兩個(gè)變量的線性相關(guān)教學(xué)設(shè)計(jì)劉詩(shī)桂

1、課題：兩個(gè)變量的線性相關(guān)衡東一中數(shù)學(xué)組 劉詩(shī)桂內(nèi)容摘要：本節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)主要是使用excel軟件研究線性回歸的過(guò)程和方法，對(duì)普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)（人教版）第二章統(tǒng)計(jì)中的“兩個(gè)變量的線性相關(guān)”進(jìn)行有益的教與學(xué)探究。學(xué)生通過(guò)對(duì)excel軟件的操作，具體形象地利用散點(diǎn)圖等直觀圖形認(rèn)識(shí)變量之間的相關(guān)關(guān)系，同時(shí)，經(jīng)歷描述兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系的過(guò)程。學(xué)生親自體驗(yàn)了發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的全過(guò)程。與此同時(shí)，教師在落實(shí)新課程標(biāo)準(zhǔn)的相關(guān)理念上作了一些有益的探討。教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐:教學(xué)目標(biāo)1、 明確事物間的相互聯(lián)系。認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中變量間除了存在確定的關(guān)系外，仍存在大量的非確定性的相關(guān)關(guān)系，并利用散點(diǎn)圖直觀體會(huì)這種相

2、關(guān)關(guān)系。2、 通過(guò)計(jì)算機(jī)技術(shù)探究用不同的估算方法描述兩個(gè)變量的線性相關(guān)關(guān)系的過(guò)程，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的有關(guān)變量來(lái)描述現(xiàn)實(shí)關(guān)系。3、知道最小二乘法思想，了解其公式的推導(dǎo)。會(huì)用excel軟件來(lái)求回歸方程，相關(guān)系數(shù)。4、培養(yǎng)學(xué)生形成運(yùn)用數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷的能力；讓學(xué)生體會(huì)從特殊到一般的辯證思想方法教學(xué)重點(diǎn)了解線性回歸的基本思想和方法；教學(xué)難點(diǎn)線性回歸的基本思想方法和計(jì)算教學(xué)方法自學(xué)輔導(dǎo)式課時(shí)安排2課時(shí)多媒體工具多媒體電子課件，excel軟件工具教學(xué)實(shí)踐情況1、 問(wèn)題引出 請(qǐng)同學(xué)們?nèi)鐚?shí)填寫(xiě)下表（在空格中打“” ）好中差你的數(shù)學(xué)成績(jī)你的物理成績(jī)?nèi)缓蠡卮鹑缦聠?wèn)題：“你的數(shù)學(xué)成績(jī)對(duì)你的物理成績(jī)有無(wú)影響？”“ 如果你的數(shù)學(xué)

3、成績(jī)好，那么你的物理成績(jī)也不會(huì)太差，如果你的數(shù)學(xué)成績(jī)差，那么你的物理成績(jī)也不會(huì)太好?！睂?duì)你來(lái)說(shuō)，是這樣嗎？同意這種說(shuō)法的同學(xué)請(qǐng)舉手。根據(jù)同學(xué)們回答的結(jié)果，讓學(xué)生討論：我們可以發(fā)現(xiàn)自己的數(shù)學(xué)成績(jī)和物理成績(jī)存在某種關(guān)系。（似乎就是數(shù)學(xué)好的，物理也好；數(shù)學(xué)差的，物理也差，但又不全對(duì)。）教師總結(jié)如下：物理成績(jī)和數(shù)學(xué)成績(jī)是兩個(gè)變量，從經(jīng)驗(yàn)看，由于物理學(xué)習(xí)要用到比較多的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法。數(shù)學(xué)成績(jī)的高低對(duì)物理成績(jī)的高低是有一定影響的。但決非唯一因素，還有其它因素，如圖所示（多媒體投影儀給出）： （影響你的物理成績(jī)的關(guān)系圖）因此，不能通過(guò)一個(gè)人的數(shù)學(xué)成績(jī)是多少就準(zhǔn)確地?cái)喽ㄋ奈锢沓煽?jī)能達(dá)到多少。但這兩個(gè)變量

