高考數(shù)學二輪變式復習——圓錐曲線與方程

1、九、圓錐曲線與方程變式試題XYPODM1（人教A版選修11，21第39頁例2）如圖，在圓上任取一點P，過點P作X軸的垂線段PD，D為垂足當點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡是什么？變式1：設點P是圓上的任一點，定點D的坐標為（8，0）當點P在圓上運動時，求線段PD的中點M的軌跡方程解：設點M的坐標為，點P的坐標為，則，即，因為點P 在圓上，所以w.w.w.k.s.5.u.c.o.m即，即，這就是動點M的軌跡方程變式2：設點P是圓上的任一點，定點D的坐標為（8，0），若點M滿足當點P在圓上運動時，求點M的軌跡方程解：設點M的坐標為，點P的坐標為，由，得，即，因為點P在圓上，所以即，即，這就

2、是動點M的軌跡方程變式3：設點P是曲線上的任一點，定點D的坐標為，若點M滿足當點P在曲線上運動時，求點M的軌跡方程解：設點M的坐標為，點P的坐標為，由，得，即，因為點P在圓上，所以即，這就是動點M的軌跡方程2（人教A版選修11，21第40頁練習第3題）已知經(jīng)過橢圓的右焦點作垂直于x軸的直線A B，交橢圓于A，B兩點，是橢圓的左焦點（1）求的周長；（2）如果AB不垂直于x軸，的周長有變化嗎？為什么？變式1（2005年全國卷）：設橢圓的兩個焦點分別為F1、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是A B C D解一：設橢圓方程為，依題意，顯然有，則，即

3、，即，解得選D解二：F1PF2為等腰直角三角形，.，故選D變式2：已知雙曲線的左，右焦點分別為，點P在雙曲線的右支上，且，則此雙曲線的離心率e的最大值為 解一：由定義知，又已知，解得，在中，由余弦定理，得，要求的最大值，即求的最小值，當時，解得即的最大值為解二：設，由焦半徑公式得，的最大值為變式3（2005年全國卷）：已知橢圓的中心為坐標原點O，焦點在軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，與共線（）求橢圓的離心率；（）設M為橢圓上任意一點，且，證明為定值解：（）設橢圓方程為，則直線AB的方程為，代入，化簡得.設A（），B），則由與共線，得又，即，所以，故離心率（）證明：由（）

4、知，所以橢圓可化為設，由已知得 在橢圓上，即由（）知又，代入得故為定值，定值為1.3（人教A版選修11，21第47頁習題2.1A組第6題）已知點P是橢圓上的一點，且以點P及焦點，為頂點的三角形的面積等于1，求點P的坐標變式1（2004年湖北卷理）：已知橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，點P在橢圓上，若P、F1、F2是一個直角三角形的三個頂點，則點P到x軸的距離為A B3 C D解：依題意，可知當以F1或F2為三角形的直角頂點時，點P的坐標為，則點P到x軸的距離為，故選D（可以證明不存在以點P為直角頂點的三角形）變式2（2006年全國卷）：已知的頂點B、C在橢圓上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓

5、的另外一個焦點在BC邊上，則的周長是AB6 C D12解：由于橢圓的長半軸長，而根據(jù)橢圓的定義可知的周長為，故選C4（人教A版選修11，21第47頁習題2.1B組第3題） 如圖，矩形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是矩形四條邊的中點，R，S，T是線段OF的四等分點，是線段CF的四等分點請證明直線ER與、ES與、ET與的交點L，M，N在同一個橢圓上變式1：直線與雙曲線的右支交于不同的兩點A、B.若雙曲線C的右焦點F在以AB為直徑的圓上時，則實數(shù) 解：將直線代入雙曲線C的方程整理，得 依題意，直線L與雙曲線C的右支交于不同兩點，故解得設A、B兩點的坐標分別為、，則由式得 雙曲線C的右焦點F 在以AB

6、為直徑的圓上，則由FAFB得：整理，得把式及代入式化簡，得解得，故變式2（2002年廣東卷）：A、B是雙曲線上的兩點，點N（1，2）是線段AB的中點（）求直線AB的方程；（）如果線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C、D兩點，那么A、B、C、D四點是否共圓？為什么？ 解：（）直線AB的方程為（求解過程略）（）聯(lián)立方程組得、由CD垂直平分AB，得CD方程為代入雙曲線方程整理，得記，以及CD的中點為，則有從而又即A、B、C、D四點到點M的距離相等故A、B、C、D四點共圓變式3（2005年湖北卷）：設A、B是橢圓上的兩點，點N（1，3）是線段AB的中點，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點. （

