函數(shù)的表示方法、分段函數(shù)及映射

1、11.2.2 1.2.2 函數(shù)的表示法函數(shù)的表示法第第1 1課時課時 函數(shù)的表示法函數(shù)的表示法2探究點探究點1 1 解析法解析法 用數(shù)學(xué)表達式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系的方法用數(shù)學(xué)表達式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系的方法優(yōu)點優(yōu)點: : 函數(shù)關(guān)系清楚、精確；函數(shù)關(guān)系清楚、精確；容易從自變量的容易從自變量的值求出其對應(yīng)的函數(shù)值；值求出其對應(yīng)的函數(shù)值；便于研究函數(shù)的性質(zhì)。便于研究函數(shù)的性質(zhì)。解析法是中學(xué)研究函數(shù)的主要表達方法。解析法是中學(xué)研究函數(shù)的主要表達方法。222:60 ,(0)StAryaxbxc a如p=+3探究點探究點2 2 列表法列表法列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系的方法列出表格來表

2、示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系的方法. . 如：平方表，平方根表，汽車、火車站的里程價目如：平方表，平方根表，汽車、火車站的里程價目表、銀行里的表、銀行里的“利率表利率表”等。等。 優(yōu)點優(yōu)點: :不必通過計算就知道當自變量取某些值時函數(shù)的不必通過計算就知道當自變量取某些值時函數(shù)的對應(yīng)值，當自變量的值的個數(shù)較少時使用，列表法在實對應(yīng)值，當自變量的值的個數(shù)較少時使用，列表法在實際生產(chǎn)和生活中有廣泛的應(yīng)用際生產(chǎn)和生活中有廣泛的應(yīng)用. .4探究點探究點3 3 圖象法圖象法 用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系的方法用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系的方法. . 如：一次函數(shù)如：一次函數(shù)y ykxkxb (kb (

3、k0 0、b b0)0)的圖象是一條直線；的圖象是一條直線；y yO Ox x優(yōu)點：優(yōu)點：能形象直觀地表示出函數(shù)的變化趨勢，能形象直觀地表示出函數(shù)的變化趨勢，是今后利用數(shù)形結(jié)合思想解題的基礎(chǔ)是今后利用數(shù)形結(jié)合思想解題的基礎(chǔ). .5例例1 1 某種筆記本的單價是某種筆記本的單價是5 5元，買元，買 個筆記本需要個筆記本需要y y元元. .試用函數(shù)的三種表示法表示函數(shù)試用函數(shù)的三種表示法表示函數(shù)y=f(x).y=f(x).x x1,2,3,4,5x x1 12 23 34 45 5y y5 51010151520202525y5x,x1,2,3,4,5解：解：這個函數(shù)的定義域是數(shù)集這個函數(shù)的定義域

4、是數(shù)集1,2,3,4,51,2,3,4,5列表法表示如下：列表法表示如下：用圖象法可將函數(shù)表示為右圖：用圖象法可將函數(shù)表示為右圖：用解析法表示為用解析法表示為函數(shù)的圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折函數(shù)的圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、孤立的點等。線、孤立的點等。6(1)(1)用解析法表示函數(shù)是否一定要寫出自變量的取值范圍？用解析法表示函數(shù)是否一定要寫出自變量的取值范圍？(2)(2)用描點法畫函數(shù)圖象的一般步驟是什么？用描點法畫函數(shù)圖象的一般步驟是什么？列表、描點、連線列表、描點、連線( (視其定義域決定是否連線視其定義域決定是否連線) )函數(shù)的定義域是函數(shù)存在的前提，寫函數(shù)

5、解析式的時候，函數(shù)的定義域是函數(shù)存在的前提，寫函數(shù)解析式的時候，一般要寫出函數(shù)的定義域一般要寫出函數(shù)的定義域. .7第第1 1次次第第2 2次次第第3 3次次第第4 4次次第第5 5次次第第6 6次次王偉王偉988791928895張城張城907688758680趙磊趙磊686573727582班級平班級平均分均分88.278.385.480.375.782.6例例2 2 下表是某校高一（下表是某校高一（1 1）班三名同學(xué)在高一學(xué)年度六）班三名同學(xué)在高一學(xué)年度六次數(shù)學(xué)測試的成績及班級平均分表次數(shù)學(xué)測試的成績及班級平均分表. . 請你對這三位同學(xué)在高一學(xué)年度的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況做一個分請你對這三位同學(xué)

