箱子擺放策略

1、箱子如何擺放最優(yōu)策略 摘要本文針對正方形叉車底板如何擺放不同規(guī)格的箱子的問題，建立通用的優(yōu)化模型，尋找在一定程度上貼近實(shí)際的簡單可行的方法使得底板擺放箱子最多。并使用lingo求解，用excel進(jìn)行畫圖，實(shí)現(xiàn)了箱子最優(yōu)擺放與評價(jià)。對于問題1：建立在箱子不允許超出叉車底板邊緣, 也不允許長方形箱子相互重疊的情況下，通過題中所定方式以四個(gè)角向中心以螺旋狀推進(jìn)來減少空白浪費(fèi)的位置，每個(gè)角都要擺放箱子。在擺放箱子時(shí)，我們以題中所定方式在同一邊上的兩個(gè)角分別橫放、豎放箱子，而在對角線的兩個(gè)角上采用同向擺放。每一邊先設(shè)擺放箱子的長邊個(gè)數(shù)和寬邊個(gè)數(shù)，以四個(gè)角的長寬邊個(gè)數(shù)相乘得出四個(gè)角上擺放的箱子個(gè)數(shù)，相加得

2、到箱子的總個(gè)數(shù)，以此建立目標(biāo)函數(shù)。通過約束條件限制同邊和對角線的箱子不會(huì)重合。通過lingo軟件求解，得到最終的最優(yōu)擺放方案為：型號(hào)1的箱子最多可擺放16個(gè)，型號(hào)2的箱子最多可擺放4個(gè)，型號(hào)3的箱子最多可擺放20個(gè)。對于問題2：建立在允許箱子在正方形底板的上方，左邊，右邊部分超出底板（下方緊靠叉車壁，不能超出），但不至于掉落出叉車底板的情況下，同樣以問題1中四角的擺放方式建立模型。這時(shí)只要箱子的重心不超出叉車邊緣即可，即箱子長邊與寬邊可至多超出底板邊緣一半，相當(dāng)于叉車底板可擺放面積向外擴(kuò)大了。根據(jù)問題1中擺放方式分成四個(gè)角考慮：左上角向上擴(kuò)大1/2b，向左擴(kuò)大1/2a；右上角向上擴(kuò)大1/2a，

3、向右擴(kuò)大1/2b；左下角向左擴(kuò)大1/2b；右下角向右擴(kuò)大1/2a。仍然按照第一問中的思想建立目標(biāo)函數(shù)，只改變一部分約束條件使可擺放面積擴(kuò)大，利用lingo軟件求解，得到最終的最優(yōu)擺放方案為：型號(hào)1的箱子最多可擺放20個(gè)，型號(hào)2的箱子最多可擺放8個(gè)，型號(hào)3的箱子最多可擺放26個(gè)。對于問題3：建立在允許箱子在正方形底板的上方，左邊，右邊部分超出底板（下方緊靠叉車壁，不能超出），但不至于掉落出叉車底板的情況下，尋求優(yōu)于問題1、2中四角擺放的其他擺放方式。以由下至上的逐步優(yōu)化思想建立模型：首先擺放緊挨底邊的一層箱子，為使箱子擺放數(shù)目更多就要使得向叉車外擴(kuò)大的部分更多，所以我們在其兩邊各向外擴(kuò)充1/2a

4、的長度，剩余部分進(jìn)行優(yōu)化得到底邊利用率最大的擺放方式。再以同樣的擺放方式向上無縫隙層層堆疊，至上邊最多超出半個(gè)箱子的邊長為止。利用lingo軟件編程求解，得到最終的最優(yōu)擺放方案為：型號(hào)1的箱子最多可擺放23個(gè)，型號(hào)2的箱子最多可擺放8個(gè)，型號(hào)3的箱子最多可擺放28個(gè)。最后，我們對以上三個(gè)問題建立的模型進(jìn)行評價(jià)，其中有一些不足，但也有可取之處，希望對該企業(yè)解決實(shí)際問題有一定的參考價(jià)值。關(guān)鍵詞：四角螺旋推進(jìn) 擴(kuò)大可擺放面積 由下至上逐層優(yōu)化 12一、問題重述某企業(yè)使用叉車運(yùn)輸?shù)酌鏋殚L方形的箱子。這些箱子放在叉車的正方形底板上，箱子的規(guī)格是統(tǒng)一的（所有箱子的長方形底面的形狀相同）。通常在一次運(yùn)輸上，

