分塊矩陣的概念和運(yùn)算PPT課件

1、一、分塊矩陣的概念下頁(yè) 在矩陣的討論和運(yùn)算中，有時(shí)需要將一個(gè)矩陣分成若干個(gè)“子塊”(子矩陣)，使原矩陣顯得結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單而清晰。 例如：1000 0100 3-10 10010 A =其中O=(0 0 0)，A2=(1)。I3= ，100 010 001 A1= ，3-10= ，I3O A1A2 第三節(jié)第三節(jié) 分塊矩陣分塊矩陣 定義1在一個(gè)矩陣A的行、列之間劃一些橫線和縱線，將A從形式上分成若干個(gè)小矩陣，每個(gè)小矩陣稱為A的一個(gè)子塊，以子塊為元素的矩陣稱為A的分塊矩陣第1頁(yè)/共19頁(yè)下頁(yè)1000 0100 3-10 10010 A =其中I2= ，10 01 A3= ，00 3-1I2= 。00 00

2、 在矩陣的討論和運(yùn)算中，有時(shí)需要將一個(gè)矩陣分成若干個(gè)“子塊”(子矩陣)，使原矩陣顯得結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單而清晰。 例如：= ，I2O A3I2 一、分塊矩陣的概念第2頁(yè)/共19頁(yè)1000 0100 3-10 10010 A =其中e1= ，1000=(e1 e1 e1 a)， e2= ，0100e3= ，0010a= 。3-101 像這樣將一個(gè)矩陣分成若干塊(稱為子塊或子陣)，并以所分的子塊為元素的矩陣稱為分塊矩陣。 在矩陣的討論和運(yùn)算中，有時(shí)需要將一個(gè)矩陣分成若干個(gè)“子塊”(子矩陣)，使原矩陣顯得結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單而清晰。 例如：一、分塊矩陣的概念下頁(yè)第3頁(yè)/共19頁(yè)問題二：為什么提出矩陣分塊法？答：對(duì)于行數(shù)和列

3、數(shù)較高的矩陣 A，運(yùn)算時(shí)采用分塊法，可以使大矩陣的運(yùn)算化成小矩陣的運(yùn)算，體現(xiàn)了化整為零的思想.第4頁(yè)/共19頁(yè)下頁(yè) 分塊矩陣運(yùn)算時(shí)，把子塊作為元素處理。 例1設(shè)矩陣用分塊矩陣計(jì)算kA，A+B及AB。1000 0100 340 -112-10A = ，1260203-2000 10010B = ， 解：將矩陣A，B進(jìn)行分塊：A= ，IO C-IB= ，DF OI則kIkCkA=O -kI=k 00 k0 00 0 k 3k2k 4k-k 0 0 -k；二、分塊矩陣的運(yùn)算二、分塊矩陣的運(yùn)算第5頁(yè)/共19頁(yè)下頁(yè) 分塊矩陣運(yùn)算時(shí)，把子塊作為元素處理。 例1設(shè)矩陣用分塊矩陣計(jì)算kA，A+B及AB。100

4、0 0100 340 -112-10A = ，1260203-2000 10010B = ， 解：將矩陣A，B進(jìn)行分塊：A= ，IO C-IB= ，DF OI則I +D CA+BFO=2 22 16 30 -21 32 40 00 0；=IO C-I+DF OI=二、分塊矩陣的運(yùn)算形式上看成是普通矩陣的加法！第6頁(yè)/共19頁(yè)下頁(yè) 分塊矩陣運(yùn)算時(shí)，把子塊作為元素處理。 例1設(shè)矩陣用分塊矩陣計(jì)算kA，A+B及AB。1000 0100 340 -112-10A = ，1260203-2000 10010B = ， 解：將矩陣A，B進(jìn)行分塊：A= ，IO C-IB= ，DF OI則D +CF CAB-

5、F-I= 7 -114 4-6 -3 0 21 32 4-1 0 0 -1。=IO C-IDF OI=CF=12 3160 3-2 612 -34=二、分塊矩陣的運(yùn)算第7頁(yè)/共19頁(yè) 注意：在進(jìn)行加法運(yùn)算時(shí)，兩個(gè)矩陣要有相同的分法。 在進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí)，左矩陣的列分法要與右矩陣的行分法相同。 例2設(shè)矩陣用分塊矩陣計(jì)算AB。1000 0100 000 -112 00A = ，1260203000010001B = ， 解：將矩陣A，B進(jìn)行分塊：A= ，A1O2O1A3B= ，B1O4O3B3A1B1OOA3B3=則AB=A1O2O1A3B1O4O3B3= 7 514 6 0 0 0 00 00 0

