有限域的結(jié)構(gòu)

1、有限域的結(jié)構(gòu)對(duì)于這一節(jié)，我們將要證明三個(gè)結(jié)構(gòu)定理：定理1 設(shè)F是一個(gè)特征p的有限域，那么F的元素個(gè)數(shù)一定是p的一個(gè)冪。定理2 設(shè)p是任一素?cái)?shù)而n是任一正整數(shù)，那么總存在著一個(gè)恰含個(gè)元素的有限域。定理3 設(shè)F是一個(gè)有限域，它含有一個(gè)q個(gè)元素的有限域作為子域，那么F的元素個(gè)數(shù)一定是q的一個(gè)冪。證明：先將改記為.如果,那么就是恰含有個(gè)元素的有限域，因此定理成立。如果，那么就含有一個(gè)元素，而.令.下面我們來(lái)證明：如果，則一定有.因?yàn)閺纳鲜娇梢酝瞥?.若，那么有 .這與相矛盾。所以有推薦精選.于是有.則恰含個(gè)兩兩不同的元素。如果,那么就是恰含個(gè)元素的有限域，此時(shí)定理成立。如果，那么就會(huì)有一個(gè)元素，而.令

2、 .假設(shè).那么.若，那么有.這與相矛盾。故有.于是有.由此知，。像這樣一直討論下去。如果的元素個(gè)數(shù)是，而，那么就有的一串子集，其中而恰含個(gè)兩兩不同的元素。如果，那么就含有一個(gè)元素，而.令依照上面有恰含個(gè)兩兩不同的元素。但是是推薦精選的一個(gè)子集，而的元素個(gè)數(shù)，所以對(duì)于恰含個(gè)兩兩不同的元素是不可能的。因此一定有，即恰含個(gè)元素。下面要證明定理1，設(shè)是特征的有限域，那么一定是素?cái)?shù)，而的素域就是恰含個(gè)元素的有限域。所以要證明定理1只需在定理3中取，就可以證明。下面要證明定理2則需要一些多項(xiàng)式的知識(shí)及引理。定理4(帶余除法) 設(shè)和是中的兩個(gè)多項(xiàng)式，.那么存在唯一的一對(duì)多項(xiàng)式，使得。令推論5設(shè)和都是中的多項(xiàng)

3、式，。那么定理6 設(shè)是中的一個(gè)非零多項(xiàng)式。如果和互素，那么沒(méi)有重因式。推薦精選推論7 設(shè)是中的一個(gè)多項(xiàng)式，。那么是的根當(dāng)且僅當(dāng)。如果是中的一個(gè)n次多項(xiàng)式。那么在中最多有n個(gè)兩兩不同的根。定理8 設(shè)是中的一個(gè)非零多項(xiàng)式，設(shè)和是中的任意兩個(gè)多項(xiàng)式。那么當(dāng)且僅當(dāng)例1 設(shè)是域，是中的一個(gè)次不可約多項(xiàng)式。我們用表示中所有次數(shù)的多項(xiàng)式的集合，即 (1)設(shè)。仿照是域時(shí)定義的加法運(yùn)算和乘法運(yùn)算來(lái)規(guī)定與的和()與積（）：和是域的證明一樣。可驗(yàn)證對(duì)于規(guī)定的加法運(yùn)算和乘法運(yùn)算是一個(gè)域。在這里我要說(shuō)的是，中的零元素0就是推薦精選中的零元素，中的單位元素就是中的單位元素。值得注意的是中的元素都是中的元素，它們是中的零元

4、素和零次多項(xiàng)式。進(jìn)一步，對(duì)于中的任意兩個(gè)元素的和，將它們看作中的元素進(jìn)行加法運(yùn)算和乘法運(yùn)算得到的和與積，與將它們看作中的元素進(jìn)行加法運(yùn)算和乘法運(yùn)算得到的和與積是一樣的，即因此， 是的一個(gè)子域。特別地，如果是中的一個(gè)一次多項(xiàng)式，那么顯然有.進(jìn)一步，若我們記那么在中，有這就是說(shuō)中的元素是上未定元的不可約多項(xiàng)式 的根。因此我們也可以說(shuō)是添加中的一個(gè)不可約多項(xiàng)式的根到上而得到的域。 如果是含有個(gè)元素的有限域，那么（1）式中的推薦精選可以是中這個(gè)元素中的任何一個(gè)，因此是個(gè)元素的有限域。特別地，若取，其中是一個(gè)給定的素?cái)?shù)，而是中的一個(gè)次不可約多項(xiàng)式，那么就恰含有個(gè)元素的有限域，而是它的一個(gè)子域。因此，在中

