工程數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教程課后習(xí)題答案

1、工 程 數(shù) 學(xué) 基 礎(chǔ)習(xí) 題 解 答 習(xí) 題 一a一、判斷題1.；，2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.；10.二、填空題 1. 2.3.滿; 4.,; 5.; 6.0; 7. ; 8. b1.證 ,使得.由,得,且故且,即,因此. 當(dāng)是單射時(shí),只需證明即可： 是單射知故.是可能的，例如, 而從而有 .2. 證（1）,有,故.另一方面,使,故,于是.因此, .（2）,有,故.另一方面,對(duì)任意,即,使得,即,從而，故.因此,.3. 4. 證 設(shè)是線性空間的一族子空間,要證.顯然z只需證明事實(shí)上，及,從而對(duì)每一個(gè),有,故,.于是,.因此,是的線性子空間.5. 6. 7. 習(xí) 題 二a一、

2、判斷題 1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.；10.；11.；12.二、填空題 1.；2.；3.；4. ；5.；6.；7.；8.；9.；10.三、單項(xiàng)選擇題1.(d)；2. (b)；3. (b)；4. (d)；5. (a). b1.解（1） ,（2）,.（3） ,.（4） ,.2. 解 (1)，,又,從而.于是不變因子為,；初等因子組為.(2),故不變因子為 ,;初等因子組為 .(3)顯然,而，. 因此; 初等因子組:.（4）由第1題（4）知,.也可這樣解：由行列式的展開定理得，故;又的左下角的三階子式與是互質(zhì)的,所以,從而.因此;初等因子組:.3.解（1），.（2），.（3）

3、,初等因子組為,于是，,故.（4）,又有一個(gè)階子式,，故,;初等因子組為,所以.(事實(shí)上，本身就是一個(gè)jordan塊)4.解（1）由第1題（2）知,所以.（2）由第1題（3）知，故的有理標(biāo)準(zhǔn)是.5.解 由立即可知的初等因子組為,于是不變因子為,.即，故.6.解 （1）.因?yàn)?所以最小多項(xiàng)式為.（2）,有一個(gè)二階子式,.因此,.（3）對(duì)施行初等變換得其標(biāo)準(zhǔn)形，.7.證 若可對(duì)角化,則的最小多項(xiàng)式無重零點(diǎn),必要性得證. 若有一個(gè)無重零點(diǎn)的零化多項(xiàng)式,則因?yàn)?故也無重零點(diǎn),由定理2.16知可對(duì)角化.8. 證 (1) ,是的一個(gè)無重零點(diǎn)的零化多項(xiàng)式,故可對(duì)角化.(2),是的零化多項(xiàng)式,其零點(diǎn)是互不相同

4、的,故可對(duì)角化.習(xí) 題 三a一、判斷題 1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.；10.；11.；12.；13.； 14. 15.；16.；17.；18.；19.；20.；21.；22；.23.；24.；25.二、填空題 1.；2.；3.；4. ；5.；6.；7.；8.；9.三、單項(xiàng)選擇題1.(c)；2. (c)；3. (b)；4. (a)；5. (b); 6.(c).b1. 證 僅驗(yàn)證三角不等式,其余是顯然的.設(shè),是中的任意兩個(gè)元素.；.2. 證 因?yàn)榧?有 (n1) ,顯然若,即,則;反之,若,即 ,則由的連續(xù)性,知,即; (n2) ; (n3) ;所以是上的范數(shù).3.解 4.

