2020_2021學年新教材高中數學第1章集合與常用邏輯用語1.2常用邏輯用語1.2.3第2課時充要條件學案含解析新人教B版必修第一冊

1、- 1 -第第 2 2 課時課時充要條件充要條件學 習 目 標核 心 素 養(yǎng)1.理解充要條件的概念(難點)2能夠判定條件的充分、必要、充要性(重點、易混點)3會進行簡單的充要條件的證明(重點、難點)1.通過充要條件的判斷，提升邏輯推理素養(yǎng)2通過充分、必要、充要性的應用，培養(yǎng)數學運算素養(yǎng)主人邀請張三、李四、王五三個人吃飯，時間到了，只有張三、李四準時赴約，王五打電話說：“臨時有急事，不能去了”主人聽了，隨口說了句：“該來的沒有來”張三聽了臉色一沉，起來一聲不吭地走了主人愣了片刻，又道了句：“不該走的又走了”李四聽了大怒，拂袖而去問題請你用邏輯學原理解釋二人離去的原因1充要條件的概念一般地，如果既

2、有pq，又有qp，就記作pq.此時，我們說，p是q的充分必要條件，簡稱充要條件2充要條件的判斷概括地說，如果pq，那么p與q互為充要條件(1)若pq，但qp，則稱p是q的充分不必要條件(2)若qp，但pq，則稱p是q的必要不充分條件(3)若pq，且qp，則稱p是q的既不充分也不必要條件思考：(1)若p是q的充要條件，則命題p和q是兩個相互等價的命題，這種說法對嗎？(2)“p是q的充要條件”與“p的充要條件是q”的區(qū)別在哪里？提示(1)正確若p是q的充要條件，則pq，即p等價于q.(2)p是q的充要條件說明p是條件，q是結論p的充要條件是q說明q是條件，p是結論拓展充要條件的傳遞性若p是q的充要

3、條件，q是s的充要條件，即pq，qs，則有ps，即p是s的充要條件- 2 -1思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)若p是r的充要條件，r是s的充要條件，則s是p的充要條件()(2)設xr r，則x1 是x31 的充要條件()(3)不等式(2x1)(x3)0 成立的充要條件是x3.()答案(1)(2)(3)2. 設xr r，則x2 的一個必要不充分條件是()ax1bx3dx2x1，但x1x2，選 a.3 “a0 且b0”是“a2b20，a，b是實數”的()a充分不必要條件b必要不充分條件c充要條件d既不充分也不必要條件c ca0 且b0 可以推出a2b20，a2b20 可以推出a0 且b

4、0.4已知集合ax|a2xa2，bx|x2 或x4，則ab的充要條件是_0a2aba24，a220a2.充要條件的判斷【例 1】(教材 p34 例 3 改編)下列各題中，哪些p是q的充要條件？(1)p：x0，y0，q：xy0；(2)p：ab，q：acbc；(3)p：x5，q：x10；(4)p：ab，q：a2b2.解命題(1)中，pq，但qp，故p不是q的充要條件；命題(2)中，pq，且qp，即pq，故p是q的充要條件；命題(3)中，pq，但qp，故p不是q的充要條件；命題(4)中，pq，且qp，故p不是q的充要條件充要條件判斷的兩種方法(1)要判斷一個條件p是否是q的充要條件，需要從充分性和必

5、要性兩個方向進行，即判斷兩個命題“若p，則q”為真且“若q，則p”為真- 3 -(2)在判斷的過程中也可以轉化為集合的思想來判斷，判斷p與q的解集是相同的，判斷前必須分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些條件推證到哪些結論提醒：判斷時一定要注意，分清充分性與必要性的判斷方向跟進訓練1在下列四個結論中，正確的有()設xr r， “x1”是“x2”的必要不充分條件；在abc中， “ab2ac2bc2”是“abc為直角三角形”的充要條件；“a2b2”是“ab的充分不必要條件”；若a，br r，則“a2b20”是“a，b不全為 0”的充要條件abcdc c對于結論，x2x1，但x1x2，故正確；對于結論