5、規(guī)定箱子只能像圖中這樣橫著放，或者豎著放。如圖所示, 叉車置放箱子的底板是一個(gè)邊長為1.1米的正方形。下圖所示的便是一種可行的擺放方法，但不一定是最優(yōu)的?，F(xiàn)在這個(gè)企業(yè)需要你們幫助建立一個(gè)通用的優(yōu)化模型，使得給定長方形箱子的長和寬之后，利用這個(gè)模型就能算出該如何擺放箱子（不需考慮箱子的高度，即只考慮擺放一層箱子），才能使得一次擺放的箱子數(shù)量最多。問題1 如果箱子不允許超出叉車底板（如上圖所示情形）, 也不允許長方形箱子相互重疊， 建立優(yōu)化模型，考慮如何擺放這些箱子，才能使擺放的箱子數(shù)量最多? 對于下表中型號(hào)1的箱子，最多可以擺放多少個(gè)箱子，該如何擺放？如果你們能畫出擺放示意圖，那么將有助于這個(gè)企

6、業(yè)更快地理解你們的方法。利用你們構(gòu)建的模型，再分別計(jì)算型號(hào)2和型號(hào)3的箱子最多可以擺放多少個(gè)箱子，該如何擺放? 畫出擺放示意圖。箱子型號(hào)長（米）寬（米）1 0.30.2420.60.430.30.2問題2 假設(shè)箱子的密度都是均勻的，允許箱子在正方形底板的上方，左邊，右邊部分超出底板（下方緊靠叉車壁，不能超出），但不至于掉落出叉車底板。對于這種情況，重新建立優(yōu)化模型,并針對上表中三種型號(hào)的箱子, 分別計(jì)算最多可以擺放多少個(gè)箱子，該如何擺放? 畫出擺放示意圖。問題3 在不允許箱子相互重疊的條件下，你們是否還能另外設(shè)計(jì)出一種擺放方案？并將你們設(shè)計(jì)的方案與上圖中的擺放方案的優(yōu)劣性進(jìn)行比較。二、問題分析

7、問題1 要求在箱子不允許超出叉車底板邊緣, 也不允許長方形箱子相互重疊的情況下，通過題中所定方式以四個(gè)角向中心以螺旋狀推進(jìn)來減少空白浪費(fèi)的位置，每個(gè)角都要擺放箱子。題目中所給條件已經(jīng)將一個(gè)三維的箱子擺放問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)二維的矩形擺放問題，相當(dāng)于考慮一個(gè)正方形中如何擺放不同型號(hào)的小矩形使得擺放矩形數(shù)目最多的問題。而且題中已經(jīng)限制要求我們用題中所示的四角分布的方式來完成優(yōu)化。首先對于四個(gè)邊，我們各自先設(shè)擺放箱子的長邊個(gè)數(shù)和寬邊個(gè)數(shù)，以四個(gè)角的長寬邊個(gè)數(shù)相乘得出四個(gè)角上擺放的箱子個(gè)數(shù)，相加得到箱子的總個(gè)數(shù)，以此建立目標(biāo)函數(shù)。通過約束條件限制同邊和對角線的箱子不會(huì)重合，并通過其他一些約束條件完善完善模型

