全等三角形中常用輔助線經(jīng)典

1、三角形中的常用輔助線課程解讀一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：歸納、掌握三角形中的常見輔助線二、重點(diǎn)、難點(diǎn)：1、全等三角形的常見輔助線的添加方法。2、掌握全等三角形的輔助線的添加方法并提高解決實(shí)際問題的能力。三、考點(diǎn)分析：全等三角形是初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，是今后學(xué)習(xí)其他知識的基礎(chǔ)。判斷三角形全等的公理有sas、asa、aas、sss和hl，如果所給條件充足，則可直接根據(jù)相應(yīng)的公理證明，但是如果給出的條件不全，就需要根據(jù)已知的條件結(jié)合相應(yīng)的公理進(jìn)行分析，先推導(dǎo)出所缺的條件然后再證明。一些較難的證明題要構(gòu)造合適的全等三角形，把條件相對集中起來，再進(jìn)行等量代換，就可以化難為易了。典型例題人說幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助

2、線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。全等三角形輔助線找全等三角形的方法：（1）可以從結(jié)論出發(fā)，尋找要證明的相等的兩條線段（或兩個(gè)角）分別在哪兩個(gè)可能全等的三角形中；（2）可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個(gè)三角形全等；（3）可從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能確定哪兩個(gè)三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形。三角形中常見輔助線的作法：延長中線構(gòu)造全等三角形；利用翻折，構(gòu)造全等三角形；引平行線構(gòu)造全等三角形；作連線構(gòu)造等腰三角形。常見輔助線的作法有以下幾種：（1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模

3、式是全等變換中的“對折”。例1：如圖，abc是等腰直角三角形，bac=90，bd平分abc交ac于點(diǎn)d，ce垂直于bd，交bd的延長線于點(diǎn)e。求證：bd=2ce。思路分析：1）題意分析：本題考查等腰三角形的三線合一定理的應(yīng)用2）解題思路：要求證bd=2ce，可用加倍法，延長短邊，又因?yàn)橛衎d平分abc的條件，可以和等腰三角形的三線合一定理結(jié)合起來。解答過程：證明：延長ba，ce交于點(diǎn)f，在bef和bec中，1=2，be=be，bef=bec=90，befbec，ef=ec，從而cf=2ce。又1+f=3+f=90，故1=3。在abd和acf中，1=3，ab=ac，bad=caf=90，abda

4、cf，bd=cf，bd=2ce。解題后的思考：等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的逆命題在添加輔助線中的應(yīng)用不但可以提高解題的能力，而且還加強(qiáng)了相關(guān)知識點(diǎn)和不同知識領(lǐng)域的聯(lián)系，為同學(xué)們開拓了一個(gè)廣闊的探索空間；并且在添加輔助線的過程中也蘊(yùn)含著化歸的數(shù)學(xué)思想，它是解決問題的關(guān)鍵。（2）若遇到三角形的中線，可倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”。例2：如圖，已知abc中，ad是bac的平分線，ad又是bc邊上的中線。求證：abc是等腰三角形。思路分析：1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識。2）解題思路：在證明三角形的問題中特別要注意題目中出現(xiàn)

5、的中點(diǎn)、中線、中位線等條件，一般這些條件都是解題的突破口，本題給出了ad又是bc邊上的中線這一條件，而且要求證ab=ac，可倍長ad得全等三角形，從而問題得證。解答過程：證明：延長ad到e，使de=ad，連接be。又因?yàn)閍d是bc邊上的中線，bd=dc又bde=cdabedcad，故eb=ac，e=2，ad是bac的平分線1=2，1=e，ab=eb，從而ab=ac，即abc是等腰三角形。解題后的思考：題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常加倍延長此線段，再將端點(diǎn)連結(jié)，便可得到全等三角形。（3）遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識