5、解 5.證 6.證 設(shè)是 7. 證 由于和都是中的序列，則,使得當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，.令,則當(dāng)時(shí),有,這表明是中的序列,由的完備性知,數(shù)列收斂.(2)顯然是線性的.因?yàn)?有 故是有界的.9. 證 由于是上的方陣范數(shù),故及,有(1),并且;(2);(3);(4);因此,是上的方陣范數(shù).10. 11. 證 顯然.是可逆陣的特征值,則是特征值,故,即. .12.證 要證只需證明故習(xí) 題 四a一、判斷題 1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.二、填空題 1.；2.；3.；4. ；5.；6.；7.； 8. b1. ,2. 3. 4. 證明（1）.（2）5. 證（1）若,則.(可以證明)，,即.同理可

6、證,由上已證的結(jié)果立即可得.（2）6. 證 令得的全部特征值均為2. 于是的所有特征值都是,故,因此.7. 證 方法一: 當(dāng)時(shí),顯然成立,故設(shè).記.，,.對(duì),解方程可得；對(duì)解方程得.令,則可逆且.所以.方法二：記,.的最小多項(xiàng)式,. 故設(shè).與在上的值相等,即,，.因此.8. 9. 解 .,的最小多項(xiàng)式.，故設(shè). 由與在上的值相等,于是(1)對(duì)有,解得所以(2)對(duì)有，解得.（注）可利用(1)的結(jié)果求(2)（或）：在(1)中分別以和替代得和，再由公式即得.10. 解 ,故的最小多項(xiàng)式，故設(shè),即 .由與在上的譜值相等,于是(1)對(duì)有,解得.(2)對(duì)有，解得.11.12. 解 此處,.因?yàn)楣试O(shè).由與在

7、上的值相同,得方程組,解得 ;于是 . 所以,解為 ,即.習(xí) 題 五a一、判斷題 1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.；10.；11.；12.；13.； 14. 15.二、填空題 1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.; 10.;11.三、單項(xiàng)選擇題1.(d)；2. (c)；3. (c).b1.證 且 2. 證 右端 左端.3.證 （1）若,則皆有,由假設(shè),于是對(duì)每一個(gè)皆有,即,故.（2）若,則皆有,故,于是.4.解 顯然其余略.5. 證 “”: 若正定,則,故非奇異.“”: 若非奇異,則,從而. 又因?yàn)榘胝?故有,于是,所以是正定的.6.證 先驗(yàn)證是hermi

8、te矩陣.再證是正定的.7. 解 （1）令得,由此判定不是正定的.對(duì)解方程組,即,亦即,得. 若取,則有.對(duì)解可得.對(duì)解可得.由于,分別對(duì)應(yīng)于的不同特征值,故彼此正交.將它們單位化,得，.令,，則.習(xí) 題 六a一、判斷題 1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.二、填空題 1.；2. ；3.；4.b1. 解（1）,.（2）,，.（3） 2. 解（1）對(duì)增廣矩陣施行行的初等變換得到等價(jià)的上三角方程組.進(jìn)行回代,得方程組的解為：.故解為（2）對(duì)增廣矩陣施行初等行變換得到等價(jià)的上三角方程組.進(jìn)行回代,得方程組的解：,故解為3. 解 首先用順序消去法.對(duì)增廣矩陣施行初等行變換：,經(jīng)回代得，

9、. 此時(shí),.下面用列主元素消去法.對(duì)增廣矩陣施行初等行變換（下畫橫線者為主元素）,經(jīng)回代得. 此時(shí),.列主元素消去法比順序消去法的精度高.4. 解 迭代格式為().計(jì)算結(jié)果如下表：123456781.2000000.7500000.7690000.7681250.7673300.7673630.7673550.7673541.5000001.1000001.1387501.1388751.1383321.1384141.1384101.1384102.0000002.1400002.1200002.1252172.1253582.1253562.1253682.125368解為，.迭代格式與計(jì)

10、算結(jié)果如下： ();1234561.2000000.7485000.7664210.7673750.7673560.7673541.3500001.1426881.1381051.1383991.1384101.1384102.1100002.1287382.1254322.1253632.1253682.1253685. 解 迭代格式為(), 因?yàn)樗缘袷绞諗?迭代格式為 (). 因?yàn)橄禂?shù)矩陣對(duì)稱，且迭代格式收斂.6. 解（1）迭代矩陣;,.因此,迭代格式發(fā)散. 迭代矩陣;,.因此迭代格式收斂.（2）迭代矩陣;,.因此, 迭代格式收斂.迭代矩陣;,.因此, 迭代格式發(fā)散.*7.用追趕法解