7、）確定的取值范圍，并求直線AB的方程；（）試判斷是否存在這樣的，使得A、B、C、D四點在同一個圓上？并說明理由.（）解法1：依題意，可設直線AB的方程為整理，得 設的兩個不同的根， 是線段AB的中點，得解得1，代入得，12，即的取值范圍是（12，）.于是，直線AB的方程為解法2：設依題意，（）解法1：代入橢圓方程，整理得 的兩根，于是由弦長公式可得 將直線AB的方程 同理可得 假設在在12，使得A、B、C、D四點共圓，則CD必為圓的直徑，點M為圓心.點M到直線AB的距離為 于是，由、式和勾股定理可得故當時，A、B、C、D四點均在以M為圓心，為半徑的圓上.（注：上述解法中最后一步可按如下解法獲得

8、：A、B、C、D共圓ACD為直角三角形，A為直角 由式知，式左邊由和知，式右邊 式成立，即A、B、C、D四點共圓解法2：由（）解法1及.代入橢圓方程，整理得 解得.將直線AB的方程代入橢圓方程，整理得 解得.不妨設計算可得，A在以CD為直徑的圓上.又點A與B關于CD對稱，A、B、C、D四點共圓.（注：也可用勾股定理證明ACAD）5（人教A版選修11，21第59頁習題2.2B組第1題） 求與橢圓有公共焦點，且離心率的雙曲線的方程變式1（2002年北京卷文）：已知橢圓和雙曲線有公共的焦點，那么雙曲線的漸近線方程是ABCD 解：依題意，有，即，即雙曲線方程為，故雙曲線的漸近線方程是，即，選D變式2（

9、2004年全國卷理）：已知橢圓的中心在原點，離心率，且它的一個焦點與拋物線的焦點重合， 則此橢圓方程為（ ）ABCD 解：拋物線的焦點坐標為（1，0），則橢圓的，又，則，進而，所以橢圓方程為，選A6（人教A版選修11，21第66頁例4） 斜率為1的直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與拋物線相交于A，B兩點，求線段AB的長變式1：如果，是拋物線上的點，它們的橫坐標依次為，F(xiàn)是拋物線的焦點，若，則_解：根據(jù)拋物線的定義，可知（，2，8），變式2（2004年湖南卷理）：設F是橢圓的右焦點，且橢圓上至少有21個不同的點使，組成公差為d的等差數(shù)列，則d的取值范圍為 解：設，則，于是，即，由于，故，又，故BNFAN

10、CNOXY變式3（2006年重慶卷文）：如圖，對每個正整數(shù)，是拋物線上的點，過焦點的直線交拋物線于另一點（）試證：；（）取，并記為拋物線上分別以與為切點的兩條切線的交點試證：證明：（）對任意固定的,因為焦點,所以可設直線的方程為,將它與拋物線方程聯(lián)立，得，由一元二次方程根與系數(shù)的關系得（）對任意固定的，利用導數(shù)知識易得拋物線在處的切線的斜率，故在處的切線方程為， 類似地，可求得在處的切線方程為， 由減去得，從而， 將代入并注意到得交點的坐標為.由兩點間距離公式,得=.從而.現(xiàn)在，利用上述已證結(jié)論并由等比數(shù)列求和公式得，=.7（人教A版選修21第67頁例5） 過拋物線焦點F的直線交拋物線于A，B

11、兩點，通過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點D，求證：直線DB平行于拋物線的對稱軸OBCFAXY變式（2001年全國卷）：設拋物線（）的焦點為 F，經(jīng)過點 F的直線交拋物線于A、B兩點點 C在拋物線的準線上，且BCX軸證明直線AC經(jīng)過原點O證明1：因為拋物線（）的焦點為，所以經(jīng)過點F的直線AB的方程可設為 ，代人拋物線方程得 若記，則是該方程的兩個根，所以因為BCX軸，且點C在準線上，所以點C的坐標為，F(xiàn)AXYD故直線CO的斜率為即也是直線OA的斜率，所以直線AC經(jīng)過原點O證明2：如圖，記X軸與拋物線準線L的交點為E，過A作ADL，D是垂足則 ADFEBC連結(jié)AC，與EF相交于點N，則OEBCN根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，|AF|=|AD|，|BF|=|BC|， 即點N是EF的中點，與拋物線的頂點O重合，所以直線AC經(jīng)過原點O8（人教A版選修11第74頁，21第85頁復習參考題A組第8題）斜率為2的直線與雙曲線交于A，B兩點，且，求直線的方程變式1（2002年上海卷）：已知點和，動點C到A、B兩點的距離之差的絕對值為2，點C的軌跡與直線交于D、E兩點，求線段DE的長解：根據(jù)雙曲線的定義，可知C的軌跡方程為聯(lián)立得設，則所以故線段DE的長為變