1和l2設點P在l1上，PCx軸，垂足為C，交l2于點A，PDy軸，垂足為D，交l2于點B，那么三角形PAB的面積為8考點：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義分析：設P的坐標是a，推出A的坐標和B的坐標，求出APB=90，求出PA、PB的值，根據(jù)三角形的面積公式求出即可解答：解：點P在y=上，|xp|yp|=|k|=1，設P的坐標是a，a為正數(shù)，PAx軸，A的橫坐標是a，A在y=上，A的坐標是a，PBy軸，B的縱坐標是，B在y=上，代入得：=，解得：x=3a，B的坐標是3a，P

19、A=|=，PB=|a3a|=4a，PAx軸，PBy軸，x軸y軸，PAPB，PAB的面積是：PAPB=4a=8故答案為：8點評：此題考查了反比例函數(shù)和三角形面積公式的應用，關鍵是能根據(jù)P點的坐標得出A、B的坐標，此題具有一定的代表性，是一道比擬好的題目184分(2021年山東東營)將自然數(shù)按以下規(guī)律排列：表中數(shù)2在第二行第一列，與有序數(shù)對2，1對應，數(shù)5與1，3對應，數(shù)14與3，4對應，根據(jù)這一規(guī)律，數(shù)2021對應的有序數(shù)對為45，12考點：規(guī)律型：數(shù)字的變化類分析：根據(jù)數(shù)據(jù)可得出第一列的奇數(shù)行的數(shù)的規(guī)律是第幾行就是那個數(shù)平方，同理可得出第一行的偶數(shù)列的數(shù)的規(guī)律，從而得出2021所在的位置解答：

20、解：由可得：根據(jù)第一列的奇數(shù)行的數(shù)的規(guī)律是第幾行就是那個數(shù)平方，第一行的偶數(shù)列的數(shù)的規(guī)律，與奇數(shù)行規(guī)律相同；4545=2025，2021在第45行，向右依次減小，2021所在的位置是第45行，第12列，其坐標為45，12故答案為：45，12點評：此題主要考查了數(shù)字的規(guī)律知識，得出第一列的奇數(shù)行的數(shù)的規(guī)律與第一行的偶數(shù)列的數(shù)的規(guī)律是解決問題的關鍵三、解答題共7小題，共62分197分(2021年山東東營)1計算：12021+sin301+0|3|+830.12532解不等式組：把解集在數(shù)軸上表示出來，并將解集中的整數(shù)解寫出來考點：實數(shù)的運算；零指數(shù)冪；負整數(shù)指數(shù)冪；在數(shù)軸上表示不等式的解集；解一元

21、一次不等式組；一元一次不等式組的整數(shù)解；特殊角的三角函數(shù)值專題：計算題分析：1原式第一項利用乘方的意義化簡，第二項利用負指數(shù)冪法那么計算，第三項利用零指數(shù)冪法那么計算，第四項利用絕對值的代數(shù)意義化簡，最后一項利用積的乘方逆運算法那么變形，計算即可得到可結果；2分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出解集的公共局部即可解答：解：1原式=1+2+13+31=63；2，由得：x1；由得：x，不等式組的解集為x1，那么不等式組的整數(shù)解為1，0點評：此題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法那么是解此題的關鍵208分(2021年山東東營)東營市某中學開展以“我最喜歡的職業(yè)為主題的調查活動，通過對學生的隨機抽樣調

22、查得到一組數(shù)據(jù)，如圖是根據(jù)這組數(shù)據(jù)繪制成的不完整統(tǒng)計圖1求出被調查的學生人數(shù)；2把折線統(tǒng)計圖補充完整；3求出扇形統(tǒng)計圖中，公務員局部對應的圓心角的度數(shù)；4假設從被調查的學生中任意抽取一名，求抽取的這名學生最喜歡的職業(yè)是“教師的概率考點：折線統(tǒng)計圖；扇形統(tǒng)計圖；概率公式分析：1根據(jù)軍人的人數(shù)與所占的百分比求解即可；2分別求出教師、醫(yī)生的人數(shù)，補全統(tǒng)計圖即可；3根據(jù)公務員的人數(shù)占總人數(shù)的比例即可得出結論；4根據(jù)教師的人數(shù)占總人數(shù)的比例即可得出結論解答：解：1軍人的人數(shù)為20，百分比為10%，學生總人數(shù)為2010%=200人；2醫(yī)生的人數(shù)占15%，醫(yī)生的人數(shù)為20015%=30人，教師的人數(shù)=200

23、30402070=40人，折線統(tǒng)計圖如下圖：3由扇形統(tǒng)計圖可知，公務員占20%，20%360=72；4最喜歡的職業(yè)是“教師的人數(shù)是40人，從被調查的學生中任意抽取一名，求抽取的這名學生最喜歡的職業(yè)是“教師的概率=點評：此題考查扇形統(tǒng)計圖及相關計算在扇形統(tǒng)計圖中，每局部占總局部的百分比等于該局部所對應的扇形圓心角的度數(shù)與360的比218分(2021年山東東營)如圖，AB是O的直徑，OD垂直于弦AC于點E，且交O于點D，F(xiàn)是BA延長線上一點，假設CDB=BFD1求證：FD是O的一條切線；2假設AB=10，AC=8，求DF的長考點：切線的判定；垂徑定理分析：1利用圓周角定理以及平行線的判定得出FDO

