數(shù)列通項數(shù)列前n項和的求法例題練習(xí)

1、通項公式和前n項和1、 新課講授：求數(shù)列前n項和的方法1. 公式法（1）等差數(shù)列前n項和：特別的，當(dāng)前n項的個數(shù)為奇數(shù)時，即前n項和為中間項乘以項數(shù)。這個公式在很多時候可以簡化運算。（2）等比數(shù)列前n項和：q=1時，特別要注意對公比的討論。（3）其他公式較常見公式：1、 2、3、例1 已知，求的前n項和.例2 設(shè)sn1+2+3+n，nn*,求的最大值. 2. 錯位相減法這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列anbn的前n項和，其中 an 、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.例3 求和：例4 求數(shù)列前n項的和.練習(xí)：求：sn=1+5x+9x2+(4n-3)xn

2、-1 答案： 當(dāng)x=1時，sn=1+5+9+（4n-3）=2n2-n 當(dāng)x1時，sn= 1 1-x 4x(1-xn) 1-x +1-（4n-3）xn 3. 倒序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個. 例5 求的值4. 分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.例6 求數(shù)列的前n項和：，練習(xí)：求數(shù)列的前n項和。5. 裂項法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用. 裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后

3、重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的. 通項分解（裂項）如：（1） （2）（3） （4）（5）(6) 例9 求數(shù)列的前n項和.例10 在數(shù)列an中，又，求數(shù)列bn的前n項的和.例11 求證：解：設(shè) （裂項） （裂項求和） 原等式成立 練習(xí)：求 之和。 6. 合并法求和針對一些特殊的數(shù)列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時，可將這些項放在一起先求和，然后再求sn. 例12 求cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179的值.例14 在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若的值.7. 利用數(shù)列的通項求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進行分析，找出數(shù)列的通項及其

4、特征，然后再利用數(shù)列的通項揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前n項和，是一個重要的方法.例15 求之和.練習(xí)：求5，55，555，的前n項和。以上一個7種方法雖然各有其特點，但總的原則是要善于改變原數(shù)列的形式結(jié)構(gòu)，使其能進行消項處理或能使用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式以及其它已知的基本求和公式來解決，只要很好地把握這一規(guī)律，就能使數(shù)列求和化難為易，迎刃而解。求數(shù)列通項公式的八種方法一、公式法（定義法）根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義求通項二、累加、累乘法 1、累加法 適用于： 若，則 兩邊分別相加得 例1 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：由得則所以數(shù)列的通項公式為。例2 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解法

5、一：由得則所以解法二：兩邊除以，得，則，故因此，則2、累乘法 適用于： 若，則兩邊分別相乘得，例3 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：因為，所以，則，故所以數(shù)列的通項公式為三、待定系數(shù)法 適用于分析：通過湊配可轉(zhuǎn)化為; 解題基本步驟：1、確定2、設(shè)等比數(shù)列，公比為3、列出關(guān)系式4、比較系數(shù)求，5、解得數(shù)列的通項公式6、解得數(shù)列的通項公式例4 已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項公式。解法一： 又是首項為2，公比為2的等比數(shù)列 ，即解法二： 兩式相減得，故數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，再用累加法的例5 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解法一：設(shè)，比較系數(shù)得，則數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列，所以，

6、即解法二： 兩邊同時除以得：，下面解法略注意：例6 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：設(shè) 比較系數(shù)得， 所以 由，得則，故數(shù)列為以為首項，以2為公比的等比數(shù)列，因此，則。注意：形如時將作為求解分析：原遞推式可化為的形式，比較系數(shù)可求得，數(shù)列為等比數(shù)列。例7 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：設(shè)比較系數(shù)得或，不妨取，則，則是首項為4，公比為3的等比數(shù)列，所以四、迭代法例8 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：因為，所以又，所以數(shù)列的通項公式為。注：本題還可綜合利用累乘法和對數(shù)變換法求數(shù)列的通項公式。五、變性轉(zhuǎn)化法1、對數(shù)變換法 適用于指數(shù)關(guān)系的遞推公式例9 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解

7、：因為，所以。兩邊取常用對數(shù)得設(shè)（同類型四）比較系數(shù)得， 由，得，所以數(shù)列是以為首項，以5為公比的等比數(shù)列，則，因此則。 2、倒數(shù)變換法 適用于分式關(guān)系的遞推公式，分子只有一項例10 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：求倒數(shù)得為等差數(shù)列，首項，公差為，3、換元法 適用于含根式的遞推關(guān)系例11 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：令，則代入得即因為， 則，即，可化為，所以是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，因此，則，即，得。六、數(shù)學(xué)歸納法 通過首項和遞推關(guān)系式求出數(shù)列的前n項，猜出數(shù)列的通項公式，再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。例12 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：由及，得由此可猜測，下面用數(shù)學(xué)歸納

8、法證明這個結(jié)論。（1）當(dāng)時，所以等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)時等式成立，即，則當(dāng)時，由此可知，當(dāng)時等式也成立。根據(jù)（1），（2）可知，等式對任何都成立。七、階差法 1、遞推公式中既有，又有 分析：把已知關(guān)系通過轉(zhuǎn)化為數(shù)列或的遞推關(guān)系，然后采用相應(yīng)的方法求解。例13 已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，且前n項和滿足，且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項公式。解：對任意有 當(dāng)n=1時，解得或當(dāng)n2時， -整理得：各項均為正數(shù)，當(dāng)時，此時成立當(dāng)時，此時不成立，故舍去所以2、對無窮遞推數(shù)列例14 已知數(shù)列滿足，求的通項公式。解：因為所以用式式得則故所以由，則，又知，則，代入得。所以，的通項公式為八、不動點法不動點的定義：函數(shù)的定義域為，若存在，使成立，則稱為的不動點或稱為函數(shù)的不動點。分析：由求出不動點，在遞推公式兩邊同時減去，在變形求解。類型一：形如例 15 已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項公式。解：遞推關(guān)系是對應(yīng)得遞歸函數(shù)為，由得，不動點為-1，類型二：形如分析：遞歸函數(shù)為（1）若有兩個相異的不動點p,q時，將遞歸