證明數(shù)列收斂

1、證明數(shù)列收斂本文討論了一類遞推數(shù)列的單調(diào)性與收斂性問(wèn)題，同時(shí)也推廣與包含了近期一些文獻(xiàn)中的結(jié)果.運(yùn)用單調(diào)有界性來(lái)證明收斂,而能用單調(diào)有界定理證明收斂的有四種情況： 易知單調(diào)遞增或遞減,需證有上界或下界。 易知有上界或下界,需證單調(diào)遞增或遞減。 易知既有上界又有下界,需證單調(diào)。 易知單調(diào),需證既有上界又有下界。用導(dǎo)數(shù)來(lái)求證單調(diào)有界性如果，即函數(shù)單調(diào)遞增時(shí),數(shù)列具有單調(diào)性是可以肯定的,而研究遞增遞減那要看跟的比較了(如果的話，那么)具體的說(shuō)若時(shí),由,那么可以判定為減數(shù)列。若時(shí),由,那么可以判定為增數(shù)列。例題1.證：記,則因?yàn)椋瑒t，由于所以,即那么具有單調(diào)有界性，上界為然后對(duì)數(shù)列兩邊取極限,記極限為

2、則設(shè)函數(shù),其中a為方程的根，由于在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo)，則所以函數(shù)遞增,又由于所以的根在內(nèi)。如果,即函數(shù)單調(diào)遞減時(shí),數(shù)列肯定不具有單調(diào)性的.但是,它的奇數(shù)項(xiàng)子數(shù)列和偶數(shù)項(xiàng)子數(shù)列都可以看作是通過(guò)單調(diào)增加函數(shù)g().其中所以肯定具有單調(diào)性,而且其增減性恰好相反例題.當(dāng)時(shí),，證明數(shù)列收斂,并求其極限值。證:設(shè)函數(shù),則函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo),易知。所以在上遞減。由于,可知，又在上遞減。所以有,即,所以可推得由此可知奇數(shù)項(xiàng)子數(shù)列單調(diào)遞減有下界，偶數(shù)項(xiàng)子數(shù)列單調(diào)遞增有上界，則兩子數(shù)列都收斂。設(shè)奇數(shù)項(xiàng)子數(shù)列收斂于p，偶數(shù)項(xiàng)子數(shù)列收斂于q。對(duì)兩邊去極限得:解方程得那么數(shù)列收斂于。利用不動(dòng)點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的結(jié)合來(lái)證單調(diào)有界

3、性。定義：對(duì)于函數(shù),若存在實(shí)數(shù),使得，則稱c為的不動(dòng)點(diǎn)。命題.設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且,.設(shè),則遞推數(shù)列收斂。命題2.設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且,設(shè)，則遞推數(shù)列收斂。命題3如果函數(shù)在有唯一的不動(dòng)點(diǎn)，那么數(shù)列必收斂于該不動(dòng)點(diǎn)。推論:對(duì)于遞推數(shù)列, 如果,那么數(shù)列收斂，且收斂于l,其中。例題設(shè)， （）,求證:數(shù)列收斂,并求其極限。解：數(shù)列的迭代方程,。又，即。故數(shù)列在區(qū)間上滿足命題1的條件,于是數(shù)列收斂。又在上有唯一的不動(dòng)點(diǎn),于是。例題2 已知函數(shù),且存在，使.設(shè)，,其中,證明：。證：由數(shù)列的迭代函數(shù)得，從而在區(qū)間上，由命題1的結(jié)論得，在區(qū)間上,由命題2的結(jié)論得，于是有.證畢.利用單調(diào)性的定義或數(shù)學(xué)歸納法。例題. 設(shè)， ,證明數(shù)列極限存在。思路：先試求的極限,對(duì)兩邊取極限,解得,猜想它是數(shù)列的一個(gè)上界，那么問(wèn)題就轉(zhuǎn)換為證明這個(gè)猜想。證:易從看出數(shù)列遞增。接下來(lái)用數(shù)學(xué)歸納法求證有上界。顯然，假設(shè),便有了。則為單調(diào)遞增有上界的數(shù)列，故數(shù)列收斂。例題3證：利用數(shù)學(xué)歸納法對(duì)n進(jìn)行歸納證明,當(dāng)時(shí)已知成立。假設(shè),由重要不等式