24、=90，進而得出答案；2利用垂徑定理得出AE的長，再利用相似三角形的判定與性質得出FD的長解答：1證明：CDB=CAB，CDB=BFD，CAB=BFD，F(xiàn)DAC，AEO=90，F(xiàn)DO=90，F(xiàn)D是O的一條切線；2解：AB=10，AC=8，DOAC，AE=EC=4，AO=5，EO=3，AEFD，AEOFDO，=，=，解得：FD=點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及切線的判定等知識，得出AEOFDO是解題關鍵228分(2021年山東東營)熱氣球的探測器顯示，從熱氣球底部A處看一棟高樓頂部的仰角為30，看這棟樓底部的俯角為60，熱氣球A處與高樓的水平距離為120m，這棟高樓有多高1.732

25、，結果保存小數(shù)點后一位？考點：解直角三角形的應用-仰角俯角問題分析：過A作ADBC，垂足為D，在直角ABD與直角ACD中，根據(jù)三角函數(shù)即可求得BD和CD，即可求解解答：解：過A作ADBC，垂足為D在RtABD中，BAD=30，AD=120m，BD=ADtan30=120=40m，在RtACD中，CAD=60，AD=120m，CD=ADtan60=120=120m，BC=40=277.12277.1m答：這棟樓高約為277.1m點評：此題主要考查了仰角與俯角的計算，一般三角形的計算，常用的方法是利用作高線轉化為直角三角形的計算238分(2021年山東東營)為順利通過“國家文明城市驗收，東營市政府

26、擬對稱取局部路段的人行道地磚、綠化帶、排水管等公用設施全面更新改造，根據(jù)市政建設的需要，需在40天內完成工程現(xiàn)有甲、乙兩個工程隊有意承包這項工程，經調查知道，乙工程隊單獨完成此項工程的時間是甲工程隊單獨完成此項工程時間的2倍，假設甲、乙兩工程隊合作只需10天完成1甲、乙兩個工程隊單獨完成此項工程各需多少天？2假設甲工程隊每天的工程費用是4.5萬元，乙工程隊每天的工程費用是2.5萬元，請你設計一種方案，既能按時完工，又能使工程費用最少考點：一次函數(shù)的應用；分式方程的應用分析：1如果設甲工程隊單獨完成該工程需x天，那么乙工程隊單獨完成該工程需2x天再根據(jù)“甲、乙兩隊合作完成工程需要10天，列出方程

27、解決問題；2首先根據(jù)1中的結果，從而可知符合要求的施工方案有三種：方案一：由甲工程隊單獨完成；方案二：由乙工程隊單獨完成；方案三：由甲乙兩隊合作完成針對每一種情況，分別計算出所需的工程費用解答：解：1設甲工程隊單獨完成該工程需x天，那么乙工程隊單獨完成該工程需2x天，由題意得=解得：x=15，經檢驗，x=15是原分式方程的解，2x=30答：甲工程隊單獨完成此項工程需15天，乙工程隊單獨完成此項工程需30天2方案一：由甲工程隊單獨完成需要4.515=67.5萬元；方案二：由乙工程隊單獨完成需要2.530=75萬元；方案三：由甲乙兩隊合作完成4.510+2.510=70萬元所以選擇甲工程隊，既能按

28、時完工，又能使工程費用最少點評：此題考查分式方程在工程問題中的應用分析題意，找到關鍵描述語，找到適宜的等量關系是解決問題的關鍵2411分(2021年山東東營)【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，ABC是等邊三角形，AEF=60，EF交等邊三角形外角平分線CF所在的直線于點F，當點E是BC的中點時，有AE=EF成立；【數(shù)學思考】某數(shù)學興趣小組在探究AE、EF的關系時，運用“從特殊到一般的數(shù)學思想，通過驗證得出如下結論：當點E是直線BC上B，C除外任意一點時其它條件不變，結論AE=EF仍然成立假設你是該興趣小組中的一員，請你從“點E是線段BC上的任意一點；“點E時線段BC延長線上的任意一點；“點E時線段BC反向延

29、長線上的任意一點三種情況中，任選一種情況，在圖2中畫出圖形，并證明AE=EF【拓展應用】當點E在線段BC的延長線上時，假設CE=BC，在圖3中畫出圖形，并運用上述結論求出SABC：SAEF的值考點：相似形綜合題分析：根據(jù)等邊三角形的性質，可得AB=BC，B=ACB=60，根據(jù)三角形外角的性質，可得AEC=B+GAE=60+GAE，根據(jù)ASA，可得AGEECF，根據(jù)全等三角形的性質，可得結論；根據(jù)等邊三角形的判定，可得AEF是等邊三角形，根據(jù)根據(jù)等邊三角形像似，可得ABC與AEF的關系，根據(jù)等腰三角形的性質，可得AC與AH的關系，AC與AE的關系，根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方，可得答案解答：證明：如圖一，在B上截取AG，使AG=EC，連接EG，ABC是等邊三角形，AB=BC，B=ACB=60AG=EC，BG=BE，BEG是等邊三角形，BGE=60，AGE=120FC是外角的平分線，ECF=120=AGEAEC是ABE的外角，AEC=B+GAE=60+GAEAEC=AEF+FEC=60+FEC，GAE=FEC在AGE和ECF中，AGEECFASA，AE=EF；拓展應用：如圖二：作CHAE于H點，AHC=90由數(shù)學思考得AE=EF，又AEF=60，AEF是等邊三角形，ABCA