4、是有一定關(guān)系的，它們之間是一種不確定性的關(guān)系。如何通過(guò)數(shù)學(xué)成績(jī)的結(jié)果對(duì)物理成績(jī)進(jìn)行合理估計(jì)有非常重要的現(xiàn)實(shí)意義。2、 引出相關(guān)關(guān)系的概念教師提問(wèn)：“像剛才這種情況在現(xiàn)實(shí)生活中是否還有？”學(xué)生甲：糧食產(chǎn)量與施肥用量的關(guān)系；學(xué)生乙：人的體重與食肉數(shù)量的關(guān)系。學(xué)生丙：人的體力和所走的路程。從而得出：兩個(gè)變量之間的關(guān)系可能是確定的關(guān)系（如：函數(shù)關(guān)系），或非確定性關(guān)系。當(dāng)自變量取值一定時(shí)，因變量也確定，則為確定關(guān)系；當(dāng)自變量取值一定時(shí)，因變量帶有隨機(jī)性，這種變量之間的關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系。相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系。3、 探究線性相關(guān)關(guān)系和其他相關(guān)關(guān)系問(wèn)題：在一次對(duì)人體脂肪和年齡關(guān)系的研究中，研究人員獲得了

5、一組樣本數(shù)據(jù)：人體的脂肪百分比和年齡年齡23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2年齡53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6針對(duì)于上述數(shù)據(jù)所提供的信息，你認(rèn)為人體的脂肪含量與年齡之間有怎樣的關(guān)系？教師特別向?qū)W生強(qiáng)調(diào)在研究?jī)蓚€(gè)變量之間是否存在某種關(guān)系時(shí)，必須從散點(diǎn)圖入手（向?qū)W生介紹什么是散點(diǎn)圖）。并且引導(dǎo)學(xué)生從散點(diǎn)圖上可以得出如下規(guī)律：（多媒體課件）1、如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線上，那么變量之間具有函數(shù)關(guān)系（確定性關(guān)系）；2、如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線的附近，那么變量之間具有相關(guān)關(guān)系（不

6、確定性關(guān)系）；3、如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近，那么變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系（不確定性關(guān)系）。下面我們用excel軟件作出這兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖。學(xué)生實(shí)驗(yàn)：先把數(shù)據(jù)中成對(duì)出現(xiàn)的兩個(gè)數(shù)分別作為橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，把數(shù)據(jù)輸入到表格當(dāng)中（第一行為橫坐標(biāo)、第二行為縱坐標(biāo)）得到圖1；圖1然后使用excel軟件插入圖表設(shè)計(jì)一個(gè)散點(diǎn)圖：依次步驟如下： 填寫(xiě)相關(guān)參數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用excel軟件生成散點(diǎn)圖如圖2：圖2引導(dǎo)學(xué)生觀察作出的散點(diǎn)圖，體會(huì)現(xiàn)實(shí)生活中兩個(gè)變量之間的關(guān)系存在著不確定性。散點(diǎn)圖中的散點(diǎn)并不在一條直線上，只是分布在一條直線的周圍，即為線性相關(guān)關(guān)系。給出三組數(shù)據(jù)，請(qǐng)學(xué)生用excel軟件作出散點(diǎn)圖，并

7、觀察每組數(shù)據(jù)的特點(diǎn)。表1：x-504712151923273136y15615013212813011610489937654表2：x-12-9-5-4-3-10246913y12010020126203.5232770150表3：x-13-11-9-7-5-3-2-101345y92553115659121930507088根據(jù)表13，學(xué)生應(yīng)用excel軟件對(duì)應(yīng)做出如下散點(diǎn)圖3-5： 圖3圖4圖5通過(guò)學(xué)生討論、交流、用excel軟件展示、對(duì)比自己作出的散點(diǎn)圖，我們引出線性相關(guān)關(guān)系，正、負(fù)相關(guān)關(guān)系的概念。四、引出回歸直線的概念，探索求回歸直線方程的方法再看圖2，你能說(shuō)說(shuō)人在62、63、64歲時(shí)

