高等數(shù)學(xué)第二章PPT

1、第一節(jié)第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念一、導(dǎo)數(shù)概念的引出一、導(dǎo)數(shù)概念的引出二、導(dǎo)數(shù)的定義二、導(dǎo)數(shù)的定義三、求導(dǎo)數(shù)舉例三、求導(dǎo)數(shù)舉例四、單側(cè)導(dǎo)數(shù)四、單側(cè)導(dǎo)數(shù)五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系六、小結(jié)六、小結(jié)一、導(dǎo)數(shù)概念的引出一、導(dǎo)數(shù)概念的引出1.自由落體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問題自由落體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問題0tt ,0時(shí)時(shí)刻刻的的瞬瞬時(shí)時(shí)速速度度求求tt如圖如圖,0tt 的的時(shí)時(shí)刻刻取取一一鄰鄰近近于于, t 運(yùn)動(dòng)時(shí)間運(yùn)動(dòng)時(shí)間svt 平平均均速速度度00ttss ).(20ttg ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)tt 取極限得取極限得00()lim2ttg ttv 瞬瞬時(shí)時(shí)速速度度.0gt 2.切線問題切線問題割線的極限位

2、置割線的極限位置切線位置切線位置播放播放 t0 xxoxy)(xfy cnm如圖如圖, 如果割線如果割線mn繞點(diǎn)繞點(diǎn)m旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置mt,直線直線mt就稱為曲線就稱為曲線c在點(diǎn)在點(diǎn)m處的處的切線切線.極限位置即極限位置即. 0, 0 nmtmn).,(),(00yxnyxm設(shè)設(shè)的的斜斜率率為為割割線線mn00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxmnc沿沿曲曲線線的斜率為的斜率為切線切線mt.)()(limtan000 xxxfxfkxx 二、導(dǎo)數(shù)的定義二、導(dǎo)數(shù)的定義,)(,)(,0);()(,)(,)(00000000 xxyxxfyxxfyxxyxf

3、xxfyyxxxxxxxfy 記為記為處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)數(shù)數(shù)并稱這個(gè)極限為函并稱這個(gè)極限為函處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)則稱函數(shù)則稱函數(shù)時(shí)的極限存在時(shí)的極限存在之比當(dāng)之比當(dāng)與與如果如果得增量得增量取取相應(yīng)地函數(shù)相應(yīng)地函數(shù)時(shí)時(shí)仍在該鄰域內(nèi)仍在該鄰域內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)處取得增量處取得增量在在當(dāng)自變量當(dāng)自變量有定義有定義的某個(gè)鄰域內(nèi)的某個(gè)鄰域內(nèi)在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)定義定義.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000 ,d)(ddd00 xxxxxxfxy 或或即即.,0慢慢程程度度而而

4、變變化化的的快快因因變變量量隨隨自自變變量量的的變變化化反反映映了了它它處處的的變變化化率率點(diǎn)點(diǎn)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)是是因因變變量量在在點(diǎn)點(diǎn) x.)(,)(內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在開開區(qū)區(qū)間間就就稱稱函函數(shù)數(shù)處處都都可可導(dǎo)導(dǎo)內(nèi)內(nèi)的的每每點(diǎn)點(diǎn)在在開開區(qū)區(qū)間間如如果果函函數(shù)數(shù)ixfixfy 關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說明：關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說明：.d)(ddd),(,.)(.)(,xxfxyxfyxfxfix或或記作記作的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)這個(gè)函數(shù)叫做原來函數(shù)這個(gè)函數(shù)叫做原來函數(shù)導(dǎo)數(shù)值導(dǎo)數(shù)值的一個(gè)確定的的一個(gè)確定的都對應(yīng)著都對應(yīng)著對于任一對于任一 xxfxxfyx )()(lim0即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或注意注意: :

5、.)()(. 100 xxxfxf 播放播放2.導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù)函數(shù).三、求導(dǎo)數(shù)舉例三、求導(dǎo)數(shù)舉例步驟步驟:);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算算比比值值.lim)3(0 xyyx 求求極極限限例例1 1.)()(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為常數(shù)為常數(shù)求函數(shù)求函數(shù)ccxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hcch 0lim. 0 . 0)( c即即例例2 2.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin

6、)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 例例3 3.)(的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為正正整整數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1rxx )( x例如例如,12121 x.21x )(1 x11)1( x.12x 例例4 4.)1, 0()(的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù) aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx 即即.e)e (xx 例

7、例5 5.)1, 0(log的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 . elog1)(logaaxx 即即.1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 . elog1ax 例例6 6.0)(處的可導(dǎo)性處的可導(dǎo)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0( ff即即.0)(點(diǎn)點(diǎn)不不可可導(dǎo)導(dǎo)在在函函數(shù)數(shù) xxfy2.右導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù):1.左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù):;)()(l

