易拉罐的優(yōu)化設計

1、易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設計組員：邢登峰，張娜，劉夢云摘要研究易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設計可以節(jié)約的資源是很可觀的。問題一，我們通過實際測量得出（355ml）易拉罐各部分的數(shù)據(jù)。問題二，在假設易拉罐蓋口厚度與其他部分厚度之比為3：1的條件下，建立易拉罐用料模型，由微積分方法求最優(yōu)解，結論：易拉罐高與直徑之比2：1，用料最??； 在假定易拉罐高與直徑2：1的條件下，將易拉罐材料設想為外體積減內體積，得用料模型：用微積分方法得最優(yōu)解：易拉罐蓋子厚度與其他部分厚度為3：1。問題三，在易拉罐基本尺寸，高與直徑之比2：1的條件下，將上面為正圓臺的易拉罐用料優(yōu)化設計，轉化為正圓柱部分一定而研究此正圓臺的用料優(yōu)化

2、設計。模型 圓臺面積 用數(shù)學軟件求得最優(yōu)解r=1.467, h=1.93時，s=45.07最小。結論：易拉罐總高：底直徑=2：1，上下底之比=1：2，與實際比較分析了各種原因。問題四，從重視外觀美學要求（黃金分割），認為高與直徑之比1：0.4更別致、美觀。對這種比例的正圓柱體易拉罐作了實際優(yōu)化分析。另從美學及經(jīng)濟學的角度提出正四面柱體易拉罐的創(chuàng)新設想，分析了這樣易拉罐的優(yōu)缺點和尺寸優(yōu)化設計。最后寫出了我們對數(shù)學建模的體會文章。關鍵詞：易拉罐 最優(yōu)設計 數(shù)學建模問題重述在生活中我們會發(fā)現(xiàn)銷量很大的飲料 (例如飲料量為355毫升的可口可樂、青島啤酒等) 的飲料罐(即易拉罐)的形狀和尺寸幾乎都是一樣

3、的?？磥?，這并非偶然，這應該是某種意義下的最優(yōu)設計。當然，對于單個的易拉罐來說，這種最優(yōu)設計可以節(jié)省的錢可能是很有限的，但是如果是生產幾億，甚至幾十億個易拉罐的話，可以節(jié)約的錢就很可觀了?，F(xiàn)在就請你們小組來研究易拉罐的形狀和尺寸的最優(yōu)設計問題。具體說，請你們完成以下的任務：1 取一個凈含量為355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可樂飲料罐，測量你們認為驗證模型所需要的數(shù)據(jù)，例如易拉罐各部分的直徑、高度，厚度等，并把數(shù)據(jù)列表加以說明；如果數(shù)據(jù)不是你們自己測量得到的，那么你們必須注明出處。2 設易拉罐是一個正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設計？其結果是否可以合理地說明你們所測量的易拉罐的形狀和尺寸，例如

4、說，半徑和高之比，等等。3 設易拉罐的中心縱斷面如下圖所示，即上面部分是一個正圓臺，下面部分是一個正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設計？其結果是否可以合理地說明你們所測量的易拉罐的形狀和尺寸。4. 利用你們對所測量的易拉罐的洞察和想象力，做出你們自己的關于易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設計。一、問題的提出我們只要稍加留意就會發(fā)現(xiàn)銷量很大的飲料 (例如飲料量為355毫升的可口可樂、青島啤酒等) 的飲料罐(即易拉罐)的形狀和尺寸幾乎都是一樣的?？磥?，這并非偶然，這應該是某種意義下的最優(yōu)設計。當然，對于單個的易拉罐來說，這種最優(yōu)設計可以節(jié)省的錢可能是很有限的，但是如果是生產幾億，甚至幾十億個易拉罐的話，可以節(jié)約的錢

5、就很可觀了。對于易拉罐的形狀和尺寸的最優(yōu)設計我們提出了以下問題：1. 取一個飲料量為355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可樂飲料罐，測量你們認為驗證模型所需要的數(shù)據(jù)，例如易拉罐各部分的直徑、高度，厚度等，并把數(shù)據(jù)列表加以說明；如果數(shù)據(jù)不是你們自己測量得到的，那么你們必須注明出處。2. 設易拉罐是一個正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設計？其結果是否可以合理地說明你們所測量的易拉罐的形狀和尺寸，例如說，半徑和高之比，等等。3. 設易拉罐的中心縱斷面如圖所示，即上面部分是一個正圓臺，下面部分是一個正圓柱體，什么是它的最優(yōu)設計？其結果是否可以合理地說明你們所測量的易拉罐的形狀和尺寸。4. 利用你們對所測量