6、，由a2b20a，b不全為 0，反之，由a，b不全為 0a2b20，故正確充分條件、必要條件、充要條件的應用探究問題1記集合ax|p(x)，bx|q(x)，若p是q的充分不必要條件，則集合a，b的關系是什么？若p是q的必要不充分條件呢？提示若p是q的充分不必要條件，則a b；若p是q的必要不充分條件，則b a.2記集合mx|p(x)，nx|q(x)，若mn，則p是q的什么條件？若nm，mn呢？提示若mn，則p是q的充分條件；若nm，則p是q的必要條件；若mn，則p是q的充要條件【例 2】已知命題p：2x10，命題q：1mx1m(m0)，若p是q的充分不必要條件，則實數m的取值范圍為_思路點撥p

7、是q的充分不必要條件p代表的集合是q代表的集合的真子集列不等式組求解9， )因為p是q的充分不必要條件， 所以pq且qp， 即x|2x10是x|1mx1m，m0的真子集，所以m0，1m0，1m10，解得m9.- 4 -所以實數m的取值范圍為9，).利用充分、必要、充要條件的關系求參數范圍(1)化簡p，q兩命題；(2)根據p與q的關系(充分、必要、充要條件)轉化為集合間的關系；(3)利用集合間的關系建立不等式；(4)求解參數范圍跟進訓練2已知px|a4xa4，qx|1x3， “xp”是“xq”的必要條件，求實數a的取值范圍解因為“xp”是“xq”的必要條件，所以qp.所以a41，a43，解得1a

8、5，即a的取值范圍是1，5.有關充要條件的證明或求解【例 3】已知ab0，證明a2b2ab2ab0 成立的充要條件是ab1.證明先證充分性：若ab1，則a2b2ab2ab(ab)2(ab)110，即充分性成立，必要性：若a2b2ab2ab0，則(ab)2(ab)(ab)(ab1)0，ab0，ab10，即ab1 成立，綜上，a2b2ab2ab0 成立的充要條件是ab1.充要條件的證明要分充分性、必要性兩個方面分別證明，注意證明方向不要反了(易錯點).跟進訓練3求證：關于x的方程ax2bxc0 有一個根是 1 的充要條件是abc0.證明假設p：方程ax2bxc0 有一個根是 1，q：abc0.證明

9、pq，即證明必要性x1 是方程ax2bxc0 的根，- 5 -a12b1c0，即abc0.證明qp，即證明充分性由abc0，得cab.ax2bxc0，ax2bxab0，即a(x21)b(x1)0.故(x1)(axab)0.x1 是方程的一個根故方程ax2bxc0 有一個根是 1 的充要條件是abc0.知識：充要條件的證明與探求(1)充要條件的證明分充分性和必要性的證明，在證明時要注意兩種敘述方式的區(qū)別：p是q的充要條件，則由pq證的是充分性，由qp證的是必要性；p的充要條件是q，則pq證的是必要性，由qp證的是充分性(2)探求充要條件，可先求出必要條件，再證充分性；如果能保證每一步的變形轉化過

10、程都可逆，也可以直接求出充要條件方法：充要條件的判斷有三種方法：定義法、等價命題法、集合法1 “x1”是“x22x10”成立的()a充要條件b充分不必要條件c必要不充分條件d既不充分也不必要條件a a當x1 時，x22x10.由x22x10, 解得x1，所以“x1”是“x22x10 成立的充要條件”. 2設實數a，b滿足|a|b|，則“ab0”是 “ab0”的()a充分不必要條件b必要不充分條件c充要條件d既不充分也不必要條件c c由ab0， 得ab.又|a|b|， 得ab0； 由ab0， 得ab.又|a|b|，- 6 -得ab0.故“ab0”是“ab0”的充要條件3如果a是b的必要不充分條件，b是c的充要條件，d是c的充分不必要條件，那么a是d的()a充分不必要條件b必要不充分條件c充要條件d既不充分也不必要條件b b根據題意得，ab，ba，bc，d