6、點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理。例3：已知，如圖，ac平分bad，cd=cb，abad。求證：b+adc=180。思路分析：1）題意分析：本題考查角平分線定理的應(yīng)用。2）解題思路：因?yàn)閍c是bad的平分線，所以可過點(diǎn)c作bad的兩邊的垂線，構(gòu)造直角三角形，通過證明三角形全等解決問題。解答過程：證明：作ceab于e，cfad于f。ac平分bad，ce=cf。在rtcbe和rtcdf中，ce=cf，cb=cd，rtcbertcdf，b=cdf，cdf+adc=180，b+adc=180。解題后的思考：關(guān)于角平行線的問題，常用兩種輔助線；見中點(diǎn)即聯(lián)想到中位線。（4）過圖形上某一點(diǎn)作特定的平行線，

7、構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”例4：如圖，abc中，ab=ac，e是ab上一點(diǎn)，f是ac延長線上一點(diǎn)，連ef交bc于d，若eb=cf。求證：de=df。思路分析：1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識：作平行線。2）解題思路：因?yàn)閐e、df所在的兩個(gè)三角形deb與dfc不可能全等，又知eb=cf，所以需通過添加輔助線進(jìn)行相等線段的等量代換：過e作eg/cf，構(gòu)造中心對稱型全等三角形，再利用等腰三角形的性質(zhì)，使問題得以解決。解答過程：證明：過e作eg/ac交bc于g，則egb=acb，又ab=ac，b=acb，b=egb，egd=dcf，eb=eg=

8、cf，edb=cdf，dgedcf，de=df。解題后的思考：此題的輔助線還可以有以下幾種作法：例5：abc中，bac=60，c=40，ap平分bac交bc于p，bq平分abc交ac于q，求證：ab+bp=bq+aq。思路分析：1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識：作平行線。2）解題思路：本題要證明的是ab+bp=bq+aq。形勢較為復(fù)雜，我們可以通過轉(zhuǎn)化的思想把左式和右式分別轉(zhuǎn)化為幾條相等線段的和即可得證?？蛇^o作bc的平行線。得adoaqo。得到od=oq，ad=aq，只要再證出bd=od就可以了。解答過程：證明：如圖（1），過o作odbc交ab于d，ado=abc=18060

9、40=80，又aqo=c+qbc=80，ado=aqo，又dao=qao，oa=ao，adoaqo，od=oq，ad=aq，又odbp，pbo=dob，又pbo=dbo，dbo=dob，bd=od，又bpa=c+pac=70，bop=oba+bao=70，bop=bpo，bp=ob，ab+bp=ad+db+bp=aq+oq+bo=aq+bq。解題后的思考：（1）本題也可以在ab上截取ad=aq，連od，構(gòu)造全等三角形，即“截長法”。（2）本題利用“平行法”的解法也較多，舉例如下：如圖（2），過o作odbc交ac于d，則adoabo從而得以解決。如圖（5），過p作pdbq交ac于d，則abpad

10、p從而得以解決。小結(jié)：通過一題的多種輔助線添加方法，體會添加輔助線的目的在于構(gòu)造全等三角形。而不同的添加方法實(shí)際是從不同途徑來實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移的，體會構(gòu)造的全等三角形在轉(zhuǎn)移線段中的作用。從變換的觀點(diǎn)可以看到，不論是作平行線還是倍長中線，實(shí)質(zhì)都是對三角形作了一個(gè)以中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造了全等三角形。（5）截長法與補(bǔ)短法，具體作法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。例6：如圖甲，adbc，點(diǎn)e在線段ab上，ade=cde，dce=ecb。求證：cd=ad+bc。

11、思路分析：1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識：截長法或補(bǔ)短法。2）解題思路：結(jié)論是cd=ad+bc，可考慮用“截長補(bǔ)短法”中的“截長”，即在cd上截取cf=cb，只要再證df=da即可，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問題，從而達(dá)到簡化問題的目的。解答過程：證明：在cd上截取cf=bc，如圖乙fcebce（sas），2=1。又adbc，adc+bcd=180，dce+cde=90，2+3=90，1+4=90，3=4。在fde與ade中，fdeade（asa），df=da，cd=df+cf，cd=ad+bc。解題后的思考：遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí)，一般方法是截長法或補(bǔ)短法：截

12、長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；補(bǔ)短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。1）對于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法將其放在一個(gè)三角形中證明。2）在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如直接證明不出來，可連接兩點(diǎn)或延長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明。小結(jié)：三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向