8、。利用lingo軟件編程以便得到所排矩形箱子的最大數(shù)目，以及其在正方形底板四邊的分布情況。然后將三種型號(hào)的矩形箱子的長寬邊數(shù)據(jù)輸入，進(jìn)行求解。根基lingo的求解結(jié)果，我們用excel將三種型號(hào)箱子的最優(yōu)擺放方法畫出示意圖。問題2與問題1的要求一樣，問題2也要求用題中所示的四角分布的方式進(jìn)行優(yōu)化，只是不再限定箱子不得超出底板邊緣，那么只需要滿足箱子重心不超出底板邊緣即可。我們在問題1的基礎(chǔ)上假想將叉車底板的邊緣擴(kuò)大，擴(kuò)大的極限標(biāo)準(zhǔn)是叉車底板邊上箱子的重心剛好落在邊緣上。但由于長邊與寬邊的長度不一樣，橫放與豎放的箱子所能超出的長度不一樣，需要分別討論可超出的三個(gè)邊各自可超出的長度。據(jù)此在問題1的

9、模型上修改限定條件，對其進(jìn)行模型優(yōu)化。方法與問題1的做法類似，根據(jù)正方形底板上箱子長邊及短邊的數(shù)目，列出約束條件，利用lingo軟件輸入箱子長寬參數(shù)求解，再用excel畫出三種型號(hào)箱子的擺放示意圖。問題3同問題二一樣，叉車除了底邊的三個(gè)邊：左邊、上邊、右邊均可超出箱子的二分之一部分（假設(shè)重心在叉車邊緣箱子就不會(huì)掉落），但要求尋求不同于問題1、2中四角擺放的其他擺放方式。考慮到實(shí)際生活中，問題2的模型分四塊裝箱不便于工人操作，因此我們由實(shí)際出發(fā)考慮了另一種方案。采取從下至上的優(yōu)化原則，將箱子分為三塊，左右兩塊為橫放，中間箱子為豎放，這樣裝箱較為規(guī)則，便于工人操作。只需求出底邊橫豎不同的擺放方式，

10、在一定約束條件下通過lingo軟件就可求出擺放箱子最多的方案，并用excel畫出示意圖。三、模型假設(shè)（1） 所有箱子的長方形底面的形狀相同（2） 不需考慮箱子的高度，即只考慮擺放一層箱子（3） 規(guī)定箱子只能像圖中這樣橫著放，或者豎著放。（4） 假設(shè)箱子的密度都是均勻的，重心即為其幾何中心。（5） 假設(shè)緊挨著擺放的兩個(gè)箱子之間的距離忽略不計(jì)。（6） 假設(shè)箱子不從叉車底板上掉落的條件是箱子的重心不在底板外面。（7） 不考慮箱子總重量是否在叉車的承受范圍之內(nèi)。四、符號(hào)說明x1底板上邊箱子長邊個(gè)數(shù)x2底板上邊箱子寬邊個(gè)數(shù)x3底板左邊箱子寬邊個(gè)數(shù)x4底板左邊箱子長邊個(gè)數(shù)x5底板下邊箱子寬邊個(gè)數(shù)x6底板下

11、邊箱子長邊個(gè)數(shù)x7底板右邊箱子寬邊個(gè)數(shù)x8底板右邊箱子長邊個(gè)數(shù)I豎放的箱子層數(shù)J橫放箱子的層數(shù)A箱子的長B箱子的寬L底板的邊長L1底板上邊可拓展的邊長L2底板左邊可拓展的邊長L3底板下邊可拓展的邊長L4底板右邊可拓展的邊長Max底板箱子擺放的個(gè)數(shù)五、模型的建立和求解5.1問題1 不允許超出底板的四角擺放方式問題目標(biāo)：在底板上擺放最多箱子。5.1.1問題1模型的建立設(shè)在底板上邊橫放x1個(gè)箱子，在剩余(1.1-a*x1)的長度下豎放x2個(gè)箱子。其中要使空間利用率最大，要讓箱子盡量占滿邊長，則x2=(1.1-a*x1)取整。再設(shè)底板左邊橫放x4個(gè)箱子，在剩余(1.1-a*x4)的長度下豎放x3個(gè)箱子