6、在高一學(xué)年度的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況做一個分析析. .測試序號測試序號成績成績姓名姓名8解：解：從表中可以知道每位同學(xué)在每次測試中的成績，但不從表中可以知道每位同學(xué)在每次測試中的成績，但不太容易分析每位同學(xué)的成績變化情況太容易分析每位同學(xué)的成績變化情況. .如果將如果將“成績成績”與與“測試序號測試序號”之間的關(guān)系用函數(shù)圖象表示出來，如下圖，之間的關(guān)系用函數(shù)圖象表示出來，如下圖，那么就能比較直觀地看到成績變化的情況那么就能比較直觀地看到成績變化的情況. .這對我們的分這對我們的分析很有幫助析很有幫助. .9作函數(shù)圖象時應(yīng)注意的事項作函數(shù)圖象時應(yīng)注意的事項: :(1)(1)畫函數(shù)圖象時首先關(guān)注函數(shù)的定義域

7、畫函數(shù)圖象時首先關(guān)注函數(shù)的定義域, ,即在定義域內(nèi)作即在定義域內(nèi)作圖圖; ;(2)(2)圖象是實線或?qū)嶞c圖象是實線或?qū)嶞c, ,定義域外的部分有時可用虛線來定義域外的部分有時可用虛線來襯托整個圖象襯托整個圖象; ;(3)(3)要標出某些關(guān)鍵點要標出某些關(guān)鍵點, ,例如圖象的頂點、端點、與坐標軸例如圖象的頂點、端點、與坐標軸的交點等的交點等. .要分清這些關(guān)鍵點是實心點還是空心點要分清這些關(guān)鍵點是實心點還是空心點. .提升總結(jié)提升總結(jié)101. 1. 畫出下列函數(shù)的圖象畫出下列函數(shù)的圖象: :(1) (1) (2)(2)f(x)2x,xR,x2且且；f(x)x2,(xN,x3);且且1212Oyx4

8、422解：解：（1 1）（2 2）11在它的定義域中，在它的定義域中，對于自變量的不同對于自變量的不同取值范圍，對應(yīng)關(guān)取值范圍，對應(yīng)關(guān)系不同系不同. .畫出函數(shù)畫出函數(shù) 的圖象的圖象. .yx -2 -30 123xy12345-1x x0,yx x0.12探究點探究點1 1 分段函數(shù)分段函數(shù)（1 1）分段函數(shù)是一個函數(shù)，不要把它誤認為是幾個函數(shù)；）分段函數(shù)是一個函數(shù)，不要把它誤認為是幾個函數(shù)；注意注意（2 2）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集段值域的并集. . 有些函數(shù)在它的定義域中，對于自變量的不同取有些函數(shù)在它的定義域

9、中，對于自變量的不同取值范圍，對應(yīng)關(guān)系不同，這種函數(shù)通常稱為分段函數(shù)值范圍，對應(yīng)關(guān)系不同，這種函數(shù)通常稱為分段函數(shù). .13以下敘述正確的有（以下敘述正確的有（ ）(1)(1)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集, ,值域是各值域是各段值域的并集段值域的并集. .(2)(2)分段函數(shù)在定義域的不同部分有不同的對應(yīng)關(guān)系，分段函數(shù)在定義域的不同部分有不同的對應(yīng)關(guān)系，但它是一個函數(shù)但它是一個函數(shù). .(3)(3)若若D D1 1、D D2 2分別是分段函數(shù)的兩個不同對應(yīng)關(guān)系的分別是分段函數(shù)的兩個不同對應(yīng)關(guān)系的值域，則值域，則D D1 1DD2 2 也能成立也能成立.

10、.（A A）1 1個個 （B B）2 2個個 （C C）3 3個個 （D D）0 0個個C C變式練習(xí)：變式練習(xí)：141.1.求分段函數(shù)的函數(shù)值：求分段函數(shù)的函數(shù)值：例例1 1 已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=f(x)=x+2, (xx+2, (x1)1)；x x2 2, (, (1 1x x2)2)；2x, (x2).2x, (x2).(2)(2)若若f(x)=3,f(x)=3,求求x x的值的值. .(1)(1)求求 的值的值; ; 1f 3 ,f,f52（ ） 11f 36,f,f5324 （ ）解：解：（1 1）x3（2 2）15例例3 3 某市某市“招手即停招手即?！惫财嚨钠眱r按下列規(guī)