5、也有。下面要證明定理2，我們只需證明：對(duì)于任一素?cái)?shù)和任一正整數(shù)，中總有一個(gè)次不可約多項(xiàng)式即可。而事實(shí)上，若是中的一個(gè)次不可約多項(xiàng)式，那么在例1中構(gòu)造的域就是一個(gè)個(gè)元素的有限域。然而，我們要證明中總有次不可約多項(xiàng)式存在，又要做一些準(zhǔn)備。引理9 設(shè)是個(gè)有限域，是的一個(gè)含有個(gè)元素的子域，那么中每個(gè)元素都適合條件。進(jìn)一步，若中的元素適合，那么。證明：根據(jù)任意有限域的乘法群都是循環(huán)群這一定理，知道是階循環(huán)群。設(shè)是它的一個(gè)生成元，那么就是的全部個(gè)元素。然而有 在上式兩邊同時(shí)乘以，就有推薦精選 .這就是說(shuō)，中人一元素（包含0）都適合條件這樣的話(huà)，有多項(xiàng)式就以中的個(gè)元素作為它的全部根。將看作上的多項(xiàng)式，它在中

6、最多有個(gè)因此如果是這個(gè)多項(xiàng)式的根，即，那么一定有。引理10設(shè)是個(gè)元素的有限域，而是上的一個(gè)次不可約多項(xiàng)式，那么一定有 證明：令在例1中已經(jīng)規(guī)定了的加法運(yùn)算和乘法運(yùn)算，即于任意的，有同時(shí)也證明了按上述規(guī)定的加法和乘法運(yùn)算是一個(gè)域，而且是一個(gè)含個(gè)元素的域。根據(jù)引理9，推薦精選中的元素 都適合條件，即.特別地，對(duì)于，在中有，而這可以轉(zhuǎn)化為即。由推論5有因此有.這就是說(shuō)。引理11設(shè)是個(gè)元素的有限域，而是上的一個(gè)次不可約多項(xiàng)式，如果，那么一定有不能整除。證明：運(yùn)用反證法。設(shè)。這就是說(shuō)，。因此.推薦精選因?yàn)?，所以是個(gè)元素的有限域。根據(jù)定理1，一定是的特征的一個(gè)冪，也是的特征的一個(gè)冪。于是對(duì)于中任意一個(gè)元素

7、，都有這就是說(shuō)，的個(gè)元素都適合多項(xiàng)式.但是，根據(jù)推論7這是不可能的。故不能整除。引理12 設(shè)是正整數(shù)，而那么證明：對(duì)作歸納法。當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立。設(shè)，那么推薦精選由。但是而，所以根據(jù)歸納假設(shè)，有于是有引理13設(shè)是正整數(shù)，而那么證明：仿照引理12的證明，可證明.根據(jù)引理12 有因此引理14設(shè)是個(gè)元素的有限域，而是上的一個(gè)次不可約多項(xiàng)式。那么當(dāng)且僅當(dāng).證明：充分性：根據(jù)引理10，要證，只需證推薦精選明即可。設(shè)，那么根據(jù)引理13有于是由引理10得到則有，故有.必要性：設(shè)，由于那么令.根據(jù)引理13得到，再根據(jù)引理11，有。但是.故有。于是有。引理15設(shè)是個(gè)元素的有限域.那么對(duì)于任意正整數(shù)，都沒(méi)有重因式。證明： 設(shè)那么有設(shè)的特征為。由定理1，是的一個(gè)冪。令推薦精選那么。所以對(duì)于來(lái)說(shuō)只有因式和，而不能整除，所以.于是根據(jù)定理6，知沒(méi)有重因式。然而不是的因式，因此也沒(méi)有重因式。定理16 設(shè)是一個(gè)個(gè)元素的有限域，是一個(gè)正整數(shù)，而是的所有兩兩不同的素因數(shù)。用表示中所有次首一不可約多項(xiàng)式的乘積，那么(2)其中分別由是偶數(shù)或奇數(shù)來(lái)確定的。再用表示中次首一不可約多項(xiàng)式的個(gè)數(shù)，那么(3)推薦精選推論17 .證明：由于，要證只要證即可。令其中是兩兩不同的素?cái)?shù)。那么(3)式中右邊除了最后一項(xiàng)之外，其他的項(xiàng)都是的倍數(shù)