8、im)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 函函數(shù)數(shù))(xf在在點(diǎn)點(diǎn)0 x處處可可導(dǎo)導(dǎo)左左導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(0 xf 和和右右導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(0 xf 都都存存在在且且相相等等.四、單側(cè)導(dǎo)數(shù)四、單側(cè)導(dǎo)數(shù)如如果果)(xf在在開開區(qū)區(qū)間間 ba,內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)，且且)(af 及及)(bf 都都存存在在，就就說說)(xf在在閉閉區(qū)區(qū)間間 ba,上上可可導(dǎo)導(dǎo).,),(),()(000可可導(dǎo)導(dǎo)性性的的討討論論在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xxxxxxxxf xxfxxfx )()(lim000若若xxxxx )

9、()(lim000 ,)(0存存在在xf 則則)(xf在在點(diǎn)點(diǎn)0 x可可導(dǎo)導(dǎo)，,)(0存存在在xf xxfxxfx )()(lim000若若xxxxx )()(lim000 ,)()(00axfxf 且且.)(0axf 且且oxy)(xfy t0 xm1.幾何意義幾何意義)(,tan)(,)(,()()(0000為傾角為傾角即即切線的斜率切線的斜率處的處的在點(diǎn)在點(diǎn)表示曲線表示曲線 xfxfxmxfyxf切線方程為切線方程為法線方程為法線方程為).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy 例例7 7.,)2 ,21(1方方程程和和法法線線方方程程并并寫寫出出在在該該點(diǎn)點(diǎn)處處的的

10、切切線線斜斜率率處處的的切切線線的的在在點(diǎn)點(diǎn)求求等等邊邊雙雙曲曲線線xy 解解由導(dǎo)數(shù)的幾何意義由導(dǎo)數(shù)的幾何意義, 得切線斜率為得切線斜率為21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求切線方程為所求切線方程為法線方程為法線方程為),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx即即. 01582 yx即即2.物理意義物理意義非均勻變化量的瞬時(shí)變化率非均勻變化量的瞬時(shí)變化率.變速直線運(yùn)動(dòng)變速直線運(yùn)動(dòng): :路程對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為物體的路程對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為物體的瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度.ddlim)(0tststvt 交流電路交流電路: :電量對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為電流強(qiáng)度電量對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為電流強(qiáng)度.dd

11、lim)(0tqtqtit 非均勻的物體非均勻的物體: :質(zhì)量對長度質(zhì)量對長度(面積面積,體積體積)的導(dǎo)的導(dǎo)數(shù)為物體的線數(shù)為物體的線(面面,體體)密度密度.五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理定理 凡可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)凡可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù). .證證,)(0可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0 .)(0連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)xxf)0(0 x 連續(xù)函數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)舉例連續(xù)函數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)舉例.,)()()(,)(. 1000函數(shù)在角點(diǎn)不可導(dǎo)函數(shù)在角點(diǎn)不可導(dǎo)的角點(diǎn)的角點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)則稱點(diǎn)

12、則稱點(diǎn)若若連續(xù)連續(xù)函數(shù)函數(shù)xfxxfxfxf xy2xy 0 xy 例如例如,0,0,)(2 xxxxxf.)(0,0的的角角點(diǎn)點(diǎn)為為處處不不可可導(dǎo)導(dǎo)在在xfxx 注意注意: : 該定理的逆定理不成立該定理的逆定理不成立.31xyxy01)( .)(,)()(limlim,)(. 2000000不可導(dǎo)不可導(dǎo)有無窮導(dǎo)數(shù)有無窮導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)稱函數(shù)稱函數(shù)但但連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxfxxfxxfxyxxfxx 例如例如, 1)(3 xxf.1處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)在在 x., )()(. 30點(diǎn)點(diǎn)不不可可導(dǎo)導(dǎo)則則指指擺擺動(dòng)動(dòng)不不定定不不存存在在在在連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)的的左左右右導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)都都函函數(shù)數(shù)xxf,

13、0, 00,1sin)( xxxxxf例如例如,.0處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)在在 x011/1/xy.)()(,)(. 4000不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)的尖點(diǎn)的尖點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)符號(hào)相反符號(hào)相反的兩個(gè)單側(cè)導(dǎo)數(shù)的兩個(gè)單側(cè)導(dǎo)數(shù)且在點(diǎn)且在點(diǎn)若若xfxxxf xyoxy0 xo)(xfy )(xfy 例例8 8.0,0, 00,1sin)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性與與可可導(dǎo)導(dǎo)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf解解,1sin是有界函數(shù)是有界函數(shù)x01sinlim0 xxx.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在 xxf處處有有但但在在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin.11,0之之間間振振蕩蕩而而極極限限不不

