數(shù)學(xué)問題解決

1、數(shù)學(xué)問題解決國外和國內(nèi)的研究現(xiàn)狀引言：1980年全美數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)在一份文件中提出了“必須把問題解決作為80年代中學(xué)數(shù)學(xué)的核心”的口號,并且主張“在解決問題方面的成績?nèi)绾?將是衡量數(shù)學(xué)教育成效的有效標(biāo)準(zhǔn)”1。至此,問題解決似乎成了國際數(shù)學(xué)教育界的一大趨勢。20世紀(jì)初以來,人們對問題解決及其相關(guān)思維技能作了大量的研究。這些研究主要涉及問題和問題解決的界定,問題解決的過程,影響問題解決的因素,問題解決認(rèn)知機(jī)制、元認(rèn)知研究以及問題解決技能的培養(yǎng)與教學(xué)等方面。一、數(shù)學(xué)問題解決模式和過程研究問題解決模式和過程是歷來教育學(xué)家和心理學(xué)家探討的重點(diǎn)。如桑代克的試誤說、格式塔心理學(xué)的頓悟說、信息加工論模式等,認(rèn)知

2、心理學(xué)對此也提出了眾多的圖式和假說,并利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行模擬。通常對于問題解決的研究采用河內(nèi)塔、野人過河等一般問題,通過讓解決者完成作業(yè)過程的時(shí)間、質(zhì)量等進(jìn)行考察2。如AusubelRobinson,Glass.Gick,Guiford,BransfordStein等都提出了自己的問題解決模式。 34。受杜威關(guān)于問題解決思想的影響,幾乎所有的后繼研究都把問題解決按照解決者思維發(fā)展的進(jìn)程分為了三到六個(gè)不等的階段?，F(xiàn)代認(rèn)知派在認(rèn)知的層面上對問題解決的階段進(jìn)行了劃分,更加注重各階段之間的動(dòng)態(tài)聯(lián)系,更真實(shí)地描述了人類解決問題的動(dòng)態(tài)過程,是傳統(tǒng)階段論的一個(gè)螺旋的上升。如Ausubel和Robinson把問題

3、解決分為呈現(xiàn)問題情境命題、明確問題的目標(biāo)和已知條件、填補(bǔ)空隙、檢驗(yàn)四個(gè)階段5; Glass (1985)對問題解決以流程圖的形式表現(xiàn)出來,該流程圖的步驟是:形成問題的初始表征、制定問題解決的計(jì)劃、重構(gòu)問題表征、執(zhí)行計(jì)劃和檢驗(yàn)結(jié)果。Mayer（1984）等人將數(shù)學(xué)應(yīng)用題的解決過程分成四個(gè)基本過程,即轉(zhuǎn)化過程、了解過程、計(jì)劃過程和執(zhí)行過程6。高文（1999）的研究表明,問題解決的一般圖式或過程可以歸結(jié)為五個(gè)階段:問題的識別與定義、策略的選擇與應(yīng)用、問題的表征、資源的分配、監(jiān)控與評估7。綜合已有的研究可以發(fā)現(xiàn),雖然各研究對于問題解決各個(gè)階段劃分的標(biāo)準(zhǔn)不一,但問題解決大致包含以下五個(gè)基本的步驟:閱讀問

4、題,理解并探究問題,選擇解題策略,解決問題,復(fù)習(xí)、回顧和驗(yàn)證解答結(jié)果。二、數(shù)學(xué)問題內(nèi)在機(jī)制研究近年來,有關(guān)應(yīng)用題研究的內(nèi)容更加深入,對應(yīng)用題的研究不僅僅停留在解題策略上,開始探討應(yīng)用題解決的內(nèi)在機(jī)制以及與解題策略有關(guān)的因素以及策略的適用性上。意大利學(xué)者Daniela Lucanneli（2001）等人收集了以往對應(yīng)用題解決的研究文獻(xiàn)挑出了7種學(xué)者們公認(rèn)的應(yīng)用題解決中所涉及的策略:情境理解、問題表征、問題歸類、解題估計(jì)、解題計(jì)劃、自我評價(jià)(對列式的自我評價(jià)和對計(jì)算的自我評價(jià)),然后設(shè)計(jì)了一系列分步的應(yīng)用題,讓被試解答每一道應(yīng)用題時(shí)回答按上述能力所設(shè)計(jì)的7個(gè)多項(xiàng)選擇題。結(jié)果發(fā)現(xiàn),只是其中的五種能力