13、兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式，移到同一三角形。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)下一講我們就要進(jìn)入八下的學(xué)習(xí)了，八下的第一章是分式。請同學(xué)們預(yù)習(xí)課本，并思考以下問題。1、分式的概念是什么？2、分式的乘除法的運(yùn)算法則是什么？同步練習(xí)（答題時(shí)間：90分鐘）這幾道題一定要認(rèn)真思考啊，都是要添加輔助線的，開動(dòng)腦筋好好想一想吧！加油！你一定行！1、已知，如圖1，在四邊形abcd中，bcab，ad=dc，bd平分abc。求證：bad+bcd=180。2、已知，如圖2，1=2，p為bn上一點(diǎn)，且pdbc于點(diǎn)d，ab+bc=2bd。求證：ba

14、p+bcp=180。3、已知，如圖3，在abc中，c2b，12。求證：ab=ac+cd。試題答案1、分析：因?yàn)槠浇堑扔?80，因而應(yīng)考慮把兩個(gè)不在一起的角通過全等轉(zhuǎn)化成為平角，圖中缺少全等的三角形，因而解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角形，可通過“截長法或補(bǔ)短法”來實(shí)現(xiàn)。證明：過點(diǎn)d作de垂直ba的延長線于點(diǎn)e，作dfbc于點(diǎn)f，如圖1-2rtadertcdf(hl)，dae=dcf。又bad+dae=180，bad+dcf=180，即bad+bcd=1802、分析：與1相類似，證兩個(gè)角的和是180，可把它們移到一起，讓它們成為鄰補(bǔ)角，即證明bcp=eap，因而此題適用“補(bǔ)短”進(jìn)行全等三角形的構(gòu)造。證

15、明：過點(diǎn)p作pe垂直ba的延長線于點(diǎn)e，如圖2-2rtapertcpd(sas)，pae=pcd又bap+pae=180。bap+bcp=1803、分析：從結(jié)論分析，“截長”或“補(bǔ)短”都可實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，即延長ac至e使ce=cd，或在ab上截取af=ac。證明：方法一（補(bǔ)短法）延長ac到e，使dc=ce，則cdeced，如圖3-2afdacd（sas），df=dc，afdacd。又acb2b，fdbb，fd=fb。ab=af+fb=ac+fd，ab=ac+cd。4、證明：（方法一）將de兩邊延長分別交ab、ac于m、n，在amn中，am+anmd+de+ne；在bdm中，mb+mdbd；在c

16、en中，cn+nece；由+得：am+an+mb+md+cn+nemd+de+ne+bd+ceab+acbd+de+ec（方法二：圖4-2）延長bd交ac于f，延長ce交bf于g，在abf、gfc和gde中有：ab+afbd+dg+gfgf+fcge+cedg+gede由+得：ab+af+gf+fc+dg+gebd+dg+gf+ge+ce+deab+acbd+de+ec。5、分析：要證ab+ac2ad，由圖想到：ab+bdad，ac+cdad，所以有ab+ac+bd+cdad+ad=2ad，左邊比要證結(jié)論多bd+cd，故不能直接證出此題，而由2ad想到要構(gòu)造2ad，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)

17、移到同一個(gè)三角形中去acdebd（sas）be=ca（全等三角形對應(yīng)邊相等）在abe中有：ab+beae（三角形兩邊之和大于第三邊）ab+ac2ad。6、分析：欲證ac=bf，只需證ac、bf所在兩個(gè)三角形全等，顯然圖中沒有含有ac、bf的兩個(gè)全等三角形，而根據(jù)題目條件去構(gòu)造兩個(gè)含有ac、bf的全等三角形也并不容易。這時(shí)我們想到在同一個(gè)三角形中等角對等邊，能夠把這兩條線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中，只要說明轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形以后的這兩條線段，所對的角相等即可。思路一、以三角形adc為基礎(chǔ)三角形，轉(zhuǎn)移線段ac，使ac、bf在三角形bfh中方法一：延長ad到h，使得dh=ad，連結(jié)bh，證明adc和hdb全等，得ac=bh。通過證明h=bfh，得到bf=bh。adchdb(sas)ac=bh，h=hacea=efhae=afe又bfh=afebh=bfbf=ac方法二：過b點(diǎn)作bh平行a