11、線性方程組 解 系數(shù)矩陣為.,;，；，.即解為 8. 解 把方程組調(diào)整為,此時(shí)系數(shù)矩陣為.迭代矩陣,.因此,此時(shí)迭代格式收斂.習(xí) 題 七a一、判斷題 1.；2.；3.；4.二、填空題 1.；2. ；3.b1. 解 因?yàn)閯t 2.解 對(duì)于點(diǎn),取,.作差商表一階二階三階762.83267772.902560.06989782.978570.076010.00306793.061730.083160.003580.00017于是有3. 解 選.作差商表： 一階差商二階差商三階差商0.20 1.22140.401.49181.35200.60 1.82211.65150.7488 0.802.22552

12、.01700.91380.2750 .或4. 證明 .5. 證明（1）設(shè),則當(dāng)時(shí),.因此,的次插值多項(xiàng)式的插值余項(xiàng),故有,此即,.（2）利用二項(xiàng)式展開公式和已證明的(1)得而,故有 .*6. 解 作變換,即,則,記.對(duì)在上用多項(xiàng)式作最佳二次平方逼近,設(shè)最佳平方逼近函數(shù)為.則，,因此.平方誤差為 (令).*7. 解 取,設(shè)擬合曲線為.因?yàn)椋?， ， ，所以法方程為,解得,，因此 .習(xí) 題 八a一、判斷題1.；，2. ；3.；4. ；5. ；6. ；7. .二、填空題 1. 2. 3.; 4. b1. 解 （1）取為得,解此方程組得,. 因此求積公式為.當(dāng)時(shí),求積公式成為等式;而當(dāng)時(shí),求積公式不能

13、成為等式所以，求積公式的代數(shù)精度是3次.（2）取為 ,可得,解得,因此求積公式為 .當(dāng)時(shí),所以,求積公式具有2次代數(shù)精度.2解（1）.;.（2）.;.（3）.;.3. 解（1）00.1732870.2740100.2722220.27219710.2488290.2723340.2721970.27219820.2664580.2722060.27219830.270769027219940.271841因此 . （2）00.61091700.65811570.65766820.657669810.64631600.65769620.65766980.657669920.65485120.65

14、767150.657670030.65696640.657670040.6574941因此 .*4. 解（1）因?yàn)槭莋auss型求積公式,故其代數(shù)精度于是令公式對(duì)是準(zhǔn)求成立,得 故 （2）因?yàn)槭莋auss型求積公式,故其代數(shù)精度于是令公式對(duì)是準(zhǔn)求成立,得 故 *5. 解（1）.（2）.6.解 故求積公式為 這就是梯梯形公式,其代數(shù)精度為3. 7.證 令求積公式對(duì)成立,得方程組由,知由,得再由得故求積公式為 因?yàn)楫?dāng)時(shí),左端習(xí) 題 九a一、判斷題1.；，2. ；3. .二、填空題1.； 2. ；3. 數(shù)值微分法,數(shù)值積分法,taylor展開法；4. (. b1. 解（1）計(jì)算格式為, .計(jì)算結(jié)果列

15、于下表：00.000000.40.014000.80.141250.10.000000.50.030020.90.207250.20.001000.60.055111.00.292540.30.005000.70.09142（2）計(jì)算格式為, .計(jì)算結(jié)果列于下表：11.522.53 2. 解 計(jì)算格式為,.計(jì)算結(jié)果列于下表00.000000.40.022020.80.175390.10.000500.50.042620.90.252370.20.003000.60.073641.00.351830.30.009500.70.116813. 解 標(biāo)準(zhǔn)格式為 , 計(jì)算結(jié)果列于下表（準(zhǔn)確解為）準(zhǔn)確值01.0000010.23.000003.545