5、對被試解題有作用即情境理解、問題表征、問題歸類、解題計(jì)劃和自我評價(jià)8。不同的任務(wù)決定不同的過程,問題中的些許變化,如句法、內(nèi)容與結(jié)構(gòu)對問題解決的難度就會(huì)產(chǎn)生很大影響。戈?duì)柖?Goldin)與卡姆(Kulm)曾提出影響問題解決結(jié)果的這樣一些任務(wù)變量:句法、內(nèi)容、情境變量、結(jié)構(gòu)變量及啟發(fā)法行為變量?；鶢柵撂乩锟?Kilpatrick)針對學(xué)生在解決應(yīng)用題方面所表現(xiàn)出的困難進(jìn)行研究,發(fā)現(xiàn)句子長度和短語數(shù)量等因素都是影響易讀性(把問題從一般陳述轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式的容易度)與易解性(從代數(shù)形式得到答案的難易度)的因素。路海東（2004）等對影響小學(xué)生應(yīng)用題解決的認(rèn)知因素及其作用機(jī)制進(jìn)行了探討。結(jié)果表明,情境

6、理解、問題表征、問題歸類、解題計(jì)劃和自我評價(jià)是影響小學(xué)生應(yīng)用題解決的主要認(rèn)知因素。其中,情境理解首先影響問題表征、問題歸類、解題計(jì)劃和自我評價(jià),后四個(gè)因素又進(jìn)一步影響解題成績9。三、關(guān)于數(shù)學(xué)應(yīng)用題表征策略的分類及相關(guān)研究問題表征在問題解決過程中至關(guān)重要。Wetheimer指出,問題解決的典型特征在于生成合理的問題表征,即問題被恰當(dāng)?shù)亟M織起來:一個(gè)適宜的表征應(yīng)該滿足三個(gè)條件:(1)表與問題的真實(shí)結(jié)構(gòu)相對應(yīng);(2)表征中的各個(gè)問題成分被恰當(dāng)?shù)亟Y(jié)合在一起:(3)表征結(jié)合了問題解決者的其他知識。通過研究發(fā)現(xiàn),正確的表征是解決問題的必要前提,在錯(cuò)誤的或者不完整的問題空間中進(jìn)行搜索是不可能求得問題正確的解

7、;問題表征是對問題信息的搜索提取和解內(nèi)化的過程,問題規(guī)則(問題的約束條件)在問題表征中起著重要作用。數(shù)學(xué)應(yīng)用題心理表征中存在著兩種策略直接轉(zhuǎn)換策略(direct translation strategy)和問題模型策略(problem-mode strategy)。Hegarty等人(1995)提出成功的應(yīng)用題解決者在表征問題時(shí)通常將采用問題模型策略,首先從題中選取數(shù)字,然后對數(shù)字進(jìn)行加工,其中強(qiáng)調(diào)量的推理,即運(yùn)算過程;而不成功的應(yīng)用題解決者則采用直接翻譯策略,首先試圖理解問題情境,然后根據(jù)情境表征制訂計(jì)劃,其中強(qiáng)調(diào)質(zhì)的推理,即理解問題中條件之間的關(guān)系10。路海東等人(2003)針對我國小學(xué)生

8、表征和差應(yīng)用題的策略也進(jìn)行了研究,進(jìn)一步證實(shí)了Hegarty等人的研究結(jié)果11。紀(jì)桂萍等(1996)在研究中把數(shù)學(xué)應(yīng)用題解決中的心理表征分為形象表征和抽象表征兩種。同時(shí),她們發(fā)現(xiàn)小學(xué)生的思維具有形象性的特點(diǎn),圖形表征是小學(xué)生問題解決過程中的一種重表征系統(tǒng)12。我國學(xué)者張慶林等(1997)通過研究發(fā)現(xiàn),學(xué)生表征應(yīng)用題的方式主要有三類:復(fù)述內(nèi)容、畫圖、找關(guān)鍵信息。優(yōu)、中、差三類學(xué)生在表征方式的使用上差異很大,差生更多地使用復(fù)述內(nèi)容的方式。同時(shí)發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)表征最有利于元認(rèn)知監(jiān)視和正確解題,是最佳的表征方式13。Hegarty等人(1999)進(jìn)一步把視覺空間表征區(qū)分為兩種類型:圖式表征和圖形表征。圖式表征