6、 0 0-1 -1。下頁(yè)第8頁(yè)/共19頁(yè)分塊矩陣的乘法一般地，設(shè) A為ml 矩陣，B為l n矩陣 ，把 A、B 分塊如下：11111211112121222221222122122121 , , trtrssstttttrtrsAAABBBAAABnnnmmmBBABAAAlllllBlBB= 1112121222112, (1, ; 1, )rtrijikkjksssrCCCCCCCA BCABis jrCCC= = = 121212strlmmmmnnnnlll+=+=+ += =+=+=+ +第9頁(yè)/共19頁(yè)按行分塊以及按列分塊mn 矩陣 A 有m 行 n 列，若將第 i 行記作若將第

7、j 列記作則12(,)Tiiiinaaaa a= = 1112112122221212,.TnTnnTmmmnmaaaaaaAaaaa aa aa a= 12,jjjmjaaa = = 第10頁(yè)/共19頁(yè)于是設(shè) A 為 ms 矩陣，B 為 s n 矩陣，若把 A 按行分塊，把 B 按列塊，則 1111222121122122(),TTTnTTTTnTTijm nnTTTmmmnmCcABa a a a aa aaa aa a aa aa aaaaaaa a = 12121,.jsjTijijiiisikkjksjbbcaaaa bba a = = 第11頁(yè)/共19頁(yè)三、分塊矩陣的轉(zhuǎn)置三、分塊矩

8、陣的轉(zhuǎn)置若 ，則例如：1111rssrAAAAA= =1111TTsTTTrsrAAAAA= = 1112131421222324123431323334,aaaaAaaaaaaaaa a a aa a a a=1121311122232213233331424344TTTTTaaaaaaAaaaaaaa aa aa aa a=分塊矩陣不僅形式上進(jìn)行轉(zhuǎn)置，而且每一個(gè)子塊也進(jìn)行轉(zhuǎn)置第12頁(yè)/共19頁(yè)四、分塊對(duì)角矩陣則稱形如階矩陣（為設(shè)定義, )2 . 1)2 . 1(risriAiii=rrAAAA2211的矩陣為分塊對(duì)角矩陣 例如：=3200021000002000004300021A=332

9、211AAA是為分塊對(duì)角矩陣第13頁(yè)/共19頁(yè)四、分塊對(duì)角矩陣四、分塊對(duì)角矩陣定義：設(shè) A 是 n 階矩陣，若1. A 的分塊矩陣只有在對(duì)角線上有非零子塊，2.其余子塊都為零矩陣，3.對(duì)角線上的子塊都是方陣，那么稱 A 為分塊對(duì)角矩陣?yán)纾?12235000010000830052AOOBOAOAOOBOOA=第14頁(yè)/共19頁(yè)=rrAAAA2211設(shè)是為分塊對(duì)角矩陣則是自然數(shù)其中kAAAAkrrkkk=2211) 1 (|)2(2211rrAAAA=-11221111)1 ()3(rriiAAAAAriiA可逆，且，對(duì)任意可逆的充分必要條件是分塊對(duì)角矩陣的性質(zhì)第15頁(yè)/共19頁(yè)例3:設(shè) ，求

10、 A1 解：500031021A= =12500031021AOAOA=1111(5),5AA- -=1223111,2123AA- - -=- -111121/500011023AOAOA- - - -= =-=- -第16頁(yè)/共19頁(yè)152002100002100324-=AA的逆矩陣求例-=5200210000210032A解=2211AooA-=-2132111A-=-1225122A=-1221111AooAA-=1200250000210032第17頁(yè)/共19頁(yè)例5：往證 Amn = Omn的充分必要條件是方陣ATA = Onn 證明：把 A 按列分塊，有于是那么即 A = O 12(),ijm nnAaa aaa aa = 1112212211222121,TTTnTTTTnTTTnTTTnn