12、。其中要使空間利用率最大，要讓箱子盡量占滿邊長，則x3=(1.1-a*x4)取整。同理設(shè)底板下邊橫放x6個(gè)箱子，豎放x5個(gè)箱子，設(shè)底板右邊橫放x8個(gè)箱子，豎放x7個(gè)箱子。約束條件為：(1)a*x1+b*x2L-b;(3)b*x3+a*x4L-b;(5)b*x5+a*x6L-b;(7)b*x7+a*x8L-b;因?yàn)閷⒌装宸譃槁菪隣畹乃膲K，為了不讓對角線的方塊重疊，所以用以下的約束條件：(9) (若a*(x1+x6)=L,則b*(x2+x5)=L,則a*(x4+x8)=L,則b*(x3+x7)=L,則a*(x1+x6)=L, );x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8為正整數(shù)最多的箱子數(shù)目

13、為目標(biāo)函數(shù)：max=x1*x3+x4*x5+x6*x7+x2*x8。利用lingo軟件求解三種型號(hào)的箱子數(shù)目。5.1.2問題1模型求解：箱子的長a0.30.60.3箱子的寬b0.240.40.2x1213x2211x3211x4213x5214x6211x7214x8211對于型號(hào)1的箱子：叉板上最多可以放置16個(gè)，擺放方式見圖5.1.1；（圖5.1.1）對于型號(hào)2的箱子：叉板上最多可以放置4個(gè)，擺放方式見圖5.1.2；（圖5.1.2）對于型號(hào)3的箱子：叉板上最多可以放置20個(gè)，擺放方式見圖5.1.3。（圖5.1.3）5.2問題2 允許超出底板的四角擺放方式問題目標(biāo)：在底板上擺放最多箱子。與問

14、題一不同的是，問題二中箱子擺放可以超出叉車底板，相當(dāng)于底板邊緣擴(kuò)大了。但是要使箱子的重心留在叉車底板。對于三種型號(hào)的箱子都有了不同的擺法。5.2.1問題2模型的建立箱子擺放可以超出叉車底板，相當(dāng)于底板邊緣擴(kuò)大了。上邊：(1)L1=L+0.5*(a+b);左邊：(2)L2=L+0.5*b;下邊：(3)L3=L+0.5*(a+b);右邊：(4)L4=L+0.5*a;設(shè)在底板上邊橫放x1個(gè)箱子，在剩余(1.1+0.5*(a+b)-a*x1)的長度下豎放x2個(gè)箱子。其中要使空間利用率最大，要讓箱子盡量占滿邊長，則x2=(1.1+0.5*(a+b)-a*x1)取整。再設(shè)底板左邊橫放x4個(gè)箱子，在剩余(1

15、.1+0.5*b-a*x4)的長度下豎放x3個(gè)箱子。其中要使空間利用率最大，要讓箱子盡量占滿邊長，則x3=(1.1+0.5*b-a*x4)取整。同理設(shè)底板下邊橫放x6個(gè)箱子，豎放x5個(gè)箱子，x5=(1.1+0.5*a-a*x6)取整。設(shè)底板右邊橫放x8個(gè)箱子，豎放x7個(gè)箱子,x7=(1.1+0.5*b-a*x8)取整。即為約束條件：(5)L1-b=a*x1+b*x2=L1;(6)L2-b=b*x3+a*x4=L2;(7)L3-b=b*x5+a*x6=L3;(8)L4-b=b*x7+a*x8=L+a,則b*(x3+x7)=L2,則a*(x1+x6)=L4,則b*(x2+x5)=L+b,則a*(x