9、即描述問題中空間關(guān)系的表征;圖形表征即描述問題中客體視覺外貌的表征方式。研究發(fā)現(xiàn),采用圖式表征方式的學(xué)生傾向于對問題的空間關(guān)系和空間轉(zhuǎn)化進(jìn)行表征,這涉及問題的主要信息而遺漏多余細(xì)節(jié),圖式表征與人的空間能力緊密聯(lián)系。而采用圖形表征則和問題的成功解決是呈負(fù)相關(guān)的14。澳大利亞的Tom Lowrie和Russell Kaym(2001)將應(yīng)用題的表征類型分為:視覺化表征、非視覺化表征(或言語化表征)和混合型表征。研究發(fā)現(xiàn)問題難度影響學(xué)生對問題表征方式的選擇。當(dāng)學(xué)生解決難題或新穎的問題時(shí)通常采用視覺化的方式進(jìn)行表征,當(dāng)解決相對不難的問題時(shí)通常采用非視覺化的方式,并且無論是否正確解決了問題都有這種傾向1

10、5。綜合以上的研究,我們可以發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)應(yīng)用題解決過程中,學(xué)生的問題表征系統(tǒng)是很復(fù)雜的。關(guān)于不同表征方式對數(shù)學(xué)應(yīng)用題解決的影響,不同研究者的結(jié)論各不相同,而且同一表征方式對問題的影響,不同研究者所持的觀點(diǎn)也不盡相同。但大體上可以分為四類:(1)言語化表征、形象化表征和混合型表征;(2)圖式表征和圖形表征;(3)復(fù)述內(nèi)容、畫圖與找關(guān)鍵信息;(4)形象表征與抽象表征。這些結(jié)論并非完全對立,而是有一定的相關(guān)關(guān)系或者是包含關(guān)系的。四、結(jié)語心理學(xué)家以探討人們解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的心理現(xiàn)象和規(guī)律為目的。從以上綜述和研究現(xiàn)狀可以看出,最初對數(shù)學(xué)問題解決的研究主要集中在數(shù)學(xué)問題解決過程及模式的建構(gòu)和應(yīng)用中,近年來越

11、來越多的學(xué)者關(guān)注于數(shù)學(xué)問題解決內(nèi)在機(jī)制問題的研究,尤其側(cè)重于問題理解階段的表征、問題解決各階段的策略及使用以及調(diào)控整個(gè)解題過程的元認(rèn)知分析幾個(gè)方面。實(shí)踐領(lǐng)域中也出現(xiàn)了應(yīng)用性研究,諸如,解題策略的訓(xùn)練,元認(rèn)知能力的培養(yǎng)等等。除關(guān)注于決定解題效率和正確率的認(rèn)知原因以外,也有研究開始注意到非智力或認(rèn)知因素對問題解決的影響。可見,對數(shù)學(xué)問題解決的心理學(xué)研究已經(jīng)比較全面和豐富,很多理論模式得以繼承和發(fā)展,但真正切實(shí)有效的教學(xué)策略、認(rèn)知策略的訓(xùn)練等還需進(jìn)一步完善和驗(yàn)證。這可能是由于心理學(xué)家更偏重于理論探討,試圖發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題解決中的認(rèn)知規(guī)律,而數(shù)學(xué)教育家的研究起點(diǎn)往往定位在數(shù)學(xué)本身,習(xí)慣用演繹的思維去推測解

12、題的心理活動(dòng),研究目的是使學(xué)生如何學(xué)會(huì)解題,如何使學(xué)生的解題能力得到發(fā)展和提高,因而兩者之間缺乏溝通,使得研究的成果對教學(xué)的實(shí)踐意義不大。參考文獻(xiàn)：1：Newell S E Simon H A.Human problem solvingM.Englewood Cliffs New Jersey Prenlice- - Hall.1972.39-1462: 王甦,汪安圣.認(rèn)知心理學(xué).北京大學(xué)出版社,2003:276-308.3: 李廣洲,等.化學(xué)問題解決研究.山東教育出版社,2004:10.4: MayerR E.introduction to special section(cognition

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