上海市虹口區(qū)高三5月模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題及答案

1、虹口區(qū)2014屆高三5月模擬考試（三模）數(shù)學(xué)學(xué)科（理科）（時間120分鐘，滿分150分）一、填空題（每小題4分，滿分56分）1、是第二象限角，則是第 象限角 分析： 一或三2、復(fù)數(shù)滿足，則此復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點的軌跡方程是 .分析：3、已知全集，集合, 若，則實數(shù)的值為 .分析：，則4、一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與某一個球的直徑相等，這時圓柱、圓錐、球的體積之比為 .分析： 設(shè)底面半徑為，則它們的高 ，則.5、已知，則的值為 . 分析： 設(shè)，即， 則. 6、定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時， （為常數(shù)），則的值為 .分析：，則,，當(dāng)時，.7、公差不為零的等差數(shù)列中，數(shù)列是等比數(shù)列，且，則等于

2、.分析： 等差數(shù)列中，則，取，.8、已知等差數(shù)列的通項公式為，則的展開式中項的系數(shù)是數(shù)列中的第 項分析： 209、已知極坐標(biāo)系的極點為直角坐標(biāo)系的原點，極軸與軸的非負半軸重合.若直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)，且，則直線與曲線的交點的直角坐標(biāo)為 .分析：；注意參數(shù)方程中10、一個口袋內(nèi)有4個不同的紅球，6個不同的白球，若取一個紅球記2分，取一個白球記1分，從中任取5個球，使總分不少于7分的取法有多少種 .分析：設(shè)取紅球個，白球個，則 ，取法為. 11、棱長為1的正方體及其內(nèi)部一動點，集合,則集合構(gòu)成的幾何體表面積為 .分析： .12、是雙曲線的右支上一點，、分別是圓和上的點，則的最

3、大值等于 .分析：兩個圓心正好是雙曲線的焦點，再根據(jù)雙曲線的定義得 的最大值等于9.13、設(shè)為實數(shù)，且滿足：，則 .分析：，令，則是遞增函數(shù)，且則，即.14、在區(qū)間上，關(guān)于的方程解的個數(shù)為 分析：令，則，化為考察的上半圓與函數(shù)的圖象可知有一個公共點，故關(guān)于的方程有個解.二、選擇題（每小題5分，滿分20分）15、已知為實數(shù)，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則的虛部為（ ）、 、 、 、分析：則，選.16、“”是“函數(shù)（）在區(qū)間上為增函數(shù)”的( )、充分不必要條件 、必要不充分條件、充要條件 、既不充分也不必要條件分析：時，在上為增函數(shù)；反之，在區(qū)間上為增函數(shù)，則，故選.17、如果函數(shù)在上的最大值和最小值分別為、

4、，那么.根據(jù)這一結(jié)論求出的取值范圍（ ）.、 、 、 、分析：求在上的最值，選.18、如圖，已知點，正方形內(nèi)接于，、分別為邊、的中點，當(dāng)正方形繞圓心旋轉(zhuǎn)時，的取值范圍是（ ） 、 、 、 、分析：且長度為1，可設(shè)，然后用坐標(biāo)求解.也可以，答案選.三、解答題（滿分74分）19、（本題滿分12分）如圖，直四棱柱底面直角梯形，是棱上一點，.（1）求異面直線與所成的角；（2）求證：平面.解：（1）以原點，、分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，.3分于是,異面直線與所成的角的大小等于.6分（2）過作交于，在中，則，10分，.又，平面.12分20、（本題滿分14分）已知數(shù)列和滿足：，其中為實數(shù)，為正整

5、數(shù).（1）對任意實數(shù)，求證：不成等比數(shù)列；（2）試判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論.解（1）證明：假設(shè)存在一個實數(shù)，使是等比數(shù)列，則有,即矛盾.所以不成等比數(shù)列.6分（2）因為9分又,所以當(dāng)，(為正整數(shù))，此時不是等比數(shù)列：11分當(dāng)時，由上式可知，(為正整數(shù)) ，故當(dāng)時，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.14分21、（本題滿分14分）如圖，、是兩個小區(qū)所在地，、到一條公路的垂直距離分別為，兩端之間的距離為.（1）某移動公司將在之間找一點，在處建造一個信號塔，使得對、的張角與對、的張角相等，試確定點的位置.（2）環(huán)保部門將在之間找一點，在處建造一個垃圾處理廠，使得對、所張角最大，試確定點的

6、位置.解：（1）設(shè)，.依題意有，.3分由，得，解得，故點應(yīng)選在距點2處.6分（2）設(shè)，.依題意有，10分令，由，得，12分，當(dāng)，所張的角為鈍角，最大角當(dāng)，即時取得，故點應(yīng)選在距點處.14分22、（本題滿分16分）閱讀：已知、，求的最小值.解法如下：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取到等號，則的最小值為.應(yīng)用上述解法，求解下列問題：（1）已知，求的最小值；（2）已知，求函數(shù)的最小值；（3）已知正數(shù)、，求證：.解（1），2分而，當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號，則，即的最小值為.5分（2），7分而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取到等號，則，所以函數(shù)的最小值為.10分（3）當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號，則.16分23、（本題滿分18分）已知函數(shù)常數(shù)）滿足.（1）求出的值，并就常數(shù)的不同取值討論函數(shù)奇偶性；（2）若在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的最小值；（3）在（2）的條件下，當(dāng)取最小值時，證明：恰有一個零點且存在遞增的正整數(shù)數(shù)列，使得成立.解：（1）由得，解得.從而，定義域為當(dāng)時，對于定義域內(nèi)的任意，有，為偶函數(shù)2分當(dāng)時，從而，不是奇函數(shù)；，不是偶函數(shù)，非奇非偶.4分（2）對于任意的，總有恒成立，即，得.6分，從而.又，的最小值等于.10