2020_2021學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第2章直線和圓的方程2.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式2.3.1兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)2.3.2兩點(diǎn)間的距離公式學(xué)案含解析新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

1、2.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式2.3.1兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)2.3.2兩點(diǎn)間的距離公式學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1.會(huì)用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)(重點(diǎn)) 2.會(huì)根據(jù)方程解的個(gè)數(shù)判定兩條直線的位置關(guān)系(難點(diǎn))3.掌握兩點(diǎn)間距離公式并會(huì)應(yīng)用(重點(diǎn))1. 通過(guò)兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng).2. 通過(guò)兩點(diǎn)間距離學(xué)習(xí)，培養(yǎng)邏輯推理和直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng).點(diǎn)p(x0，y0)在直線axbyc0上，那么我們會(huì)有ax0by0c0，若p(x0，y0)，同時(shí)在兩條直線a1xb1yc10和a2xb2yc20上時(shí)，我們會(huì)有aix0biy0ci0(i1,2)，那么點(diǎn)p就是這兩條直線的

2、交點(diǎn)下面我們就來(lái)研究?jī)芍本€的交點(diǎn)問(wèn)題1兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo) 幾何元素及關(guān)系代數(shù)表示點(diǎn)aa(a，b)直線ll：axbyc0點(diǎn)a在直線l上aabbc0直線l1與l2的交點(diǎn)是a方程組的解是2.直線l1：a1xb1yc10(a1，b1不同時(shí)為0)；l2：a2xb2yc20(a2，b2不同時(shí)為0)的位置關(guān)系如表所示：方程組的解一組無(wú)數(shù)組無(wú)解直線l1和l2公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)一個(gè)無(wú)數(shù)個(gè)零個(gè)直線l1和l2的位置關(guān)系相交重合平行3.兩點(diǎn)間的距離公式(1)平面上的兩點(diǎn)p1(x1，y1)，p2(x2，y2)間的距離公式|p1p2|.(2)兩點(diǎn)間距離的特殊情況原點(diǎn)o(0,0)與任一點(diǎn)p(x，y)的距離|op|.當(dāng)p1p2x軸

3、(y1y2)時(shí)，|p1p2|x2x1|.當(dāng)p1p2y軸(x1x2)時(shí)，|p1p2|y2y1|.思考：兩點(diǎn)p1(x1，y1)，p2(x2，y2)間的距離公式是否可以寫成|p1p2|的形式？提示可以，原因是，也就是說(shuō)公式中p1，p2兩點(diǎn)的位置沒(méi)有先后之分1思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)若由兩條直線的方程組成的方程組只有一個(gè)公共解，則兩條直線相交()(2)若兩條直線的斜率都存在且不等，則兩條直線相交()(3)已知p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，當(dāng)p1p2y軸(x1x2)時(shí)，|p1p2|y2y1|.()(4)已知p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，當(dāng)p1p2x軸(y1y2)時(shí)

4、，|p1p2|x2x1|.()提示(1)(2)(3)(4)2直線x1和直線y2的交點(diǎn)坐標(biāo)是()a(2,2)b(1,1)c(1,2)d(2,1)c由得交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，故選c.3已知abc的頂點(diǎn)a(2,3)，b(1,0)，c(2,0)，則abc的周長(zhǎng)是()a2 b32c63 d6c|ab|3，|bc|3，|ac|3，則abc的周長(zhǎng)為63. 4若直線xay10與直線xy10的交點(diǎn)在y軸上，則a的值是_1直線xy10與y軸的交點(diǎn)為(0,1)，把(0,1)代入xay10的a10解得a1.兩條直線的交點(diǎn)問(wèn)題【例1】分別判斷下列直線是否相交，若相交，求出它們的交點(diǎn)(1)l1：2xy7和l2：3x2y7

5、0；(2)l1：2x6y40和l2：4x12y80；(3)l1：4x2y40和l2：y2x3.解法一：(1)方程組的解為因此直線l1和l2相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(3，1)(2)方程組有無(wú)數(shù)個(gè)解，這表明直線l1和l2重合(3)方程組無(wú)解，這表明直線l1和l2沒(méi)有公共點(diǎn)，故l1l2.法二：(1)kl12，kl2，kl1kl2，l1與l2相交，由得故l1與l2的交點(diǎn)為(3，1)(2)由，知l1與l2重合(3)l2方程為2xy30，由知兩直線l1與l2平行兩條直線相交的判定方法方法一：聯(lián)立直線方程解方程組，若有一解，則兩直線相交方法二：兩直線斜率都存在且斜率不等方法三：兩直線的斜率一個(gè)存在，另一個(gè)不存在跟進(jìn)

6、訓(xùn)練1若直線l1：ykxk2與直線l2：y2x4的交點(diǎn)在第一象限內(nèi)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()akbk2ck2 dk或k2c法一：由題意知，直線l1過(guò)定點(diǎn)p(1,2)，斜率為k，直線l2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)a(2,0)、b(0,4)，若直線l1與l2的交點(diǎn)在第一象限內(nèi)，則l1必過(guò)線段ab上的點(diǎn)(不包括a，b)，因?yàn)閗pa，kpb2，所以k2.故選c.法二：由直線l1，l2有交點(diǎn)，得k2.由得又交點(diǎn)在第一象限內(nèi)，所以解得k2.兩點(diǎn)間距離公式【例2】已知abc的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是a(1，1)，b(1,3)，c(3,0)(1)判斷abc的形狀；(2)求abc的面積思路探究先把三個(gè)頂點(diǎn)描在平面直角坐標(biāo)