11、則制定：公共汽車的票價按下列規(guī)則制定：（1 1）5 5公里以內(nèi)公里以內(nèi)( (含含5 5公里公里) )，票價，票價2 2元；元；（2 2）5 5公里以上，每增加公里以上，每增加5 5公里，票價增加公里，票價增加1 1元（不足元（不足5 5公里公里的按的按5 5公里計算）公里計算）. .如果某條線路的總里程為如果某條線路的總里程為2020公里，請根據(jù)題意，公里，請根據(jù)題意，寫出票價與里程之間的函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)的圖象寫出票價與里程之間的函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)的圖象. .3.3.求分段函數(shù)的解析式求分段函數(shù)的解析式16y=y=2, 0 x 52, 0 x 53, 5 x 103, 5 x 104

12、, 10 x 154, 10 x 155, 15 x205, 15 x20解：解：設(shè)票價為設(shè)票價為y y元，里程為元，里程為x x公里，由題意可知，自變量公里，由題意可知，自變量x x的取值范圍是（的取值范圍是（0 0，2020由由“招手即停招手即停”公共汽車票價的制定規(guī)定，可得到以下公共汽車票價的制定規(guī)定，可得到以下函數(shù)解析式：函數(shù)解析式：根據(jù)這個函數(shù)解析式，根據(jù)這個函數(shù)解析式，可畫出函數(shù)圖象，可畫出函數(shù)圖象，如右圖如右圖: :y y2 2O O5 51010 151520201 13 34 45 5x x171.1.已知已知3 (9)( )(4) (9)xxf xff xx求求 的值的值.

13、 .解：解： f 15 ,f 7 f 1512,f 76182.2.某質(zhì)點在某質(zhì)點在30s30s內(nèi)運動速度內(nèi)運動速度vcm/svcm/s是時間是時間t t的函數(shù)的函數(shù), ,它的圖象如右圖，它的圖象如右圖，用解析式表示出這個函數(shù)用解析式表示出這個函數(shù). .解解: :v(t)=v(t)=t+10, (0 t5)t+10, (0 t5)3t,(5 t3t,(5 t10)10)30,(10 t 30,(10 t 20)20)-3t+90,(20 t30)-3t+90,(20 t30)3030t/st/s1010202010103030v/cmsv/cms-1-1O O1515202025255 519

14、填寫下圖中的對應(yīng)關(guān)系填寫下圖中的對應(yīng)關(guān)系A(chǔ)B（1)1)相應(yīng)國家的首都相應(yīng)國家的首都(2)(2)求平方求平方(3)(3)乘以乘以2 2 北京 首爾中國 韓國x xx2x2x一對一一多對多對一一對一一對一(1),(2),(3)(1),(2),(3)的共同特征的共同特征: :集合集合A A中的任何一個元素中的任何一個元素, ,在集在集合合B B中都有唯一的元素和它對應(yīng)中都有唯一的元素和它對應(yīng). .X X的首都的首都1 1 2 2 3 3 1 4 9AB1 2 3 4 5 61 2 3 AB探究點探究點2 2 映射映射20 一般地，設(shè)一般地，設(shè)A A、B B是兩個是兩個非空的集合非空的集合，如果按某一

15、個確，如果按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系定的對應(yīng)關(guān)系f f，使對于集合，使對于集合A A中的中的任意任意一個元素一個元素x x，在集合，在集合B B中都有中都有唯一唯一確定的元素確定的元素y y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f:ABf:AB為從為從集合集合A A到集合到集合B B的一個映射的一個映射. .映射的概念映射的概念若若對應(yīng)對應(yīng)是映射是映射，必須滿足兩個條件：，必須滿足兩個條件：A A中任何一個元素在中任何一個元素在B B中都有元素與之對應(yīng)中都有元素與之對應(yīng). .A A在在B B中所對應(yīng)的元素是唯一的中所對應(yīng)的元素是唯一的. .注意注意21因此還可以用映射的概念來定義函數(shù)：因此還