16、4+x8)=L4(13)x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8為正整數(shù)最多能擺放的箱子數(shù)目為(14)max=x1*x3+x4*x5+x6*x7+x2*x8。5.2.2問題2模型求解箱子的長a0.30.60.3箱子的寬b0.240.40.2x1111x2425x3313x4112x5415x6121x7123x8312對于型號(hào)1的箱子：叉板上最多可以放置20個(gè)，擺放方式見圖5.2.1；（圖5.2.1）對于型號(hào)2的箱子：叉板上最多可以放置4個(gè)，擺放方式見圖5.2.2；(圖5.2.2)對于型號(hào)3的箱子：叉板上最多可以放置26個(gè)，擺放方式見圖5.2.3。（圖5.2.3）5.3問題3 允許超出底

17、板的非四角擺放方式問題目標(biāo)：在底板上擺放最多箱子。與問題1，2不同的是，問題3中箱子擺放可以超出叉車底板，并且要尋求不同于四角擺放的其他擺放方式。5.3.1問題3模型的建立（1）叉車除了下邊的三個(gè)邊：左邊、上邊、右邊均可超出。所以以下邊為基礎(chǔ)，自下而上進(jìn)行優(yōu)化。為了追求模型箱子擺放數(shù)量最多，即箱子面積最大化，在叉車下邊的左右兩側(cè)分別放上兩塊橫放的箱子，將叉車的面積左右各擴(kuò)張a/2。（2）由于底邊左右兩遍擺上了兩塊橫放的箱子從而限定了底邊箱子擺放的長度，對底邊上橫豎擺放的箱子進(jìn)行組合優(yōu)化。底邊上橫放箱子(包括左右兩邊限制用的箱子)的個(gè)數(shù)為x6，豎放的箱子個(gè)數(shù)為x5（3）對剩余部分進(jìn)行填充，將下邊

18、橫、豎放的箱子分別向上疊加，且橫放箱子向上疊加的個(gè)數(shù)j與箱子寬b相乘不超過叉車邊長L加上0.5*b，豎放箱子向上疊加的個(gè)數(shù)i與箱子長a相乘不超過叉車邊長L加上0.5*a。設(shè)計(jì)lingo程序，目標(biāo)函數(shù)為最多能擺放的箱子數(shù)目：max=j*x6+i*x5。5.3.2 問題3模型求解箱子的長a0.30.60.3箱子的寬b0.240.40.2豎放的箱子層數(shù)i424橫放箱子的層數(shù)j536x5214x6322對于型號(hào)1的箱子：叉板上最多可以放置23個(gè)，擺放方式見圖5.3.1：(圖5.3.1)對于型號(hào)2的箱子：叉板上最多可以放置8個(gè)，擺放方式見5.3.2：（圖5.3.2）對于型號(hào)3的箱子：叉板上最多可以放置2

19、8個(gè)，擺放方式見5.3.3：（圖5.3.3）六、模型的評價(jià)模型的優(yōu)點(diǎn)：(1)模型一模型二將箱子長邊與短邊組合擺放，使四邊利用率最高。其中用到了循環(huán)嵌套算法，建立通用優(yōu)化模型，得出擺放方式。(2)本文建立的模型實(shí)現(xiàn)簡單，可靠性高。模型的缺點(diǎn)：（1）模型一循環(huán)嵌套之后中間還留有一個(gè)矩形空隙，并未對該矩形進(jìn)行循環(huán)嵌套。（2）只考慮了一層箱子的擺放，多層擺放可能導(dǎo)致穩(wěn)定性降低。（3）模型二模型三因?yàn)橄渥訑[放可以超出叉車底板，這是理想狀況是重心在底板上。可是實(shí)際情況下，箱子有可能偏移，運(yùn)輸時(shí)可能掉落。（4）本文建立的模型過于理想，實(shí)際中操作性不高。 七、參考文獻(xiàn)【1】. 司守奎，孫璽菁. 數(shù)學(xué)建模算法與運(yùn)用M. 北京： 國防工業(yè)出版社【2】. 肖華勇. 基于M