7、系中，觀察出三角形的形狀，再用距離公式及斜率的關(guān)系驗(yàn)證解(1)如圖所示，abc為直角三角形，下面進(jìn)行驗(yàn)證法一：|ab|2，|ac|，|bc|5.|ab|2|ac|2|bc|2，即abc是以a為直角頂點(diǎn)的直角三角形法二：kab2，kac.kabkac1，abac.abc是以a為直角頂點(diǎn)的直角三角形(2)由(1)中法一得|ab|2，|ac|.又a90，sabc|ab|ac|25.1判斷三角形的形狀，要采用數(shù)形結(jié)合的方法，大致明確三角形的形狀，以確定證明的方向2在分析三角形的形狀時(shí)，要從兩方面考慮：一是要考慮角的特征，主要考察是否為直角或等角；二是要考慮三角形的長(zhǎng)度特征，主要考察邊是否相等或是否滿足

8、勾股定理跟進(jìn)訓(xùn)練2已知點(diǎn)a(3,4)，b(2，)，在x軸上找一點(diǎn)p，使|pa|pb|，并求|pa|的值解設(shè)點(diǎn)p(x,0)，則有|pa|，|pb|.由|pa|pb|，得x26x25x24x7，解得x.即所求點(diǎn)p為，且|pa|.過(guò)兩條直線交點(diǎn)的直線系方程應(yīng)用探究問(wèn)題1. 如何求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)？提示求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)只需將兩條直線方程聯(lián)立解方程組即可2怎樣表示過(guò)兩條直線交點(diǎn)的直線系方程？提示過(guò)兩條直線l1：a1xb1yc10與l2：a2xb2yc20的交點(diǎn)的直線系方程a1xb1yc1(a2xb2yc2)0(不包括l2的方程)3方程(a1)xy(2a1)0表示過(guò)哪兩條直線的直線系方程提示方程可化

9、為a(x2)(xy1)0，所以該方程可表示為過(guò)直線x20和xy10的交點(diǎn)的直線系方程【例3】求過(guò)兩直線2x3y30和xy20的交點(diǎn)且與直線3xy10平行的直線方程思路探究條件確定系數(shù)解法一：解方程組得所以兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為.又所求直線與直線3xy10平行，所以所求直線的斜率為3.故所求直線方程為y3，即15x5y160.法二：設(shè)所求直線方程為(2x3y3)(xy2)0，即(2)x(3)y(23)0.(*)由于所求直線與直線3xy10平行，所以有得.代入(*)式，得xy0，即15x5y160.1本例中將“3xy10”改為“x3y10”，則如何求解？解由例題知直線2x3y30和xy20的交點(diǎn)坐標(biāo)為

10、，直線l與x3y10平行，故斜率為，所以直線l的方程為y，即5x15y240.2本例中若將“平行”改為“垂直”，又如何求解？解設(shè)所求直線方程為(2x3y3)(xy2)0，即(2)x(3)y(23)0，由于所求直線與直線3xy10垂直，則3(2)(3)10，得，所以所求直線方程為5x15y180.過(guò)兩條直線交點(diǎn)的直線方程的求法(1)常規(guī)解法(方程組法)：一般是先解方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程(2)特殊解法(直線系法)：先設(shè)出過(guò)兩條直線交點(diǎn)的直線方程，再結(jié)合其他條件用待定系數(shù)法求出參數(shù)，最后確定直線方程1方程組有唯一解的等價(jià)條件是a1b2a2b10.亦即兩條直線相交的等價(jià)條件是a

11、1b2a2b10.直線a1xb1yc1(a2xb2yc2)0(r)是過(guò)直線l1：a1xb1yc10與l2：a2xb2yc20交點(diǎn)的直線(不含l2)2解析法又稱為坐標(biāo)法，它就是通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)代替點(diǎn)、用方程代替曲線、用代數(shù)的方法研究平面圖形的幾何性質(zhì)的方法3兩點(diǎn)p1(x1，y1)，p2(x2，y2)間的距離公式|p1p2|與兩點(diǎn)的先后順序無(wú)關(guān)，其反映了把幾何問(wèn)題代數(shù)化的思想1直線2xy80和直線xy10的交點(diǎn)坐標(biāo)是()a(9，10) b(9,10)c(9,10) d(9，10)b解方程組得故兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(9,10)2已知點(diǎn)a(2，1)，b(a,3)，且|ab|5，則a的值為()a1 b5c1或5 d1,5c由兩點(diǎn)間距離公式得5.解得a1或5，故選c.3若三條直線2x3y80，xy10和xky0相交于一點(diǎn)，則k的值等于_由得把(1，2)代入xky0并解得k.4不論a取何值時(shí)，直線(a3)x2ay60，恒過(guò)第_象限四方程可化為a(x2y)(3x6)0，由得，(2，1)在第四象限，故直線恒過(guò)第四