6、的易拉罐的洞察和想象力，做出你們自己的關于易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設計。 二、模型假設1、假設易拉罐的各個組成部分是同一種材料；不考慮具體的用料（假設為鋁材），也不考慮易拉罐的工藝過程。2、易拉罐的形狀和尺寸假設為“正圓柱體”或“正圓臺與正圓柱體的結合”等等。3、實際測量允許有一定的誤差。4、問題二中的假設： 在本問題的研究中，假設易垃罐是一個正圓柱體； 假設易拉罐側面和底面的厚度相同，頂部的厚度是側面厚度的3倍；三模型的假設與求解問題一：上圓臺上底直徑59蓋厚0.30下底直徑67上圓臺側面厚0.20高度13正圓柱直徑67壁厚0.10高度110我們測得355ml易拉罐（雪碧）尺寸如下（單位mm）

7、：(以后尺寸均以其為基本單位)問題二： 本題建立在易拉罐是一個正圓柱體的基礎之上，如圖（2）假設易拉罐側面厚度與底面厚度相同，與頂蓋厚度不同。1 符號說明：r：易拉罐的半徑；h：易拉罐的高；v：易拉罐內體積（容積）；sv：易拉罐所用材料的體積；b：易拉罐除頂蓋外的厚度；：頂蓋厚度參數(shù)，即頂蓋厚度。 （2）2 問題分析與模型由于易拉罐尺寸優(yōu)化設計要研究到易拉罐各部分厚度問題，可設想一個易拉罐所用材料是易拉罐外形體積減去內部體積（見圖2）。易拉罐用料=側面材料+底面材料+頂蓋材料將上式化簡，并以為參數(shù)，看作為自變量。有作簡化，因為，則很小，所以可將帶的項忽略。有記（v是已知的，即罐容積一定）。得數(shù)

8、學模型3 模型求解由約束條件，得，代入目標函數(shù)令得因為所以為極小值點。又由于極值點只有此一個，因此也是全局極小。又由于，則由對問題二的前一解的結論，得，結論：。4 結果分析易拉罐頂蓋厚度是側面厚度的3倍（），與我們對355ml可口可樂等易拉罐的實測數(shù)據(jù)完全一致（見問題（1）的解）。問題三：本題建立在易拉罐上面是一個正圓臺，下面是一個正圓柱體的基礎之上，如圖（3）1 符號說明r：易拉罐正圓柱體半徑（也即是正圓臺下底半徑）；r：易拉罐正圓臺上底半徑；h1：易拉罐正圓柱體高；v1：易拉罐正圓柱體容積；h ：易拉罐正圓臺高；v：易拉罐正圓臺容積。3問題分析與模型 因為上述解問題二的結論（正圓柱體易拉罐

9、用料最省的形狀和尺寸的最優(yōu)設計是h=2d）已確定了圓柱形易拉罐的基本尺寸，若易拉罐體積一定，則基本的高與半徑可大致確定，即易拉罐的圓柱體部分確定。所以這里我們可以由此簡化問題為研究正圓臺部分的優(yōu)化設計。以常見的可口可樂等355ml易拉罐為例，易拉罐可取定r=32mm,h1=110mm,于是測算出v=355ml.于是問題三轉化為，已知易拉罐上部正圓臺體積v一定，底半徑r一定時，其上底半徑r和高h為何值（或r與h比例是多少）正圓臺的表面積最小，如圖（4）： （4）求正圓臺的面積得模型：正圓臺面積=頂蓋面積+圓臺側面積用數(shù)學軟件求s的最小值（其中如前分析取v=35ml,r=3.2cm），得： 當r=1.467cm,h=1.93cm時，結論：常見的正圓臺與正圓柱體結合的易拉罐，只考慮形狀和尺寸變化用料最少的優(yōu)化設計標準是：總高度與底直徑之比為2：1， 正圓臺的高與上底直徑之比約為2：3（即h：2r2：3），相應易拉罐上下底直徑之比為。問題四：新設計現(xiàn)今常見的易拉罐都是圓柱形，對于一定容積的柱體，以正圓柱體的表面積最小，且圓柱形的外形也較為美觀。但易拉罐流行至今幾十年都是圓柱形，也太常見有審美疲勞。因而我們考慮易拉