14、存存在在和和在在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xyx.0)(處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)在在 xxf0)(lim)0(0 xffx六、小結(jié)六、小結(jié)1. 導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì): 增量比的極限增量比的極限;2. axf )(0 )(0 xf;)(0axf 3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義: 切線的斜率切線的斜率;4. 函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo);5. 求導(dǎo)數(shù)最基本的方法求導(dǎo)數(shù)最基本的方法: 由定義求導(dǎo)數(shù)由定義求導(dǎo)數(shù);6. 判斷可導(dǎo)性判斷可導(dǎo)性不連續(xù)不連續(xù),一定不可導(dǎo)一定不可導(dǎo).連續(xù)連續(xù)直接用定義直接用定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.思考題思考題 函數(shù)函數(shù))(xf

15、在某點(diǎn)在某點(diǎn)0 x處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù))(0 xf 與導(dǎo)函數(shù)與導(dǎo)函數(shù))(xf 有什么區(qū)別與聯(lián)系？有什么區(qū)別與聯(lián)系？思考題解答思考題解答 由導(dǎo)數(shù)的定義知，由導(dǎo)數(shù)的定義知，)(0 xf 是一個(gè)具體是一個(gè)具體的數(shù)值，的數(shù)值，)(xf 是由于是由于)(xf在某區(qū)間在某區(qū)間 上每上每一點(diǎn)都可導(dǎo)而定義在一點(diǎn)都可導(dǎo)而定義在i上的一個(gè)新函數(shù)，即上的一個(gè)新函數(shù)，即ix ，有唯一值，有唯一值)(xf 與之對應(yīng)，所以兩與之對應(yīng)，所以兩者的者的區(qū)別區(qū)別是：一個(gè)是數(shù)值，另一個(gè)是函數(shù)兩是：一個(gè)是數(shù)值，另一個(gè)是函數(shù)兩者的者的聯(lián)系聯(lián)系是：在某點(diǎn)是：在某點(diǎn)0 x處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù))(0 xf 即是即是導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù))(xf 在在0 x

16、處的函數(shù)值處的函數(shù)值 i一、一、 填空題：填空題： 1.1.設(shè)設(shè))(xf在在0 xx 處可導(dǎo)，即處可導(dǎo)，即)(0 xf 存在，則存在，則 _)()(lim000 xxfxxfx , , _)()(lim000 xxfxxfx . . 2.2.已知物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為已知物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為2ts ( (米米) )，則該物體在，則該物體在 2 t秒時(shí)的速度為秒時(shí)的速度為_ ._ . 3.3.設(shè)設(shè)321)(xxy , ,221)(xxy , ,53223)(xxxxy , ,則則 它們它們的 導(dǎo) 數(shù) 分 別 為的 導(dǎo) 數(shù) 分 別 為xydd1=_ =_ ，xydd2=_ =_ ，xydd3=_ .=_ .

17、 練練習(xí)習(xí)題題4 4. . 設(shè)設(shè)2)(xxf , , 則則 )(xff_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ； )(xff_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 5 5. . 曲曲 線線xye 在在 點(diǎn)點(diǎn))1,0(處處 的的 切切 線線 方方 程程 為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 二、二、 在下列各題中均假定在下列各題中均假定)(0 xf 存在， 按照導(dǎo)數(shù)的定義存在， 按照導(dǎo)數(shù)的定義觀察下列極限，分析并指出觀察下列極限，分析并指出a表示什么？表示什么？ 1 1. .axxx

18、fxfxx 00)()(lim0； 2 2. .ahhfh )(lim0，其中其中)0(0)0(ff 且且存在存在； 3 3. .ahhxfhxfh )()(lim000. . 三、證明：若三、證明：若)(xf為偶函數(shù)且為偶函數(shù)且)0(f 存存在，則在，則0)0( f. . 八、八、 設(shè)有一根細(xì)棒，取棒的一端作為原點(diǎn)，棒上任意點(diǎn)設(shè)有一根細(xì)棒，取棒的一端作為原點(diǎn)，棒上任意點(diǎn)的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為x，于是分布在區(qū)間，于是分布在區(qū)間1,0上細(xì)棒的質(zhì)上細(xì)棒的質(zhì)量量m是是x的函數(shù)的函數(shù))(xmm 應(yīng)怎樣確定細(xì)棒在點(diǎn)應(yīng)怎樣確定細(xì)棒在點(diǎn)0 x處的線密度處的線密度（對于均勻細(xì)棒來說，單位長度細(xì)棒（對于均勻細(xì)棒來說，單位長度細(xì)棒的質(zhì)量叫作這細(xì)棒的線密度）？的質(zhì)量叫作這細(xì)棒的線密度）？練習(xí)題答案練習(xí)題答案2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置2.切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置