8、的脂肪含量大約是多少嗎？通過(guò)用excel所做出的散點(diǎn)圖，猜想：所有的點(diǎn)都大致分布在一條直線的附近，只要求出這條直線的方程，那么就可以知道人在62、63、64歲時(shí)的脂肪含量。如圖6，從整體上看，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)分布大致在一條直線附近，我們把這條直線叫做“回歸直線”。圖6課堂小知識(shí)：“回歸”這個(gè)詞是有英國(guó)著名的統(tǒng)計(jì)學(xué)家 francils galton 提出來(lái)的。1889年，他在研究祖先與后代身高之間的關(guān)系時(shí)發(fā)現(xiàn)，身材較高的父母，他們的孩子也較高，但這些孩子的平均身高并沒(méi)有他們的父母平均身高高；身材較矮的父母，他們的孩子也較矮，但這些孩子的平均身高卻比他們的父母平均身高高。galton 把這種后代的身高

9、向中間值靠近的趨勢(shì)稱為“回歸現(xiàn)象”。后來(lái)，人們把由一個(gè)變量的變化去推測(cè)另一個(gè)變量的變化的方法稱為“回歸方法”。那么如何求回歸直線方程呢？人們?cè)谒伎歼@個(gè)問(wèn)題的時(shí)候，常用以下3種方法：1、采用測(cè)量的方法，先畫(huà)一條直線，測(cè)量出各點(diǎn)到它的距離，然后移動(dòng)直線，到達(dá)一個(gè)使距離之和最小的位置，測(cè)量出此時(shí)直線的斜率和截距，就得到回歸方程。2、在圖中選取兩點(diǎn)畫(huà)直線，使得直線兩側(cè)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)基本相同。3、在散點(diǎn)圖中多取幾個(gè)點(diǎn)，確定幾條直線的方程，分別求出各條直線的斜率和截距的平均數(shù)，將這兩個(gè)平均數(shù)作為回歸方程的斜率和截距。上面的這些方法雖然有一定的道理，但總讓人感覺(jué)到可靠性不強(qiáng)。統(tǒng)計(jì)學(xué)中，科學(xué)家們經(jīng)過(guò)研究后于是得出

10、了如下方法：求回歸方程的關(guān)鍵是如何用數(shù)學(xué)的方法來(lái)刻畫(huà)“從整體上看各點(diǎn)與此直線的距離和最小”?，F(xiàn)在，我們來(lái)看一下數(shù)學(xué)家解決這個(gè)問(wèn)題的思維過(guò)程吧。設(shè)已經(jīng)得到具有線性相關(guān)關(guān)系的一組數(shù)據(jù)：，所要求的回歸直線方程為：，其中，是待定的系數(shù)。當(dāng)變量取時(shí)，可以得到。求的最小值，其步驟為：（圖中的即算式中的）最后，指導(dǎo)學(xué)生按照如下步驟直接利用excel軟件求出回歸直線方程：在excel中選定圖2，用圖表添加趨勢(shì)線完成圖6的制作圖6再雙擊圖6中的回歸直線，彈出“趨勢(shì)線格式”對(duì)話框，單擊“選項(xiàng)”標(biāo)簽，選定“顯示公式”，最后單擊“確定”按鈕，得到回歸直線的回歸方程（圖7中的方程）圖75、 課外實(shí)踐（用excel軟件完

11、成下列問(wèn)題）1、一個(gè)車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了10次試驗(yàn)，收集數(shù)據(jù)如下：零件(個(gè)數(shù))102030405060708090100加工時(shí)間（min）626875818995102108115122(1)、畫(huà)出散點(diǎn)圖；(2)、求回歸方程；(3)、關(guān)于加工零件的個(gè)數(shù)與加工時(shí)間，你能得出什么結(jié)論？2、某機(jī)構(gòu)曾研究對(duì)翻車魚(yú)的影響。在一定溫度下，經(jīng)單位時(shí)間，翻車魚(yú)的存活的比例為，數(shù)據(jù)如下：(0.10,1.00), (0.15,0.95), (0.20,0.95), (0.25,0.90), (0.30,0.85),(0.35,0.70), (0.40,0.65), (0.45,0.60), (0.50,0.55), (0.55,0.40).六、效果反饋與評(píng)價(jià)通過(guò)收集現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)做出散點(diǎn)圖，并利用散點(diǎn)圖直觀認(rèn)識(shí)變量的相關(guān)關(guān)系