16、可以用映射的概念來定義函數(shù)： 如果如果A A、B B是非空數(shù)集，那么是非空數(shù)集，那么A A到到B B的映射的映射f:AB,f:AB,就叫做就叫做A A到到B B的函數(shù)，的函數(shù)， 記作：記作：y=f(x)y=f(x)函數(shù)是一種特殊的映射函數(shù)是一種特殊的映射函數(shù)函數(shù)映射映射對應(yīng)對應(yīng)22例例4 4 以下給出的對應(yīng)是不是從集合以下給出的對應(yīng)是不是從集合A A到到B B的映射？的映射？(1)(1)集合集合A AP|PP|P是數(shù)軸上的點是數(shù)軸上的點 ，集合，集合B BR R，對應(yīng)關(guān)系，對應(yīng)關(guān)系f f：數(shù)軸上的點與它所代表的實數(shù)對應(yīng)；：數(shù)軸上的點與它所代表的實數(shù)對應(yīng)；(2)(2)集合集合A AP|PP|P是

17、平面直角坐標系中的點是平面直角坐標系中的點 ，集合，集合B B(x(x，y) | xRy) | xR，yRyR，對應(yīng)關(guān)系，對應(yīng)關(guān)系f f：平面直角坐標系：平面直角坐標系中的點與它的坐標對應(yīng)；中的點與它的坐標對應(yīng)；(3)(3)集合集合A Ax|xx|x是三角形是三角形 ，集合，集合B Bx|xx|x是圓是圓 ，對應(yīng)，對應(yīng)關(guān)系關(guān)系f f：每一個三角形都對應(yīng)它的內(nèi)切圓；：每一個三角形都對應(yīng)它的內(nèi)切圓；(4)(4)集合集合A Ax|xx|x是新華中學(xué)的班級是新華中學(xué)的班級 ，集合，集合B Bx|xx|x是新是新華中學(xué)的學(xué)生華中學(xué)的學(xué)生 ，對應(yīng)關(guān)系，對應(yīng)關(guān)系f f：每一個班級都對應(yīng)班里的：每一個班級都對

18、應(yīng)班里的學(xué)生學(xué)生. .是是不是不是是是是是23xxyyyy000022222222（A A）1.1.（20122012西安高一檢測）設(shè)西安高一檢測）設(shè)A=0,2, B=1,2, A=0,2, B=1,2, 在下在下列各圖中，能表示列各圖中，能表示f:ABf:AB的函數(shù)是（的函數(shù)是（ ）. .D Dxx（B B）（C C）（D D）11111111242.2.判斷下列對應(yīng)是否為映射？判斷下列對應(yīng)是否為映射？abcefgabcdefgabcefgd是是是是不是不是253.3.判斷下列對應(yīng)是不是從判斷下列對應(yīng)是不是從A A到到B B的映射：的映射：(1)A(1)AN N，B BN N* *，f f：

19、x|xx|x2|2|；(2)A(2)Ax|0 x6x|0 x6，B By|0y2y|0y2，f f：xyxy(3)A(3)Ax|x3x|x3，xNxN，B Ba|a0a|a0，aZaZ，f f：xaxa ；解：解：（1 1）集合）集合A A中的元素中的元素2 2在對應(yīng)關(guān)系下，在對應(yīng)關(guān)系下，B B中沒有元素中沒有元素與之對應(yīng)，故不是映射與之對應(yīng)，故不是映射. . （2 2）A A中元素中元素6 6在對應(yīng)關(guān)系下，在對應(yīng)關(guān)系下，B B中沒有元素與之對應(yīng)，中沒有元素與之對應(yīng)，故不是映射故不是映射. . （3 3）是映射）是映射. .1x;22x2x4264.(20114.(2011泰安模擬泰安模擬)

20、)某市居民自來水收費標準如下：某市居民自來水收費標準如下：每戶每月用水不超過每戶每月用水不超過4 4噸為每噸噸為每噸1.801.80元，當用水超過元，當用水超過4 4噸，超過部分每噸噸，超過部分每噸3.003.00元，某月甲、乙兩戶居民共繳元，某月甲、乙兩戶居民共繳水費水費y y元，已知甲、乙兩戶的用水量分別為元，已知甲、乙兩戶的用水量分別為5x5x、3x(3x(噸噸).).(1)(1)求求y y關(guān)于關(guān)于x x的函數(shù)；的函數(shù)；(2)(2)若甲、乙兩戶該月共繳水費若甲、乙兩戶該月共繳水費26.4026.40元，分別求出甲、元，分別求出甲、乙兩戶該月的用水量和水費乙兩戶該月的用水量和水費. .【解析】【解析】(1)(1)依題意得依題意得y=y= 14.4x,0 x ,14.4x,0 x ,20.4x-4